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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第一课时
学习目标：
1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.
2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.
3.能说出什么是一元二次方程的解（根）
老师告诉你
判别一元二次方程的“两方法”
1.根据定义要把握三点：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
2.根据一般形式要把握两点：
①化成ax +bx+c=0的形式，且a≠0，b,c都可以为0
②判断其是否一元二次方程与其有解无解无关。
课堂导练
知识点1.一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
新知导学
【例1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. x2-5x=0 B. x+1=0 C. y-2x=0 D. 2x3-2=0
【例1-2】若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　　．
对应导练
1.下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 0 B.
C. 1 D.
知识点2.一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）。
.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
新知导学
【例2-1】将一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6
对应导练
1.将一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A. -1，3 B. 1，1 C. 1，-3 D. 1，3
2.若关于 的一元二次方程 没有一次项，则 的值为___________．
知识点3..一元二次方程的根
使方程两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
新知导学
【例3-1】已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．
【例3-2】若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．
对应导练
1.若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根，则a的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是（　　）
A. y1=2，y2=-4 B. y1=0，y2=-4 C. y1=3，y2=-3 D. y1=1，y2=-3
知识点4.实际生活中的一元二次方程模型
完整地系统审清题意;
把握住问题中的等量关系;
正确地用代数式表示其等量关系.
【新知导学】
【例4-1】台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，全宿舍共送56张照片，设该宿舍共有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A. x（x+1）=56 B. x（x-1）=56
C. 2x（x+1）=56 D. x（x-1）=56×2
对应导练
1．已知矩形的面积是54cm2，当把这个矩形的长减少1cm,宽增加2cm后，所得四边形是正方形，若矩形的宽为xcm,则根据题意，列方程为 _____．
2．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是 _____．
当堂训练
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. B. ax2+bx+c=0（b≠0）
C. D.
2．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A. 1，3，5 B. 1，-3，0 C. -1，0，5 D. 1，3，0
3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　）
A. a=±2 B. a=-2
C. a=2 D.
4．方程x2-x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 1，1，0 B. 0，1，0 C. 0，-1，0 D. 1，-1，0
5．若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根，则a的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1
6．已知a是方程x2-2x-2023=0的根，则代数式2a2-4a-2的值为（　　）
A. 4044 B. -4044 C. 2024 D. -2024
7．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　）
A. x（x-1）=10 B. =10
C. x（x+1）=10 D. =10
8．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　）
A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若x=2是关于x的方程x2-x+m2-5=0的一个根，则m=_____．
10．写出以x1=4为一个根的一个一元二次方程 _____．
11．若关于的方程是一元二次方程，则________．
12．若关于x的方程（k-1）x|k-3|+2x=3是一元二次方程，则k的值为 _____．
13．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），满足3a-b+c=0，则方程必有一根为_____．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（10分）x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．
15．（6分）把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2=1-3x
（2）5x（x-2）=4x2-3x.
16．（6分）若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a-2）2+|b-3|+=0，试写出这个一元二次方程．
17．（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务．
小明同学在解一元二次方程（x-3）2=x-3时，两边同时除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根为x=4；小华同学的解法是：将x-3移到等号左边，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，进而得到原方程的两个根x1=3，x2=4．
任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断；
任务二：若有不正确，请说明其理由；
任务三：直接写出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根．
18.（8分）已知a是方程的一个根，求代数式的值．
19.（10分）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数：
(2)设．
①请用含的代数式表示与的长；
②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程（解析版）
21.1一元二次方程
第一课时
学习目标：
1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.
2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.
3.能说出什么是一元二次方程的解（根）
老师告诉你
判别一元二次方程的“两方法”
1.根据定义要把握三点：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
2.根据一般形式要把握两点：
①化成ax +bx+c=0的形式，且a≠0，b,c都可以为0
②判断其是否一元二次方程与其有解无解无关。
课堂导练
知识点1.一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
新知导学
【例1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. x2-5x=0 B. x+1=0 C. y-2x=0 D. 2x3-2=0
【答案】A
【解析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A、x2-5x=0是一元二次方程；
B、x+1=0是一元一次方程；
C、y-2x=0是二元一次方程；
D、2x3-2=0不是一元二次方程．
故选：A．
【例1-2】若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　　．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可求出a的值．
【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴a2﹣14＝2且a+4≠0，
解得：a＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
对应导练
1.下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A．
【解析】考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；
②x24＝0属于分式方程；
③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；
④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 0 B.
C. 1 D.
【答案】C
【解析】根据一元二次方程的定义，x的最高次数是2，且二次项系数不等于0，从而得出答案．
解：根据题意得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．
知识点2.一般形式：ax +bx+c=0（a≠0）。
.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
新知导学
【例2-1】将一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【详解】解：3x2﹣3＝6x，
移项得：3x2-6x-3=0，
二次项系数和一次项系数分别是3和-6，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），②找项的系数带着前面的符号．
对应导练
1.将一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A. -1，3 B. 1，1 C. 1，-3 D. 1，3
【答案】C
【解析】先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
解：∵一元二次方程2x2+x=3可得2x2+x-3=0，
∴一次项系数和常数项分别为1，-3；
故选：C．
2.若关于 的一元二次方程 没有一次项，则 的值为___________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式可知一次项为，由方程没有一次项可得，即可得答案．
【详解】∵关于 的一元二次方程 没有一次项，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
知识点3..一元二次方程的根
使方程两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
新知导学
【例3-1】已知a是一元二次方程的根．求代数式的值．
【答案】6
【解析】解：
，
∵a是一元二次方程的根，
∴，即，
∴原式．
【例3-2】若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．
【答案】1
【分析】将代入方程中结合一元二次方程的二次项系数不为即可得出答案．
【详解】解：将代入方程中得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程解的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
对应导练
1.若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根，则a的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1
【答案】C
【解析】将x=1代入方程ax2-a2x=0得到关于a的方程，然后解方程即可．
解：将x=1代入一元二次方程ax2-a2x=0，
得：a-a2=0，
解得：a=0，或者a=1，
∵ax2-a2x=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
∴a=1，
故选：C．
2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是（　　）
A. y1=2，y2=-4 B. y1=0，y2=-4 C. y1=3，y2=-3 D. y1=1，y2=-3
【答案】B
【解析】观察两个方程可得出方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1+1=1，y2+1=-3，进而可求出y1=0，y2=-4．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，
∴关于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1+1=1，y2+1=-3，
∴关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1=0，y2=-4．
故选：B．
知识点4.实际生活中的一元二次方程模型
完整地系统审清题意;
把握住问题中的等量关系;
正确地用代数式表示其等量关系.
【新知导学】
【例4-1】台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，全宿舍共送56张照片，设该宿舍共有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A. x（x+1）=56 B. x（x-1）=56
C. 2x（x+1）=56 D. x（x-1）=56×2
【答案】B
【解析】根据该宿舍人数，可得出每名同学需送出（x-1）张照片，结合全宿舍共送56张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵该宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，且该宿舍共有x名同学，
∴每名同学需送出（x-1）张照片．
根据题意得：x（x-1）=56．
故选：B．
对应导练
1．已知矩形的面积是54cm2，当把这个矩形的长减少1cm,宽增加2cm后，所得四边形是正方形，若矩形的宽为xcm,则根据题意，列方程为 _____．
【答案】x（x+2+1）=54或x（x+3）=54
【解析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的面积=长×宽，根据此列方程即可．
解：这个矩形的宽为xcm,则长为（x+2+1）cm,
根据题意得：x（x+2+1）=54．
∴x（x+3）=54．
故答案为：x（x+2+1）=54或x（x+3）=54．
2．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是 _____．
【答案】x（x-1）=28
【解析】设该中学九年级共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加（x-1）场比赛，则共有 x（x-1）场比赛，可以列出一元二次方程．
解：设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，
故 x（x-1）=28．
故答案为： x（x-1）=28．
当堂训练
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. B. ax2+bx+c=0（b≠0）
C. D.
【答案】C
【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
由这两个条件对四个选项进行逐一判断即可．
解：A、错误，是分式方程；
B、错误，当a=0时，是一元一次方程；
C、正确，符合一元二次方程的定义；
D、错误，是无理方程．
故选：C．
2．把方程x（x+2）=5x化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A. 1，3，5 B. 1，-3，0 C. -1，0，5 D. 1，3，0
【答案】B
【解析】一元二次方程的一般式是：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项；其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．把方程x（x+2）=5x化成一般式，问题可求．
解：∵x（x+2）=5x,∴x2+2x-5x=0，
∴x2-3x=0；∴a=1，b=-3，c=0．
故选：B．
3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　）
A. a=±2 B. a=-2
C. a=2 D.
【答案】C
【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：根据题意得，解得a=2．
故选：C．
4．方程x2-x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 1，1，0 B. 0，1，0 C. 0，-1，0 D. 1，-1，0
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
解：方程x2-x=0的二次项系数是1，一次项系数为-1，常数项为0．
故选：D．
5．若1是关于x的一元二次方程ax2-a2x=0的一个根，则a的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1
【答案】C
【解析】将x=1代入方程ax2-a2x=0得到关于a的方程，然后解方程即可．
解：将x=1代入一元二次方程ax2-a2x=0，
得：a-a2=0，
解得：a=0，或者a=1，
∵ax2-a2x=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
∴a=1，
故选：C．
6．已知a是方程x2-2x-2023=0的根，则代数式2a2-4a-2的值为（　　）
A. 4044 B. -4044 C. 2024 D. -2024
【答案】A
【解析】先根据一元二次方程解的定义得到a2-2a=2023，再把2a2-4a-2变形为2（a2-2a）-2，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程x2-2x-2023=0的根，
∴a2-2a-2023=0，
即a2-2a=2023，
∴2a2-4a-2=2（a2-2a）-2=2×2023-2=4046-2=4044．
故选：A．
7．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　）
A. x（x-1）=10 B. =10
C. x（x+1）=10 D. =10
【答案】B
【解析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x-1）次，x人共需握手x（x-1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．
解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x-1（次）；
依题意，可列方程为：=10；
故选：B．
8．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2．则这个两位数是（　　）
A. 64 B. 75 C. 53或75 D. 64或75
【答案】D
【解析】可设个位数字为x,则十位上的数字是（x+2）．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积+40=这个两位数．
解：设个位数字为x,则十位上的数字是（x+2），根据题意得
x（x+2）+40=10（x+2）+x,
整理，得x2-9x+20=0，即（x-4）（x-5）=0，
解得 x1=4，x2=5（不合题意，舍去），
当x1=4时，x+2=6，这个两位数是64；
当x1=5时，x+2=7，这个两位数是75．
答：这两位数是64或75．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若x=2是关于x的方程x2-x+m2-5=0的一个根，则m=_____．
【答案】
【解析】把x=2代入关于的x方程x2-x+m2-5=0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
解：∵x=2是关于的x方程x2-x+m2-5=0的一个根，
∴22-2+m2-5=0，
解得 m=±．
故答案为：±．
10．写出以x1=4为一个根的一个一元二次方程 _____．
【答案】x2-4x=0（答案不唯一）
【解析】根据一元二次方程解的定义，以及一元二次方程的定义即可求解．
解：依题意得x2-4x=0，
解得x1=4，x2=0，
故答案为：x2-4x=0（答案不唯一）．
11．若关于的方程是一元二次方程，则________．
【答案】
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行分析即可．
解：由关于x的方程是一元二次方程，得
|k|+1=2且k-1≠0．
解得k=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
12．若关于x的方程（k-1）x|k-3|+2x=3是一元二次方程，则k的值为 _____．
【答案】5
【解析】根据一元二次方程的定义即可求解．
解：依题意得：|k-3|=2且k-1≠0，
解得k=5．
故答案是：5．
13．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），满足3a-b+c=0，则方程必有一根为_____．
【答案】-3
【解析】把x=-3代入方程ax2+bx+c=0能得9a-3b+c=0，即可得出答案．
解：当把x=-3代入方程ax2+bx+c=0能得出9a-3b+c=0，即3a-b+c=0，
即方程一定有一个根为x=-3，
故答案是：-3．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（10分）x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．
【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．
解：∵x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，
∴①，解得；
②，解得；
③，解得；
④，解得；
⑤，解得．
综上所述，，，，．
15．（6分）把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2=1-3x
（2）5x（x-2）=4x2-3x.
【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
解：（1）2x2=1-3x一般形式为2x2+3x-1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1；
（2）5x（x-2）=4x2-3x.一般形式为x2-7x=0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0．
16．（6分）若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a-2）2+|b-3|+=0，试写出这个一元二次方程．
【解析】根据非负数的和等于零，可得每个非负数同时为零，可得a、b、c的值，根据二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案．
解：由（a-2）2+|b-3|+=0，得
，
解得，
关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，得4x2+3x-7=0．
17．（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务．
小明同学在解一元二次方程（x-3）2=x-3时，两边同时除以x-3，得到x-3=1，于是得到原方程根为x=4；小华同学的解法是：将x-3移到等号左边，得到（x-3）2-（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（x-3-1）=0即x-3=0或x-4=0，进而得到原方程的两个根x1=3，x2=4．
任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断；
任务二：若有不正确，请说明其理由；
任务三：直接写出方程（x-5）3-4（x-5）2=0的根．
【解析】任务一：根据解题过程即可判断；
任务二：当x-3=0时，方程的两边不能同时除以x-3．
任务三：移项后分解因式，即可得出三个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：任务一：小明同学的解法错误；小华同学的解法正确；
任务二：当x-3=0时，方程的两边不能同时除以x-3．
任务三：（x-5）3-4（x-5）2=0，
（x-5）2（x-5-4）=0，
x-5=0或x-9=0，
解得：x1=x2=5，x3=9．
18.（8分）已知a是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】，3
【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：
，
∵a是方程的一个根，
∴，
即．
∴原式．
【点评】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
19.（10分）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数：
(2)设．
①请用含的代数式表示与的长；
②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
【答案】（1）；（2）①，；②是，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，
，
又，
是等边三角形．
．
（2）①∵
又，
．
②∵
∴线段的长是方程的一个根．
若与的长同时是方程的根，则，
即，
，
，
∴当时，与的长同时是方程的根．
【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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