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2.1 有理数的加法与减法
第2章 有理数的运算
知识点
有理数的加法
知1－讲
1
1. 有理数加法法则
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 互为相反数的两个数相加得0 .
(3)一个数同0 相加，仍得这个数.
知1－讲
2. 有理数加法运算的各种情况如下表
和 用字母表示
符号 绝对值 同号两数相加 取相同的 符号 相加 若a>0，b>0，则a＋b＝＋(|a|＋|b|)
若a<0，b<0，则a＋b＝－(|a|＋|b|)
知1－讲
续表：
异号 两数 相加 绝对值 不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减 (大减小) 若a>0，b<0，且|a|>|b|，
则a＋b＝＋(|a|－|b|)
若a<0，b>0，且|a|>|b|，则a＋b＝－(|a|－|b|)
互为相 反数 0 若a>0，b<0，且|a|＝|b|，则a＋b＝0
一个数与 0 相加 仍得这个数 a＋0＝a
知1－讲
3. 有理数加法法则的记忆口诀
同号相加一边倒；
异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑；
绝对值相等“零”正好；
加数如果遇到零，和是自身要记牢.
注：“大”或“小”是指两个加数绝对值的大小.
知1－讲
特别提醒
若a＋b＝0，则a＝－b.
若a＋b＝0，且a ≥ 0，b ≥ 0，则a＝b＝0.
知1－讲
特别解读
1. 若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能：
(1)两个都是正数；
(2)一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；
(3)一个是正数、一个是0.
知1－讲
2. 若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能：
(1)两个都是负数；
(2)一个是正数、一个是负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值；
(3)一个是负数、一个是0.
知1－练
例 1
计算下列各题：
(1)(＋20.35)＋(－12.55)；(2)(－2)＋(－1)；
(3)(－30)＋6；(4)(－)＋；
(5)(－)＋；(6)0＋(－).
解题秘方：先确定两个数相加的类型，然后根据法则计算.
知1－练
解：(1)原式＝＋(20.35－12.55)＝7.8.
(2)原式＝－(2＋1)＝－3 .
(3)原式＝－(30－6)＝－24 .
(4)原式＝＋(－)＝.
(5)原式＝0 .
(6)原式＝－.
知1－练
1-1. [月考·淄博张店区]已知|a|＝3，|b|＝4， 并且a>b，那么a＋b的值为(　　)
A. ＋7 B. －7
C. ±1 D. －7 或－1
D
知1－练
1-2. 计算：
(1)(－19)＋(－91)；
(2)(－2.4)＋(＋2.4)；
(3)＋(－).
解：(－19)＋(－91)＝－(19＋91)＝－110.
(－2.4)＋(＋2.4)＝0.
知1－练
列式计算：
(1)求比－18大－30的数；
(2)求绝对值大于2.6而小于5.3的所有负数之和.
例 2
解题秘方：根据题意列式计算，理解题意是解题的关键.
解：(1)(－18)＋(－30)＝－(18＋30)＝－48.
(2)(－3)＋(－4)＋(－5)＝－(3 ＋4 ＋5)＝－12 .
知1－练
2-1.列式计算：
(1)求3的相反数与－2的绝对值的和.
知1－练
(2)从水面开始，某潜水员先潜入水下61 m，然后又上升 30 m，这时潜水员在什么位置？
解：由题意，可将潜入水下61 m记作－61 m，上升30m记作＋30 m，则－61＋30＝－(61－30)＝－31(m)．
所以这时潜水员在水下31 m处．
知2－讲
知识点
有理数的加法运算律
2
1. 有理数的加法运算律
运算律 文字语言 符号语言
加法交 换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b＝b＋a
加法结 合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
知2－讲
2. 有理数加法运算律的运用技巧
灵活运用有理数的加法运算律，能使运算过程简化，通常有以下规律：
①互为相反数的两数先相加—“相反数结合法”；
②符号相同的数先相加—“同号结合法”；
③分母相同的数先相加—“同形结合法”；
知2－讲
④相加能得到整数的数先相加—“凑整法”；
⑤ 带分数相加时，先拆成整数和真分数的和，再利用加法的运算律进行相加—“拆项结合法”.
知2－讲
特别提醒
1. 有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加.
2. 利用有理数的加法交换律时，要适当加括号，如－6.6＋2＋(－3.4)＝2＋(－6.6)＋(－3.4).
3. 根据需要灵活运用加法运算律，可以达到简化计算的 目的.
知2－练
计算：(－)＋ (－)＋＋(－) .
解题秘方：先找相反数，然后利用加法的交换律和结合律将相反数结合计算.
例 3
解：原式＝[(－)＋＋(－)＋(－)
＝0＋(－1)
＝－1 .
同分母相结合.
知2－练
3-1.计算：
(1)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3；
(2)(－3)＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋2；
(3)143＋(－87)＋27＋(－143).
解：原式＝[25.7＋(－13.7)]＋[(－7.3)＋7.3]＝12＋0＝12.
原式＝(－3)＋[(－2)＋2]＋[(－1)＋1]＋0＝－3.
原式＝[143＋(－143)]＋[(－87)＋27]＝0＋(－60)＝－60.
知2－练
计算： 43＋(－77)＋37＋(－23) .
例 4
解题秘方：先把正数、负数分别结合，再计算.
解：原式＝(43＋37)＋[(－77)＋(－23)]
＝80＋(－100)
＝－20.
知2－练
4-1.计算：
(1)18＋(－17)＋7＋(－8)；
(2)23＋(－17)＋6＋(－22).
解：原式＝(18＋7)＋[(－17)＋(－8)]＝25＋(－25)＝0.
原式＝(23＋6)＋[(－17)＋(－22)]＝29＋(－39)＝－10.
知2－练
计算：(－3)＋3＋2＋(－1 ).
解题秘方：将同分母的分数结合在一起计算.
例 5
解：原式＝[(－3)＋2]＋[3＋(－)
＝(－1)＋2
＝1.
知2－练
5-1.计算：
(1)＋(－)＋＋(－)＋(－)；
知2－练
(2)5＋(－1)＋2＋(－3)＋2＋(－12).
知2－练
计算：(－3.75)＋2.85＋(－1)＋(－)＋3.15＋(－2.5).
例 6
解题秘方：将－3.75和－1，－和－2.5，2.85和3.15分别结合在一起，然后相加.
解：原式＝[(－3.75)＋(－1)]＋[(－)＋(－2.5)]＋(2.85＋3.15)＝(－5)＋(－3)＋6＝－2.
知2－练
6-1.计算：
(1)(－3.14)＋(＋4.96)＋(＋2.14)＋(－7.96)；
(2)(－2.125)＋(＋3)＋(＋5)＋(－3.2)．
解：原式＝[(－3.14)＋2.14]＋[4.96＋(－7.96)]＝(－1)＋(－3)＝－4.
知2－练
阅读下列材料中的计算方法.
计算：(－5)＋(－9)＋17＋(－3).
解：原式＝[(－5)＋(－)]＋[(－9)＋(－)]＋[(＋17)＋(＋)]＋[(－3)＋(－)]＝[(－5) ＋(－9)＋(＋17)＋(－3)]＋[(－)＋(－)＋(＋)＋(－)＝0＋(－1)＝－1.
例 7
知2－练
上面这种方法叫作拆项结合法. 仿照上述方法计算：
(－2 024)＋(－2 023)＋4 047＋(－1)．
解题秘方：从分析材料中的计算方法，先将带分数拆分为一个整数和一个真分数的和，然后重新组合分组(整数一组，分数一组)，最后分别计算求值.
知2－练
解： 原式＝[(－2 024)＋(－)]＋[(－2 023)＋(－)]＋ (4 047＋)＋[(－1)＋(－)]＝[(－2 024)＋(－2 023)＋4 047＋(－1)]＋[(－)＋(－)＋＋(－)]＝(－1)＋(－)＝－.
知2－练
7-1.计算：
(1)(－1)＋(－2)＋7＋(－4)；
知2－练
(2)(－2 024)＋2 023＋(－2 021)＋(2 020).
知2－练
公路养护小组开车沿南北公路巡视维护， 某天早晨从A地出发， 晚上到达B地， 规定向北为正方向， 当天的行驶记录如下(单位： km)：＋18，－9，＋7， －14，＋15，－6，－8 .
例 8
知2－练
(1)问B地在A地的哪个方向， 距离多少千米？
解题秘方：直接把原数相加，和为正，则在A地的北边；和为负，则在A地的南边.
解：(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－1 4)＋(＋15)＋(－6)＋(－8)＝[(＋18 )＋(＋7)＋(＋15 )]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)]＝(＋40)＋(－37)＝ 3(km).
故B地在A地的北边3 km处．
知2－练
(2)若汽车每千米耗油a L ， 求该天共耗油多少升.
解题秘方：把原数的绝对值相加，再乘a.
解：(|＋18|＋|－9|＋|＋7|＋|－14|＋|＋15|＋|－6|＋|－8|) ×a＝(18＋9＋7＋14＋15＋6＋8)×a＝77a(L).
故该天共耗油77a L．
知2－练
8-1. 某气象员为了掌握某一周内天气的变化情况，测量了这周从星期一到星期日的最低气温. 下表是这周内的最低气温的变化情况(正数表示比前一日最低气温上升, 负数表示比前一日最低气温下降)：
星期 气温变化/℃
一 2
二 －1
三 －2
四 4
五 －2.5
六 1
日 0.5
知2－练
试分析这周内最低气温的总体变化情况.
解：2＋(－1)＋(－2)＋4＋(－2.5)＋1＋0.5
＝[2＋(－2)]＋[(－1)＋1]＋4＋[(－2.5)＋0.5]
＝0＋0＋4＋(－2)＝2(℃)．
所以这周内最低气温总体上升了2 ℃.
知3－讲
知识点
有理数的减法
3
1. 有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
用字母表示：a－b＝ a＋(－b)，其中a，b表示任意有 理数.
知3－讲
特别提醒：有理数的减法是有理数的加法的逆运算，进行减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变.
知3－讲
特别解读
有理数的减法，需要先将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算.
有理数的减法在转化为加法之前，被减数与减数的位置不能改变.
知3－讲
2. 两数相减差的符号
(1)较大数－较小数＝正数，即若a>b，则a－b> 0 .
(2)较小数－较大数＝负数，即若a(3)相等的两个数的差为0，即若a＝b，则a－b＝ 0 .
知3－练
计算下列各题：
(1)2.3－(－3.7)； (2)(－3)－(－2)；
(3)(－2)－(－1)； (4)(－1)－(－2)；
(5)0－5； (6)0－(－5).
例 9
解题秘方：将减法转化为加法，然后利用加法法则计算.
知3－练
解：(1)2.3－(－3.7)＝2.3＋3.7＝6 .
(2)(－3)－(－2)＝(－3)＋(＋2)＝－1.
(3)(－2)－(－1)＝(－2)＋1＝－1 .
(4)(－1)－(－2)＝(－1)＋ 2＝1 .
(5)0－5＝0＋(－5)＝－5 .
(6)0－(－5)＝0＋5＝5 .
被减数大于减数，差为正数; 被减数小于减数，差为负数.
交换被减数与减数的位置，差互为相反数.
0减去一个数等于这个数的相反数.
知3－练
9-1. [中考·临沂] 计算(－7)－(－5)的结果是( )
A.－12 B.12
C.－2 D.2
C
知3－练
9-2.计算：
(1)(－18)－(＋12)；
(2)(－47)－(－84)；
(3)0－(－99)；
解：(－18)－(＋12)＝－18＋(－12)＝－30.
(－47)－(－84)＝(－47)＋84＝37.
知3－练
(4)(－6)－(－6)；
(5)(－2.1)－(－1)；
(6)－|－7.8|－|＋|.
知3－练
下列说法中正确的有( )
①减去一个负数等于加上这个负数的相反数；②正数减负数， 差为正数；③ 0 减去一个数， 仍得这个数；④两数相减， 差小于被减数；⑤两数相减， 差不一定小于被减数；⑥互为相反数的两数相减差一定为0.
A. 2个 B. 3 个 C. 4个 D. 5个
例10
知3－练
解题秘方：根据有理数减法法则逐一分析即可.
解：根据有理数减法法则可知，减去一个负数等于加上这个负数的相反数，故①正确；
正数减负数等于正数加正数，因此差为正数，故②正确；
0 减去一个数，得这个数的相反数，故③不正确；
知3－练
两数相减，差不一定小于被减数，只有减数是正数时差才小于被减数，故④不正确，⑤正确；
互为相反数的两数相加和一定为0，但是它们的差不一定为0，故⑥不正确. 所以正确的说法是①②⑤ .
答案：B
知3－练
10-1. 如果a－b<0，且a＋b<0, 那么一定正确的是( )
A. a为正数, 且|b|>|a|
B. a为负数, 且|b|<|a|
C. b为负数, 且|b|>|a|
D. b为正数, 且|b|<|a|
B
知3－练
10-2.[期中·青岛市北区]下列结论不正确的是( )
A. 若a>0，b>0，则a＋b>0
B. 若a>0，b<0，则a－b>0
C. 若a<0，b>0，则a－b<0
D. 若a<0，b<0，且|a|<|b|，则a－b<0
D
知4－讲
知识点
有理数的加减混合运算
4
1. 有理数加减混合运算的方法
(1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式.
(2)运用加法交换律、加法结合律进行计算，使运算简便.
知4－讲
2. 省略和式中的加号和括号
将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式. 如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20－3＋2－5.
这个式子有两种读法：
(1)按加法的结果来读：负20、负3、正2、负5的和；
(2)按运算来读：负20减3加2减5 .
知4－讲
3. 有理数加减混合运算的一般步骤
(1)将有理数加减混合运算统一成加法运算；
(2)省略括号及括号前面的加号；
(3)按照有理数的加法运算律和加法法则进行运算.
知4－讲
方法点拨
1. 有理数加减混合运算的关键两步：
第1步统一为加法；第2步运用加法运算律.
2. 改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号.
知4－练
把下列各式写成省略加号和括号的形式， 并说出
它们的两种读法.
(1)－6－(－3)＋(－2)－(＋6)－(－7)；
(2)－＋(－)－(－)＋(－)－(－).
例11
知4－练
解题秘方：本题首先运用减法法则把加减混合运算转化成加法运算，然后再写成省略加号和括号的形式.
解：(1)－6－(－3)＋(－2)－(＋6)－(－7)
＝－6＋(＋3)＋(－2)＋(－6)＋(＋7)
＝－6 ＋3－2－6＋7 .
读法一：负6、正3、负2、负6、正7的和；
读法二：负6 加3 减2 减6 加7.
知4－练
(2)－＋(－)－(－)＋(－)－(－)
＝－＋(－)＋(＋)＋(－)＋(＋)＝－－＋－＋.
读法一：负、负、正、负、正的和；
读法二：负减加减加.
知4－练
知4－练
11-1.下列式子可读作“负1、负3、正6、负8的和”的是( )
A. －1＋(－3)＋(＋6)－(－8)
B. －1－3＋6－8
C. －1－(－3)－(－6)－8
D. －1－(－3)－6－(－8)
B
知4－练
11-2. 把(＋5)－(＋3)＋(－2)－(－7)写成省略加号和括号的形式是( )
A. －5＋3－2＋7
B. 5－3－2－7
C. 5－3－2＋7
D. 5＋3－2－7
C
知4－练
计算：
(1)2.7＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2)；
(2)－0.6－0.08＋－2－0.92＋2.
例12
解题秘方：结合题目的特征，巧用运算律进行计算.
解：(1)2.7＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2)
＝2.7－8.5－3.4＋1.2
＝(2.7＋1.2)＋(－8.5－3.4)
＝3.9－11.9
＝－8.
知4－练
同号结合法
(2)－0.6－0.08＋－2－0.92＋2
＝－0.6＋＋(－0.08－0.92)＋(－2＋2)
＝－0.2－1＋0
＝－1.2.
知4－练
凑整法
相反数结合法
知4－练
12-1.计算：
(1)25.3＋(－7.3)＋(－13.7)－(－7.3)；
(2)(－)＋(－)＋(＋)＋(＋)；
解：原式＝25.3－7.3－13.7＋7.3＝7.3－7.3＋25.3－13.7＝11.6.
知4－练
(3)(－)＋(＋)－(－)－(－1).
知4－练
12-2. 列式计算，有理数＋10，－5，－6 的绝对值的和比它们和的绝对值大多少？
解：(|＋10|＋|－5|＋|－6|)－|(＋10)＋(－5)＋(－6)|＝ 21－1＝20，
有理数＋10，－5，－6的绝对值的和比它们和的绝对值大20.
知5－讲
知识点
数轴上两点之间的距离(拓展点)
5
数轴上，点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，AB＝|a－b|. 如图2.1-1 .
知5－讲
特别提醒
两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数. 所以
(1)当a＞b时，AB＝a－b；
(2)当a＜b时，AB＝b－a.
知5－练
如图2.1-2，A，B两点间的距离是多少？B， C两点间的距离是多少？
例13
知5－练
解题秘方：数轴上两点间的距离就是这两点表示的数的差的绝对值.
解：由图2.1-2知点A表示的数是2，点B表示的数是－，点C表示的数是－3.
|2－(－)|＝|2＋|＝，
|(－)－(－3)|＝|－＋3|＝||＝，
所以A，B两点间的距离是，B，C两点间的距离是.
知5－练
知5－练
13-1.[中考·南京] 数轴上点A，B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为( )
A. －3＋5 B. －3－5
C. |－3＋5| D. |－3－5|
D
知5－练
13-2. 已知A，B是数轴上的两点，A点表示的数是－5，A，B两点之间的距离是6，则B点表示的数为________.
1或－11
有理数的加法与减法
有理数
的加法
法则
运算律
交换律
结合律
有理数
的减法
法则
加
减
混
合
运
算

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