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(共15张PPT)
第4课时　利用斜边、直角边判定直角三角形全等(HL)
知识点1　用“HL”判定直角三角形全等
1．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( )
A．SSS B．ASA
C．SAS D．HL
限时:15分钟
D
2．如图，已知在△ABC与△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要利用“HL”判定△ABC≌△ABD，还需添加的条件是( )
A．∠BAC＝∠BAD
B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD
D．AB为公共边
B
3．[2022·合肥肥西期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC．若AC＝6，则AE＋DE等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C
4．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD．求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
略
知识点2　直角三角形全等的应用
5．如图，两棵大树相距13 m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA＝ED．已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，则小华行走的时间是( )
A．13 s B．8 s
C．6 s D．5 s
B
6．[教材P43练习第1题改编]如图，小明和小芳以相同的速度同时分别从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并且同时到达点C，D．若CB⊥AB，DA⊥AB，则CB　 　DA．(填“＞”“＜”或“＝”)
＝　
7．如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两根等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点．
(1)G一定是AB的中点吗？请说明理由；
(2)钉这两根木条的作用是什么？
解：(1)G一定是AB的中点．理由略．
(2)结合图形可知，利用三角形的稳定性，
使窗架更稳固．
8．如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高度AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，则两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的度数和为( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．180°
限时:15分钟
B
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
D
10．如图，在△ABC中，BD＝CF，FD⊥BC交AC于点F，DE⊥AB于点E，且BE＝CD．若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为　 　．
45°　
11．[教材P42例5改编]如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，那么CE＝DF吗？请说明理由．
解：CE＝DF．理由略．
12．如图，已知AD，AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．
∴BD＝BF，∴BC＝BE．
∴CD＝EF，易证Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，
证明：易知Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，
13．[教材P56复习题12第13题改编]求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．
解：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC＝B'C'，CD＝C'D'．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
证明：∵CD⊥AB，C'D'⊥A'B'，
∴∠CDB＝∠C'D'B'＝90°，
∴Rt△CDB≌Rt△C'D'B'(HL)，
∴∠B＝∠B'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(ASA)．(共18张PPT)
第3课时　利用两角一边判定三角形全等(ASA，AAS)
知识点1　三角形全等的判定方法(ASA)
1．如图，小周书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是( )
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
限时:15分钟
B
2．如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO．若用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则还需要添加的一个条件是　 　．
∠A＝∠B(答案不唯一)　
3．如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2．求证：AB＝DC．
证明：易证△ABC≌△DCB，∴AB＝DC．
知识点2　全等三角形的判定方法(AAS)
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME∥BC交AB于点E，则△ACB≌ ，判定依据是 ．
AAS(答案不唯一)
△MDE
5．如图，太阳光线AC与A'C'是平行的，同一时刻两根高度相同且都垂直于地面的木杆在太阳光照射下的影子BC　 　B'C'．(填“＞”“＜”或“＝”)
＝　
6．[与T12互为孪生题][教材P44习题12.2第11题改编]如图，点B，F，C，E在直线l上(点F，C之间不能直接测量)，点A，D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AC＝DF．若BE＝10 m，BF＝3 m，求FC的长．
解：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴BC＝EF，∴EC＝BF＝3 m，
∴FC＝10－3－3＝4(m)．
知识点3　三角形全等的判定方法(ASA，AAS)的综合应用
7．[易错题]花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块(图中所标①②③④)，若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带( )
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
B
8．如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两张凳子之间(凳子与地面垂直)．已知DC＝a，CE＝b，则两张凳子的高度之和为　 　．
a＋b　
9．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是( )
A．BC＝EC，∠B＝∠E
B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠D
D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
限时:15分钟
C
10．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．若PQ＝5，NQ＝9，则MH的长度为　 　．
4　
11．如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，AC＝CD．
(1)求证：△ABC≌△DEC；
(2)若AB＝1，AE＝3，求AD的长．
(2)由(1)知△ABC≌△DEC，∴DE＝AB＝1，∴AD＝4．
∴△ABC≌△DEC(SAS)．
∴∠ACB＝∠DCE，
解：(1)∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
12．[与T6互为孪生题]如图，点B，F，C，E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)OC＝OF．
证明：(1)∵AB∥ED，∴∠B＝∠E．
∵AC∥FD，∴∠BCA＝∠EFD．
∵FB＝EC，∴BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
(2)由(1)知△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，
∴△ACO≌△DFO(AAS)，∴OC＝OF．
13．[2022·合肥蜀山区一模]如图是秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴中心B到地面的距离BD＝3 m．在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2 m，点A到地面的距离AE＝1.8 m，当从A处摆动到A'处时，A'B⊥AB．
(1)求点A'到BD的距离；
(2)求点A'到地面的距离．
解：(1)过点A'作A'F⊥BD，垂足为点F．
∵AC⊥BD，A'B⊥AB，
∴∠ABC＝∠BA'F，∠BAC＝∠A'BF，
易证△ACB≌△BFA'(ASA)，∴A'F＝BC．
∵AC∥DE，CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.8，∴BC＝BD－CD＝1.2，
∴A'F＝1.2，
即点A'到BD的距离是1.2 m．
(2)由(1)知△ACB≌△BFA'，
∴BF＝AC＝2．
过点A'作A'H⊥DE，垂足为点H．
∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD－BF＝3－2＝1，
即点A'到地面的距离是1 m．(共19张PPT)
第1课时　利用三边判定三角形全等(SSS)
知识点1　三角形全等的判定方法(SSS)
1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是( )
限时:15分钟
C
2．如图，已知AB＝AD，请添加一个条件，使得△ABC≌△ADC．若依据是“SSS”，则添加的条件
为　 　．
BC＝DC　
3．[与T13互为孪生题][教材P44习题12.2第9题改编]如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．
略
知识点2　三角形全等的判定方法(SSS)的简单应用
4．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，当伞完全张开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，且DE＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是　 　．
SSS　
5．如图，点A，B，C，D分别固定在以点O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，点E，F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF．求证：∠AOE＝∠EOF＝∠DOF．
证明：在△AOE和△COE中，
∴△AOE≌△COE(SSS)，
∴∠AOE＝∠COE．
同理可得∠BOF＝∠DOF，
∴∠AOE＝∠EOF＝∠DOF．
6．如图，两根长为12 m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上(点B，D，C在同一直线上，绳结处的误差忽略不计)．现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．
解：用卷尺测量出BD，CD的长，看它们是否相等，若BD＝CD，则AD⊥BC．
理由：易得△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠ADB＝∠ADC．
又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC．
知识点3　作一个角等于已知角(尺规作图)
7．用尺规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是　 　．
SSS　
8．如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠B＝20°，∠BDC＝120°，则∠A等于( )
A．70° B．80°
C．90° D．100°
限时:15分钟
B
9．[2023·黄山期中]如图，已知AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则与∠ACB相等的是( )
A．∠EDB B．∠BED
C．∠AFB D．2∠ABF
C
10．[2022·芜湖无为期末]如图，在方格纸中，以BC为一边作△PBC，使之与△ABC全等，则这样的点P(不与点A重合)有　 　个．
3　
11．用尺规作一个角等于已知角的和．(保留作图痕迹，不写作法)
已知：∠1，∠2．
求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1＋∠2．
略
12．如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线．求证：∠3＝∠1＋∠2．
略
13．[与T3互为孪生题]如图，点A，C，D，B在一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，CE＝DF，AD＝BC．
(1)求证：△ACE≌△BDF；
(2)若∠CDF＝55°，求∠ACE的度数．
解：(1)∵AD＝BC，
∴AD－CD＝BC－CD，∴AC＝BD．
又∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△ACE≌△BDF(SSS)．
(2)由(1)可知△ACE≌△BDF，
∴∠ACE＝∠BDF．
∵∠CDF＝55°，∴∠ACE＝∠BDF＝125°．
14．如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠AOB的平分线航行．在航行途中，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等，试问轮船此时是否偏离预定航线？请说明理由．
解：此时轮船没有偏离预定航线．
理由：假设轮船在D处，
则DA＝DB，AO＝BO，
又DO＝DO，
∴△ADO≌△BDO(SSS)，
∴∠AOD＝∠BOD，即DO为∠AOB的平分线，
∴此时轮船没有偏离预定航线．(共15张PPT)
【基础提升专题】　判定三角形全等的基本思路
类型1　已知两边分别相等
　　
有两边分别相等，找第三边相等或隐含的夹角相等，前者依据“SSS”，后者依据“SAS”，均可判定两个三角形全等．
1．如图，已知AB＝DE，AD＝EC，D是BC的中点．求证：△ABD≌△EDC．
证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD．
在△ABD和△EDC中，
∴△ABD≌△EDC(SSS)．
2．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：AB∥CD．
∴∠B＝∠D，∴AB∥CD．
证明：易知△AOB≌△COD(SAS)，
3．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是BD上两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴AE＝CF．
∵BE＝DF，∴DE＝BF，
∴∠ADB＝∠CBD．
证明：易知△ABD≌△CDB(SSS)，
类型2　已知两角分别相等
　　有两角分别相等，找隐含的夹边相等或任一组等角的对边相等，前者依据“ASA”，后者依据“AAS”，均可判定两个三角形全等．
4．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：CB＝CD．
∴CB＝CD．
∴△ABC≌△ADC(AAS)，
∴∠ACB＝∠ACD，
∠ACD＋∠2＝180°，∠1＝∠2，
证明：∵∠ACB＋∠1＝180°，
5．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
∴AF＝DC，∴△AOF≌△DOC(AAS)．
易知AB＝BD，BF＝BC，
理由如下：
解：不重叠的两部分△AOF与△DOC全等．
类型3　已知一边一角分别相等
①有一边和该边的对角分别相等，找另一个角相等，依据“AAS”可判定两个三角形全等；
②有一边和该边的邻角分别相等，找邻角的另一边相等，或找另一角相等．前者依据“SAS”，后者依据“AAS”或“ASA”，均可判定两个三角形全等．
6．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F．若∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD，求证：BC＝DE．
∴△ABC≌△ADE(AAS)，∴BC＝DE．
∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠E＝∠C．
证明：∵∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
7．如图，AB∥CD，∠BAE＝∠DCF，AC与EF相交于点G，G为AC的中点，求证：AE＝CF．
∴AE＝CF．
∴△AEG≌△CFG(ASA)，
∵G为AC中点，∴AG＝CG，
∵∠BAE＝∠DCF，∴∠GAE＝∠GCF．
证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA．
8．[2023·合肥四十五中期末]如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是点D，E，AD，CE交于点H，AE＝CE．
(1)求证：△BEC≌△HEA；
(2)若BE＝6，CH＝2，求线段AE的长．
解：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠BEC＝∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝∠B＋∠BCE＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∴△BEC≌△HEA(ASA)．
(2)由(1)知△BEC≌△HEA，∴EH＝BE＝6．
∵CH＝2，∴AE＝CE＝EH＋CH＝8．
9．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝AC，CE＝6，CF＝8，求DB的长．
解：(1)∵E是边AC的中点，∴AE＝CE．
∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
(2)由(1)知△ADE≌△CFE，CF＝8，
∴AD＝CF＝8．
∵AB＝AC，E是边AC的中点，CE＝6，
∴AB＝AC＝2CE＝12，
∴DB＝AB－AD＝4．(共17张PPT)
第2课时　利用两边及其夹角判定三角形全等(SAS)
知识点1　三角形全等的判定方法(SAS)
1．如图，已知△ABC，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
限时:15分钟
B
2．如图，AB，CD相交于点O，且OA＝OB．观察图形，图中已具备的另一个相等的条件是　 　，依据“SAS”，只需补充条件　 　，则有△AOD≌△BOC．
OD＝OC　
∠AOD＝∠BOC　
3．如图，已知∠1＝∠3，BC＝CE，CA＝CD，求证：△ABC≌△DEC．
证明：∵∠1＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，即∠ACB＝∠DCE．
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(SAS)．
知识点2　三角形全等的判定方法(SAS)的简单应用
4．[2023·合肥蜀山区期末改编]在测量一个
小口圆形容器的壁厚时，小明用“x型转动
钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，
OB＝OC，测量AB的长度即可知道CD的长
度的理论依据是( )
A．SSS B．SAS
C．SSA D．SAS或SSA
B
5．[教材P38例2改编]如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离(A，B之间的距离不能直接测量)，先在地面上取一点C，使∠ACB＝90°，然后延长BC至点D，使CD＝BC．若测得AD＝16米，则A，B两点之间的距离
为　 　米．
16　
6．[教材P39练习第2题改编]如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架．已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24 cm，CF＝3 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为　 　cm．
45　
7．[2022·兰州中考]如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
图1
图2
解：因为∠BAD＝∠EAC，
所以∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD，
即∠BAC＝∠EAD，
所以△BAC≌△EAD(SAS)，
所以∠D＝∠C＝50°．
8．[2023·宣城期末]如图，点E，F在直线AC上，AF＝CE，AD＝CB，下列条件中不能推断△ADF≌△CBE的是( )
A．∠D＝∠B
B．∠A＝∠C
C．BE＝DF
D．AD∥BC
限时:15分钟
A
9．如图，AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
10．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D．在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为　 　．
7　
11．如图，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M在BC的中点上，试判断三个石凳E，M，F恰好在同一条直线上吗？为什么？
解：连接ME，MF．∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．
易证△BEM≌△CFM(SAS)，
∴∠BME＝∠CMF，
∴∠BME＋∠BMF
＝∠CMF＋∠BMF＝∠BMC＝180°，
∴三个石凳E，M，F在同一条直线上．
12．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．
(1)求证：BD＝CE；
(2)BD，CE存在何种位置关系？
并证明你的结论．
(2)BD⊥CE．证明略．
∴BD＝CE．
证明：(1)易证△ABD≌△ACE，
13．[动态问题]如图1，AB＝8 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6 cm．点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．
它们运动的时间为t s．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度
相等，当t＝1时，判断线段PC与PQ的
位置关系，并说明理由；
(2)[分类讨论思想]如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝α”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)PC⊥PQ．理由略．
(2)存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等．
分两种情况：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，
可得6＝8－2t，2t＝xt，解得x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，
可得6＝xt，2t＝8－2t，解得x＝3，t＝2．
综上可知，x＝2，t＝1或x＝3，t＝2时，△ACP与△BPQ全等．(共15张PPT)
第2课时　角的平分线的判定
知识点1　角的平分线的判定
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，DB＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝( )
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
限时:15分钟
D
2．如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置距河流和公路的距离相等，则图中工厂的位置应选在∠A的平分线上，依据是　 _
　．
的两边的距离相等的点在角的平分线上　
角的内部到角
忽视垂直条件，错用角平分线的判定
3．如图，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，连接AD，BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．
王刚的证法如下：
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，BD＝CD，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
王刚的证法正确吗？若不正确，请写出正确的证明过程．
解：王刚的证法不正确．证明如下：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
知识点2　到三角形的三条边距离相等的点
4．[与T8互为孪生题]如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．无法确定
B
知识点3　角的平分线的性质与判定的综合应用
5．如图，E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD．下列结论错误的是( )
A．∠AED＝90°
B．∠ADE＝∠CDE
C．DE＝BE
D．AD＝AB＋CD
C
6．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．有下列结论：①∠BDE＝∠CDF；②∠1＝∠2；③AB上任意一点与AC上任意一点到点D的距离相等．其中正确的结论有　 　．(只填序号)
①②　
7．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E．若OE＝2，则AB与CD之间的距离是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
限时:15分钟
B
8．[与T4互为孪生题][教材P55复习题12第6题改编]如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有　 　处．
四　
9．在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD．
(1)如图1，当D是BC边上的
中点时，S△ABD∶S△ACD＝
　 　．
(2)如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD∶S△ACD的值．(用含m，n的式子表示)
(3)如图3，延长AD到点E，使得AD＝DE，连接BE．如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，S△ABC＝9，求证：AD平分∠BAC．
1∶1　
解：(2)S△ABD∶S△ACD＝．
(3)过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N．
∵AD＝DE，∴S△ABD＝S△BDE＝6．
∵S△ABD＝AB·DM＝6，S△ACD＝AC·DN＝S△ABC－S△ABD＝3，AC＝2，AB＝4，
∴DM＝3，DN＝3，∴DM＝DN．
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC．
10．选做题：请在A，B两题中任选一题作答．
A．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，CE平分∠ACB交AB于点E，点D在AC上，
且∠CBD＝20°．求证：
(1)BA是△CBD的外角平分线；
(2)DE平分∠BDA．
B．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，且∠AEF＝50°，连接DE．
(1)求证：DE平分∠ADC；
(2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，
且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
我选做　　　　题(填A或B)，并写出完整的答题过程．
A．略
B．解：(1)略．
(2)S△ABE＝．(共18张PPT)
第1课时　角的平分线的性质
知识点1　角的平分线的尺规作图
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOE＝∠BOE的依据是( )
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
限时:15分钟
D
2．尺规作图：已知点M，N和∠AOB．(保留作图痕迹，不写作法)
(1)画直线MN；
(2)在直线MN上求作点P，使点P到∠AOB两边的距离相等．
略
知识点2　角的平分线的性质
3．[2023·合肥蜀山区期末]如图，∠1＝∠2，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为点D，E．下列结论错误的是
( )
A．△OPD≌△OPE
B．OD＝OE
C．PD＝PE
D．∠ODP＝∠OPE
D
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E．若AC＝7，DE＝2，则CD的长为( )
A．2 B．4 C．5 D．6
C
题设不变.若ED+CD=3，则AC的长为　 　.
3　
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为　 　．
12　
6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为点A，Q是射线OM上的一个动点．若P，Q两点间的最小距离为8，则PA＝　 　．
8　
7．[教材P51习题12.3第2题改编]如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，EB＝FC．求证：BD＝CD．
∴BD＝CD．
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(SAS)，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
DF⊥AC，
证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
8．如图，BO，AO分别是△ABC中∠ABC，∠BAC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F，则OD，OE，OF的大小关系是( )
A．OD＝OF≠OE
B．OD＝OE＝OF
C．OD＝OE≠OF
D．OD≠OE≠OF
限时:15分钟
B
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AC的垂线，垂足为点H．若BC＝6，AB＝8，AC＝10，则IH的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
A
10．[易错题]如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，点D在OB上，DH⊥OP于点H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为 ．
　
11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，则△ADC的面积为　 　．
　
12．如图，点D在△ABC的边AB上，且∠A＝∠ACD．
(1)用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．
解：(1)图略．
(2)DE∥AC．证明如下：
∵∠A＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝2∠A．
∵DE平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDE，
∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC．
13．(1)如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，求证：BD＝CD．
(2)如图2，AD平分∠BAC，
∠ABD＋∠ACD＝180°，
∠ABD＜90°，(1)中的结
论是否成立？请作出判断并给予证明．
(3)如图3，在四边形ABDC中，DB＝DC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，请直接写出AB，AC，BE之间的数量关系．
解：(1)∵∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴△ADC≌△ADB(AAS)，
∴BD＝CD．
(2)结论成立．理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠ABD＝∠FCD，∴△DFC≌△DEB，
∴BD＝CD．
(3)AB＝AC＋2BE．(共18张PPT)
【方法技巧专题】　构造全等三角形的常见辅助线添法
类型1　直接连线构造全等三角形
连接两点构造对应边，从而构造全等三角形．
1．如图，AB＝AD，BC＝DC，E，F分别是DC，BC的中点．求证：AE＝AF．
略
2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点E，D，F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过点D作DG⊥EF于点G．求证：EG＝EF．
证明：连接DE，DF．
易证△EBD≌△DCF(SAS)，∴DE＝DF．
∵DG⊥EF，∴∠DGE＝∠DGF＝90°，
∴Rt△DGE≌Rt△DGF(HL)，
∴EG＝FG，即EG＝EF．
类型2　作垂线段构造全等三角形
因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，所以过角平分线上一点作角两边的垂线段即可证两个三角形全等．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶CD＝2∶1，BC＝7.8 cm，求点D到AB的距离．
解：点D到AB的距离为2.6 cm．
4．如图，A，B分别为∠MON的边OM，ON上一点，P为∠MON内一点，且PA＝PB．若∠MON＋∠APB＝180°，求证：OP平分∠MON．
证明：过点P作PK⊥ON于点K，PL⊥OM于点L．
∵∠MON＋∠APB＝180°，
∴∠OAP＋∠PBK＝180°．
∵∠PAL＋∠OAP＝180°，
∴∠PAL＝∠PBK．
∵∠PLA＝∠PKB＝90°，PA＝PB，
∴△PAL≌△PBK(AAS)，∴PL＝PK．
∵PK⊥ON，PL⊥OM，∴OP平分∠MON．
类型3　倍长中线构造全等三角形
“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等(通常用“SAS”证明)．
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC＞2AD；
(2)若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范围．
(2)1＜AD＜7．
∵AB＋BE＞AE，∴AB＋AC＞2AD．
∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴AC＝BE．
∵D为BC的中点，∴CD＝BD，
解：(1)延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．
6．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，M为BC的中点．求证：DE＝2AM．
证明：延长AM至点N，使MN＝AM，连接BN．
∵M为BC的中点，∴BM＝CM．
又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，
∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，
∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD．
∵AD＝AC＝BN，AB＝AE，
∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE＝AN．
又∵AM＝MN，∴DE＝2AM．
类型4　截长补短法构造全等三角形
截长：在长边上截取一条与某一短边相同的线段．补短：①延长短边；②通过旋转等方式使两短边合到一起．
7．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD．
证明：在BC上截取BF＝BA，连接EF．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠DCE＝∠FCE，
∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴∠A＝∠BFE．
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．
又∵∠BFE＋∠EFC＝180°，∴∠EFC＝∠D，
∴△CDE≌△CFE(AAS)，∴CF＝CD，
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD．
(也可用补短法：延长BE交CD的延长线于点F)
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE＋FD．
证明：延长CB至点M，使BM＝FD，连接AM．
易知△ABM≌△ADF，
∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，
∠MAE＝∠EAF，
∴△AME≌△AFE，∴EF＝ME．
∵ME＝BE＋BM，∴EF＝BE＋FD．
9．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB－PC．
证明：在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE．
易得△AEP≌△ACP(SAS)，所以PE＝PC．
在△PBE中，BE＞PB－PE，
所以AB－AE＞PB－PC，
所以AB－AC＞PB－PC．
(也可用补短法：延长AC至点M，使AM＝AB，连接PM)(共18张PPT)
【模型构建专题】　全等三角形中的常见图形结构
类型1　平移型
1．如图，点B，E，C，F在同一条直线上．若AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：AC∥DF．
∴∠ACB＝∠F，∴AC∥DF．
∴△ABC≌△DEF，
∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，
证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF．
2．如图，点B，C，D，E在同一条直线上，AB∥FC，AD∥FE，AB＝FC．
(1)求证：AD＝FE；
(2)若BE＝6，CD＝4，求DE的长．
解：(1)∵AB∥FC，∴∠B＝∠FCE．
∵AD∥FE，∴∠ADB＝∠E．
易证△ABD≌△FCE，∴AD＝FE．
(2)由(1)知△ABD≌△FCE，∴BD＝CE，
∴BD－CD＝CE－CD，∴BC＝DE．
∵BE＝6，CD＝4，∴BC＋CD＋DE＝6，
∴DE＝1．
类型2　翻折型
3．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，∠A＝65°，AC，DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为点B，DE⊥BE，垂足为点E，且AC＝DF，BF＝CE．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)求∠AGF的度数．
解：(1)∵AB⊥BE，∴∠B＝90°，
∵DE⊥BE，∴∠E＝90°．
∵BF＝CE，∴BC＝EF．
易证Rt△ABC≌Rt△DEF．
(2)∵∠A＝65°，AB⊥BE，∴∠ACB＝25°．
由(1)知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE＝25°，
∴∠AGF＝∠ACB＋∠DFE＝50°．
4．如图，AB＝AC，E，D分别是AB，AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G．求证：AF＝AG．
证明：因为AB＝AC，E，D分别是AB，AC的中点，
所以AD＝AC＝AB＝AE，
所以△ABD≌△ACE(SAS)，
所以∠ABD＝∠ACE．
因为AF⊥BD，AG⊥CE，
所以∠AFB＝∠AGC＝90°．
易得△ABF≌△ACG(AAS)，所以AF＝AG．
类型3　旋转型
5．如图，点E，H，G，N在同一条直线上，EF＝MN，EF∥MN，FG∥MH．若EH＝1.1，NH＝3.3，则GH的长为　 　．
2.2　
6．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABE＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点．
(1)求证：△ABE≌△DBC；
(2)试探索BM与BN之间的关系，
并说明理由．
(2)BM＝BN且BM⊥BN．理由略．
解：(1)证明略．
类型4　一线三等角型
同侧：
异侧：
7．如图，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC．若FC＝3，BE＝5，则EF＝　 　．
2　
8．(1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，请写出BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由；
图1
(2)如图2，将(1)中的条件改为“在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC”，请直接写出DE，BD，CE之间的数量关系．
图2
解：(1)BD＋CE＝DE．理由如下：
∵BD⊥AD，∴∠ABD＋∠BAD＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE＋∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD＋CE＝AE＋AD＝DE．
(2)BD＋CE＝DE．(共13张PPT)
章末小结与提升
考点1　全等三角形的性质与判定
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，B，D，E三点在同一条直线上．若∠1＝28°，∠3＝58°，则∠2的度数为( )
A．25°
B．28°
C．30°
D．86°
C
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE，AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为( )
A．2 B．5 C．8 D．11
C
3．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，且OB＝OC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，那么图中全等的三角形共有( )
A．5对 B．6对
C．7对 D．8对
C
4．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE＋∠DBC＝45°；
③BD⊥CE；④∠BEA＝∠ACE．其中正确的结论是
　 　．(只填序号)
①②③　
5．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x－2y，x＋2y．若这两个三角形全等，求x，y的值分别是多少？
解：由题意得
解得
所以x，y的值分别是3，2或3，1．
6．[2022·黄石中考]如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连接CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠EAC＝60°，
求∠CED的度数．
(2)∠CED＝30°．
解：(1)证明略．
考点2　全等三角形的实际应用
7．[易错题]如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当端点C下滑至点C'时，另一端点D向右滑至点D'，则下列说法正确的是( )
A．下滑过程中，始终有CC'＝DD'
B．下滑过程中，始终有CC'≠DD'
C．若OC＜OD，则下滑过程中，
一定存在某个位置使得CC'＝DD'
D．若OC＞OD，则下滑过程中，
一定存在某个位置使得CC'＝DD'
D
8．小明为了测出塑料瓶的直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具(如图，AC＝BD，O为AC，BD的中点)解决了测瓶的内径问题．测得瓶的外径为a，DC的长为b，则该塑料瓶直壁厚度x＝ ．(用含a，b的式子表示)
　
考点3　角平分线的性质与判定
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD的值为( )
A．180° B．200°
C．210° D．240°
A
10．如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，则S1＋S2与S3的大小关系正确的是( )
A．S1＋S2＞S3
B．S1＋S2＜S3
C．S1＋S2＝S3
D．无法确定
A
考点4　角平分线的性质与判定的实际应用
11．小明同学在学习了全等三角形的相关知识
后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可
以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住
射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”
小明的做法，其理论依据是　 _
　．
距离相等的点在角的平分线上　
角的内部到角的两边的
12．如图，铁路OA和铁路OB相交于点O，
河岸AB与铁路分别交于点A，B．试在河
岸上建一座水厂M，要求点M到铁路OA，
OB的距离相等，则该水厂M应建在图中
什么位置？请在图中标出点M的位置．
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：作∠AOB的平分线，交AB于点M，点M即为水厂的位置．图略．(共8张PPT)
本章中考演练
1．[2023·甘孜州中考]如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是( )
A．∠A＝∠D B．AO＝BO
C．AC＝BO D．AB＝CD
B
2．[2022·昆明中考]如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，点D，E，F与O点都不重合，连接ED，EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE，你认为要添加的那个条件是( )
A．OD＝OE
B．OE＝OF
C．∠ODE＝∠OED
D．∠ODE＝∠OFE
D
3．[2022·湘西州中考]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G．若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是( )
A．24
B．22
C．20
D．18
B
4．[2023·吉林中考]如图，点C在线段BD
上，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，
AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．
证明：在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC(ASA)，
所以AC＝DC．
5．[2023·大连中考]如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF＋∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
∴△ABC≌△ADE，∴AB＝AD．
∴∠ACB＝∠AED，
∠ACF＋∠ACB＝180°，
证明：∵∠ACF＋∠AED＝180°，
6．[2023·陕西中考]如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，延长EA至点D，使AD＝AC，在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
证明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，
所以∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°．
因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°，
所以∠EAC＝90°－∠C＝70°，
所以∠DAF＝180°－∠EAC＝110°，
所以∠DAF＝∠CAB，
所以△DAF≌△CAB(SAS)，所以DF＝CB．(共19张PPT)
12.1　全等三角形
知识点1　全等形
1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是( )
限时:15分钟
C
2．下列说法正确的是( )
A．两个面积相等的图形一定是全等形
B．两个长方形是全等形
C．两个全等形的形状一定相同
D．两个正方形一定是全等形
C
知识点2　全等三角形及其对应元素
3．如图，Rt△ABC沿BC所在直线向右平移得到Rt△DEF．下列结论错误的是( )
A．△ABC≌△DEF B．点A对应点D
C．∠B对应∠DEF D．BE对应EF
D
4．如图，将△ABC绕其顶点A逆时针旋转，∠B与∠D是对应角，AB与AD是对应边，则△ABC与△ADE的关系为　 　，另外两组对应边分别为
　 　，另外两组对应角分别为
　．
∠C和∠E，∠BAC和∠DAE　
AC和AE，BC和DE　
△ABC≌△ADE　
5．[2023·合肥庐阳区期末]若△ABC≌△DEF，AB＝4，AC＝5，则DF＝( )
A．1 B．4 C．5 D．9
C
6．[教材P33习题12.1第3题改编]如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是( )
A．115° B．65°
C．40° D．35°
C
7．如图，△ACF≌△DBE，AD＝11，BC＝5，则线段AB的长为　 　．
3　
8．如图，△ABC≌△CDA，若AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的周长为　 　．
10　
9．如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC．求证：∠ACD＝∠BCE．
即∠ACD＝∠BCE．
∴∠DCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，
证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，
10．下列图形中，是全等形的是( )
A．a，b，c，d B．a，d
C．a，c，d D．a，b，d
限时:15分钟
D
不能区分“全等”和“≌”
11．[分类讨论思想]边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4．若△DEF的周长为奇数，则DF的长为( )
A．3 B．4
C．3或5 D．3或4或5
D
12．三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数为　 　°．
180　
13．[教材P33习题12.1第4题改编]如图，已知△ABF≌△CDE．
(1)若∠B＝40°，∠DCF＝30°，求∠EFC的度数；
(2)若BD＝10，EF＝4，求BF的长．
解：(1)∵△ABF≌△CDE，∠B＝40°，
∴∠D＝∠B＝40°．
∵∠DCF＝30°，∴∠EFC＝∠DCF＋∠D＝70°．
(2)∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，
∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF．
∵BD＝10，EF＝4，∴BE＝×(10－4)＝3，
∴BF＝BE＋EF＝7．
14．选做题：请在A，B两题中任选一题作答．
A．如图，点D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AD＝2，BD＝4．
(1)求DE的长；
(2)求∠BAC的度数．
B．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE．
(1)求证：BD＝CE＋DE．
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？请说明理由．
我选做　　　　题(填“A”或“B”)，并写出完整的答题过程．
A．解：(1)∵△ABD≌△CAE，AD＝2，BD＝4，
∴AE＝BD＝4，
∴DE＝AD＋AE＝6．
(2)易知∠DBA＋∠BAD＝90°．
∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
B．解：(1)∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE．
又∵AE＝AD＋DE＝CE＋DE，
∴BD＝CE＋DE．
(2)当△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE．
理由略．

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