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第3讲 机械能守恒定律
第五章 机械能守恒定律
问：小明从1楼到3楼，哪种方式他的重力做功最少？
想一想
θ
L
h1
h2
Δh
A
A
A
B
B
B
一.探究重力做功的特点
物体竖直下落
物体沿斜线运动
物体沿曲线运动
= mg(h1－h2)
ＷＧ= mgΔh
=mgh1－mgh2
以上三种类型总结：
重力做功的特点：
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。即重力做功数值等于重力与高度差的乘积。
表达式：
WG ＝ mgΔh =mgh1－mgh2
Δh
h2
h1
A
B
★不论光滑还是粗糙路径，也不论是直线还是曲线运动，不论是否受到其他力的作用，只要初末状态的高度差相同，重力做的功就相同．
1. 定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能。
大小：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。
（参考平面──零势能面）
3. 单位：焦（耳）J 1 J = 1 kg m s-2 m = 1 N m
4. 重力势能是标量：只有大小没有方向，但有正、负，其正、负表示大小。
（h ─物体重心到零势能面的高度）
Ep= mgh
二、重力势能
【例题】如图，质量 0.5 kg 的小球，从桌面以上 h1 = 1.2 m 的 A 点落到地面的 B 点，桌面高 h2 = 0.8 m。关于小球的重力势能，请按要求填写下表。( g = 10 m/s2 )
参考 平面 在A点 在 B点 下落过程重力做功 重力势能变化
桌面
地面
6 J
10 J
─4 J
0
10 J
10 J
减少10 J
减少10 J
h1
h2
A
B
★选择不同的参考平面，物体的重力势能不同。
相对性
★重力做功和重力势能的变化与参考平面的选择无关。
绝对性
△Ep的绝对性
重力做功与重力势能变化的关系：重力做的功等于重力势能的减少量。
WG ＝ mgh1－ mgh2＝ EP1－EP2 ＝－ΔEP
表达式：
(1)物体下降，重力做正功，WG>0，则EP1>EP2 ,重力势能减少，重力势能减少的数量等于重力做的功。
(2)物体上升，重力做负功，WG<0，则EP1说明：
三、重力做功与重力势能变化的关系
如图所示，O 为弹簧的原长处．
(1)物体由 O 向 A 运动(压缩)或由 O 向 A′运动(伸长)时，弹力做___功，弹性势能______，其他形式的能转化为弹性势能.
负
增加
(2)物体由 A 向 O 运动，或者由 A′向 O 运动时，弹力做____功，弹性势能______，弹性势能转化为其他形式的能.
正
减少
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系可表示为_______________
注意：弹力做功与弹性势能变化有唯一的对应关系，弹力做多少正(负)功，弹性势能就减少(增加)多少．
W＝－ΔEp
做一做
1.重力势能与动能相互转化
A→B：物体的速度增加，即物体的动能增加，说明物体的重力势能转化成了动能。
A
C
B
B→C：重力对物体做负功，物体的速度减小，即动能减少。但高度增加，即重力势能增加。说明物体的动能转化成了重力势能。
结论: 物体的动能和重力势能可以相互转化。
2.弹性势能与动能相互转化
由小球接触弹簧到速度为零的这一过程中，弹力做负功，弹簧的弹性势能增加，而物体速度减小，动能减少。小球原来的动能转化成了弹性势能。
v=6m/s
v=0
被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来形状时，就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，而物体得到一定的速度，动能增加。物体原来的弹性势能转化成了动能。
弹簧恢复原来形状
v=6m/s
压缩的弹簧
v=0
拉弓射箭的过程中，弓的弹性势能转化为箭的动能。
结论: 物体的动能和弹性势能可以相互转化。
运动员从蹦床上弹起的过程中，跳板的弹性势能转化为运动员的动能，动能再转化为重力势能。
结论: 物体的动能、弹性势能和重力势能可以相互转化。
重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能（mechanical energy）。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
3.机械能
（2）机械能是标量，具有相对性
（1）表达式：
（只有在确定的参考系和零势能参考平面情况下，机械能才有确定的物理意义）
1.内容：
在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
条件
1.动能增加，势能一定减小，且动能增加量等于势能减小量。
2.动能减小，势能一定增加，且动能减小量等于势能增加量。
机械能守恒定律
2.适用对象：
单个质点、多个物体组成的系统
（1）EK2+EP2=EK1+EP1 即E2=E1
3、表达式：
守恒观点
转化观点
转移观点
（2）ΔEk=-ΔEp
或 ΔEk增＝ΔEp减
（3）ΔEA=-ΔEB
或 ΔEA增＝ΔEB减
意义：初末状态机械能相等
意义：系统势能的减小量（增加量）等于动能的增加量（减小量）
意义：系统只有A、B两物体（部分）时，A增加（减少）的机械能等于B减少（增加）的机械能。
（4）ΔE=0 意义：系统机械能变化量为0
只有重力做功或弹簧弹力做功
4、机械能守恒条件：
（1）物体只受重力或弹簧弹力，不受其他力
（2）物体除受重力或弹簧弹力外，还受其他力，但其他力不做功
（3）除受重力、弹力外，还受其他力，其他力做功，但做功代数和为零
1）物体做匀速运动，它的机械能一定守恒
2）物体所受合力为零，到机械能守恒
3）物体所受合力的功为零，则机械能守恒
判断正误
【典例】如图，倾角为θ的光滑斜面体C固定于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，释放后，A将向下运动，则在A碰地前的运动过程中(　　)
A．A的加速度大小为g
B．物体A机械能守恒
C．由于斜面光滑，所以物块B的机械能守恒
D．A、B组成的系统机械能守恒
D
【典例】(多选) 如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.斜劈对小球的弹力不做功
B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C.斜劈的机械能守恒
D.小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量
BD
例1 (多选)如图2所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)
图2
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
BC
连接体+轻绳
系统的机械能守恒
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
【例题】如图所示，一轻绳跨过定滑轮悬挂质量为mA、mB的A、B两物块，滑轮的质量以及所有摩擦不计，已知mB>mA初始时两物块均静止，在两物块运动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A、B减少的重力势能等于A增加的重力势能
B、B的机械能守恒
C、系统的机械能守恒，但两物体各自的机械能都在变化
D、B机械能的减少等于A机械能的增加
CD
例3 质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8 m，如图6所示。若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动(斜面足够长，g取10 m/s2)。求：
图6
(1)物体A着地时的速度大小；
(2)物体A着地后物体B继续沿斜面上滑的最大距离。
连接体+轻杆
1．常见模型
2．重点点拨
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
系统的机械能守恒
例1　如图1所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块A和B均可视为质点，通过细绳连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为 H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落，B落地后不反弹.若物块A恰好能到达斜面的顶点，试求m1和m2的比值.滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计.
图1
答案　1∶2
13.如图12所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡.在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态.同时释放小球，与弹簧分离后，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：
(1)a球离开弹簧时的速度大小va；
图12
(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.
【例题】如图所示，长为2L的轻杆OB，O端装有转轴，B端固定一个质量为m的小球B，OB 中点A固定一个质量为m的小球A，若OB 杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求
（1）A、B球摆到最低点的速度大小各是多少？
（2）轻杆对A、B球各做功多少？
（3）轻杆对A、B球所做的总功为多少？
【例题】如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其正上方A位置有一只小球.小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零.对于小球下降阶段，下列说法中正确的是(不计空气阻力) (　　 )
A.在B位置小球动能最大
B.在C位置小球动能最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加
D.整个过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒
BD
连接体+轻弹簧
【例题】长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，如图所示，轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间，绳子的速度？
L
4
L
2
【例题】长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度为多大？
【典例】 如图，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动.已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放.(重力加速度为g)
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
对点练3　连接体的机械能守恒问题
C
5.(多选)(2023·湖南长沙模拟)如图5所示，一长为L的轻杆下端固定一质量为m的小球，上端连在光滑水平轴O上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动。当小球在最低点时给它一个水平初速度，小球刚好能做完整的圆周运动。不计空气阻力，重力加速度为g。则下列判断正确的是(　　)
AC
6.(2023·河北邯郸模拟)如图6所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，一物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并恰能从轨道上端水平飞出，则小物块的落地点到轨道下端的距离为(重力加速度大小为g)(　　)
C
8.(多选)(2022·河南郑州模拟)如图8所示，一半圆形光滑轨道固定在竖直平面内，半圆顶点有大小可不计的定滑轮，O点为其圆心，A、B为半圆上两点，OA处于水平方向，OB与竖直方向夹角为45°，一轻绳两端连接大小可不计的两个小球甲、乙，初始时使甲静止在B点，乙静止在O点，绳子处于拉直状态。已知甲球的质量m1＝2 kg，乙球的质量m2＝1 kg，半圆轨道的半径r＝1 m，当地重力加速度为g＝10 m/s2，忽略一切摩擦。解除约束后，两球开始运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
AD
3.如图9所示，小球a被一根长为L的可绕O轴自由转动的轻质细杆固定在其端点，同时又通过绳跨过光滑定滑轮与另一个质量为m的小球b相连，整个装置平衡时杆和绳与竖直方向的夹角均为30°。若将小球a由水平位置(杆呈水平状态)开始释放，不计摩擦，竖直绳足够长(重力加速度为g)，求：
(1)小球a的质量；
(2)当杆转动到竖直位置时，小球b的速度大小(结果可用根式表示)。
10.如图10所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子水平，长度l＝4 m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2。若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为(　　)
A
11.如图11所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，sAB＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上第一次下滑到A点的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远。

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