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专题五 数列
——2025届高考数学考点剖析精创专题卷
考点15 数列的概念：2、3
考点16 等差数列：1、4、10、13、16、17
考点17 等比数列：5、6、9、11、12、14、18
考点18 数列求和及综合应用：7、8、15、19
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设数列是等差数列，公差，为其前n项和，若，则首项( )
A.8 B.10 C.20 D.30
2.数列满足，则数列的前12项和为( )
A.64 B.150 C.108 D.240
3.在数列中，，，则的前2024项和为( )
A.589 B.590 C. D.
4.已知等差数列的前n项和为，若，则( )
A.-2 B. C.1 D.
5.已知数列是等比数列，，，令，则( )
A. B. C. D.
6.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在长跑健将阿基里斯前面处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了，此时乌龟领先，当阿基里斯跑完下一个时，乌龟领先，当阿基里斯跑完下一个时，乌龟领先……所以芝诺认为阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为，此时乌龟爬行的总距离为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图像在点处的切线的斜率为，则数列的前n项和为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，且数列的前n项和.若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是( )
A. B.（其中且）
C. D.
10.若为等差数列，，则下列说法正确的是( )
A.
B.-20是数列中的项
C.数列单调递减
D.数列前7项和最大
11.设是公比为正数的等比数列的前n项和.若，，则( )
A. B.
C.为常数 D.为等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则______.
13.记为等差数列的前n项和.若，，则__________.
14.已知数列满足，，且，则数列的通项公式为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.设是等比数列的前n项和，已知，
（1）求和；
（2）若，求数列的前n项和.
16.已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
17.已知各项均为正整数的等差数列的前n项和为，且公差，在①；②；③（m为常数）这三个条件中选择其中一个作为已知条件，解答下列问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前2n项和.
18.设数列的前n项和为，对任意正整数n，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
19.记为数列的前n项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，所以（另解：），所以.故选B.
2.答案：C
解析：，再分别代入，2，3，可得，，，.
由周期为2，同理可得，.
.
故选：C.
3.答案：C
解析：因为，
所以，，，而，
所以数列是以4为周期的周期数列，
所以的前2024项和.
故选：C.
4.答案：D
解析：解法一：设等差数列的公差为d，由，得，则，故选D.
解法二：因为为等差数列，所以，得，则，故选D.
5.答案：C
解析：设的公比为q，.由题意可知当时，，即数列是以为首项，为公比的等比数列.
由，得，，，.
，故选C.
6.答案：A
解析：由题意，知乌龟每次爬行的距离构成等比数列，其中，，且，所以乌龟爬行的总距离为.
7.答案：C
解析：因为，所以.
因为，
所以.故选C.
8.答案：B
解析：由，，得，即，所以是等差数列，公差为，首项为，所以，则，所以数列的前n项和为①，②，由①-②可得，即，由，得，因为单调递增，所以当时，的值最小，即，所以，所以实数的取值范围为.
9.答案：ABC
解析：因为等比数列，设其公比为q，则有，
对于A，是非零常数，数列是等比数列，A是；
对于B，且，是非零常数，数列是等比数列，B是；
对于C，是非零常数，是等比数列，C是；
对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.
故选：ABC.
10.答案：ACD
解析：因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，
由，得，故B错误，
因为，所以数列单调递减，故C正确，
由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大，故D正确.
故选：ACD
11.答案：ACD
解析：设的公比为，则，解得，故，则，.对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，为常数，故C正确；对于D，由，，，可得为等比数列，故D正确.故选ACD.
12.答案：16
解析：，
且，..
故答案为：16.
13.答案：95
解析：解法一：设的公差为d，由，，解得，，则.
解法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.
14.答案：
解析：方法一：特征方程为，解得或，所以可设.又，，所以解得所以
方法二：设，即，于是得解得或取，，得，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，从而.不妨令，则，所以，即.又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，从而.
15.答案：（1），
（2）
解析：（1）设的公比为q，由题可得，又，所以，
又，所以，，
所以，；
（2）由（1）得，
所以
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）设的公差为.
根据题意得
解得或（舍）.
所以.
（2）由题意知，，
故
.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）选①：由得，
由，得，，
所以.
选②：由得，
由，，得，，
所以.
选③：由得，
所以，.
又因为数列是等差数列，所以，，
所以.
（2）因为，所以
.
18.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）对任意正整数n，有①，
②，
由，得，.
又当时，，即，
数列是首项为2，公比为3的等比数列，数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）可得，
，，，
.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为①，所以当时，②，
则当时，得，即.
当时，由得，所以，
所以数列是以4为首项，-3为公比的等比数列，
所以.
（2）解法一：因为，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以.
解法二：，
令，
则
，
所以，解得，
即，
所以
.

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