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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
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当堂练习
课堂小结
新课导入
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教学目标
教学重点
1.理解因式分解的概念和意义（重点）
2.能熟练运用提公因式法进行因式分解（难点）
学习目标
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
尝试回答下列问题
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1.因式分解
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
【例1 】
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a(a＋ )　　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．因为 不是整式，所以a2＋1＝ a(a＋ )不是因式分解，故A错误；因为(x＋1)(x－1)＝ x2－1不是和差化积，因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，因此不是因式分解，C错误；x2y＋xy2＝xy(x＋y)，符合因式分解的概念，因此是因式分解，D正确．
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2.提公因式法
认真观察等式两边各有什么特点？
如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b )
ma+ mb
m
=
【例1】找出 2 x 2 + 6 x 的公因式.
定系数
2
定字母
x
定指数
2
3
所以，公因式是 2 x .
2
【例2】小颖解的有误吗？
把 8 a3b2 –12ab3c + ab分解因式.
解：
8a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a b - ab·12b2 c +ab·1
= ab(8a2b - 12b2c).
错误
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1
结果应为:ab(8a2b - 12b2c+1).
【例3】把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
解：原式=
=
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
总结：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的 乘积.
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
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3.先变形再提公因式
当原式无法直接提公因式时，可先将原式变形，再提公因式
【例4】分解因式：(x-y)2+y(y-x).
解法1：
解:原式=(x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：
解:原式 =(y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
当堂练习
当堂反馈
即学即用
当堂练习
1.下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B　
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
2. 把下列各式分解因式
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
解:原式
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc).
(2)解：原式=(b+c)(2a-3).
3.分解因式：b(a+b-c)+a(c-a-b).
解:原式= b(a+b-c)-a(a+b-c)
= (a+b-c)(b-a).
4. 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
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构建脉络
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提公因式法
因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
THANKS！
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