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2024--2025学年度人教版数学七年级上册新教材学讲练测讲义
第一章 有理数
专题1.3 有理数单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1.理解正数负数的意义；
2.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；
3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。
单元知识点思维导图与题型方法总结
【方法总结1】根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负
【方法总结2】0既不是正数也不是负数，0的相反数是它本身.0不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值.
【方法总结3】有理数分类方法
【方法总结3】
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．
【方法总结4】比较有理数大小的方法.
方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．
方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
单元考点例题讲析
考点1. 正、负数的意义
【例题1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么 80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【解析】收入用正数，则支出为负数。支出80元记作-80元. -80元九表示支出80元。
考点2. 正、负数的概念
【例题2】下列说法中错误的是（ ）
A．一个正数的前面加上负号就是负数
B．不是正数的数一定是负数
C．0既不是正数也不是负数
D．正负数可用来表示具有相反意义的量
【答案】B
【解析】A．一个正数的前面加上负号就是负数，说法正确；
B．不是正数的数一定是负数，说法错误，因为0不是正数，但也不是负数；
C．0既不是正数也不是负数，说法正确；
D．正负数可用来表示具有相反意义的量，说法正确。
考点3. 有理数及其分类
【例题3】下列说法：
（1）0是整数；
（2）-7/3是负分数；
（3）4.2不是正数；
（4）自然数一定是正数；
（5）负分数一定是负有理数.
其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】（1）0是整数整数，说法正确；
（2）-7/3是负分数，说法正确；
（3）有限小数4.2是分数，分数也有正分数和负分数，4.2是正分数，也是正数；题中说法错误；
（4）0和正整数统称为自然数。“0”既不是正数又不是负数，但是“0”是自然数或整数.
所以自然数一定是正数的说法及其错误；
0是整数，正确；
（5）分数是有理数，负分数一定是负有理数.说法正确。
考点4. 相反数、绝对值
【例题4】2021的相反数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【答案】B
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2021的相反数是﹣2021．
【例题5】下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定比0大
B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数
D．最小的正整数是1
【答案】D．
【解析】分别利用绝对值以及有理数和相反数的定义分析得出即可．
A．一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B．一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C．绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D．最小的正整数是1，正确．
考点5. 数轴
【例题6】下列数轴表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断．
A选项，应该正数在右边，故该选项错误；
B选项，负数的大小顺序不对；
C选项，没有原点；
D选项，有原点，单位长度．
【例题7】若，则实数在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先根据a的值确定a的范围，再根据a的范围确定a在数轴上的位置．
∵
∴，
∴，
∴点A在数轴上的可能位置是：
，
考点6. 有理数比较大小
【例题8】下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温：
城市 阜阳 安庆 淮北 合肥 芜湖
最高气温/℃ －5 2 －3 －1 4
(1)在数轴上表示这些城市最高气温的值；
(2)用“＜”连接这些城市的最高气温．
【答案】见解析。
【解析】(1)画出数轴，然后根据数轴表示数的方法画 出－5，2，－3，－1，4所表示的点；
根据“数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小”可得到它们的大小关系．
－5℃ ＜－3℃ ＜－1 ℃ ＜ 2℃ ＜4℃
情感态度与价值观教育--数学家事迹
刘徽与负数
中国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”翻译成现代话就是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数。负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。负数在表示小于0的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示负债，而且通常以红色表示（若不带负数符号则加上括号），所以又称“赤字”。尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。西方最早在数学上使用负数的是一本印度数学文献，Brahmagupta写于628年的BrahmaSphuta-Sidd'hanta。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。
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第一章 有理数
专题1.3 有理数单元基础知识归纳总结
单元课标要求
1.理解正数负数的意义；
2.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小；
3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。
单元知识点思维导图与题型方法总结
【方法总结1】根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负
【方法总结2】0既不是正数也不是负数，0的相反数是它本身.0不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值.
【方法总结3】有理数分类方法
【方法总结3】
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．
【方法总结4】比较有理数大小的方法.
方法①：数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．
方法②：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
单元考点例题讲析
考点1. 正、负数的意义
【例题1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么 80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
考点2. 正、负数的概念
【例题2】下列说法中错误的是（ ）
A．一个正数的前面加上负号就是负数
B．不是正数的数一定是负数
C．0既不是正数也不是负数
D．正负数可用来表示具有相反意义的量
考点3. 有理数及其分类
【例题3】下列说法：
（1）0是整数；
（2）-7/3是负分数；
（3）4.2不是正数；
（4）自然数一定是正数；
（5）负分数一定是负有理数.
其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点4. 相反数、绝对值
【例题4】2021的相反数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【例题5】下列说法正确的是（ ）
A．一个数的绝对值一定比0大
B．一个数的相反数一定比它本身小
C．绝对值等于它本身的数一定是正数
D．最小的正整数是1
考点5. 数轴
【例题6】下列数轴表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【例题7】若，则实数在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
考点6. 有理数比较大小
【例题8】下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温：
城市 阜阳 安庆 淮北 合肥 芜湖
最高气温/℃ －5 2 －3 －1 4
(1)在数轴上表示这些城市最高气温的值；
(2)用“＜”连接这些城市的最高气温．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
刘徽与负数
中国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”翻译成现代话就是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数。负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。负数在表示小于0的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示负债，而且通常以红色表示（若不带负数符号则加上括号），所以又称“赤字”。尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。西方最早在数学上使用负数的是一本印度数学文献，Brahmagupta写于628年的BrahmaSphuta-Sidd'hanta。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。
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