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2024--2025学年度人教版数学七年级上册新教材学讲练测讲义
第三章 代数式
专题3. 3 代数式单元基础知识归纳总结
单元课标要求
（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
单元知识点思维导图与题型方法总结
1.代数式概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式.
（1）代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
（2）代数式中不含有=、<、>、≠ 等
（3）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
2.代数式的分类：代数式分为有理式和无理式。有理式分为整式和分式，其中整式分为单项式和多项式。
3.列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.
列式（或者说列代数式）注意：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；
④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；
⑤带单位时，适当加括号.
4.代数式的值
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
单元考点例题讲析
考点1. 代数式
【例题1】用代数式表示：
(1)m的倒数的3倍与m的平方差的50%；
(2)x的与y的差的；
(3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积．
【例题2】猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜出第六个数是，根据此规律，第n个数是_________．
【例题3】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）
A． B． C． D．
考点2. 求代数式的值
【例题4】当时，代数式的值为7，那么当时，代数式的值是 ．
【例题5】某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是（ ）

A． B． C． D．
【例题6】小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（ ）
A．51 B．251 C．256 D．255
【例题7】若，，，求的值．
【例题8】已知a、b是有理数，且满足，求的值
【例题9】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，则_______；
(2)已知，求代数式的值；
(3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值．
【例题10】赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则：
①取时，直接可以得到；
②取时，可以得到；
③取时，可以得到．
④把②、③的结论相加，就可以得到，结合①的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：
已知，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【例题11】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：

(1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：_____________；
(2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：________________；
(3)若，，求图2中阴影部分的面积．
考点3.代数式表示的实际意义
【例题12】某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以（4x/5-7）元出售，则下列关于代数式（4x/5-7）的含义的描述正确的是（ ）
A. 原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折
C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元
考点4.用代数式表示式子
【例题13】商场搞促销活动，某件商品的原售价为m元，现7折出售，仍获利，则该商品的进价
为（ ）
A． B． C． D．
考点5.用代数式表示探究规律
【例题14】（2024青海省）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有________个火柴棒．
情感态度与价值观教育--数学家事迹
对代数式有贡献的科学家
韦达被西方称为代数之父， 他的贡献主要体现在代数领域。 在数学史上， 韦达的工作对代数式的发展产生了重要影响。 他的贡献不仅体现在理论上的创新， 还包括对代数式应用方面的推动， 使得代数式成为数学中的一个重要分支。 韦达的研究工作， 包括他对代数式的定义、 运算规则以及解决方案的探索， 为后来的数学家提供了坚实的基础和灵感。 因此， 韦达无疑是代数式发展历史上的重要人物.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024--2025学年度人教版数学七年级上册新教材学讲练测讲义
第三章 代数式
专题3. 3 代数式单元基础知识归纳总结
单元课标要求
（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
单元知识点思维导图与题型方法总结
1.代数式概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式.
（1）代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
（2）代数式中不含有=、<、>、≠ 等
（3）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
2.代数式的分类：代数式分为有理式和无理式。有理式分为整式和分式，其中整式分为单项式和多项式。
3.列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.
列式（或者说列代数式）注意：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；
④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；
⑤带单位时，适当加括号.
4.代数式的值
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
单元考点例题讲析
考点1. 代数式
【例题1】用代数式表示：
(1)m的倒数的3倍与m的平方差的50%；
(2)x的与y的差的；
(3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积．
【答案】见解析。
【解析】(1)m的倒数的3倍与m的平方差的50%，用代数式表示为：
50%（3/m -m2）
(2)x的与y的差的，用代数式表示为：
(x-y)
(3)甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数的积，用代数式表示为：
(a-b)/ab
【例题2】猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜出第六个数是，根据此规律，第n个数是_________．
【答案】2n/（2n+3）
【解析】观察分析这组数据的特点发现，分数的分子一次为21、22、23、24、......2n;
分数的分母一次为21+3、22+3、23+3、24+3、......2n+3
根据此规律，第n个数是2n/（2n+3）。
【例题3】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了用字母表示数，设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，现在总人数是（m+r）人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数．
设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，
则完成工作所需的天数为
，故选：D．
考点2. 求代数式的值
【例题4】当时，代数式的值为7，那么当时，代数式的值是 ．
【答案】
【解析】把代入代数式得：，则得到：，即；然后把代入，利用整体代入很容易得到结果．
将代入代数式，
得：，
化简得：，
即，
∴，
将代入代数式，得：，
∴这个代数式的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
【例题5】某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查程序框图，根据“程序恰好操作了三次就停止，”建立不等式求解，即可解题．
由题知，，
解①得：，
解②得：，
综上所述，x的取值情况是，
故选：C．
【例题6】小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（ ）
A．51 B．251 C．256 D．255
【答案】C
【解析】本题主要考查了与程序流程图有关的代数式求值，先把10作为输入的数，计算出的结果，若结果大于200，则输出，若结果不大于200，则把结果作为新数输入继续计算的值，如此重复上述过程直至计算的结果大于200进行输出即可．
当时，，
再把51作为输入的数，则，
∴输出的结果为256．
故选：C．
【例题7】若，，，求的值．
【答案】3
【解析】先整理得到，再把，，，代入计算即可．
，
那么再把，，代入原式为，
即，故答案为：3．
【点拨】本题考查代数式的化简再求值等运算内容，掌握准确的化简方式是解题的关键．
【例题8】已知a、b是有理数，且满足，求的值
【答案】
【解析】根据偶数次幂、绝对值的非负性求出a和b的值，再代入求解．
，，，
，，
，，
．
【点拨】本题考查非负数的性质、求代数式的值，解题的关键是根据偶数次幂、绝对值的非负性求出a和b的值．
【例题9】数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．
例如：已知，，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，则_______；
(2)已知，求代数式的值；
(3)当时，代数式的值为5，则当，时，求代数式的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）根据已知条件先求出的值，再整体代入到所求代数式中计算即可；
（3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中计算即可．
解：∵，即，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴
；
（3）∵当时，代数式的值为5，
即，
∴，
∴当，时，
．
【点拨】本题考查了代数式求值、含乘方的有理数的混合运算，解本题的关键是运用整体代入思想．
【例题10】赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则：
①取时，直接可以得到；
②取时，可以得到；
③取时，可以得到．
④把②、③的结论相加，就可以得到，结合①的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：
已知，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)； (2)； (3)
【分析】（1）根据阅读材料，令，即可得到；
（2）根据阅读材料，令，即可得到
（3）令，得；令，得，两式直接求和即可得到答案．
解：令，得；
（2）解：令，得；
（3）令，得①；
令，得②；
由①②得，结合（1）中，得．
【点拨】本题主要考查代数式求值问题，读懂材料，掌握赋值法，根据所给代数式选择恰当的特殊值，利用整体思想求解是解题的关键．
【例题11】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：

(1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：_____________；
(2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：________________；
(3)若，，求图2中阴影部分的面积．
【答案】(1)①；②；；(2)；(3)．
【分析】（1）①根据题意，求得阴影部分正方形的边长，即可求解；②求得大正方形的面积和四个小长方形的面积，即可求解；
（2）由（1）即可得出恒等式；
（3）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到阴影部分的面积，将，代入，即可求解．
解：①由题意可得，阴影部分正方形的边长为，则面积为，
故答案为：
②大正方形的面积为，
四个长方形的面积为：，
则阴影部分的面积为；
故答案为：；
（2）由（1）可得：，
故答案为：
（3）阴影部分的面积为：
将，代入可得：
原式
．
【点拨】此题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是通过不同方式求解出阴影部分的面积．
考点3.代数式表示的实际意义
【例题12】某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为x元的衣服以（4x/5-7）元出售，则下列关于代数式（4x/5-7）的含义的描述正确的是（ ）
A. 原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折
C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元
【答案】A
【解析】根据代数式的实际意义进行解答即可，准确理解代数式的意义是解题的关键．
将原价x元的衣服以（4x/5-7）元出售就是把原价打8折后再减去7元．
故选：A．
考点4.用代数式表示式子
【例题13】商场搞促销活动，某件商品的原售价为m元，现7折出售，仍获利，则该商品的进价
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题考查列代数式，根据题意可列算式即可求解．
由题意得，该商品的进价为
，
故选：C．
考点5.用代数式表示探究规律
【例题14】（2024青海省）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有________个火柴棒．
【答案】15
【解析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可．
根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒，
第（2）个图形有根火柴棒，
第（3）个图形有根火柴棒，
……
第（n）个图形有根火柴棒，
∴第（7）个图案中有根火柴棒，
故答案为：15
情感态度与价值观教育--数学家事迹
对代数式有贡献的科学家
韦达被西方称为代数之父， 他的贡献主要体现在代数领域。 在数学史上， 韦达的工作对代数式的发展产生了重要影响。 他的贡献不仅体现在理论上的创新， 还包括对代数式应用方面的推动， 使得代数式成为数学中的一个重要分支。 韦达的研究工作， 包括他对代数式的定义、 运算规则以及解决方案的探索， 为后来的数学家提供了坚实的基础和灵感。 因此， 韦达无疑是代数式发展历史上的重要人物.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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