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第 15 讲 万有引力定律及其应用
——划重点之精细讲义系列
考点 1 开普勒三定律的理解和应用
考点 2 万有引力定律的理解
考点 3 不能忽略自转的万有引力定律的应用
考点 4 忽略自转的万有引力定律的应用
考点 1：开普勒三定律的理解和应用
1．内容
定律 内容 图示
开普勒第 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的
一定律 一个焦点上
开普勒第 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内
二定律 扫过相等的面积
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二
开普勒第
a3
三定律 次方的比值都相等. ＝k，k 是一个与行星无关的常量
T2
2．应用
3.天体运动的处理方法
（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
a3
（3）开普勒第三定律 ＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同。但该定
T2
律只能用在同一中心天体的两星体之间。
【考向 1】（2024·江苏徐州·三模）战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、
土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道（　　）
A．恒星都是静止不动的
B．行星绕太阳做圆周运动
C．行星绕太阳运行的速率不变
D．各行星绕太阳运行的周期不同
【考向 2】（2024·河南·一模）若两颗人造卫星M、N绕地球做匀速圆周运动，M、N到地心的距离之比为
，忽略卫星之间的相互作用。在时间 内，卫星M与地心连线扫过的面积为 M，卫星N与地心连线扫过的
面积为 N，则 M与 N的比值为（　　）
A．1 B 1． C． 2 D．
【考向 3】（2024·山东济南·三模）2024 年 3 月 20 日，“鹊桥二号”中继星由长征八号遥三运载火箭在中国
文昌航天发射场成功发射升空。如图所示，“鹊桥二号”临近月球时，先在周期为 24 小时的环月大椭圆冻
结轨道Ⅰ上运行一段时间，而后在近月点 变轨，进入周期为 12 小时的环月大椭圆冻结轨道Ⅱ。已知轨道Ⅰ
的近月点 1距离月球表面的高度为 1，远月点 距离月球表面的高度为 2，月球半径为 ，3 ≈ 0.6，忽略4
地球引力的影响，则轨道Ⅱ的远月点 ′距离月球表面的高度为（　　）
A 3 2 2 1 4 B 3 2 2 1 8 ． 5 ． 5
C 3 2 3 1 4 D 3 2 3 1 8 ． 5 ． 5
考点 2：万有引力定律的理解
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质
量 m1和 m2的乘积成正比，与它们之间距离 r 的平方成反比。
m1m2
2．表达式：F＝G ，G 为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出。
r2
3．适用条件
（1）公式适用于质点间的相互作用。
（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
（3）不能得出：当 → 时，物体 、 间引力 趋于无穷大。因为当 → 时两个物体无法看做质
点。
4．对万有引力定律的理解：
万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本
普适性
相互作用之一
两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用
相互性
在两个物体上
一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在
宏观性
才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计
5．万有引力与重力的关系
GmM
如图所示，在纬度为 的地表处，物体所受的万有引力为 F= 。而物体随地球一起绕地轴自
R 2
转所需的向心力为 F 向=mRcos ·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力
充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力 mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球
表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。
越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，
GMm
即 = mg。
R2
6.万有引力应用的解题思路
7．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
Mm v2 4π2r
G ＝man＝m ＝mω2r＝mr2 r T2
Mm
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 G ＝mg(g 表示天体表面的重力加
R2
速度)．
8．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.
Mm gR2
由于 G ＝mg，故天体质量 M＝ ，
R2 G
M M 3g
天体密度 ρ＝ ＝ ＝ .
V 4πR3 4πGR3
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r.
Mm 4π2 4π2r3
①由万有引力等于向心力，即 G ＝m r，得出中心天体质量 M＝ ；
r2 T2 GT2
②若已知天体半径 R，则天体的平均密度
M M 3πr3
ρ＝ ＝ ＝ ；
V 4 GT2R3πR33
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ
3π
＝ .可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度．
GT2
①利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非
环绕天体的质量。
②区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天体密度时，V＝
4
πR3中的 R 只能是中心天体的半径。
3
【考向 4】如图 1 所示，一半径为 R、密度均匀的球体，在与球心 O 相距 2R 的 P 处有一质量为 m 的质点，

球体对该质点的万有引力大小为 F。现从球体中挖去“半径为2的小球体（球心在 OP 连线上，右端位于 O
点），如图 2 所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（ ）
A 7．8 B
7
．16 C
23 D 23．25 ．50
【考向 5】（2024·河北·三模）2024 年 5 月 3 日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航
天发射场成功发射，自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来宇航员在月球（视为质量分布均
匀的球体）表面以大小为 0的初速度竖直上抛一物体（视为质点），已知引力常量为 G，月球的半径为 R、
密度为 。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为（ ）
2 0 3 0 3 A B C 0
6
D 0．3π ．π ．2π ．π
【考向 6】（2024·湖北黄石·一模）电影中的太空电梯非常吸引人。现假设已经建成了如图所示的太空电
梯，其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步
旋转。图中配重空间站比同步空间站更高，P 是缆绳上的一个平台。则下列说法正确的是（ ）
A．太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离的平方成反比
B．超级缆绳对 P 平台的作用力方向背离地心
C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一
边落向地球
D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，且断裂处为椭圆的远地点
【考向 7】（多选）（2024·福建龙岩·三模）如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨
道运行。已知火星的质量为月球质量的 9 倍，火星的半径为月球半径的 2 倍。假设月球、火星可视为质
量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是（　　）
A．月球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为 2：3
B．月球的第一宇宙速度与火星的第一宇宙速度之比为 2:3
C．嫦娥五号绕月球转动的周期与天间一号绕火星转动的周期之比为3 2:4
D．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值与天问一号绕火星转动轨道半径的三
次方与周期的平方的比值相等
【考向 8】（多选）（2024·湖北黄石·三模）位于贵州的 500 米口径球面射电望远镜，其反射面相当于 30
个足球场的大小，灵敏度达到世界第二大望远镜的 2.5 倍以上，大幅拓展了人类的视野。射电望远镜观测
到某行星的卫星 、 绕以其为焦点的椭圆轨道运行， 星的运行周期约为 星的2 2倍， 星轨迹远点到
行星的距离是轨迹近点的 2 倍， 星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的 3 倍。假设 、 只受到行星的
引力，则下列叙述正确的是（　　）
A． 星受到行星的引力最大值与最小值之比为4:1
B． 星受到行星的引力始终小于 星
C． 星受到行星的引力最大值与 星受到行星的引力最小值之比为9:2
D． 星轨迹近点到行星的距离小于 星轨迹远点到行星的距离
考点 3：不能忽略自转的万有引力定律的应用
1.不忽略地球自转的影响，地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体
随地球自转的向心力 F 向，如图。
Mm
①在赤道上：G ＝mg ＋mω21 R。R2
Mm
②在两极上：G ＝mg2。R2
Mm
③在一般位置：万有引力 G 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和。R2
2.物体在赤道上完全失重的条件
设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即 FN = 0,有 mg=mω2R
所以完全失重的临界条件为(地球半径 R=6400km)
a=g=9.8m/s2 g 1， rad/s, v gR 7.9km / s R,T 2 5075s 85min
R 808 g
上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。
3.地球不因自转而瓦解的最小密度
地球以 T =24h 的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做
GMm 2
圆周运动所需的向心力,即 2 m( )
2 R
R T
M 4根据质量与密度的关系,有 R3
3
3
所以,地球的密度应为 2 18.9kg / m
3
GT
即最小密度为 ρ 3min=18.9 kg/m 。地球平均密度的公认值为 ρ0=5507.85 kg/m3,足以保证地球处于稳定状
态。
【考向 9】某行星为质量分布均匀的球体，半径为 R，质量为 M。科研人员研究同一物体在该行星上的重
力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的 1.2 倍。已知引力常量为 G，则该行星自转的角
速度为（ ）
A 5 ． B． C． D．
6 3 12 3 6 3 3
【考向 9】“FAST 精细刻画活跃重复快速射电暴”入选 2022 年度中国科学十大进展，这些快速射电暴极
有可能处在超新星遗迹等环境中。假定地球的自转周期变为5000s时，则地表会缺少引力束缚而解体。
若 FAST 检测到的周期为1ms的脉冲是由某种星体的自转所致，即该星的自转周期为1ms，地球的平均密
度取5.5 × 103kg/m3，则这种星体的密度可能是（　　）
A．5 × 103kg/m3 B．5.5 × 1012kg/m3
C．1.4 × 1015kg/m3 D．1.4 × 1017kg/m3
【考向 10】地球赤道表面上某质量为 m 的人用体重计测量体重，静止时体重计的示数为 F．已知地球近
地卫星的周期为 1，地球同步卫星的周期为 2．假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球的自转不能
忽略．则可计算出地球的半径为（ ）
2 2
A 1 2
2
1 2． 24 2 2 2 B．4 2 22 1 1 22
21 2 2 2C 2 ． 2 14 2 21 2 D．2 4 2 21 22
【考向 11】甲、乙两位同学分别站在地球的南极和赤道上，用大小相等的初速度将一个小球竖直向上抛
出，小球落回手中的时间之比为 k，不计空气阻力。若已知地球密度为 ρ，引力常量为 G，则乙同学随地
球自转的角速度大小为（　　）
A 2 (1 ) B (1 ) ． ．
3 2
C 2 ． D ．
3 2
【考向 12】（多选）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超
出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量
均匀分布的星球，地球半径为 R，地球北极表面附近的重力加速度为 g，引力常量为 G，地球质量为 M，
则地球的最大自转角速度 ω 为（　　）
A 2 B C ． ． ． D．2
3 3
考点 4：忽略自转的万有引力定律的应用
由于地球自转缓慢，向心力很小，所以在一般计算中只要题目不强调自转不可忽略或者提及赤道两
极的重力加速度不一样，则可认为重力近似等于万有引力，重力方向竖直向下（即指向地心）。
Mm
忽略地球自转影响，即 mg＝G 。可得：
R2
GM GM g (R r)2
①地球表面重力加速度 g＝ ，距地面高 h 处重力加速度 g′＝ 。有 ＝ 。
R2 (R r)2 g′ R 2
②某深度处的重力加速度：
推论 1 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即 ΣF 引＝0
在匀质球体内部距离球心 r 处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为 r 的同心球体
M′m
（M′）对其的万有引力，即 F＝G
r2
推论 2
假想有一个深度为 h 的矿井，其底部的重力加速度为 g”，则由
Mm
mg＝G ①，
R2
M mg m G
(R h)2
②，
举个栗子
M V R3
③，
M V (R h)3
R h
可得 g g
R
【考向 13】假设地球是半径为 R、质量分布均匀的球体。一飞机离地面的高度为 d，飞机所在高度的重
力加速度大小为 1；一矿井深度也为 d，矿井底部的重力加速度大小为 2。已知质量分布均匀的球壳对
1
壳内物体的引力为零，则 等于（　　）2
3 3
A ．( )2( ) B．( )( )2
C ( )
2
．( )2 D．
【考向 14】如图所示，假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内
物体的引力为零。O 为球心，以 O 为原点建立坐标轴 Ox。则在 x 轴上各位置的重力加速度 g 随 x 的变化
关系图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考向 15】（2024·山西·一模）2023 年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九
天揽月，可下五洋捉鳖”！已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为 (10909m)，空间站离地面的高
度为 (400km)。假设地球质量分布均匀，半径为 ，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体
的引力为零，则深度为 处和高度为 处的重力加速度之比为（　　）
( )( )2A B ( )( )
2
． 3 ． 3
C
2
D
2
． ．
【考向 16】（2023·河南开封·三模）假定月球为质量分布均匀的球体，其半径为 ，在月球表面测得重力
加速度为 0，设 为距离月球表面高度为 时的重力加速度．当 比 小得多时， 和 0的关系式近似为
（　　）[当 1时，数学近似公式为(1 + ) ≈ 1 + ]
A． = 1 + 2 B = 1 0 ． 0
C． = 10 2 D． = 0 1
2
1 2

【考向 17】（多选）（2023·辽宁大连·二模）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为 m
的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点， ′为隧道的中点， ′与地心O
的距离为 = 3 ，假设地球是半径为 R 的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为 g，不考虑地
2
球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为 0，P 点到 ′的距离为 x，则（　　）
A．列车在隧道中 A 点的合力大小为 mg
B．列车在 P 点的重力加速度小于 g
C．列车在 P 点的加速度 =

D．列车在 P 点的加速度 =
【真题 1】（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不
相同。图中 a、b 和 c 处单位质量的海水受月球引力大小在（　　）
A．a 处最大 B．b 处最大 C．c 处最大 D．a、c 处相等，b 处最小
【真题 2】（2024·全国·高考真题）2024 年 5 月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面
采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表
1
面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的6。下列说法正确的是（　　）
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
【真题 3】（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中
行星 GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的 0.07 倍，周期约为 0.06 年，则这颗红矮星的质
量约为太阳质量的（　　）
A．0.001 倍 B．0.1 倍 C．10 倍 D．1000 倍
【真题 4】（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为
1:2:4。木卫三周期为 T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径 r 的 n 倍。月球绕地球公转周期为 0，则
（ ）

A．木卫一轨道半径为16 B．木卫二轨道半径为2
3 2
C．周期 T 与 T 0之比为 2 D．木星质量与地球质量之比为 02 3
【真题 5】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为 T，轨道高度与月球半径之比为 k，
引力常量为 G，则月球的平均密度为（　　）
3
A 3 (1 ) B 3 C (1 ) 3 ． 3 2 3 ． 2 ． 3 2 D． 2(1 + )
【真题 6】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其 24 小时椭圆轨道的半长轴为 a。
已知地球同步卫星的轨道半径为 r，则月球与地球质量之比可表示为（　　）
3A B
3 3 3
． ． C． D．
3 3 3 3
一、单选题
1．（2023·浙江温州·二模）《流浪地球 2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空
电梯上升到某高度时，质量为 2.5kg 的物体重力为 16N。已知地球半径为 6371km，不考虑地球自转，则
此时太空电梯距离地面的高度约为（ ）
A．1593km B．3584km C．7964km D．9955km
2．如图所示，从一质量为 M、半径为 2R 的均匀球体的球心 O 处挖出一半径为 R 的小球，将其移至两球
面相距 R 处，已知引力常量为 G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（　　）
A 7
2
B 7
2 7 2 7 2
．1024 2 ．512 2 C．256 2 D．64 2
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）中子星是目前发现的除黑洞外密度最大的星体，设中子星的密度为 ，半
径为 r，由于自转而不瓦解的最小周期为 0。则不同的中子星（ ）
A． 越大， 0一定越小 B． 越大， 0一定越大
C．r 越大， 0一定越小 D．r 越大， 0一定越大
4．（2024·吉林·二模）如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨道为椭圆，哈雷彗星最近出现在近日点的时间
是 1986 年，预计哈雷彗星下次回归到近日点将在 2061 年。已知椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离是
地球公转轨道半径 R 的 0.6 倍，则椭圆轨道远日点到太阳的距离为 3 45 = 3.56 （　　）
A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R
5．人类发现并记录的首颗周期彗星——哈雷彗星在 2023 年 12 月初抵达远日点后开始掉头，踏上归途。
哈雷彗星是人一生中唯一可能裸眼看见两次的短周期彗星，因英国物理学家爱德蒙·哈雷首先测定其轨道
数据并成功预言回归时间而得名。已知哈雷彗星大约每 76 年环绕太阳一周，如图所示为地球、哈雷彗星
绕太阳运动的示意图，哈雷彗星轨道是一个很扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为 1，在远日点与
太阳中心的距离为 2，若地球的公转轨道可视为半径为 R 的圆轨道，则下列说法正确的是（　　）
A ．在近日点与远日点的速度大小之比为 2
1
B
2
．在近日点与远日点的加速度大小之比为 2 21
C．哈雷彗星大约将在 2071 年左右再次离太阳最近

D 1
2
．哈雷彗星的轨道参数与地球轨道参数间满足 ≈ 18
6．（2024·陕西宝鸡·三模）人类视月球与火星是地球的“卫士”和“兄弟”，从未停止对它们的探测。已知月
球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为 g，轨道半径是地球半径的 a 倍；火星表面重力加速度是地
球表面重力加速度的 b 倍。科研人员在火星水平表面的发射架上水平发射一小球，发射点高为 h，测得发
射点与落点间的水平距离是 2h，不计火星表面的大气阻力，则发射小球的初速度大小是（　　）
A． 2 B． 2 C 2 ． D 2 ．

7．哈雷彗星是人类首颗有记录的周期彗星，也是唯一能裸眼直接从地球看见的短周期彗星。科学家观察
到哈雷彗星于 2023 年 12 月 9 日飞过远日点，预计 2061 年 7 月 28 日飞过近日点，到时能够再一次观察
到壮观的天文现象。已知地球到太阳的距离为 1AU（AU 为天文单位），哈雷彗星的近日点到太阳的距离
为 0.9AU，则它的远日点到太阳的距离约为（　　）
A．18AU B．27AU C．35AU D．41AU
8．（2024·天津河东·二模）2024 年 2 月 9 日农历除夕，神舟十七号 3 名航天员在中国空间站里贴春联、
挂灯笼、系中国结，并通过视频向祖国和人民送上新春祝福。已知空间站绕地球做匀速圆周运动的周期
为 T，地球半径为 R，万有引力常量为 G，地球表面重力加速度为 g，下列说法正确的是（ ）
A．空间站的运行速度大于第一宇宙速度
B．根据题中所给物理量无法计算出地球的密度
2 2
C ．空间站离地面的高度为3
4 2
D．春联和中国结处于完全失重状态，不受任何力的作用
9．（2024·安徽·三模）2024 年 3 月 25 日 0 时 46 分，我国成功利用长征运载火箭将“鹊桥二号”中继星送入
环月轨道飞行，该中继星进入周期为 T 的环月大椭圆使命轨道，按计划开展与“嫦娥四号”和“嫦娥六号”
的通信测试。如图是中继星环绕月球的示意图，其中 P 点为近月点，与月球表面距离为 1，Q 点为远月
点，与月球表面距离为 2，M、N 为椭圆的短轴点，月球半径为 R，万有引力常量为 G，则下列说法正确
的是（　　）
A．该中继星在 P 点时机械能最大
B．该中继星沿 MPN 运动时间等于沿 NQM 运动时间
2 3
C．月球表面重力加速度 = ( 1 2 )2 2 2
2D = ( 1 2 2 )
3
．月球的质量 2 2
10．工程上经常利用“重力加速度法”探测地下矿藏分布，可将其原理简化，如图所示，P 为某地区水平地
面上一点，如果地下没有矿物，岩石均匀分布、密度为 ρ，P 处的重力加速度（正常值）为 g；若在 P 点
1
正下方一球形区域内有某种矿物，球形区域中矿物的密度为2ρ，球形区域半径为 R，球心 O 到 P 的距离
为 L，此时 P 处的重力加速度 g′相比 P 处重力加速度的正常值 g 会偏小，差值 = ′可称为“重力加速
度反常值”。关于不同情况下的“重力加速度反常值”，下列说法正确的是（　　）
A 1．若球心 O 到 P 的距离变为 2L，则“重力加速度反常值”变为2δ
B 1 1．若球形区域半径变为2R，则“重力加速度反常值”变为8δ
C．若球形区域变为一个空腔，即“矿物”密度为 0，则“重力加速度反常值”变为 4δ
D 3 3．若球形区域内为重金属矿物，矿物密度变为2ρ，则“重力加速度反常值”变为－2δ
11．（2021·黑龙江哈尔滨·二模）一近地卫星的运行周期为 T0，地球的自转周期为 T，则地球的平均密度
与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（　　）
2A 0
2
． B． C．
0 D．
0 2 02
12．有科学家正在研究架设从地面到太空的“太空梯”。若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到 h 高
度处，恰好会感到自己“漂浮”起来。已知地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，则地球自转角速
度为（　　）
A B
2 3 3
． ． C D ． ．
( )3 ( )3 ( )2 ( )3
13．（2021·新疆·一模）假设天体是一半径为 R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内
物体的引力为零。如图，O 为地面上的点，用 d 表示离地面深度，h 表示离地面高度，则各点的重力加速
度 g 随 d、h 变化的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023·湖南怀化·一模）12 月 10 日，改编自刘慈欣同名系列长篇科幻小说的《三体》动画在哔哩哔
哩上线便备受关注。动画版《三体》总编剧之一赵佳星透露，为了还原太空电梯的结构，他们研究太空
电梯的运行原理。太空电梯的原理并不复杂，与生活的中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上
建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，在引力和向心加速度的相互作
用下，绳索会绷紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需
要依靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为 r 的太空电梯连接地球赤道上的固
定基地与同步空间站 a，相对地球静止，卫星 b 与同步空间站 a 的运行方向相同，此时二者距离最近，经
过时间 t 之后，a、b 第一次相距最远。已知地球半径 R，自转周期 T，下列说法正确的是（　　）
A．太空电梯各点均处于完全失重状态
B．b 2 卫星的周期为2
2 2
C 4 ．太空电梯停在距地球表面高度为 2R 的站点，该站点处的重力加速度 = 2 (9 2 3 )
D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比
二、多选题
15．（2024·福建泉州·二模）北斗卫星导航系统中的 MEO 卫星为中圆轨道卫星，利用引力常量 G 和下列
数据，能计算出地球质量的是（　　）
A．MEO 卫星绕地球的轨道半径和线速度
B．MEO 卫星绕地球的轨道半径和运行周期
C．地球表面重力加速度和 MEO 卫星绕地球的线速度
D．地球表面重力加速度和 MEO 卫星绕地球的轨道半径
16．（2024·四川泸州·二模）2023 年 7 月 10 日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学
院紫金山天文台发现的国际编号为 381323 号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，地球绕日运行近
视为圆轨道，“樊锦诗星”绕日运行为椭圆轨道，其轨道半长轴为 3.18 天文单位（日地距离为 1 天文单
位），远日点到太阳中心距离为 4.86 天文单位。下列说法正确的是（　　）
A．“樊锦诗星”绕太阳转动一圈，需要 3.18 年
B．“樊锦诗星”在近日点离太阳中心的距离为 1.5 天文单位
C．“ 1樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为4.862
D．“樊锦诗星”、地球分别跟太阳中心的连线，在相等时间内扫过的面积相等
三、解答题
17．（2023·福建·一模）在第 73 届国际宇航大会上，我国“天问一号”火星探测任务团队被国际宇航联合会
授予 2022 年度“世界航天奖”。天问一号着陆器在着陆火星的动力减速阶段，从火星表面附近以 0 = 96m/s
的初速度竖直向下做匀减速运动，经 = 80s速度减为 0。已知着陆器质量约为 = 1200kg，火星表面重
力加速度 火取4m/s2，忽略火星自转，求：
（1）着陆器在动力减速阶段下降的距离 h；
（2）着陆器在动力减速阶段所受阻力大小 f；
（3 1）若火星的半径是地球半径的2，地球表面重力加速度 g 取10m/s
2，求火星与地球的质量之比。
18．（2024·北京石景山·一模）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小
段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲
线上 A 点的曲率圆定义为：通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫
做 A 点的曲率圆，其半径 r 叫做 A 点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其
等效的圆周运动来分析和处理。
（1）氢原子核外的电子绕核做匀速圆周运动，其周期为 T。已知电子的电荷量为 e，质量为 m，静电力
常量为 k，求电子运动的轨道半径 R。
（2）将一物体沿与水平面成 α 角的方向以速度 v 抛出，如图（b）所示。已知重力加速度为 g，求其轨迹
最高点 P 处的曲率半径 r。
（3）开普勒根据第谷的行星观测记录结合数学知识发现，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等
的时间内扫过的面积相等。如图（c）所示，卫星绕地球沿椭圆轨道运动。卫星在椭圆轨道的近地点 P 的
速度为 v ，近地点 P 到地心的距离为 R；在远地点 Q 的速度为 v ，远地点 Q 到地心的距离为 r。一兴趣
小组的同学根据开普勒定律结合数学知识得到 = 。请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导
这一结论。第 15 讲 万有引力定律及其应用
——划重点之精细讲义系列
考点 1 开普勒三定律的理解和应用
考点 2 万有引力定律的理解
考点 3 不能忽略自转的万有引力定律的应用
考点 4 忽略自转的万有引力定律的应用
考点 1：开普勒三定律的理解和应用
1．内容
定律 内容 图示
开普勒第 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的
一定律 一个焦点上
开普勒第 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内
二定律 扫过相等的面积
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二
开普勒第
a3
三定律 次方的比值都相等. ＝k，k 是一个与行星无关的常量
T2
2．应用
3.天体运动的处理方法
（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
a3
（3）开普勒第三定律 ＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同。但该定
T2
律只能用在同一中心天体的两星体之间。
【考向 1】（2024·江苏徐州·三模）战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、
土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道（　　）
A．恒星都是静止不动的
B．行星绕太阳做圆周运动
C．行星绕太阳运行的速率不变
D．各行星绕太阳运行的周期不同
【答案】D
【详解】A．恒星都是运动的。故 A 错误；
B．根据开普勒第一定律可知行星绕太阳做椭圆运动。故 B 错误；
C．根据开普勒第二定律可知行星绕太阳运行的速率与行星和太阳的距离有关。故 C 错误；
D．根据开普勒第三定律可知，各行星绕太阳运行的周期不同。故 D 正确。
故选 D。
【考向 2】（2024·河南·一模）若两颗人造卫星M、N绕地球做匀速圆周运动，M、N到地心的距离之比为
，忽略卫星之间的相互作用。在时间 内，卫星M与地心连线扫过的面积为 M，卫星N与地心连线扫过的
面积为 N，则 M与 N的比值为（　　）
A．1 B C 1． ． 2 D．
【答案】D
【详解】根据
2
2 ＝
可知

=
则卫星在时间 t 内与地心的连线扫过的面积为
1 1
= 2 = 2
则
M M
= = N N
故选 D。
【考向 3】（2024·山东济南·三模）2024 年 3 月 20 日，“鹊桥二号”中继星由长征八号遥三运载火箭在中国
文昌航天发射场成功发射升空。如图所示，“鹊桥二号”临近月球时，先在周期为 24 小时的环月大椭圆冻
结轨道Ⅰ上运行一段时间，而后在近月点 变轨，进入周期为 12 小时的环月大椭圆冻结轨道Ⅱ。已知轨道Ⅰ
1
的近月点 距离月球表面的高度为 1，远月点 距离月球表面的高度为 ，月球半径为 ，32 ≈ 0.6，忽略4
地球引力的影响，则轨道Ⅱ的远月点 ′距离月球表面的高度为（　　）
A 3 2 2 1 4 B 3 2 2 1 8 ． 5 ． 5
C 3 2 3 1 4 D 3 2 3 1 8 ． 5 ． 5
【答案】A
【详解】在两个轨道上运动时，根据开普勒第三定律有
(2 + + )31 (2 + 1 + 2)3=
22 21
解得
3 2 2 1 4 = 5
故选 A。
考点 2：万有引力定律的理解
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质
量 m1和 m2的乘积成正比，与它们之间距离 r 的平方成反比。
m1m2
2．表达式：F＝G ，G 为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许利用扭秤实验测出。
r2
3．适用条件
（1）公式适用于质点间的相互作用。
（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
（3）不能得出：当 → 时，物体 、 间引力 趋于无穷大。因为当 → 时两个物体无法看做质
点。
4．对万有引力定律的理解：
万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本
普适性
相互作用之一
两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用
相互性
在两个物体上
一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在
宏观性
才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计
5．万有引力与重力的关系
GmM
如图所示，在纬度为 的地表处，物体所受的万有引力为 F= 。而物体随地球一起绕地轴自
R 2
转所需的向心力为 F 向=mRcos ·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力
充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力 mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球
表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。
越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，
GMm
即 = mg。
R2
6.万有引力应用的解题思路
7．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
Mm v2 4π2r
G ＝man＝m ＝mω2r＝mr2 r T2
Mm
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 G ＝mg(g 表示天体表面的重力加
R2
速度)．
8．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.
Mm gR2
由于 G ＝mg，故天体质量 M＝ ，
R2 G
M M 3g
天体密度 ρ＝ ＝ ＝ .
V 4πR3 4πGR3
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r.
Mm 4π2 4π2r3
①由万有引力等于向心力，即 G ＝m r，得出中心天体质量 M＝ ；
r2 T2 GT2
②若已知天体半径 R，则天体的平均密度
M M 3πr3
ρ＝ ＝ ＝ ；
V 4 GT2R3πR33
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ
3π
＝ .可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度．
GT2
①利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非
环绕天体的质量。
②区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天体密度时，V＝
4
πR3中的 R 只能是中心天体的半径。
3
【考向 4】如图 1 所示，一半径为 R、密度均匀的球体，在与球心 O 相距 2R 的 P 处有一质量为 m 的质点，

球体对该质点的万有引力大小为 F。现从球体中挖去“半径为2的小球体（球心在 OP 连线上，右端位于 O
点），如图 2 所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（ ）
A 7 7 23 23．8 B．16 C．25 D．50
【答案】C
【详解】设球体的密度为 ρ，球体的质量为 M，可得
4
= 3 π
3
则小球体的质量
4 3
′ = 3 π 2 = 8
球体对该质点的万有引力大小

= (2 )2
故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小
′
剩余 =
( 5
2
2 )
解得
23
剩余 = 25
故选 C。
【考向 5】（2024·河北·三模）2024 年 5 月 3 日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航
天发射场成功发射，自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来宇航员在月球（视为质量分布均
匀的球体）表面以大小为 0的初速度竖直上抛一物体（视为质点），已知引力常量为 G，月球的半径为 R、
密度为 。物体从刚被抛出到刚落回月球表面的时间为（ ）
2 0 3 0 3 0 6 A B C D 0．3π ．π ．2π ．π
【答案】C
【详解】设月球表面的重力加速度为 0，则有

2 = 0
解得
4 3 4 0 = 2 = 2 × 3 = 3
根据竖直上抛运动的规律可知，落回月球表面的时间
2 3 3
= 0 = 2 0 × 4 =
0
0 2
C 正确。
故选 C。
【考向 6】（2024·湖北黄石·一模）电影中的太空电梯非常吸引人。现假设已经建成了如图所示的太空电
梯，其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步
旋转。图中配重空间站比同步空间站更高，P 是缆绳上的一个平台。则下列说法正确的是（ ）
A．太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离的平方成反比
B．超级缆绳对 P 平台的作用力方向背离地心
C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一
边落向地球
D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，且断裂处为椭圆的远地点
【答案】B
【详解】A．太空电梯上各点具有相同的角速度，根据
= 2
可知，太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离成正比，故 A 错误；
B．P 平台如果只受地球万有引力，则圆周运动角速度比同步空间站要快，而实际圆周运动角速度等于同
步空间站角速度，则在万有引力之外，P 平台还受到缆绳拉力，故地球的引力与缆绳拉力提供 P 平台做
圆周运动所需的向心力，P 平台做圆周运动所需的向心力小于地球对它的万有引力，所以超级缆绳对 P
平台的作用力方向背离地心，故 B 正确；
C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一边偏
离地球，做离心运动，故 C 错误；
D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，其断裂处为椭圆的近地点，因为在近地
点线速度较大，半径较小，需要的向心力更大，故 D 错误。
故选 B。
【考向 7】（多选）（2024·福建龙岩·三模）如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨
道运行。已知火星的质量为月球质量的 9 倍，火星的半径为月球半径的 2 倍。假设月球、火星可视为质
量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是（　　）
A．月球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为 2：3
B．月球的第一宇宙速度与火星的第一宇宙速度之比为 2:3
C．嫦娥五号绕月球转动的周期与天间一号绕火星转动的周期之比为3 2:4
D．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值与天问一号绕火星转动轨道半径的三
次方与周期的平方的比值相等
【答案】BC
【详解】A．在月球表面
月

2
= 月
月
解得
月
月 = 2月
同理，可得
火
火 = 2火
所以
月 2月 火
2
月 火 4
= 2 × =火 火
× =
火 2 9月 月
A 错误；
B．在星球表面，可以认为重力为其圆周运动提供向心力，故有
2月
月 = 月
解得
月 = 月 月
同理可得
火 = 火 火
所以
月 月 月 4 1 2
= =火 火 火 9
× 2 = 3
B 正确；
C 2 ．根据周期公式 = 可知
月 2 月 火 3 1 3 2
= ×火 月 2
= × =
火 2 2 4
C 正确
D．开普勒第三定律是对于同一中心天体而言，嫦娥五号与天问一号圆周运动的中心天体不同，D 错误。
故选 BC。
【考向 8】（多选）（2024·湖北黄石·三模）位于贵州的 500 米口径球面射电望远镜，其反射面相当于 30
个足球场的大小，灵敏度达到世界第二大望远镜的 2.5 倍以上，大幅拓展了人类的视野。射电望远镜观测
到某行星的卫星 、 绕以其为焦点的椭圆轨道运行， 星的运行周期约为 星的2 2倍， 星轨迹远点到
行星的距离是轨迹近点的 2 倍， 星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的 3 倍。假设 、 只受到行星的
引力，则下列叙述正确的是（　　）
A． 星受到行星的引力最大值与最小值之比为4:1
B． 星受到行星的引力始终小于 星
C． 星受到行星的引力最大值与 星受到行星的引力最小值之比为9:2
D． 星轨迹近点到行星的距离小于 星轨迹远点到行星的距离
【答案】AD
【详解】A．已知 星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的 2 倍，则根据万有引力定律可知， 星受到行
星的引力最大值与最小值之比为4:1，故 A 正确；
BC．由于卫星 、 的质量关系未知，所以无法判定两个卫星受到的引力大小关系，故 BC 错误；
D．根据开普勒第三定律可得
3 3A B
2 =A B2
整理得
2B = 3

( B A
) = 2
A
由题可知
2
3 × 2 A = 远
1
4 × 2 B = 近
即 星轨迹近点到行星的距离小于 星轨迹远点到行星的距离，故 D 正确。
故选 AD。
考点 3：不能忽略自转的万有引力定律的应用
1.不忽略地球自转的影响，地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体
随地球自转的向心力 F 向，如图。
Mm
①在赤道上：G ＝mg ＋mω2R。
R2 1
Mm
②在两极上：G ＝mg 。
R2 2
Mm
③在一般位置：万有引力 G 等于重力 mg 与向心力 F
R2 向
的矢量和。
2.物体在赤道上完全失重的条件
设想地球自转角速度加快,使赤道上的物体刚好处于完全失重状态,即 FN = 0,有 mg=mω2R
所以完全失重的临界条件为(地球半径 R=6400km)
g 1 R
a=g=9.8m/s2， rad/s, v gR 7.9km / s ,T 2 5075s 85min
R 808 g
上述结果恰好是近地人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期。
3.地球不因自转而瓦解的最小密度
地球以 T =24h 的周期自转,不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做
GMm 2
圆周运动所需的向心力,即 2 m( )
2 R
R T
4
根据质量与密度的关系,有M R3
3
所以,地球的密度应为 3 2 18.9kg / m
3
GT
即最小密度为 ρmin=18.9 kg/m3。地球平均密度的公认值为 ρ0=5507.85 kg/m3,足以保证地球处于稳定状
态。
【考向 9】某行星为质量分布均匀的球体，半径为 R，质量为 M。科研人员研究同一物体在该行星上的重
力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的 1.2 倍。已知引力常量为 G，则该行星自转的角
速度为（ ）
A B 5 ． ． C． D．
6 3 12 3 6 3 3
【答案】A
【详解】设赤道处的重力加速度为 g，物体在两极时万有引力等于重力，有

2 =1.2
在赤道时万有引力可分解为重力和自转所需的向心力，则有

2 = +
2
联立解得该行星自转的角速度为

= 6 3
故选 A。
【考向 9】“FAST 精细刻画活跃重复快速射电暴”入选 2022 年度中国科学十大进展，这些快速射电暴极
有可能处在超新星遗迹等环境中。假定地球的自转周期变为5000s时，则地表会缺少引力束缚而解体。
若 FAST 检测到的周期为1ms的脉冲是由某种星体的自转所致，即该星的自转周期为1ms，地球的平均密
度取5.5 × 103kg/m3，则这种星体的密度可能是（　　）
A．5 × 103kg/m3 B．5.5 × 1012kg/m3
C．1.4 × 1015kg/m3 D．1.4 × 1017kg/m3
【答案】D
【详解】地表恰好缺少引力束缚时
4 2
2 = 2
该星体的密度为

= 4 3
3
联立可得
3
= 2
假设某种星体的自转的周期为1ms 1时，恰好未解体，此时其周期为地球自转周期的5000000，则其密度是地
球的2.5 × 1013倍，即为1.375 × 1017kg/m3，故自转的周期为1ms时，若未解体，则密度应大于1.375 × 1017
kg/m3。
故选 D。
【考向 10】地球赤道表面上某质量为 m 的人用体重计测量体重，静止时体重计的示数为 F．已知地球近
地卫星的周期为 1，地球同步卫星的周期为 2．假设地球可视为质量分布均匀的球体，地球的自转不能
忽略．则可计算出地球的半径为（ ）
2 2 2 2
A 1
2 1 ． 24 2 2 2 B．2 1 4 2 21 22
2 2 2C 1 2 2
2
． 14 2 2 2 D．4 2 2 21 2 1 2
【答案】A
【详解】地球同步卫星的周期等于地球自转周期 2，对赤道上的人
4 2
2 = 22
对地球近地卫星
0 4 2 2 = 0 2

1
解得
21 2 = 2
4 2 22 21
故选 A。
【考向 11】甲、乙两位同学分别站在地球的南极和赤道上，用大小相等的初速度将一个小球竖直向上抛
出，小球落回手中的时间之比为 k，不计空气阻力。若已知地球密度为 ρ，引力常量为 G，则乙同学随地
球自转的角速度大小为（　　）
A 2 (1 ) B (1 ) ． ．
3 2
C ．2 D．
3 2
【答案】A
【详解】设南极处的重力加速度为 0，小球落回手中的时间为 t0，赤道处的重力加速度为 g，小球落回手
中的时间为 t，由小球竖直上抛到达最高点得

0 = 2
所以
0 1
= =0
在南极，由万有引力提供重力有

2 = 0
在赤道，由万有引力提供小球的重力和小球随地球自转的向心力有

2 = +
2
又
4
= ， = 3
3
联立以上各式可解得
(1 )
= 2 3
故选 A。
【考向 12】（多选）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超
出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量
均匀分布的星球，地球半径为 R，地球北极表面附近的重力加速度为 g，引力常量为 G，地球质量为 M，
则地球的最大自转角速度 ω 为（　　）
A 2 B ． ． C． D．2
3 3
【答案】BC
【详解】AB．设地球赤道上有一质量为 m 的物体，要维持该物体随地球一起以最大角速度 ω 转动，则物
体与地球之间的万有引力提供自转所需的向心力，则有

= 2 2
解得

= 3
A 错误，B 正确；
CD．在地球北极表面附近有

2 =
则有
GM=gR2
解得

=
C 正确，D 错误。
故选 BC。
考点 4：忽略自转的万有引力定律的应用
由于地球自转缓慢，向心力很小，所以在一般计算中只要题目不强调自转不可忽略或者提及赤道两
极的重力加速度不一样，则可认为重力近似等于万有引力，重力方向竖直向下（即指向地心）。
Mm
忽略地球自转影响，即 mg＝G 。可得：
R2
GM GM g (R r)2
①地球表面重力加速度 g＝ ，距地面高 h 处重力加速度 g′＝ 。有 ＝ 。
R2 (R r)2 g′ R 2
②某深度处的重力加速度：
推论 1 在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即 ΣF 引＝0
在匀质球体内部距离球心 r 处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为 r 的同心球体
M′m
（M′）对其的万有引力，即 F＝G
r2
推论 2
假想有一个深度为 h 的矿井，其底部的重 力加速度为 g”，则由
Mm
mg＝G ①，
R2
举个栗子

mg M m G ②，
(R h)2
M V R3
③，
M V (R h)3
g R h可得 g
R
【考向 13】假设地球是半径为 R、质量分布均匀的球体。一飞机离地面的高度为 d，飞机所在高度的重
力加速度大小为 1；一矿井深度也为 d，矿井底部的重力加速度大小为 2。已知质量分布均匀的球壳对
1
壳内物体的引力为零，则 等于（　　）2
3 3
A ．( )2( ) B．( )( )2
C ( )
2
．( )2 D

．
【答案】A
【详解】设地球的质量为 M，在飞机上质量为 m 的物体有

mg1= ( )2
以地球中心为球心、以 R-d 为半径的球体质量
4 3 ( )
3
′ = 4 3 ( ) =3 3

3
则矿井底部质量为 m 的物体有
′ mg2= ( )2
联立可得
31
=2 ( + )2( )
故选 A。
【考向 14】如图所示，假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内
物体的引力为零。O 为球心，以 O 为原点建立坐标轴 Ox。则在 x 轴上各位置的重力加速度 g 随 x 的变化
关系图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令地球的密度为 ，当 x≥R 时，地球可被看成球心处的质点，则有

2 =
由于地球的质量为
4
= 33
所以重力加速度为
4 3
= 3 2
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为 R-x 的位置，受到地球的万有引
力即为半径等于 x 的球体在其表面产生的万有引力，即
′ ×
4 3 4
′ = 2 =
3
2 = 3
当 r＜R 时，g 与 x 成正比，当 r＞R 后，g 与 x 平方成反比。
故选 A。
【考向 15】（2024·山西·一模）2023 年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九
天揽月，可下五洋捉鳖”！已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为 (10909m)，空间站离地面的高
度为 (400km)。假设地球质量分布均匀，半径为 ，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体
的引力为零，则深度为 处和高度为 处的重力加速度之比为（　　）
( )( )2A ( )( )
2
． 3 B． 3
2 2C． D

．
【答案】A
【详解】设质量为 1的物体在马里亚纳海沟底处，有
′
1( )2 = 1 1
又
′ ( )3
= 3
质量为 2的物体在空间站上，有

2( + )2 = 2 2
解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为
1 ( )( + )2
=2 3
故选 A。
【考向 16】（2023·河南开封·三模）假定月球为质量分布均匀的球体，其半径为 ，在月球表面测得重力
加速度为 0，设 为距离月球表面高度为 时的重力加速度．当 比 小得多时， 和 0的关系式近似为
（　　）[当 1时，数学近似公式为(1 + ) ≈ 1 + ]
A． = 0 1 + 2 B． = 1 0
C． = 10 2 D． = 0 1
2
1 2

【答案】D
【详解】物体在月球表面时，有

2 = 0
物体距离月球表面高度为 时，有

( + )2 =
联立可得
2 1 1
= ( + )2 = 2 ≈0 (1 + ) 1 + 2
可得
0 0(1
2
) 0(1
2
) 2 = 2 = 2 2 = ≈ 2 2 0
(1 )
1 + (1 + )(1 ) 1 ( )

故选 D。
【考向 17】（多选）（2023·辽宁大连·二模）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为 m
的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点， ′为隧道的中点， ′与地心O
的距离为 = 3 ，假设地球是半径为 R 的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为 g，不考虑地
2
球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为 0，P 点到 ′的距离为 x，则（　　）
A．列车在隧道中 A 点的合力大小为 mg
B．列车在 P 点的重力加速度小于 g
C ．列车在 P 点的加速度 =

D．列车在 P 点的加速度 =
【答案】BD
【详解】A．列车在隧道中 A 点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示
则有
合 =
sin ， = 2，sin = 2 2 2
解得
2 2 1
合 = = 2
A 错误；
B．由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为 0，则在 P 点有
2 = 2 + 2
由于质量均匀分布，则有

4 = 2 + 2 3 43 3
3
解得
2 + 2
= <
B 正确；
CD．令∠ ′ = ，根据上述，则有

2 2 2sin = ，sin = 2 2
解得

=
C 错误，D 正确。
故选 BD。
【真题 1】（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不
相同。图中 a、b 和 c 处单位质量的海水受月球引力大小在（　　）
A．a 处最大 B．b 处最大 C．c 处最大 D．a、c 处相等，b 处最小
【答案】A
【详解】根据万有引力公式
m
= 2
可知图中 a 处单位质量的海水收到月球的引力最大；
故选 A。
【真题 2】（2024·全国·高考真题）2024 年 5 月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面
采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表
1
面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的6。下列说法正确的是（　　）
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
【答案】D
【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故 A 错误；
BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自
1
由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的6，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以
样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故 B 错误，D 正确；
C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故 C 错误。
故选 D。
【真题 3】（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中
行星 GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的 0.07 倍，周期约为 0.06 年，则这颗红矮星的质
量约为太阳质量的（　　）
A．0.001 倍 B．0.1 倍 C．10 倍 D．1000 倍
【答案】B
【详解】设红矮星质量为 M1，行星质量为 m1，半径为 r1，周期为 T1；太阳的质量为 M2，地球质量为
m2，到太阳距离为 r2，周期为 T2；根据万有引力定律有
1 1 4 2 =
2 1 2 11 1
2 2 4 2 2 = 2 2
2
2 2
联立可得
3 21 1 2
= 2 2 1
由于轨道半径约为日地距离的 0.07 倍，周期约为 0.06 年，可得
1
≈ 0.12
故选 B。
【真题 4】（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为
1:2:4。木卫三周期为 T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径 r 的 n 倍。月球绕地球公转周期为 0，则
（ ）

A．木卫一轨道半径为16 B．木卫二轨道半径为2
3 2
C．周期 T 与 T D 之比为 2 ．木星质量与地球质量之比为 0 30 2
【答案】D
【详解】根据题意可得，木卫 3 的轨道半径为
3 =
AB．根据万有引力提供向心力
4 2
2 = 2
可得
2
= 3 4 2
木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1:2:4,可得木卫一轨道半径为

1 = 3 16
木卫二轨道半径为

2 = 3 4
故 AB 错误；
C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期 T 与 T0 之比，
故 C 错误；
D．根据万有引力提供向心力，分别有
2木 4
( )2 = 2
地 4 2
2 = 2

0
联立可得
2木
= 0 3 2 地
故 D 正确。
故选 D。
【真题 5】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为 T，轨道高度与月球半径之比为 k，
引力常量为 G，则月球的平均密度为（　　）
A 3 (1 )
3
． 2 3 B
3 (1 ) 3
． 2 C． 3 2 D． 2(1 + )
3
【答案】D
【详解】设月球半径为 ，质量为 ，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
4 2
[( + 1) ]2 = 2 ( + 1)
月球的体积
4
= 33
月球的平均密度

=
联立可得
3
= 2 (1 + )
3
故选 D。
【真题 6】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其 24 小时椭圆轨道的半长轴为 a。
已知地球同步卫星的轨道半径为 r，则月球与地球质量之比可表示为（　　）
A
3 3 3B C
3
． ． ．
3 3 3
D． 3
【答案】D
【详解】“鹊桥二号”中继星在 24 小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律
3
2 =
同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律
3
′
′2
=
又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以
月
=地 ′
联立可得
3月
= 3地
故选 D。
一、单选题
1．（2023·浙江温州·二模）《流浪地球 2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空
电梯上升到某高度时，质量为 2.5kg 的物体重力为 16N。已知地球半径为 6371km，不考虑地球自转，则
此时太空电梯距离地面的高度约为（ ）
A．1593km B．3584km C．7964km D．9955km
【答案】A
【详解】设地球的半径为 R，地球质量为 M，引力常量为 G，地球表面重力加速度为 g0，太空电梯离地
高度为 h，太空电梯所在位置处的重力加速度为 g’，根据万有引力公式有

( + )2 = ′

2 = 0
代入数据有

(6371 + )2 = 16

2 = 25
整理得
2 16 4
( + )2 = 25 + = 5
所以太空梯距离地面高度为
1
= 4 = 1593km
故选 A。
2．如图所示，从一质量为 M、半径为 2R 的均匀球体的球心 O 处挖出一半径为 R 的小球，将其移至两球
面相距 R 处，已知引力常量为 G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（　　）
7 2 2 2 2A．1024 2 B
7 7 7
．512 2 C．256 2 D．64 2
【答案】A
【详解】大球剩余部分和小球的质量之比为
4 4 4
1: 2 = [ (2 )3 33 3 ]: 3
3 = 7:1
质量之和为
1 + 2 =
所以大球剩余部分和小球的质量分别为
7
1 = 8
1
2 = 8
所以二者之间的万有引力大小为
2
= 1
2 7
(2 + + )2 = 1024 2
故选 A。
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）中子星是目前发现的除黑洞外密度最大的星体，设中子星的密度为 ，半
径为 r，由于自转而不瓦解的最小周期为 0。则不同的中子星（ ）
A． 越大， 0一定越小 B． 越大， 0一定越大
C．r 越大， 0一定越小 D．r 越大， 0一定越大
【答案】A
【详解】中子星不瓦解是由于星球表面的物体所受到的引力大于或等于自转所需的向心力，即
4 2
2 ≥ 2
4
= 3
3
解得
3
≥
所以
3
0 =
AB． 越大， 0越小,A 正确，B 错误；
CD． 0与 r 无关，CD 均错误。
故选 A。
4．（2024·吉林·二模）如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨道为椭圆，哈雷彗星最近出现在近日点的时间
是 1986 年，预计哈雷彗星下次回归到近日点将在 2061 年。已知椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离是
地球公转轨道半径 R 的 0.6 倍，则椭圆轨道远日点到太阳的距离为 3 45 = 3.56 （　　）
A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R
【答案】C
【详解】地球绕太阳公转的周期 T 为 1 年，哈雷彗星的周期 T1为
T1=2061 年－1986 年=75 年
根据开普勒第三定律得
3 3
2
= 21
解得
2
= 3 1 = 3 2 75
2 = 17.8
得
= 17.8
又近日点到远日点的距离为 2a，已知近日点到太阳中心距离为 0.6R，故
远 = 2 0.6 = 35
故选 C。
5．人类发现并记录的首颗周期彗星——哈雷彗星在 2023 年 12 月初抵达远日点后开始掉头，踏上归途。
哈雷彗星是人一生中唯一可能裸眼看见两次的短周期彗星，因英国物理学家爱德蒙·哈雷首先测定其轨道
数据并成功预言回归时间而得名。已知哈雷彗星大约每 76 年环绕太阳一周，如图所示为地球、哈雷彗星
绕太阳运动的示意图，哈雷彗星轨道是一个很扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为 1，在远日点与
太阳中心的距离为 2，若地球的公转轨道可视为半径为 R 的圆轨道，则下列说法正确的是（　　）
A ．在近日点与远日点的速度大小之比为 2
1
2
B ．在近日点与远日点的加速度大小之比为 2 21
C．哈雷彗星大约将在 2071 年左右再次离太阳最近

D 1
2
．哈雷彗星的轨道参数与地球轨道参数间满足 ≈ 18
【答案】B
【详解】A．根据开普勒第二定律，取时间微元Δ ，结合扇形面积公式可得
1 1
2 1Δ 1 = 2 2Δ 2
解得
1 = 2 2 1
A 错误；
B．在近日点时，由牛顿第二定律可得

2 = 11
在远日点时，由牛顿第二定律可得

2 = 22
联立解得
21 = 2 22 1
B 正确；
C．由题中信息可知，哈雷彗星将在
2023 + (76 ÷ 2) = 2061
年左右回到近日点，C 错误；
D．根据开普勒第三定律
3
2 =
得
3 3
=
2哈
2
地
则有
= 3 762 ≈ 18
又半长轴
1 + = 22
则
1 + 2
≈ 36
D 错误；
故选 B。
6．（2024·陕西宝鸡·三模）人类视月球与火星是地球的“卫士”和“兄弟”，从未停止对它们的探测。已知月
球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为 g，轨道半径是地球半径的 a 倍；火星表面重力加速度是地
球表面重力加速度的 b 倍。科研人员在火星水平表面的发射架上水平发射一小球，发射点高为 h，测得发
射点与落点间的水平距离是 2h，不计火星表面的大气阻力，则发射小球的初速度大小是（　　）
A． 2 B． 2 C 2 D 2 ． ．

【答案】A
【详解】设地球的半径为 ,地球的质量为 ,表面的重力加速度为 ′，则月球绕地球的轨道半径
=
根据万有引力定律及牛顿第二定律可知

( )2 =

′( )2 =
解得
′ = 2
所以火星表面的重力加速度
= ′ = 2火
在火星表面将物体水平抛出，由抛体运动的规律可知
1
= 2
2
火
2 = 0
联立上述各式可得
0 = 2
故选 A。
7．哈雷彗星是人类首颗有记录的周期彗星，也是唯一能裸眼直接从地球看见的短周期彗星。科学家观察
到哈雷彗星于 2023 年 12 月 9 日飞过远日点，预计 2061 年 7 月 28 日飞过近日点，到时能够再一次观察
到壮观的天文现象。已知地球到太阳的距离为 1AU（AU 为天文单位），哈雷彗星的近日点到太阳的距离
为 0.9AU，则它的远日点到太阳的距离约为（　　）
A．18AU B．27AU C．35AU D．41AU
【答案】C
【分析】考查目标本题考查了开普勒第三定律，考查考生的推理能力和科学思维、科学态度与责任
【详解】根据题中提供的信息可知，哈雷彗星的周期 T 约为 76 年，设哈雷彗星的半长轴为 ，地球绕太
阳运行的周期 0 = 1年，轨道半径 0 = 1AU，由开普勒第三定律，有
3 3
= 0 2 20
可得
= 17.9AU
由于
2 = 1 + 2
近距离 d1=0.9AU，解得远日点到太阳的距离约为
2 ≈ 35AU
故选 C。
8．（2024·天津河东·二模）2024 年 2 月 9 日农历除夕，神舟十七号 3 名航天员在中国空间站里贴春联、
挂灯笼、系中国结，并通过视频向祖国和人民送上新春祝福。已知空间站绕地球做匀速圆周运动的周期
为 T，地球半径为 R，万有引力常量为 G，地球表面重力加速度为 g，下列说法正确的是（ ）
A．空间站的运行速度大于第一宇宙速度
B．根据题中所给物理量无法计算出地球的密度
2 2C ．空间站离地面的高度为3
4 2
D．春联和中国结处于完全失重状态，不受任何力的作用
【答案】C
【详解】A．根据万有引力提供向心力
2
2 =
可得

=
可知当卫星贴近地球表面运动时的速度最大即为第一宇宙速度，可知空间站的运行速度小于第一宇宙速
度，故 A 错误；
B．物体在地面表面受到的万有引力等于重力，则有

2 =
可得
2
=
又
4
= 3
3
联立可得地球的密度为
3
= 4
故 B 错误；
C．空间站绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
4 2
( + )2 = 2 ( + )
可得
2 2 2
= 3

4 2 =
3
4 2
故 C 正确；
D．春联和中国结处于完全失重状态，受到地球的万有引力提供绕地球转动所需的向心力，故 D 错误。
故选 C。
9．（2024·安徽·三模）2024 年 3 月 25 日 0 时 46 分，我国成功利用长征运载火箭将“鹊桥二号”中继星送入
环月轨道飞行，该中继星进入周期为 T 的环月大椭圆使命轨道，按计划开展与“嫦娥四号”和“嫦娥六号”
的通信测试。如图是中继星环绕月球的示意图，其中 P 点为近月点，与月球表面距离为 1，Q 点为远月
点，与月球表面距离为 2，M、N 为椭圆的短轴点，月球半径为 R，万有引力常量为 G，则下列说法正确
的是（　　）
A．该中继星在 P 点时机械能最大
B．该中继星沿 MPN 运动时间等于沿 NQM 运动时间
2( )3C．月球表面重力加速度 = 1 22 2 2
2 3
D．月球的质量 = ( 1 2 2 )2 2
【答案】D
【详解】A．由于中继星在该轨道上无动力飞行，仅受万有引力，故其机械能守恒，A 错误；
B．由于中继星在近月点 P 附近速率较大，MPN 与 NQM 路程相同，故 MPN 阶段时间较少，B 错误；
CD．由开普勒第三定律与天体圆周运动的规律可得
1 + 2 + 2 3
2
2 =

= 4 2

2 =
解得
2( + + 2 )3
= 1 22 2
2( 1 + 2 + 2 )3 = 2 2 2
C 错误，D 正确。
故选 D。
10．工程上经常利用“重力加速度法”探测地下矿藏分布，可将其原理简化，如图所示，P 为某地区水平地
面上一点，如果地下没有矿物，岩石均匀分布、密度为 ρ，P 处的重力加速度（正常值）为 g；若在 P 点
1
正下方一球形区域内有某种矿物，球形区域中矿物的密度为2ρ，球形区域半径为 R，球心 O 到 P 的距离
为 L，此时 P 处的重力加速度 g′相比 P 处重力加速度的正常值 g 会偏小，差值 = ′可称为“重力加速
度反常值”。关于不同情况下的“重力加速度反常值”，下列说法正确的是（　　）
A 1．若球心 O 到 P 的距离变为 2L，则“重力加速度反常值”变为2δ
B 1 1．若球形区域半径变为2R，则“重力加速度反常值”变为8δ
C．若球形区域变为一个空腔，即“矿物”密度为 0，则“重力加速度反常值”变为 4δ
D 3 3．若球形区域内为重金属矿物，矿物密度变为2ρ，则“重力加速度反常值”变为－2δ
【答案】B
【详解】A．如果将近地表的球形区域中的黄金矿石换成普通的密度为 的岩石，则该地区重力加速度便
1
回到正常值，因此，重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上减去一个密度为2 、质
量为
1
= 2
的球引起的，该减去的球对 P 点一质量为 m 的质点产生的附加加速度为Δ ，则

2 = Δ
此时 P 处的重力加速度 g′相比 P 处重力加速度的正常值 g 会偏小，差值
= ′
可称为“重力加速度反常值”，故
1
= Δ = 2 2
若球心 O 到 P 的距离变为 2L，则“重力加速度反常值”变为
1
2 1 (2 )2 = 4
故 A 错误；
B 1．若球形区域半径变为2R，则重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上减去一个密度
1
为2 、质量为
1 1
1 = 2 8 = 16
的球引起的，此时 “重力加速度反常值”变为
1
1
1 16 2 = 2 = 8
故 B 正确；
C．若球形区域变为一个空腔，则重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上减去一个密
度为 、质量为
2 = =
的球引起的，即“矿物”密度为 0，则“重力加速度反常值”变为
2 2 = 2 = 2
故 C 错误；
D 3．若球形区域变为重金属矿物，矿物密度变为2ρ，，则重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩
石的基础上增加加一个密度为 、质量为
1
3 = 2
3
的球引起的，即“矿物”密度为2ρ，时“重力加速度反常值”变为
1

3 2 =
2
2 =
故 D 错误。
故选 B。
11．（2021·黑龙江哈尔滨·二模）一近地卫星的运行周期为 T0，地球的自转周期为 T，则地球的平均密度
与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为（　　）
A 0
2 2
． B C

． ．
0 D．
0 2 02
【答案】D
【详解】对近地卫星，有
2
= ( 2 2 ) 0
4
= 31· 3
联立得
3
1 = 20
考虑地球赤道处一小块质量为 m0的物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的
向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为 ρ2，则有
2 2
0 2 = 0( )
4
= 2· 33
联立得
3
2 = 2
所以
21
= 22 0
故 D 正确 ABC 错误。
故选 D。
12．有科学家正在研究架设从地面到太空的“太空梯”。若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到 h 高
度处，恰好会感到自己“漂浮”起来。已知地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，则地球自转角速
度为（　　）
A
2 3 3
． B C D ． ． ．
( )3 ( )3 ( )2 ( )3
【答案】B
【详解】在地面万有引力等于重力

2 =
当人感到自己“漂浮”起来，为完全失重，万有引力全部提供做向心力有

( + )2 =
2( + )
联立解得
2
= ( + )3
故 B 正确，ACD 错误。
故选 B。
13．（2021·新疆·一模）假设天体是一半径为 R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内
物体的引力为零。如图，O 为地面上的点，用 d 表示离地面深度，h 表示离地面高度，则各点的重力加速
度 g 随 d、h 变化的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】AB．设天体密度为 ，半径为 R。则在天体内部有
4 ( )3
′ 3 4 ( ) = 2 = ( )2 = 3
可知，g 随 d 增加而均匀减小。故 A 正确，B 错误；
CD．在天体外部有

= ( + )2
可知，g 与该点到球心的距离的平方成反比。故 CD 错误。
故选 A。
14．（2023·湖南怀化·一模）12 月 10 日，改编自刘慈欣同名系列长篇科幻小说的《三体》动画在哔哩哔
哩上线便备受关注。动画版《三体》总编剧之一赵佳星透露，为了还原太空电梯的结构，他们研究太空
电梯的运行原理。太空电梯的原理并不复杂，与生活的中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上
建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，在引力和向心加速度的相互作
用下，绳索会绷紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需
要依靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为 r 的太空电梯连接地球赤道上的固
定基地与同步空间站 a，相对地球静止，卫星 b 与同步空间站 a 的运行方向相同，此时二者距离最近，经
过时间 t 之后，a、b 第一次相距最远。已知地球半径 R，自转周期 T，下列说法正确的是（　　）
A．太空电梯各点均处于完全失重状态
B b 2 ． 卫星的周期为2
2 2
C 4 ．太空电梯停在距地球表面高度为 2R 的站点，该站点处的重力加速度 = 2 (9 2 3 )
D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成反比
【答案】B
【详解】A．太空电梯各点随地球-起做匀速圆周运动，只有位置达到同步卫星的高度的点才处于完全失
重状态，故 A 错误；
B．同步卫星的周期为
a =
当两卫星 a、b 第一次相距最远时满足
2 2
= a b
解得
2
b = 2
故 B 正确；
C．太空电梯长度即为同步卫星离地面的高度，根据万有引力提供向心力
4 2
( + )2 = 2 ( + )
太空电梯停在距地球表面高度为 2R 的站点，太空电梯上货物质量为 m，在距地面高2 站点受到的万有引
力为 F，则

= (3 )2
货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为 N，则
N = 2 3
在货梯内有
N =
= 2
解得
4 2 ( + )3
= 2 [ 9 2 3 ]
故 C 错误；
D．太空电梯相对地球静止，各点角速度相等，各点线速度
= ′
与该点离地球球心距离成正比，故 D 错误。
故选 B。
二、多选题
15．（2024·福建泉州·二模）北斗卫星导航系统中的 MEO 卫星为中圆轨道卫星，利用引力常量 G 和下列
数据，能计算出地球质量的是（　　）
A．MEO 卫星绕地球的轨道半径和线速度
B．MEO 卫星绕地球的轨道半径和运行周期
C．地球表面重力加速度和 MEO 卫星绕地球的线速度
D．地球表面重力加速度和 MEO 卫星绕地球的轨道半径
【答案】AB
【详解】AB．根据万有引力提供向心力有
2 4 2
2 = = 2
所以
=
2 = 4
2 3
， 2
由此可知，若已知卫星绕地球的轨道半径和线速度或者已知轨道半径和运行周期均可以计算出地球的质
量，故 AB 正确；
CD．根据万有引力与重力的关系

2 =
可得
2
=
由此可知，地球表面重力加速度和 MEO 卫星绕地球的线速度或者已知地球表面重力加速度和 MEO 卫星
绕地球的轨道半径均不能计算出地球的质量，故 CD 错误。
故选 AB。
16．（2024·四川泸州·二模）2023 年 7 月 10 日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学
院紫金山天文台发现的国际编号为 381323 号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，地球绕日运行近
视为圆轨道，“樊锦诗星”绕日运行为椭圆轨道，其轨道半长轴为 3.18 天文单位（日地距离为 1 天文单
位），远日点到太阳中心距离为 4.86 天文单位。下列说法正确的是（　　）
A．“樊锦诗星”绕太阳转动一圈，需要 3.18 年
B．“樊锦诗星”在近日点离太阳中心的距离为 1.5 天文单位
C．“樊锦诗星” 1在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为4.862
D．“樊锦诗星”、地球分别跟太阳中心的连线，在相等时间内扫过的面积相等
【答案】BC
【详解】A．根据开普勒第三定律有
3 3地 樊
=
2 2地 樊
解得
樊 = 5.67年
故 A 错误；
B．近日点和远日点分别在椭圆长轴的两端，半长轴为 3.18 天文单位，则长轴为
2 × 3.18天文单位 = 6.36天文单位
则近日点离太阳中心的距离为
(6.36 4.86)天文单位 = 1.5天文单位
故 B 正确；
C．根据牛顿第二定律可知

2 =
“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为
2樊 地 1
= 2
=
地 4.862樊
故 C 正确；
D．根据开普勒第二定律可知环绕天体与中心天体之间的连线在相等的时间内扫过的面积相等，应该是同
一个环绕天体天体，故 D 错误。
故选 BC。
三、解答题
17．（2023·福建·一模）在第 73 届国际宇航大会上，我国“天问一号”火星探测任务团队被国际宇航联合会
授予 2022 年度“世界航天奖”。天问一号着陆器在着陆火星的动力减速阶段，从火星表面附近以 0 = 96m/s
的初速度竖直向下做匀减速运动，经 = 80s速度减为 0。已知着陆器质量约为 = 1200kg，火星表面重
力加速度 火取4m/s2，忽略火星自转，求：
（1）着陆器在动力减速阶段下降的距离 h；
（2）着陆器在动力减速阶段所受阻力大小 f；
（3 1）若火星的半径是地球半径的2，地球表面重力加速度 g 取10m/s
2，求火星与地球的质量之比。
【答案】（1）3840m；（2）6240N；（3）1:10
【详解】（1）根据运动学公式，有

= 0
96
2 = 2 × 80m = 3840m
（2）动力减速阶段下降过程中的加速度为
Δ 96 0
= 2 2Δ = 80 m/s = 1.2m/s
根据牛顿第二定律，有
火 =
代入数据解得
= 6240N
（3）在地球表面，万有引力等于重力，有
地
2 = 地
在火星表面，万有引力等于重力，有
火
=
2 火火
联立可得
火 1
=地 10
18．（2024·北京石景山·一模）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小
段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲
线上 A 点的曲率圆定义为：通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫
做 A 点的曲率圆，其半径 r 叫做 A 点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其
等效的圆周运动来分析和处理。
（1）氢原子核外的电子绕核做匀速圆周运动，其周期为 T。已知电子的电荷量为 e，质量为 m，静电力
常量为 k，求电子运动的轨道半径 R。
（2）将一物体沿与水平面成 α 角的方向以速度 v 抛出，如图（b）所示。已知重力加速度为 g，求其轨迹
最高点 P 处的曲率半径 r。
（3）开普勒根据第谷的行星观测记录结合数学知识发现，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等
的时间内扫过的面积相等。如图（c）所示，卫星绕地球沿椭圆轨道运动。卫星在椭圆轨道的近地点 P 的
速度为 v ，近地点 P 到地心的距离为 R；在远地点 Q 的速度为 v ，远地点 Q 到地心的距离为 r。一兴趣
小组的同学根据开普勒定律结合数学知识得到 = 。请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导
这一结论。
3 2 2 2 2【答案】（1） ；（2） 0cos ；（3）见解析4 2
【详解】（1）根据库仑定律和牛顿第二定律

2 4 2
2 = 2
解得电子运动的轨道半径
= 3 2 2
4 2
（2）小球在最高点的速度为 v cosα，根据牛顿第二定律
2
= ( 0cos )
解得曲率半径
2 2
= 0cos
（3） 卫星在椭圆轨道上运行，由椭圆的对称性，近地点 P 和远地点 Q 的等效圆周运动的半径相等，设
为 l，根据万有引力定律和牛顿第二定律，卫星在近地点时
2
2 =
1

卫星在远地点时
2
2 2 =
解得
=

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