资源简介

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
分层练习
一、单选题
r r r r
1．（2022 秋·河南许昌·高二校考期中）已知空间向量 a = -1,0,2 ，b = 1,2,-3 ，则 a - 2b =（ ）
A． -2, -2,1 B． -2, -2,5 C． -3, -4,8 D． -3, -4, -4
【答案】C
r r
【详解】因为 a = -1,0,2 ，b = 1,2,-3 ，
r r
所以 a - 2b = (-1,0,2) - 2(1,2, -3) = (-3, -4,8)，
故选：C
2 r
r r r r r
．（2021·高二单元测试）已知 a = (2,-1,3),b = (-1,4,-2),c = (7,5,l),若{a,b ,c}不能构成空间的一个基底，则
实数 λ 的值为（ ）
35 65
A．0 B． C．9 D．
7 7
【答案】D
r r r∵{a,b ,cr} ∴ ar,b ,cr cr r
r
【详解】 不能构成空间的一个基底， 共面，则 = xa + yb ，其中 x，y∈R，则(7，5，λ)=(2x，
-x，3x)+(-y，4y，-2y)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)，
ì
x
33
= ，
ì7 = 2x - y， 7

∴ í5 = -x + 4y
17
，解得 íy = ，
7
l = 3x - 2y， 65
l = . 7
故选：D.
r r r r
3．（2021·高二单元测试）已知向量 a = -2,3,1 ，b = 1, -2,4 ，则 a + b =（ ）
A． -1,1,5 B． -3,5,-3 C． 3, -5,3 D． 1, -1, -5
【答案】A
r r r r
【详解】因为 a = -2,3,1 ，b = 1, -2,4 .所以 a + b = -1,1,5 .
故选：A
r r r r
4．（2022 秋·广西钦州·高二浦北中学校考期中）已知空间向量 a = (1,-3,2) ，若空间向量b 与 a 平行，则b 的
坐标可能是（ ）
A． (1,3,3)
1 , 3B． - ,
1
- C (-1, -3,2) D
è 4 4 2 ÷
． ． ( 2,-3,-2 2)

【答案】B
【详解】两向量平行，对应坐标成比例，
ar (1, 3, 2) 1 3 1因为 = - = -4(- , ,- ) ，
4 4 2
故选：B .
r r
5 2
r
．（2022·全国·高二专题练习）已知向量 a = l,- 2,0 ，b = 1+ l,1,l ，若 ar ^ b ，则实数l 的值为（ ）
A．1 B．1 或-2 C．-2 D．2
【答案】B
r r
【详解】∵向量 a
r
= l,- 2,0 ，b = 1+ l,1,l 2 r， a ^ b ，
r
∴ ar ×b = l(1+ l) - 2 = 0，
解得l = 1或l = -2 ．
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥E - ABCD，底面 ABCD是边长为 3 的正方形， AE ^ 面
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
ABCD 1，EQ = 2QD ，EP = 2PB ，ER = RC ，若RP = RQ = 6 ，则四棱锥E - ABCD外接球表面积为2
（ ）
A． 44p B．54p C．176p D．216p
【答案】B
【详解】以A 为坐标原点，以 AD ， AB ， AE 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，设
AE = h，
则 A 0,0,0 ，B 0,3,0 ，C 3,3,0 ，D 3,0,0 ，E 0,0,h ，
P 0,2, h 则 ÷ ，Q
2,0, h 2h
3 ÷
，R 1,1, ，
è è 3 è 3 ÷
uuur uuur h2
于是 PR = QR = 2 + ，
9
h2
则 2 + = 6 ，∴ h = 6，四棱锥E - ABCD外接球直径为 EC = 32 + 32 + 62 = 54 ，故其表面积为
9
4p r 2 = p EC 2 = 54p ．
故选：B.
二、多选题
r r
7．（2021·高二课时练习）对于任意非零向量 a = x1, y1, z1 ，b = x2 , y2 , z2 ，以下说法错误的有
r r
A．若 a ^ b，则 x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0
r r x y
B 1 = 1
z
= 1．若 a//b ，则 x2 y2 z2
r r
cos < a,b x1x>= 2 + y1 y2 + z1z2C． x2 + y2 + z2 × x21 1 1 2 + y
2
2 + z
2
2
r
D．若 x1 = y1 = z1 =1，则 a为单位向量
【答案】BD
r r r r
【详解】对于 A 选项，因为 a ^ b，则 a ×b = x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0，A 选项正确；
r r x
B x = 0 y 0 z 0 1对于 选项，若 2 ，且 2 ， 2 ，若 a//b ，但分式 x 无意义，B 选项错误；2
r r x1x2 + y1 y2 + z1z2
对于 C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知 cos < a,b >= Cx21 + y
2
1 + z
2
1 × x
2 y2 z2 ， 选项正确；2 + 2 + 2
r
2 2 2 r
对于 D 选项，若 x1 = y1 = z1 =1，则 a = 1 +1 +1 = 3，此时， a不是单位向量，D 选项错误.
故选：BD.
r r
8．（2023 秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末）已知向量 a = (1, -1, m)，b = (-2,m -1,2)，则下列结论
中正确的是（ ）
r
A．若 | a |= 2，则m = ± 2
r
B ar．若 ^ b ，则m = -1
r rC．不存在实数 ，使得 a = lb
r r r
D．若 ar ×b = -1，则 a + b = (-1,-2,2)
【答案】ACD
r
【详解】对于 A 项，由 | a |= 2 可得 12 + (-1)2 + m2 = 2，解得m = ± 2 ，故 A 项正确；
r r r r
对于 B 项，由 a ^ b可得 a ×b = -2 +1- m + 2m = 0 ，解得m =1，故 B 项错误；
ì 1 = -2l
r r r r
对于 C 项，假设存在实数l ，使得 a = lb，则 í-1 = l(m -1) l ，所以不存在实数l ，使得 a = lb，故

m = 2l
C 项正确；
r r r r
对于 D 项，由 a ×b = -1可得-2 +1- m + 2m = -1，解得m = 0，所以 a + b = (-1,-2,2)，故 D 项正确.
故选：ACD.
三、填空题
r r
9．（2022 秋·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期中）设 x, y R ，向量 a = 3,2,1 ，b = 1, x,1 ，
r r r r r r r
c = y, 4, 2 ，且 a ^ b， a∥c ，则 c - 2b = ______.
【答案】 4 5
r r
a b ar
r r r r y 4 2
【详解】根据 ^ 可得 ×b=3 + 2x +1 = 0，故 x = -2，此时b = 1, -2,1 ，由 a∥c 可得 = = ，故 y = 6，3 2 1
r r r
此时 c = 6,4,2 ，于是 cr r- 2b = 4,8,0 故 c - 2b = 4,8,0 = 42 +82 =4 5 .
故答案为： 4 5
10．（2020·高二课时练习）空间直角坐标系中与点P 2,3,5 关于 yoz平面对称的点为P ，则点P 的坐标为
_____________．
【答案】 -2,3,5
【详解】试题分析：一般的，在空间直角坐标系中，若点M 的坐标是M x, y, z ，设点M 关于关于 yoz平
面对称的点为M1 ，那么点M1 的坐标是 -x, y, z ，因此空间直角坐标系中与点P 2,3,5 关于 yoz平面对称的
点P 的坐标为 -2,3,5 ,故答案填 -2,3,5 .
r r r r
11．（2022·高二课时练习）若 a = 2, 3, -1 ，b = 2, 0, 3 ，则 a - b 的值为_______
【答案】5
r r r r
【详解】因为 a = 2, 3, -1 ，b = 2, 0, 3 ，所以 a - b = 0,3, -4 ，
r r
a - b = 02 + 32 + -4 2所以 = 5，
故答案为：5 .
12．（2023·全国·高三对口高考）设点C 2a +1, a +1,2 在点 P 2,0,0 、A 1,-3,2 、B 8,-1,4 确定的平面上，
则实数a = _________．
【答案】16
uuur uuur uuur
【详解】由已知得：PC = 2a -1, a +1, 2 , PA = -1, -3, 2 , PB = 6, -1, 4 ；
uuur uuur uuur
因为 A, B,C, P四点在同一平面上，所以存在 x, y R ，使得PC = xPA + yPB ,
所以 2a -1,a +1,2 = x -1, -3,2 + y 6, -1,4 = -x + 6y, -3x - y, 2x + 4y ,
ì2a -1 = -x + 6y

所以 í a +1 = -3x - y ,解得 a =16 .

2 = 2x + 4y
故答案为：16 .
一、单选题
1．（2023 春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点 (-2,1,4)关于 x 轴对称的点坐标是（ ）
A． (-2,1, -4) B． (2,1,-4) C． (-2,-1,-4) D． (2,-1,4)
【答案】C
【详解】在空间直角坐标系中，点 (-2,1,4)关于 x 轴对称的点坐标为 (-2,-1,-4) .
故选：C.
r r r r r r
2．（2022·高二课时练习）已知 a = 1,0,1 ，b = x,1, 2 ，且 a ×b = 3，则向量 a 与b 的夹角为（ ）
A．30o B．60o C．120o D．150o
【答案】A
r r r r
【详解】由已知可得 a ×b = x + 2 = 3，可得 x =1，\ a = 2 ， b = 1+1+ 4 = 6 ，
r r r r
所以， cos < a,b
a ×b 3 3
>= r r = =
a × b 2 6 2 ，
r r r r
Q0o < a,b > 180o，因此，< a,b >= 30o .
故选：A.
ur uur ur r uur ur r
3．（2021 秋·云南昭通·高一校考阶段练习）设 e1 ， e2 ， e3 为空间的三个不同向量，如果l1e1 + l2 e2 + l3 e3 = 0
ur uur ur r
成立的等价条件为l1 = l2 = l3 = 0，则称 e1 ， e2 ， e3 线性无关，否则称它们线性相关.若 a = 2,1,-3 ，
r r
b = 1,0,2 ， c = 1,-1,m 线性相关，则m =（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】A
【详解】依题意，三个向量线性相关，则存在不全为 0 的实数 x ， y ， z ，
r r r r
使得 xa + yb + zc = 0成立，
ì2x + y + z = 0
ì2x + y + z = 0
故 íx - z = 0 ，由 í 得 x = z ， y = -3z ，代入-3x + 2y + mz = 0，得 m - 9 z = 0，由于 x ，
-3x + 2y + mz = 0
x - z = 0

y ， z 不全为 0.故 z 0 ，则m = 9 .
故选：A
4．（2022 秋·广东·高二统考阶段练习）已知空间三点 A(4,1,9), B(10,-1,6),C(2,4,3)，则下列结论不正确的是
（ ）
A． | AB |=| AC | B．点P(8,2,0) 在平面 ABC 内
uuur uuur 3
C． AB ^ AC D ．若 AB = 2CD ，则 D 的坐标为 1,-5,- ÷
è 2
【答案】D
【详解】因为 | AB |= 62 + (-2)2 + (-3)2 = 7， | AC |= (-2)2 + 32 + (-6)2 = 7 ，故 A 正确；

因为 AB× AC = (6,-2, -3) × (-2,3,-6) = -12 - 6 +18 = 0，所以 AB ^ AC ，故 C 正确;

因为 AB = (6, -2, -3) , AC = (-2,3, -6)， AP = (4,1,-9)，所以 AP = AB+ AC = (4,1,-9)，所以点P(8,2,0) 在平面
ABC 内，故 B 正确；
uuur uuur
因为 AB = (6, -2, -3),2CD = 2(-1, -9,
9
- ) = (-2, -18, -9)，显然不成立，故 D 错误.
2
故选：D
二、多选题
r r
5．（2023 秋·福建三明·高二统考期末）在空间直角坐标系O- xyz中，已知向量 a = 1, m, -1 ，b = 2n,1, 2 .以
r r
下各组值中能使得 a ^ b的是（ ）
1
A．m = - ， n = -1 B．m = 0， n =1
2
1
C．m =1， n = D．m = 2 ， n = -2
2
【答案】BC
r r r r r r
【详解】向量 a = 1, m, -1 ，b = 2n,1, 2 ，于是 a ^ b当且仅当 a ×b = 2n + m - 2 = 0，即m + 2n = 2 ，
1 5
对于 A，当m = - ， n = -1时，m + 2n = - 2，A 不是；
2 2
对于 B，当m = 0， n =1时，m + 2n = 2 ，B 是；
n 1对于 C，当m =1， = 时，m + 2n = 2 ，C 是；
2
对于 D，当m = 2 ， n = -2时，m + 2n = -2 2，D 不是.
故选：BC
6．（2022 秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）下列说法中正确的是（ ）
r r r r
A．已知空间向量 a，b ，向量 a
r P b 是 ar = lb 的充要条件
r r r r
B． a = (x, -2,5)，b = (1, y,-3)，若 a 与b 共线，则 xy = -2
r r r uuur r r uuur uuur r rC．空间向量 a，b ， c不共面，且 AB = a + b ，BC r r= a + c ，CD = b - c，则 A，B，C，D 四点共面
r r r r ur
D． a = (1,0,1) ，b = (2,-4,6) ，b 在 a 方向上的投影向量为b = (4,0, 4)
【答案】BD
r r r
【详解】对于 A.当 ar为非零向，b r= 0时， a lb ，故 A 错误；
r r x -2 5
= = x 5 y 6对于 B.若 a 与b 共线，则 ，得 = - ， = ， xy = -21 y 3 ，故 B 正确；- 3 5
uuur r r uuur uuur uuur r r uuur uuur uuur r
对于 C. AB = a + b r， AC = AB + BC = 2a + b + c， AD = AC + CD = 2ar + 2b
r r r uuur uuur uuur
因为 a，b ， c不共面，所以不存在有序实数对 (x, y)使得 AC = xAB + y AD，
uuur uuur uuur
因此 AC、AB、AD不共面，故 A，B，C，D 四点不共面，故 C 错误；
r r
a ×b 8 2 7
对于 D. cosq = r r = =a × b 2 56 7 ，
r
r r ur r a
b 在 a 方向上的投影向量为b = b cosq r = 4,0,4 a ，故 D 正确.
故选:BD
三、填空题
uuur
7．（2022 春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间三点 A 1, -1, -1 ，B -1, -2,2 ，C 2, -4,1 uuur，则 AB 与 AC
的夹角q 的大小是______．
p
【答案】 / 60°
3
uuur uuur
【详解】因为 AB = -2, -1,3 ， AC = uuur uuur1,-3,2 ，所以 AB × AC = -2 + 3 + 6 = 7
uuur uuur
所以 AB = -2 2 + -1 2 + 32 = 14 2， AC = 12 + -3 + 22 = 14
uuur uuur
cosq uAB × A所以 = uur uu
Cur 7 1= =
AB × AC 14 14 2
p
因为q 0,p ，所以q =
3
p
故答案为：
3
r r r
8．（2023 春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知 a = 1, -2, -1 ，b = -1, x -1,1 ，且 a 与
r
b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是______.
【答案】 0,3 3, +
r r
【详解】因为 a 与b 的夹角q 为钝角，
r r r r
所以a ×b < 0且 a 与b 不共线，
r r
因为 a = 1, -2, -1 ，b = -1, x -1,1 ，
r r
a b 1 2 x -1 x -1所以 × = - - -1 -1 < 0，且 ，
1 -2
解得 x > 0，且 x 3，
所以 x 的取值范围是 0,3 3, + .
故答案为： 0,3 3, + .
9．（2022·高二单元测试）已知空间三点O 0,0,0 ， A -1,1,0 ，B 0,0,1 ，在直线 OA 上有一点 H 满足
BH ^ OA，则点 H 的坐标为______．
【答案】 0,0,0
【详解】解：因为O 0,0,0 ， A -1,1,0 ，B 0,0,1 ，
uuur
所以OA = -1,1,0 ，且点 H 在直线OA上，
uuur uuur uuur uuur
所以OH //OA，所以存在实数l 使得OH=lOA，
uuur
设H x, y, z ，则OH = x, y, z ，所以 x, y, z = l -1,1,0 ，
ìx = -l

可得 íy = l ，即H -l,l,0 ，

z = 0
uuur uuur
又因为BH ^ OA，所以BH ×OA = 0，
uuur uuur
因为BH = -l,l, -1 ，OA = -1,1,0 ，
所以l + l = 0，可得 l = 0 ，
所以点H 0,0,0 ，
故答案为： 0,0,0
四、解答题
10．（2022 秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期中）已知空间向量
r r r ra = x, 4, 2 ,b = 3, y,-1 ,cr r r= 1,1, z , a∥b ,b ^ c .
(1)求 x, y, z；
r r
(2)求 c 与b r+ c 所成角的余弦值.
【答案】(1) x = -6, y = -2, z =1
(2) 51
17
1 ar
r x 4 2
【详解】（ ）由 P b ，可得 = =3 y 1，解得
x = -6, y = -2，
-
r
由b ^ cr，可得3 1+ y 1- z = 0，解得 z =1，
所以 x = -6, y = -2, z =1.
r r
（2）由（1）可得 c = 1,1,1 b cr， + = 4, -1,0 ，
r r
c 3 b cr所以 = ， + = 17 ，
r
r c
r
× b r+ c
所以 cos c
r,b cr r 1 4 +1 (-1) + 0 51+ = = =
cr b cr+ 3 17 17
11．（2022·高二课时练习）棱长为 2 的正方体中，E、F 分别是DD1、DB 的中点，G 在棱 CD 上，且
CG 1= CD，H3 是
C1G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF ^ B1C ；
uuur uuuur
(2)求 cos < EF ,C1G >；
(3)求FH 的长．
【答案】(1)证明见解析;
(2) 30 ;
15
(3) 22 .
3
【详解】（1）解：如图，以D为原点，DA, DC, DD x, y, z1 分别为 轴，建立空间直角坐标系D - xyz ，
则D(0,0,0), E(0,0,1), F (1,1,0),C(0, 2,0),C1(0, 2, 2), B1(2, 2, 2),G(0,
4 ,0) ,
3
uuur uuur
因为EF = (1,1, -1), B1C = (-2,0, -2) ，
uuur uuur
所以EF × BC = (1,1, -1) × (-2,0,-2) =1 (-2) +1 0 + (-1) (-2) = 0，
uuur uuur
所以EF ^ B1C ，
故EF ^ B1C ；
uuuur 2 uuuur 2 10
（2）解：因为C1G = (0, - ,-2) ，所以3 | C1G |= 3
uuur uuur uuuur 2 2 4
因为 | EF |= 3 ，且EF ×C1G = (1,1,-1) × (0,- , -2) = 2 - = ,3 3 3
uuur uuuur uuur uuuur
4
cos EF ,C G EF ×C< >= uuur uu1Guur 3 4 3 2 30所以 1 = = × = =| EF || C ；1G | 3 153 2 10 2 30 30×
3
5
（3）解：因为 H 是C1G 的中点，所以H (0, ,1)3
又因为F (1,1,0) ，
uuur 2
所以HF = (1, - ,-1) ,
3
uuur
| FH |= 12 + ( 2)2 22 22- + (-1)2 = = .
3 9 3
FH 22即 = .
3
r r
12．（2023 春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知空间向量 a = 1,0,1)，b = 2, -1,0)，
r
c = l + 4, - l,l)．
r r r
(1)若 ( a + b ) / / c，求l ；
r r r r
(2)若 ka + b与 2a - b 相互垂直，求 k ．
【答案】(1) l = 2
1
(2)k =
2
r r
1 Q r
r r
【详解】（ ） a + b = ( 3,-1,1)， (a + b) / /c
r r r
\( a + b ) = mc ，m R ，
即3 = m l + 4)，且-1 = -ml ，1 = ml ，解得l = 2；
r r r r
（2）Qka + b = (k + 2,-1, k) ， 2a - b = ( 0,1,2 )，
r r r r 1
又Q( ka + b ) ×( 2a - b ) = 2k -1 = 0，解得k = ．
2
一、单选题
1．（2022 秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为
2， P 为正方形底面 ABCD内的一动点，则下列结论不正确的有（ ）
A．三棱锥B1 - A1D1P 的体积为定值
B．若D1P ^ B1D ，则 P 点在正方形底面 ABCD内的运动轨迹是线段 AC
C．若点 P 是 AD 的中点，点Q是BB1的中点，过 P ，Q作平面a ^平面 ACC1A1 ，则平面a 截正方体
ABCD - A1B1C1D1 的截面周长为 6 2
D．存在点 P ，使得D1P ^ AD1
【答案】D
1 1 4
【详解】对 A：如图 1，三棱锥B1 - A1D1P 的体积VB - A D P = VP- A B = 2 2 2 = （定值），A 正确；1 1 1 1 1D1 3 2 3
对 B：如图 2，连接 AD1, AC,CD1, BD, B1D1，
∵ ABCD为正方形，则 AC ^ BD ，
又∵ DD1 ^平面 ABCD， AC 平面 ABCD，
∴ AC ^ DD1
BD I DD1 = D，BD, DD1 平面BDD1B1，
∴ AC ^平面BDD1B1，B1D 平面BDD1B1，
∴ AC ^ B1D ，
同理可证： AD1 ^ B1D ，
AC I AD1 = A， AC, AD1 平面 ACD1，
∴ B1D ^平面 ACD1，平面 ACD1 平面 ABCD = AC ，
故点 P 在正方形底面 ABCD内的运动轨迹是线段 AC ，B 正确；
对 C：∵ AA1 ^ 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，
∴ AA1 ^ BD ，
又∵ AC ^ BD ， AC∩AA1 = A， AC, AA1 平面 ACC1A1 ，
∴ BD ^平面 ACC1A1 ，则BD P 平面a ，
取 AB 的中点G ，连接PG ，则BD∥PG ，
∴ PG 平面a ，
取DD1, B1C1,C1D1的中点H , E, F ，根据面面平行的性质定理分析可得平面a 截正方体 ABCD - A1B1C1D1 的截
面为PGQEFH ，且PGQEFH 是边长为 2 的正六边形，故周长为 6 2 ，C 正确；
对 D：如图 4，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 A 2,0,0 , D1 0,0,2 ，
uuuur uuuur
设P x, y,0 , x, y 0,2 ，则 AD1 = -2,0,2 , D1P = x, y, -2 ，
uuuur uuuur
若D1P ^ AD1，则 AD1 × D1P = -2x - 4 = 0，解得 x = -2，不合题意，D 错误；
故选：D.
2．（2022 秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知空间直角坐标系O- xyz中，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1, 2,3),OB = (2,1, 2),OP = (1,1, 2) ，点Q在直线OP上运动，则当QA ×QB 取得最小值时，点Q的坐标为
（ ）
1 3 1 1 3 3 4 4 8 1 3 7
A． ( , , ) B． ( , , ) C． ( , , ) D． ( , , )
2 4 3 2 2 4 3 3 3 2 4 3
【答案】C
uuur uuur uuur uuur
【详解】因点 Q 在直线OP上运动，则OQ//OP，设OQ = tOP = (t, t, 2t)，于是有Q(t, t, 2t)，
uuur uuur
因为OA = (1,2,3) ，OB = (2,1,2)，所以 A 1,2,3 ，B 2,1,2 ，
uuur uuur
因此QA = (1- t, 2 - t,3 - 2t)，QB = (2 - t,1- t, 2 - 2t)，
uuur uuur
于是得QA ×QB = (1- t)(2 - t) + (2 - t)(1- t) + (3 - 2t)(2 - 2t)
2
= 6t 2 -16t 10 6 t 4+ = - 2 - ，
è 3 ÷ 3
4 uuur uuur 2 4 4则当 t = 时， QA ×QB = - ，此时点 Q , , 8 3 3 3 ÷ ，3 min 3 è
uuur uuur 4 4 8
所以当QA ×QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为 , ,3 3 3 ÷
.
è
故选：C
ur ur r r uur ur r r uur ur r r uur ur r r ur r r
3．（2016·高二课时练习）设 a1 = 2m - j + k, a2 = m + 3 j - 2k, a3 = -2m + j - 3k, a4 = 3m + 2 j + 5k （其中m, j, k 是
uur ur uur uur
两两垂直的单位向量），若 a4 = la1 + ma2 +n a3 ，则实数l, m,n 的值分别是
A．1,-2,-3 B．-2,1, -3 C．-2,1,3 D．-1,2,3
【答案】B
uur ur r r ur r r ur r r ur r r
【详解】由题意得 a4 = 2lm - l j + lk + mm + 3m j - 2mk - 2n m +n j - 3n k = 3m + 2 j + 5k
ì2l + m - 2n = 3 ìl = -2

因此 í-l + 3m +n = 2

解得 ím =1

l - 2m - 3n = 5 n = -3
故选：B.
v v v
4．（2018·高三单元测试）已知 a＝ 2,3，－4 ，b＝ －4，－3，－2 ，b 1 v v＝ x－2a ，则 x 等于(　　)
2
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
【答案】B
v v v
【详解】由题 a＝ 2,3，－4 ，b＝ －4，－3，－2 ， 设 x = w, y, z
v
b 1 xv 2av
1 1 1 1
则由 ＝ － ，可得 －4，－3，－2 = w, y, z －2 2,3，－4 = w, y, z － 4,6，－8
2 2 è 2 2 2 ÷
4 3 2 1 1 1 － ，－ ，－ = w - 4, y - 6, z + 8÷， 解得w = 0, y = 6, z = -20，即
è 2 2 2
xv = 0,6，－20 .
故选 B.
5．（2023·江西·校联考二模）在四棱锥P- ABCD中，棱长为 2 的侧棱PD垂直底面边长为 2 的正方形
ABCD，M 为棱PD的中点，过直线 BM 的平面a 分别与侧棱PA、PC 相交于点E 、F ，当PE = PF 时，
截面MEBF 的面积为（ ）
A． 2 2 B．2 C．3 3 D．3
【答案】A
【详解】由题意，PD ^平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形，
如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，
uuur uuuur
则C 0,2,0 ，P 0,0,2 ， A 2,0,0 ，M 0,0,1 ，B 2,2,0 ，PA = 2,0,-2 ，BM = -2, -2,1 ，
uuur uuur
设PE = tPA = 2t,0, -2t ，0 t 1，则E 2t,0, 2 - 2t ，
uuur uuur
又PE = PF ，PA = PC ，所以PF = tPC = 0,2t, -2t ，则F 0,2t, 2 - 2t ，
uuuur uuur uuur
由题意，M、E、B、F 四点共面，所以BM = xBE + yBF ，
ì-2 = (2t - 2)x - 2y
3 2
所以 í-2 = -2x + (2t - 2)y ，解得 x = y = , t = ，
4 3
1 = (2 - 2t)x + (2 - 2t)y
uuur uuur
所以E
4 ,0, 2 F 4 2 2 ÷， 0, , ÷，所以BE = - , -2,
2 , BF = 2, 2 , 2- -
è 3 3
，
è 3 3 ÷ è 3 3 è 3 3 ÷
28
uuur uuur uuur uuur
所以 cos BE, BF
B
= uuEur ×uBuFur 7= 9 =
4 4 4 4 11，即 cos EBF
7
=
BE BF ，4 + + × 4 + + 11
9 9 9 9
所以 sin EBF = 1- cos2 EBF 6 2 = ，
11
S 1所以 VEBF = BE BF sin EBF
1 44 6 2 4 2
= = ，
2 2 9 11 3
uuur
ME 4 ,0, 1
uuur 4 1
又 =

-3 3 ÷
, MF = 0, ,- ÷，
è è 3 3
uuur uuur uuur uuur
1
cos ME, MF MuuuEr ×uMuuF 9 1所以 = r = =16 1 16 1 17 ，即 cos EMF
1
=
ME MF ，+ 0 + × 0 + + 17
9 9 9 9
所以 sin 12 2 EMF = 1- cos2 EMF = ，
17
1
所以 SVEMF = ME MF sin EMF
1 17 12 2 2 2
= = ，
2 2 9 17 3
所以截面MEBF S S 4 2 2 2的面积为 = VEBF + SVEMF = + = 2 2 .3 3
故选：A
二、多选题
6．（2022 秋·广东佛山·高二顺德一中校考阶段练习）已知空间三点： A(0,0,0), B(0, 3,1),C(0, 3,-1)，设
r uuur r uuur r uura = AB,b = BC,c = CA，则下列命题正确的是（ ）
A r r
r r
．a + c + b = 0
r r cr
B．b 在 c方向上的投影向量等于 2
C．VABC是等边三角形
r
r b r r cr r
D a + ×b + b + c
r r a r
． 2 ÷ 2 ÷
× + c + ÷ × a = 0
è è è 2
【答案】ACD
r uuur r uuur r uuur
【详解】 a = AB = 0, 3,1 ，b = BC = 0,0, -2 ， c = CA = 0, - 3,1 ，
r r r r
所以 a + c + b = 0 ，故选项 A 正确；
r r r r r
r r b ×c c -2 c c
b 在 c方向上的投影向量等于 r × r = = -c c 2 2 2 ，故选项 B 不正确；
uuur uuur uuur
AB = 3+1 = 2， BC = 2， CA = 3+1 = 2，所以VABC是等边三角形，故选项 C 正确；
r rb r
r
c 3 1
3 3
a + = 0, 3,1 + 0,0,-1 = 0, 3,0 ，b + = 0,0, -2 + 0, - , =2 2 2 ÷÷ 0, - , - ÷2 2 2 ÷ ，è è
r ra c + = 0, - 3,1 + 0,
3 , 1 3 3
2 2 2 ÷÷
= 0, - , ÷÷，
è è 2 2
r
r
r r
r r r r r
所以 a
b c
+ ÷ ×b + b + ÷ ×c + c
a 3 3 3 3
+ ÷ ×a = 0 + - - + = 0 ，故选项 D 正确.
è 2 è 2 è 2 2 2 2 2
故选：ACD
三、填空题
r r r r r r
7．（2022·高二课时练习）已知 a = 2,-1,3 ，b = -1,4, -2 ， c = 3,2,l ，若 a，b ， c三向量共面，则实数
l 等于__________.
【答案】 4
r r r
【详解】解：Q a = (2
r r r
， -1，3)， b = (-1，4， -2)， c = (3，2，l)，且 a，b ， c 三向量共面，
r r r\设 c = ma + nb ，
\(3，2，l) = (2m - n， -m + 4n，3m - 2n) ，
ì2m - n = 3
\ í-m + 4n = 2，

3m - 2n = l
解得m = 2 ， n =1，l = 4．
故答案为： 4．
8．（2023 秋·福建福州·高二校联考期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另
一条直线距离的最小值.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，直线 AD1 与 A1C1之间的距离是
__________.
3
【答案】
3
【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 A 1,0,0 , D1 0,0,1 , A1 1,0,1 ,C1 0,1,1 ，
uuur uuuur
可得 AD1= -1,0,1 , A1C1 = -1,1,0 ，
uuur uuur uuur uuuur uuur
设 AM = l AD1, A1N = m A1C1, M x0 , y0 , z0 , N x1, y1, z1 ，则 AM = x0 -1,0, z0 ，
ìx0 -1 = -l ìx0 =1- l

可得 íy0 = 0

，即 íy0 = 0 ，

z0 = l z0 = l
故M 1- l,0,l ，
同理可得： N 1- m, m,1 ，
2
则 MN = l - m 2 + m 2 + l -1 2 = 2m 2 - 2lm + l 2 + l -1 2 l + l -1 2 ，
2
l
当且仅当m = 时，等号成立，
2
l 2 2 3 2
对 + l -1 = l 2 - 2l 3+1 ，当且仅当l = 时，等号成立，
2 2 3 3
3 uuur uuur uuur uuuur
故 MN ，当且仅当l = 2m
2 2 1
= ，即 AM = AD
3 3 3 1
, A1N = A1C1 时等号成立，3
3
即直线 AD1 与 A1C1之间的距离是 .
3
3
故答案为： .
3
四、解答题
r uuuur r uuur9．（2023 春·高二课时练习）已知空间中的三点P(-2,0,2), M (-1,1,2), N (-3,0,4)， a = PM ，b = PN .
(1)求VPMN 的面积；
r r
(2) r r当 ka + b 与 ka - 2b 的夹角为钝角时，求 k 的范围．
3
【答案】(1) ；
2
5
(2) k - , 2÷ .
è 2
r r
r r r r
cos a,b ra ×br -1 10【详解】（1）由题设 a = (1,1,0)，b = (-1,0,2)，则 < >= = = - ，
| a || b | 2 5 10
cos MPN 10 VPMN sin MPN 3 10所以 = - ，故在 中 = ，
10 10
VPMN 1 2 5 3 10 3故 的面积为 = .
2 10 2
r r r r
（2）由（1）知： ka + b = (k -1,k, 2)， ka - 2b = k + 2, k, -4 ，且它们夹角q 为钝角，
k -1 k + 2 + k 2 -8
所以 cos

q = < 0
2 2 ，即 k -12 2 k + 2 + k
2 -8 < 0，
k -1 + k + 4 × k + 2 + k +16
所以 2k 2 + k -10 = 2k + 5 k - 2 < 0 5，可得- < k < 2，
2
ìk -1 = l(k + 2)
r r r r
当它们反向共线，即 ka + b = l(ka - 2b)且l < 0 时，有 ík = lk ，无解，

2 = -4l
5
综上， k (- , 2) .
2
v
10．（2021 秋·高二单元测试）设全体空间向量组成的集合为V ， a = a1, a2 , a3 为V 中的一个单位向量，建
v v v v v v v
立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数” f x : f x = -x + 2 x ×a a x V .
uv = 1,0,0 v v v v（1）设 ， v = 0,0,1 ，若 f u = v ，求向量 a；
v uv v
（2）对于V 中的任意两个向量 x ， y ，证明： f x × f yv = xv × yv ；
v v v
（3）对于V 中的任意单位向量 x ，求 f x - x 的最大值.
v 2 2 a v
2
【答案】（1） = ,0, ÷÷或 a = - ,0,
2
- ÷÷ ；（2）见解析；（3）最大值为 2 .
è 2 2 è 2 2
ì2x2 -1 = 0
【详解】分析：（1） f uv = -uv + 2 uv ×av av = vv v ，设 a = x, y, z ，代入运算得： í 2xy = 0 ，从而可得结果；

2xz =1
v
（2）设 x = a,b,c yv， = m, n, t ， av = a , a , a f xv × f yv1 2 3 ，则利用“向量函数”的解析式化简 ，从而可得
v v v v v v
结果；（3）设 x 与 a的夹角为a ，则 x × a = x × a cosa = cosa ，则
f xv - xv = 2xv - 2 xv × av av = 2xv - 2cosaav 2 = 4 - 4cos2a 2 ，即最大值为 2 .
详解：（1）依题意得： f uv = -uv + 2 uv ×av av = vv av，设 = x, y, z ，代入运算得：
ì2x2 -1 = 0

í 2xy = 0 a
v 2 2= v 2 2 ,0, ÷÷或 a = - ,0,- ÷÷ ；
è 2 2 2 2
2xz =1
è
xv = a,b,c yv = m, n, t av（2）设 ， ， = a1, a2 , a3 ，则
f xv × f yv = é-xv + 2 xv × av avù × é-yv + 2 yv × av av ù
= xv × yv - 4 yv × av xv × av + 4 yv × av xv × av av 2 = xv × yv - 4 yv × av xv × av + 4 yv × av xv × av = xv × yv
从而得证；
3 xv v
v v v v
（ ）设 与 a的夹角为a ，则 x × a = x × a cosa = cosa ，
f xv v则 - x = 2xv - 2 xv × av av = 2xv - 2cosaav 2 = 4 - 4cos2a 2 ，故最大值为 2 .1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
分层练习
一、单选题
r r
r r1．（2022 秋·河南许昌·高二校考期中）已知空间向量 a = -1,0,2 ，b = 1,2,-3 ，则 a - 2b =（ ）
A． -2, -2,1 B． -2, -2,5 C． -3, -4,8 D． -3, -4, -4
r r
2．（2021· r高二单元测试）已知 a = (2,-1,3),b = (-1,4,-2),cr = (7,5,l), {ar若 ,b ,cr}不能构成空间的一个基底，则
实数 λ 的值为（ ）
35 65
A．0 B． C．9 D．
7 7
r r r r
3．（2021·高二单元测试）已知向量 a = -2,3,1 ，b = 1, -2,4 ，则 a + b =（ ）
A． -1,1,5 B． -3,5,-3 C． 3, -5,3 D． 1, -1, -5
r r r r
4．（2022 秋·广西钦州·高二浦北中学校考期中）已知空间向量 a = (1,-3,2) ，若空间向量b 与 a 平行，则b 的
坐标可能是（ ）
(1,3,3) 1 , 3 , 1A B ． ． - - ÷ C． (-1, -3,2) D4 4 2 ． ( 2,-3,-2 2)è
r r r
5．（2022· 2全国·高二专题练习）已知向量 a = l,- 2,0 ，b = 1+ l,1,l ，若 ar ^ b ，则实数l 的值为（ ）
A．1 B．1 或-2 C．-2 D．2
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥E - ABCD，底面 ABCD是边长为 3 的正方形， AE ^ 面
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
ABCD，EQ = 2QD ，EP = 2PB ，ER
1
= RC ，若RP = RQ = 6 ，则四棱锥E - ABCD外接球表面积为
2
（ ）
A． 44p B．54p C．176p D．216p
二、多选题
r r
7．（2021·高二课时练习）对于任意非零向量 a = x1, y1, z1 ，b = x2 , y2 , z2 ，以下说法错误的有
r r
A．若 a ^ b，则 x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0
r r x1 y1 zB 1．若 a//b ，则 = =x2 y2 z2
r r
cos a,b x1x2 + y1 y2 + z zC． < >=
1 2
x2 21 + y1 + z
2
1 × x
2 + y2 + z22 2 2
r
D．若 x1 = y1 = z1 =1，则 a为单位向量
r r
8．（2023 秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末）已知向量 a = (1, -1, m)，b = (-2,m -1,2)，则下列结论
中正确的是（ ）
r
A．若 | a |= 2，则m = ± 2
r
B r．若 a ^ b ，则m = -1
r
C r．不存在实数 ，使得 a = lb
r r r rD．若 a ×b = -1，则 a + b = (-1,-2,2)
三、填空题
r r
9．（2022 秋·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期中）设 x, y R ，向量 a = 3,2,1 ，b = 1, x,1 ，
r r r r r r r
c = y, 4, 2 ，且 a ^ b， a∥c ，则 c - 2b = ______.
10．（2020·高二课时练习）空间直角坐标系中与点P 2,3,5 关于 yoz平面对称的点为P ，则点P 的坐标为
_____________．
r r r r
11．（2022·高二课时练习）若 a = 2, 3, -1 ，b = 2, 0, 3 ，则 a - b 的值为_______
12．（2023·全国·高三对口高考）设点C 2a +1, a +1,2 在点 P 2,0,0 、A 1,-3,2 、B 8,-1,4 确定的平面上，
则实数a = _________．
一、单选题
1．（2023 春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点 (-2,1,4)关于 x 轴对称的点坐标是（ ）
A． (-2,1, -4) B． (2,1,-4) C． (-2,-1,-4) D． (2,-1,4)
r r r r r r
2．（2022·高二课时练习）已知 a = 1,0,1 ，b = x,1, 2 ，且 a ×b = 3，则向量 a 与b 的夹角为（ ）
A．30o B．60o C．120o D．150o
ur uur ur r uur ur r
3．（2021 秋·云南昭通·高一校考阶段练习）设 e1 ， e2 ， e3 为空间的三个不同向量，如果l1e1 + l2 e2 + l3 e3 = 0
ur uur ur r
成立的等价条件为l1 = l2 = l3 = 0，则称 e1 ， e2 ， e3 线性无关，否则称它们线性相关.若 a = 2,1,-3 ，
r r
b = 1,0,2 ， c = 1,-1,m 线性相关，则m =（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
4．（2022 秋·广东·高二统考阶段练习）已知空间三点 A(4,1,9), B(10,-1,6),C(2,4,3)，则下列结论不正确的是
（ ）
A． | AB |=| AC | B．点P(8,2,0) 在平面 ABC 内
uuur uuur 3
C． AB ^ AC D ．若 AB = 2CD ，则 D 的坐标为 1,-5,- ÷
è 2
二、多选题
r r
5．（2023 秋·福建三明·高二统考期末）在空间直角坐标系O- xyz中，已知向量 a = 1, m, -1 ，b = 2n,1, 2 .以
r r
下各组值中能使得 a ^ b的是（ ）
A．m
1
= - ， n = -1 B．m = 0， n =1
2
1
C．m =1， n = D．m = 2 ， n = -2
2
6．（2022 秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）下列说法中正确的是（ ）
r r r r rA．已知空间向量 a，b ，向量 a P b 是 ar = lb 的充要条件
r r r r
B． a = (x, -2,5)，b = (1, y,-3)，若 a 与b 共线，则 xy = -2
ar
r r uuur r r uuur r r uuur r rC．空间向量 ，b ， c不共面，且 AB = a + b ，BC = a + c ，CD = b - c，则 A，B，C，D 四点共面
r r r r ur
D． a = (1,0,1) ，b = (2,-4,6) ，b 在 a 方向上的投影向量为b = (4,0, 4)
三、填空题
uuur uuur
7．（2022 春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间三点 A 1, -1, -1 ，B -1, -2,2 ，C 2, -4,1 ，则 AB 与 AC
的夹角q 的大小是______．
r r r
8．（2023 春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知 a = 1, -2, -1 ，b = -1, x -1,1 ，且 a 与
r
b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是______.
9．（2022·高二单元测试）已知空间三点O 0,0,0 ， A -1,1,0 ，B 0,0,1 ，在直线 OA 上有一点 H 满足
BH ^ OA，则点 H 的坐标为______．
四、解答题
10．（2022 秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期中）已知空间向量
r r r r r ra = x, 4, 2 ,b = 3, y,-1 ,c = 1,1, z , a∥b ,b ^ cr .
(1)求 x, y, z；
r r
(2)求 c 与b + cr所成角的余弦值.
11．（2022·高二课时练习）棱长为 2 的正方体中，E、F 分别是DD1、DB 的中点，G 在棱 CD 上，且
CG 1= CD
3 ，
H 是C1G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF ^ B1C ；
uuur uuuur
(2)求 cos < EF ,C1G >；
(3)求FH 的长．
r r
12．（2023 春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知空间向量 a = 1,0,1)，b = 2, -1,0)，
r
c = l + 4, - l,l)．
r r r
(1)若 ( a + b ) / / c，求l ；
r r r r
(2)若 ka + b与 2a - b 相互垂直，求 k ．
一、单选题
1．（2022 秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为
2， P 为正方形底面 ABCD内的一动点，则下列结论不正确的有（ ）
A．三棱锥B1 - A1D1P 的体积为定值
B．若D1P ^ B1D ，则 P 点在正方形底面 ABCD内的运动轨迹是线段 AC
C．若点 P 是 AD 的中点，点Q是BB1的中点，过 P ，Q作平面a ^平面 ACC1A1 ，则平面a 截正方体
ABCD - A1B1C1D1 的截面周长为 6 2
D．存在点 P ，使得D1P ^ AD1
2．（2022 秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知空间直角坐标系O- xyz中，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1, 2,3),OB = (2,1, 2),OP = (1,1, 2) ，点Q在直线OP上运动，则当QA ×QB 取得最小值时，点Q的坐标为
（ ）
A． (
1 , 3 , 1) B． (
1 , 3 , 3) (4 4 8C． , , )
1 3
D． ( , ,
7)
2 4 3 2 2 4 3 3 3 2 4 3
ur ur r r uur ur r r uur ur r r uur ur r r ur r r
3．（2016·高二课时练习）设 a1 = 2m - j + k, a2 = m + 3 j - 2k, a3 = -2m + j - 3k, a4 = 3m + 2 j + 5k （其中m, j, k 是
uur ur uur uur
两两垂直的单位向量），若 a4 = la1 + ma2 +n a3 ，则实数l, m,n 的值分别是
A．1,-2,-3 B．-2,1, -3 C．-2,1,3 D．-1,2,3
v v v
4．（2018·高三单元测试）已知 a＝ 2,3 4 b 4 3 2 b 1 xv v，－ ， ＝ － ，－ ，－ ，＝ －2a ，则 x 等于(　　)
2
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
5．（2023·江西·校联考二模）在四棱锥P- ABCD中，棱长为 2 的侧棱PD垂直底面边长为 2 的正方形
ABCD，M 为棱PD的中点，过直线 BM 的平面a 分别与侧棱PA、PC 相交于点E 、F ，当PE = PF 时，
截面MEBF 的面积为（ ）
A． 2 2 B．2 C．3 3 D．3
二、多选题
6．（2022 秋·广东佛山·高二顺德一中校考阶段练习）已知空间三点： A(0,0,0), B(0, 3,1),C(0, 3,-1)，设
r uuur r uuur uura = AB,b = BC,cr = CA，则下列命题正确的是（ ）
r r
A．ar r+ c + b = 0
r r cr
B．b 在 c方向上的投影向量等于 2
C．VABC是等边三角形
r

ar b
r r r
D + ×b +
r
b c． ÷ +

÷ × c
r r a r
+ c +

÷ × a = 0
è 2 è 2 è 2
三、填空题
r r r r r r
7．（2022·高二课时练习）已知 a = 2,-1,3 ，b = -1,4, -2 ， c = 3,2,l ，若 a，b ， c三向量共面，则实数
l 等于__________.
8．（2023 秋·福建福州·高二校联考期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另
一条直线距离的最小值.在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，直线 AD1 与 A1C1之间的距离是
__________.
四、解答题
uuuur r uuur
9．（2023 春·高二课时练习）已知空间中的三点P(-2,0,2), M (-1,1,2), N (-3,0,4)， ar = PM ，b = PN .
(1)求VPMN 的面积；
(2) kar
r r
当 + b 与 kar - 2b 的夹角为钝角时，求 k 的范围．
v
10．（2021 秋·高二单元测试）设全体空间向量组成的集合为V ， a = a1, a2 , a3 为V 中的一个单位向量，建
v v v v
立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数” f x : f x = -x + 2 x ×av av xv V .
v
（1）设u = 1,0,0 ， vv = 0,0,1 v v v，若 f u = v ，求向量 a；
v uv v
（2）对于V 中的任意两个向量 x ， y ，证明： f x × f yv = xv × yv ；
v v v
（3）对于V 中的任意单位向量 x ，求 f x - x 的最大值.

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