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第 12 讲　抛体运动
——划重点之精细讲义系列
考点 1 平抛运动的基本规律及重要结论
考点 2 斜面类的平抛运动模型
考点 3 平面及半圆约束模型
考点 4 类平抛运动
考点 5 多体平抛问题及相遇与临界问题
考点 6 斜抛运动
一．平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为 g 的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3．平抛运动的条件：
（1）v0≠0，沿水平方向；（2）只受重力作用。
4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
5．基本规律（如图所示）：以抛出点为原点，水平方向（初速度 v0 方向）为 x 轴，竖直向下方
向为 y 轴，建立平面直角坐标系，则：
（1）水平方向：做匀速直线运动，速度 vx＝v0，位移 x＝v0t。
1
（2）竖直方向：做自由落体运动，速度 vy＝gt，位移 y＝ gt2。2
vy gt
（3）合速度：v＝ vx2＋v2y，方向与水平方向夹角为 α，则 tan α＝ ＝ 。
vx v0
y gt
合位移：s＝ x2＋y2，方向与水平方向的夹角为 θ，tan θ＝ ＝ 。
x 2v0
二．斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动，
叫做斜抛运动．
2．性质：加速度恒为 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．基本规律
以斜向上抛为例说明，如图所示．
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F 合 x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F 合 y＝mg.
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动的合运动．
考点 1：平抛运动的基本规律及重要结论
1．平抛运动的分解方法与技巧
2.平抛运动四个重要结论
2h
（1）飞行时间：由 t＝ 知，时间取决于下落高度 h，与初速度 v0无关。g
2h
（2）水平射程：x＝v0t＝v0 ，即水平射程由初速度 v0 和下落高度 h 共同决定，与其他因素g
无关。
（3）落地速度：v＝ v2x＋vy2＝ v20＋2gh，以 α 表示落地速度与 x 轴正方向间的夹角，有 tan α＝
vy 2gh
＝ ，所以落地速度只与初速度 v 和下落高度 h 有关。
vx v
0
0
（4）平抛物体运动中的速度变化：水平方向分速度保持 vx=v0，竖直方向，加速度恒为 g，速度
vy=gt，从抛出点看，每隔 t 时间的速度的矢量关系如图所示。这一矢量关系有两个特点：
①任意时刻 v 的速度水平分量均等于初速度 v0；
②任意相等时间间隔 t 内的速度改变量均竖直向下，且 v= vy=g t。
3.平抛运动的两个推论
（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移
的中点，如下图所示。
（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为 α，位移
与水平方向的夹角为 θ，则 tan α＝2tan θ。如上图。
【考向 1】某同学观察一平抛小球，发现当小球抛出 0.3s 后小球的速度与水平方向成 37°角，落地时
3
速度方向与水平方向成 60°角，小球可看作质点，已知tan37° = 4， = 10m/s
2，下列说法正确的是
（ ）
A．小球初速度的大小为 5m/s B．小球落地时速度大小为 8m/s
C．小球抛出时距离地面的高度为 3.2m D．小球抛出的水平射程为 3m
【考向 2】（2024·陕西·二模）在 2023 年世界飞镖锦标赛总决赛中，范格文以3:0战胜威廉姆斯获得
总冠军。若先后两次飞镖的抛出点在同一竖直线上的 A、B 两点，将飞镖沿水平方向抛出后，飞镖
均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图乙中曲线 1、2 所示，飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角
分别为 、 。已知 AB、BO 的竖直高度相同，飞镖可视为质点，空气阻力忽略不计。则下列说法正
确的是（　　）
A．先后两次飞镖在空中的运动时间之比为2:1
B．先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为1: 2
C． = 2
D．sin = 2sin
【考向 3】（多选）如图所示为一个简易足球场，球门宽为 6m。一个同学在球门中线距离球门 4m 处
采用头球将足球顶入球门的左下方死角（图中 P 点）。同学顶球点的高度为 1.8m。从头顶球到球落
地的过程，忽略空气阻力，足球做平抛运动，g 取10m/s2，则（　　）
A．足球的位移小于 5m
B．足球运动的时间为 0.6s
C．足球初速度的大小约为8.3m/s
D．足球在竖直方向上速度增加了6m/s
考点 2：斜面类的平抛运动模型
1．模型特点
平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛或者往斜面上抛的过程，解决这
类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解。求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐
含条件。
2．模型分析：
模型分类 解题思路 方法总结
分解速度：
①分解速度；
vy＝gt，
②在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的
v0 v0
tan θ＝ ＝ ，
v gt 倾角互余。y
v0
故 t＝
gtan θ
①分解位移；
②以不同的初速度抛出小球，只要落到斜面时速度的方向都
平行或者速度方向与斜面的夹角都相等；
③速度与斜面平行时，距离斜面最远，满足以下四个特点：
v
tan y gt分解位移： A、由 ，即可求出距离斜面最远的时间。
vx v0
x＝v0t，
B、该时刻是全运动过程的中间时刻。
1
y＝ gt2，
2 C、该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为 1 3。
y
而 tan θ＝ ， D、利用分解加速度和分解速度即可以求出距离斜面的最远
x
2v0tan θ = =

联立得 t＝ 距离：


g
以最小位移落在斜面
上，分解位移： 以最小位移落在斜面上时，合位移与斜面垂直，此时合位移
tan v t 0 与竖直方向的夹角与斜面夹角相等。1 gt 2
2
分解运动： 竖直方向上的位移等于斜面上下落的 h 和沿着斜面下降的
1 gt 2 h v0t tan y v0t tan 。2
沿斜面轨道入射类，
沿轨道或者沿轨道的切线方向入射类的模型一般是先分解
分解速度：
速度。
gt v0 tan
【考向 4】一滑雪运动员以一定的初速度从一平台上滑出，刚好落在一斜坡上的 B 点，且与斜坡没
有撞击，则 A、B 两点连线与竖直方向所成夹角 α 和斜坡倾角 θ 的关系为（ ）
A tan 1． tan = 2 B．tan tan = 2
C．tan 1tan = 2 D．tan tan = 1
【考向 5】如图所示，竖直平面内有一足够长且与水平方向成 30°的斜面，斜面上有 A、B 两点，O
点正上方的 S 点为小球的发射点，其中 OS、OA、AB 的长度均为 l。初速度 0的小球水平射出，正
好可以击中 A 点，不计空气阻力，当地重力加速度为 g，以下说法正确的是（　　）
A．若将发射速度增大到2 0，则正好击中 B 点
B．小球分别击中 A 点和 B 点时速度方向与斜面夹角 >
C．小球分别击中 A 点和 B 点，在空中飞行时间 = 2
D 3．调整 0大小使小球击中 B 点，则击中时速度大小为 2
【考向 6】（多选）冬奥会中跳台滑雪项目是勇敢者的运动，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助
滑区上获得高速后水平飞出，图乙是滑道的简略示意图，飞行着陆区斜面倾角为 θ，从飞出点水平
飞出时的速度大小为 v0，各功能区的高度和坡度都是定值，运动员可视为质点和忽略各种阻力，重
力加速度为 g（　　）

A 0．运动员水平飞出后，当 t= tanθ 时，运动员离斜面最远
B．由于运动员质量不同，因此落在飞行着陆区时的速度方向不同
0tan C．运动员水平飞出后到落回斜面的时间是
D ( 0sin )
2
．运动员水平飞出后离斜面最远距离为 2 cos
【考向 7】（多选）如图所示，一小球从斜面上的某点以速度 v 水平抛出，落在斜面上 A 点。平抛末
速度与竖直方向的夹角为 β，平抛位移与竖直方向的夹角为 α。已知斜面与水平面夹角为 θ，重力加
速度为 g，则（　　）
tan
A． = 2 B．平抛的时间 =
2 2tan2C ．平抛的竖直位移 = D．平拋抛末速度为 2 + 4 2tan2
【考向 8】（多选）某运动员从滑雪跳台以不同的速度 0水平跳向对面倾角为 45°的斜坡（如图所
示），已知跳台的高度为 h，不计空气阻力，重力加速度为 g，则下列说法正确的是（　　）
A ．若运动员以最短位移落到斜坡上，则在空中所用时间为
2
B 2 ．若运动员落到斜坡上时速度与斜坡垂直，则在空中所用时间为
3
C 2 ．若该运动员落到斜坡上某位置时速度最小，则在空中所用时间为
5
D．该运动员落到斜坡上的最小速度为 5 1
考点 3：平面及半圆约束模型
1．竖直面及水平面约束模型
本模型中的障碍主要是对水平或竖直位移形成限制，以及所能形成的临界状态情景。
图甲中竖直位移一定，对水平位移可形成最大值与最小值的限制；
图乙中水平位移一定，使飞行时间受到初速度的限制；
图丙中竖直障碍高度一定，对越过障碍的初速度、抛出点的高度形成限制；
图丁中对水平位移、竖直位移均可形成限制：速度较小时竖直位移一定，速度较大时水平位移
一定。
2．半圆形约束模型
平抛运动与圆形障碍模型中物体抛出点位置不同限制关系不同，有对位移与球面半径之间形成
限制关系的，如图甲、乙、丙、丁所示，可分解位移处理，如在图甲中 x=R±Rcosθ,y =R sinθ;也有
对速度方向限制的，如图戊、己所示，可分解速度处理。
若物体从球面沿水平直径抛出，随抛出速度的增大，飞行时间先增大后减小、水平位移一直增大，
落到球面上时速度方向不可能垂直于球面。
【考向 9】（2024·浙江·二模）如图在水平地面上放置一边长为 0.8m 的正方形水箱，一水管可在 ABCD
面内绕 A 点转动 ≤ 90°，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为 2.5m/s，不计水管管口长度及一切
阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则（ ）
A．任何方向喷出的水柱都能打到 DCGH 或 CGFB 侧面
B．水在空中运动时间的最大值为0.32 2s
C．空中运动的水的质量最大值为 0.5kg
D．若保持 不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短
【考向 10】（2024·浙江·三模）如图所示，网球发球机在距离墙 L 处将网球以不同的水平速度射出打
到竖直墙上。已知墙上的 O 点与网球出射点等高，A、B 两点分别为两个击中点， = ，击中 A
点的网球水平射出时的速度为 0，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　）
A．击中 B 点的网球水平射出时的速度为2 0
B．击中 B 1点的网球水平射出时的速度为2 0
C．要使原来击中 A 点的网球能击中 B 点，网球发球机应沿 OP 方向后退 2
2
D．要使原来击中 B 点的网球能击中 A 点，网球发球机应沿 OP 方向前进 1 2
2
【考向 11】（2024·北京大兴·三模）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天
下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面片刚被削
离时距开水锅的高度为 L，与锅沿的水平距离为 L，锅的半径也为 L，若将削出的小面片的运动视为
平抛运动，且小面片都落入锅中，重力加速度为 g，则下列关于所有小面片的描述正确的是（　　）
A．空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大
B．掉落位置不相同的小面片，从抛出到落水前瞬间速度的变化量不同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的 3 倍
D ．若初速度为 0，则 < 0 < 2 2
【考向 12】如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心 O 点分别以水平初速度 v1、v2沿相反方向抛
出两个小球 1 和 2（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的 A 点和 B 点，已知 OA 与 OB 互相垂

直，且 OA 1与竖直方向成 α 角，则两小球的初速度之比 为（　　）2
A．tanα B．cosα
C．tan tan D．cos cos
【考向 13】如图是一个竖直放置的圆环，AB 为半圆环 ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，一个
小球从 A 点以速度 0水平抛出，经一段时间 t 与半圆环相撞，不计空气阻力。则下列判断正确的是
（　　）
A． 0越大，运动时间越长
B．发现小球有两次运动时间相同，则这两次抛出的初速度一定相同
C．要使小球掉到环上时的竖直分速度最大，小球应该落在 C 点
D．只需 0取值合适，可能使小球垂直撞击圆环
【考向 14】（多选）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB 为水平直径，O 为圆心，同时从 A 点水
平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为 1、 2，落在轨道上的 C、D 两点，OC、OD 连线与竖直方
向的夹角均为 30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　）
A．甲、乙两球同时落到轨道上
B． 1: 2 = 1:3
C．乙球的速度变化量比甲球的大
D．乙球在 D 点速度的反向延长线一定过 O 点
【考向 15】（多选）如图所示，半径为 R 的半圆形槽竖直放置，其圆心为 О，且直径 AC 水平。一可
视为质点的小球从 A 点正上方的 P 处以速度 0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在槽上，此
时小球速度与竖直方向的夹角为 53°。已知重力加速度大小为 g，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不计空气
阻力，则（　　）
A．小球的初速度 = 12 0 5
B．PA 4之间的高度 = 15
C．若将小球以不同速率从 A 点水平抛出，也有可能垂直打到槽上
D．若将小球以不同速率从 О 点水平抛出，小球落到槽上时的速度最小值为 3
【考向 16】水平放置的圆柱体正上方有一点 P，将一个小球从 P 点以 0沿垂直于圆柱体轴线方向水
平抛出，其飞行一段时间后，恰由 Q 点沿切线飞过，测得圆心 O 与 Q 的连线与 OP 的夹角为 θ，试
求：
（1）小球从 P 运动到 Q 的时间 t；
（2）小球的初始位置 P 点到圆柱体最高点的高度 H。
考点 4：类平抛运动
1．模型概述
有些物体的运动与平抛运动很相似，也是在与初速度方向垂直的恒定外力作用下运动，其轨迹
与平抛运动相似，我们把这种运动称为类平抛运动，这样的运动系统称作“类平抛”模型。
2．正确理解类平抛运动的特点
（1）受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
（2）运动特点：在初速度 v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运
F 合
动，加速度 a＝ 。
m
3．求解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即
沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为 ax、
ay，初速度 v0分解为 vx、vy，然后分别在 x、y 方向列方程求解。
【考向 17】（多选）如图所示的光滑固定斜面长为 、宽为 、倾角为 ，一物块（可看成质点）从斜
面左上方顶点 沿水平方向射入，恰好从底端右侧 点离开斜面，已知重力加速度为 ，不计空气阻
力（　　）
A．物块加速度的大小 = cos
B．物体轨迹变加速曲线运动
C．物块由 运动到 2 所用的时间 =
sin
D．物块由 sin 点水平射入时初速度的大小 0 = 2
【考向 18】（多选）如图所示的坐标系，x 轴水平向右，质量为 m=0.5kg 的小球从坐标原点 O 处，
以初速度 0 = 3m/s斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力 风 = 5N的作用，风力与 0
的夹角为 30°，风力与 x 轴正方向的夹角也为 30°，重力加速度 g 取 10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．小球的加速度大小为 10m/s2
B．加速度与初速度 0的夹角为 60°
C．小球做类斜抛运动
D 6 3．当小球运动到 x 轴上的 P 点（图中未标出），则小球在 P 点的横坐标为 m
5
【考向 19】风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风
洞竖直放置且足够长，质量为 m 的小球从 A 点以速度 0 = 10m/s沿直径水平进入风洞。小球在风洞
中运动时受到的风力 F 恒定，方向竖直向上，风力大小 F 可在 0~3mg 间调节。小球可视作质点，碰
壁后不反弹，重力加速度 g 取10m/s2，风洞横截面直径 = 10m。
（1）当 = 0时，求小球撞击右壁的速度大小和方向；
（2）保持 0不变，调节 F 的大小，求小球撞击右壁的区域长度。
考点 5：多体平抛问题及相遇与临界问题
1．定义：多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时涉及的问题。
2．三类常见的多体平抛运动
3．平抛运动中相遇问题
抛体相遇问题要比运动学中的追及相遇问题复杂，因为它不再是一直线运动，通常是采用分解
方法分别对两个运动方向独立分析，再根据时间相等进行解答。也可以巧取参考系，使问题更加简
单。
两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
2．平抛运动中的临界问题
(1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出
边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界
轨迹，是解决问题的关键点．
(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极
小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件．
【考向 20】在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球 A 和 B，其运动轨迹如图所示，不
计空气阻力，两球在空中 P 点相遇，则（ ）
A．应先抛出 A 球 B．应先抛出 B 球
C．相遇时 A 球速率小于 B 球速率 D．抛出时 A 球的初速度大于 B 球的初速度
【考向 21】如图所示，A、B 两小球从同一竖直线上的不同位置水平抛出后，恰好在 C 位置相遇，
已知 A、B 两球抛出时的速度分别为 v1、v2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．两球从抛出到运动至 C 点的时间相等
B．相遇时 A 球竖直方向的速度大于 B 球竖直方向的速度
C．A 先抛出，且 v1>v2
D．B 先抛出，且 v1＜v2
【考向 22】如图所示，相距为 的两小球 、 位于同一高度的水平线上，现将A球向B球水平抛出，
初速度大小为 0，同时释放B球自由下落。A、B两球与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速
度大小不变、方向相反。不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，下列说法正确的是（　　）
A．两小球可能无法相遇
B．两小球一定不能在最高点相遇

C．从开始至相遇经历的时间一定为 0
D．若将两球的初始高度变为原来的两倍，则相遇经历的时间变为原来的两倍
【考向 23】（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环 BC 和倾角为53°的斜面 AC，A、B
两点与圆环 BC 的圆心 O 等高。现将甲、乙小球分别从 A、B 两点以初速度 1、 2沿水平方向同时抛
出，两球恰好在 C 点相碰（不计空气阻力），已知sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，下列说法正确的是
（ ）
A．初速度 1、 2大小之比为 3∶4
B．若 1大小变为原来的两倍，让两球仍在 OC 竖直面相遇，则 2应增大到原来 4 倍
C．若 1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点 D
4
D．若要甲球垂直击中圆环 BC，则 1应变为原来的4 7倍
考点 6：斜抛运动
重要结论：
(1)运动轨迹取决于初速度 v0的大小与方向,与其他因素无关。
(2)运动具有对称性:时间对称、速度对称。
v sin
(3)斜上抛的物体到达最大高度的时间 t 0
g 。
x v
2
0 sin 2 v
2
(4)落回抛出高度时的水平射程 ，α=45°时水平射程最远 x 0
g max g 。
(5)斜上抛物体的初速度大小相同时,抛射角互余时具有相同的水平射程。
v2 sin 2 2
(6)斜上抛物体到达的最大高度 y 0max ，α=90°时射高最大 H
v
0
2g 2g 。
【考向 24】（多选）从地面上的 O 点以相同的速率，朝不同方向分别抛出三个小球 A、B、C，它们
在同一竖直平而内的运动轨迹如图所示，假设球在空中相遇时不会相互影响，忽略空气阻力，下列
说法正确的是（　　）
A．三球落地时速度大小相等
B．A 球在空中飞行时间最长
C．若 A、B 两球是同时抛出的，则它们在 P 点相遇
D．B 球在最高点时的速率大于 C 球在最高点时的速率
【考向 25】（多选）某运动员在练习投篮时，篮球恰好垂直打在竖直平面内的篮板上，如图所示。
已知篮球的质量为 m，投出点与篮球撞击篮板处的高度差为 h，水平距离为 s，忽略篮球在空中飞行
过程中受到的阻力，重力加速度为 g。下列判断正确的是（　　）
( 2 2A 4 )．该同学对篮球做功为 4
B．篮球飞向篮板过程中的位移大小为 s
C．若投出篮球方向不变，仅增大投出速度，篮球仍会垂直打在篮板上原来的位置
D．若 s 是 h 的 2 倍，则篮球被投出时的速度方向与水平方向的夹角为45°
【考向 26】（多选）“抛石机”是古代战争中常用的一种机械．某学习小组用自制的抛石机演练抛石过
程，其运动轨迹可简化为下图，A 点为石块的投出点，B 点为运动轨迹的最高点，C 点为石块的落点，
落点的速度方向与水平面的夹角为 = 24°，已知 A 点与 C 点在同一水平面上，A、B 两点之间的高
度差为 5m，石块视为质点，空气阻力不计．取sin24° = 0.4，cos24° = 0.9，重力加速度大小 = 10
m/s2．则下列说法正确的是（ ）
A．石块从 A 点运动至 C 点的过程中加速度方向一直在改变
B．石块离开 A 点时的速度大小为 25m/s
C．石块从 A 点运动至 C 点的过程中最小速度为 22.5m/s
D．A、C 两点之间的距离为 14.4m
【真题 1】（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳
到低处荷叶上。设低处荷叶 a、b、c、d 和青蛙在同一竖直平面内，a、b 高度相同，c、d 高度相同，
a、b 分别在 c、d 正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到
（　　）
A．荷叶 a B．荷叶 b C．荷叶 c D．荷叶 d
【真题 2】（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为
水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿 A。已知桶高为 h，直
径为 D，则水离开出水口的速度大小为（　　）
A B ．4 ． 4 2
C．( 2 1) D ．( 2 +1) 2 2 2
【真题 3】（2022·广东·高考真题）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足
够高处，一玩具枪的枪口与小积木上 P 点等高且相距为 L。当玩具子弹以水平速度 v 从枪口向 P 点
射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为 t。不计空气阻力。下列关于子
弹的说法正确的是（　　）
A ．将击中 P 点，t 大于 B．将击中 P 点，t 等于
C P t D P t ．将击中 点上方， 大于 ．将击中 点下方， 等于
【真题 4】（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。
某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为 ，且
轨迹交于 点，抛出时谷粒 1 和谷粒 2 的初速度分别为 1和 2，其中 1方向水平， 2方向斜向上。忽
略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．谷粒 1 的加速度小于谷粒 2 的加速度 B．谷粒 2 在最高点的速度小于 1
C．两谷粒从 到 的运动时间相等 D．两谷粒从 到 的平均速度相等
【真题 5】（2024·江苏·高考真题）喷泉 a、b 形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉 a、b 的
（　　）
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
【真题 6】（2024·安徽·高考真题）在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，
简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为 H。出水口距水平地面的高度为 h，与落
地点的水平距离约为 l。假设抽水过程中 H 保持不变，水泵输出能量的 倍转化为水被抽到出水口处
增加的机械能。已知水的密度为 ，水管内径的横截面积为 S，重力加速度大小为 g，不计空气阻力。
则水泵的输出功率约为（ ）
A 2 ． + +
2
B 2
2
2 ． 2 + +

2 4
C 2 ． +
2 2 2
2 D． 2 +2 4
【真题 7】（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度 v0大
小为 20m/s，与水平方向的夹角为 30°，抛出点 P 和落点 Q 的连线与水平方向夹角为 30°，重力加速
度大小取 10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．运动时间为2 3s
B．落地速度与水平方向夹角为 60°
C．重物离 PQ 连线的最远距离为 10m
D．轨迹最高点与落点的高度差为 45m
【真题 8】（多选）（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲
到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x 轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为
0，末速度 v 沿 x 轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置
x、竖直位置 y、水平方向分速度 和竖直方向分速度 与时间 t 的关系，下列图像可能正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【真题 9】（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为 S，管
口离水池水面的高度为 h，水在水池中的落点与管口的水平距离为 d。假定水在空中做平抛运动，已
知重力加速度为 g，h 远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间 t；
（2）水从管口排出时的速度大小 0；
（3）管口单位时间内流出水的体积 Q。
【真题 10】（2024·全国·高考真题）如图，一长度 = 1.0m的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，
薄板的右端与平台的边缘 O 对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板

运动的距离Δ = 6时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到 O 点。
已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数 = 0.3，重力加速度大小 = 10m/s2。求
（1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
（2）平台距地面的高度。
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）如图所示，在水平地面上方某处有一个足够长的水平固定横梁，底部悬挂一个

静止的盛水小桶，小桶底部离地面高为 h。某时刻开始，小桶以加速度 = 4匀加速水平向右运动，
同时桶底小孔向下漏水，单位时间漏水量相同。当小桶前进 h 时，水恰好流尽。略去漏水相对小桶
的初速度，设水达到地面既不反弹也不流动。地面上水线长度为 l，定义地上水线单位长度水的质量
为 k，忽略空气阻力，则（ ）
A． = ，水线从左端到右端 k 值递减 B． = 1.5 ，水线从左端到右端 k 值递增
C． = 2 ，水线从左端到右端 k 值递减 D． = 1.25 ，水线从左端到右端 k 值递增
2．（2024·山东济宁·二模）如图所示，微山湖某段堤坝倾角为53°，某同学从水平坝面边缘正上方
= 1.0m处，以 0 = 3m/s的水平速度垂直河岸扔出一个小石子，小石子恰好落入水中。已知重力加
速度 = 10m/s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，则坝面离水面的高度 H 为（　　）
A．3.2m B．4.0m C．4.8m D．5.0m
3．（2024·河北·三模）消防火箭炮具有覆盖面积大、发射效率高、使用简便和再装填时间短等优点。
火箭炮发射的火箭弹打到着火点后会立即释放高浓度灭火剂，迅速扑灭火灾。如图是一种肩扛式消
防火箭炮。设着火点与消防员站立点的水平距离和竖直距离分别为 L、H，消防员身高 h，肩扛火箭
筒的瞄准仰角（与水平方向所成锐角）为 ，火箭弹发射后其高度达到最大值时刚好打到着火点上，
忽略空气阻力，火箭炮发射点与消防员的头顶平齐，则 L、H、h、 这几个物理量满足的关系式为
（ ）
A = 2 tan B = 1． ． 2 tan C． = 2 sin D． =
1
2 sin
4．（2024·河北·二模）如图所示，将物体（可视为质点）从半球形凹槽边缘上的 P 点沿不同方向水
平抛出，物体均经过相同时间 t 落在凹槽内壁上。已知 O 为槽口圆心，物体初速度方向与 PO 连线
的最大夹角为 θ，凹槽半径为 R，忽略空气阻力，则 t 等于（　　）
A 2 ． B 2 sin ．

C 2 cos D 2 tan ． ．

5．（2024·北京海淀·二模）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度 v 做匀速直线运动，沿途连续漏出
沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为 Q，出沙口距水平地面的高度为 H。忽略沙子漏出瞬间相
对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为 g，在已有沙子落
地后的任意时刻，下列说法正确的是（　　）
A．每粒沙子在空中的轨迹是一条抛物线
B．若将沙漏以速度 v 水平抛出，漏出的沙子在空中形成的几何图形是一条竖直直线
C．每粒沙子从漏出开始计时，t 1时刻与地面间的高度 = 2
2
D．若沙漏内的沙子在 t 时间内落完，则地面上沙子的长度大于
6．如图所示，一小球以一定初速度水平抛出，忽略空气阻力。当小球以速度 0抛出时，经历时间 1
后以 恰好击中斜面 A 处（抛出点与 A 点的连线垂直于斜面）。当小球以速度 3 0抛出时，经历时间
2后以 恰好从 B 点沿圆弧切线进入圆轨道。则（　　）
A． 1: 2 =
2 2
3tan2 B． 1: 2 = tan2
C． : = sin tan
2 4 D． : = 2cos tan
2 4
3tan 3tan
7．（2024·山西晋城·三模）在第 19 届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以 3∶0 战胜日本女排，

以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为 d，长为 2d，球网高为4，发球员

在底线中点正上方的 O 点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的 E 点， = 2，
不计空气阻力，重力加速度大小为 g，下列说法正确的是（ ）
A O ． 点距地面的高度为2 B．排球做平抛运动的时间为
C 5 ．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为2
3
8．（2024·江西赣州·二模）如图所示，甲同学站在地面上将排球以大小为 1的速度击出，排球沿轨迹
①运动：经过最高点后，乙同学跳起将排球以大小为 2的水平速度击回，排球沿轨迹②运动，恰好
落回出发点。忽略空气阻力，则排球（ ）
A．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小相同
B．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
C．沿轨迹①运动的最小速度大小可能为 2
D．沿轨迹②运动的最大速度大小可能为 1
9．（2024·湖南岳阳·三模）如图所示，光垂直照射倾斜木板，把一个质量为 0.2kg 的小球从倾斜木板
顶端水平弹射出来做平抛运动，小球刚好落在倾斜木板底端。然后使用手机连续拍照功能，拍出多
张照片记录小球此运动过程。通过分析照片可以得到小球的飞行时间为 0.6s，小球与其影子距离最
大时，影子 A 距木板顶端和底端的距离之比为7:9，重力加速度 = 10m/s2。下列说法不正确的是
（ ）
A．飞行过程中，重力对小球做的功为 3.6J
B．小球与影子距离最大时，刚好是飞行的中间时刻
C．木板的斜面倾角 = 37°
D．木板的长度为 3.6m
10．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为 R，A 点与球心 O 等高，小球两次从 A 点以不
同的速率沿 AO 方向抛出，下落相同高度 h，分别撞击到球面上 B 点和 C 点，速度偏转角分别为 和
，不计空气阻力。则小球（ ）
A．运动时间 > B．两次运动速度变化Δ > Δ
1
C C D 1 ．在 点的速度方向可能与球面垂直 ．tan + tan =
二、多选题
11．（2024·山东东营·二模）如图所示，可视为质点的小球 A、B 同时从倾角为 37°的光滑斜面顶端
分别水平抛出和沿斜面下滑，平抛初速度大小为 A = 5m/s，下滑初速度 B未知，两小球恰好在斜面
底端相遇，重力加速度 = 10m/s2，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，则（ ）
A．B 球初速度 B = 3m/s
B．B 球经过 0.75s 到达斜面底端
C．A、B 相距最远时，B 球恰好运动到斜面中点位置
D 9．相遇前两小球最远相距16m
12．（2024·四川遂宁·二模）如图所示，在 M 点的正上方离地高 H 处以水平速度 v1向右投掷一飞盘
P，反应灵敏的小狗 Q 同时在 M 点右方水平地面上的 N 点以速度 v2斜向左上方跳出，结果飞盘 P 和
小狗 Q 恰好在 M、N 连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘
和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（　　）
A．飞盘和小狗速度的变化量相等
B 3．飞盘和小狗相遇点在距离地面4 高度处
C．初速度大小关系一定是 1 < 2
D．小狗相对飞盘做匀加速直线运动
13．（2024·山西晋中·三模）在某次实战模拟训练时，将智能投送系统安装在山脚，山坡可视为倾角
为 = 30°的斜面，简化示意图如图所示。炮弹从斜面上的 O 点以初速度 v 斜向上发射，初速度与斜
面的夹角为 θ，最后落于斜面上的 P 点。忽略炮弹的体积和空气阻力的影响，重力加速度 g 取10
m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．当炮弹射程最远时，炮弹的初速度方向与斜面的夹角为 = 30°
B．当炮弹射程最远时，炮弹的初速度方向与斜面的夹角为 = 45°
2C．当炮弹射程最远时，炮弹在山坡上的最大位移为 = 30
D．当炮弹射程最远时，炮弹的初速度方向与末速度方向垂直
14．（2024·山东烟台·三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如
图甲所示为一城墙的入城通道，通道宽度 L=6m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运
动，加速到 M 点时斜向上跃起，到达右墙壁 P 点时，竖直方向的速度恰好为零，P 点距离地面高
h=0.8m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃
到左墙壁上的 Q 点，P 点与 Q 点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为 H=2.05m，重力加速度 g
取 10m/s2，整个过程中人的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．人助跑的距离为 3.6m
B．人助跑的距离为 3m
C．人刚离开墙壁时的速度大小为 6m/s
D 6．人刚离开 P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为5
三、实验题
15．（23-24 高三下·辽宁·期中）在探究平抛运动规律的实验中：
(1)在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨
迹。关于该实验下列说法正确的是______。
A．斜槽轨道必须光滑
B．斜槽轨道末端要保持水平
C．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些
D．每次应该从斜槽上相同的位置无初速度释放小球
(2)实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点 O 为坐标原点，测量它们的水平
坐标 x 和竖直坐标 y，图 2能说明平抛小球的运动轨迹为抛物线的是______。
A． B．
C． D．
(3)如图所示，一个做平抛运动的小球，先后通过 a、b、c 三点，若相邻两点间的水平距离均为
= 0.4m，竖直距离分别为 1 = 0.6m和 2 = 1.0m，则抛出该球的初速度大小为 。（不计空气阻
力，g 取10m/s2）
16．（2023·北京·高考真题）用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的特点。
（1）关于实验，下列做法正确的是 （填选项前的字母）。
A．选择体积小、质量大的小球 B．借助重垂线确定竖直方向
C．先抛出小球，再打开频闪仪 D．水平抛出小球
（2）图 1 所示的实验中，A 球沿水平方向抛出，同时 B 球自由落下，借助频闪仪拍摄上述运动过程。
图 2 为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻 A、B 两球的竖直高度相同，可判
断 A 球竖直方向做 运动；根据 ，可判断 A 球水平方向做匀速直线运动。
（3）某同学使小球从高度为0.8m的桌面水平飞出，用频闪照相拍摄小球的平抛运动（每秒频闪 25
次），最多可以得到小球在空中运动的 个位置。
（4）某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，
沿任意两个相互垂直的方向作为 x 轴和 y 轴正方向，建立直角坐标系 ，并测量出另外两个位置的
坐标值( 1, 1)、( 2, 2)，如图 3 所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重
垂线方向与 y 轴间夹角的正切值为 。
17．（2024·河北·高考真题）图 1 为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐
标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复
写纸，在坐标纸上留下印迹．某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图 2 所示的印迹，坐
标纸的 y 轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点．
①每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度 （填“相同”或“不同”）。
②在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。
③根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为 m/s（当地重力加速度 g 为9.8m/s2,保
留 2 位有效数字）。
四、解答题
18．（2024·山东泰安·三模）如图所示，倾角 θ=37°的光滑斜面 AB 固定在水平面上，现将一弹力球从
斜面的顶端 A 点以初速度 v0=10m/s 水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端 B 点。已知重力加速
度 g 取 10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。
（1）求斜面的长度；
（2）若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，
现仅调整弹力球从 A 点水平抛出时的速度大小，使弹力球与斜面碰撞 1 次后仍能落到 B 点，求调整
后弹力球水平抛出的速度大小。第 12 讲　抛体运动
——划重点之精细讲义系列
考点 1 平抛运动的基本规律及重要结论
考点 2 斜面类的平抛运动模型
考点 3 平面及半圆约束模型
考点 4 类平抛运动
考点 5 多体平抛问题及相遇与临界问题
考点 6 斜抛运动
一．平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为 g 的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3．平抛运动的条件：
（1）v0≠0，沿水平方向；（2）只受重力作用。
4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
5．基本规律（如图所示）：以抛出点为原点，水平方向（初速度 v0 方向）为 x 轴，竖直向下方
向为 y 轴，建立平面直角坐标系，则：
（1）水平方向：做匀速直线运动，速度 vx＝v0，位移 x＝v0t。
1
（2）竖直方向：做自由落体运动，速度 vy＝gt，位移 y＝ gt2。2
vy gt
（3）合速度：v＝ vx2＋v2y，方向与水平方向夹角为 α，则 tan α＝ ＝ 。
vx v0
y gt
合位移：s＝ x2＋y2，方向与水平方向的夹角为 θ，tan θ＝ ＝ 。
x 2v0
二．斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下抛出，物体仅在重力的作用下所做的运动，
叫做斜抛运动．
2．性质：加速度恒为 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
3．基本规律
以斜向上抛为例说明，如图所示．
(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F 合 x＝0.
(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F 合 y＝mg.
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动的合运动．
考点 1：平抛运动的基本规律及重要结论
1．平抛运动的分解方法与技巧
2.平抛运动四个重要结论
2h
（1）飞行时间：由 t＝ 知，时间取决于下落高度 h，与初速度 v0无关。g
2h
（2）水平射程：x＝v0t＝v0 ，即水平射程由初速度 v0 和下落高度 h 共同决定，与其他因素g
无关。
（3）落地速度：v＝ v2x＋vy2＝ v20＋2gh，以 α 表示落地速度与 x 轴正方向间的夹角，有 tan α＝
vy 2gh
＝ ，所以落地速度只与初速度 v 和下落高度 h 有关。
vx v
0
0
（4）平抛物体运动中的速度变化：水平方向分速度保持 vx=v0，竖直方向，加速度恒为 g，速度
vy=gt，从抛出点看，每隔 t 时间的速度的矢量关系如图所示。这一矢量关系有两个特点：
①任意时刻 v 的速度水平分量均等于初速度 v0；
②任意相等时间间隔 t 内的速度改变量均竖直向下，且 v= vy=g t。
3.平抛运动的两个推论
（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移
的中点，如下图所示。
（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为 α，位移
与水平方向的夹角为 θ，则 tan α＝2tan θ。如上图。
【考向 1】某同学观察一平抛小球，发现当小球抛出 0.3s 后小球的速度与水平方向成 37°角，落地时
3
速度方向与水平方向成 60°角，小球可看作质点，已知tan37° = 4， = 10m/s
2，下列说法正确的是
（ ）
A．小球初速度的大小为 5m/s B．小球落地时速度大小为 8m/s
C．小球抛出时距离地面的高度为 3.2m D．小球抛出的水平射程为 3m
【答案】B
【详解】A．当小球抛出 0.3s 后小球的竖直分速度为
1 = 1 = 3m/s
则，水平方向的分速度为
1
0 = tan37° = 4m/s
故 A 错误；
B．小球落地时竖直方向的分速度为
2 = 0tan60° = 4 3m/s
小球落地时速度大小为
= 20 + 2 2 = 8m/s
故 B 正确；
C．小球抛出时距离地面的高度为
2
= 22 = 2.4m
故 C 错误；
D．小球下落时间为
2 2 3
= = 5 s
小球抛出的水平射程为
8 3
= 0 = 5 m
故 D 错误。
故选 B。
【考向 2】（2024·陕西·二模）在 2023 年世界飞镖锦标赛总决赛中，范格文以3:0战胜威廉姆斯获得
总冠军。若先后两次飞镖的抛出点在同一竖直线上的 A、B 两点，将飞镖沿水平方向抛出后，飞镖
均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图乙中曲线 1、2 所示，飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角
分别为 、 。已知 AB、BO 的竖直高度相同，飞镖可视为质点，空气阻力忽略不计。则下列说法正
确的是（　　）
A．先后两次飞镖在空中的运动时间之比为2:1
B．先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为1: 2
C． = 2
D．sin = 2sin
【答案】B
【详解】A．由题意，假设 2 下落的高度为 h，则 1 下落的高度为 2h，竖直方向做自由落体运动，
则由公式
1
= 2
2
得
2
=
则
4
1 =
2
2 =
所以 1，2 在空中运动的时间之比为
1 2
=2 1
A 错误；
B．假设两飞镖的初速度分别为 01、 02，两飞镖的水平位移相同，设为 x，则有

01 = 4

02 = 2
解得
01: 02 = 1: 2
B 正确；
CD．两飞镖落在 O 点的竖直速度分别为
1 = 1 = 4
2 = 2 = 2
又
1 4
tan = =01
2 2
tan = =02
由以上整理得
tan = 2tan
CD 错误。
故选 B。
【考向 3】（多选）如图所示为一个简易足球场，球门宽为 6m。一个同学在球门中线距离球门 4m 处
采用头球将足球顶入球门的左下方死角（图中 P 点）。同学顶球点的高度为 1.8m。从头顶球到球落
地的过程，忽略空气阻力，足球做平抛运动，g 取10m/s2，则（　　）
A．足球的位移小于 5m
B．足球运动的时间为 0.6s
C．足球初速度的大小约为8.3m/s
D．足球在竖直方向上速度增加了6m/s
【答案】BCD
【详解】A．设球门宽为 ，同学顶球点的高度为 ，同学在球门中线距离球门的距离为 ，则足球的
水平位移为
6 2
= 2 + ( ) = 422 + 2 m = 5m
则足球的位移
= 2 + 2 = 52 + 1.82m ≈ 5.3m
故足球的位移大于 5m，A 错误；
B．足球做平抛运动，足球运动的时间由竖直方向决定，竖直方向做自由落体运动，则
1
= 2
2
代入数据得
2 2 × 1.8
= = 10 s = 0.6s
B 正确；
C．足球初速度的大小
5
0 = = 0.6 m/s ≈ 8.3m/s
C 正确；
D．足球在竖直方向上的末速度
y = = 10 × 0.6m/s = 6m/s竖直方向上的初速度为 0，足球在竖直方向上速度增加了 6m/s，D 正
确；
故选 BCD。
考点 2：斜面类的平抛运动模型
1．模型特点
平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛或者往斜面上抛的过程，解决这
类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解。求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐
含条件。
2．模型分析：
模型分类 解题思路 方法总结
分解速度：
①分解速度；
vy＝gt，
②在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的
v0 v0
tan θ＝ ＝ ，
v gt 倾角互余。y
v0
故 t＝
gtan θ
①分解位移；
②以不同的初速度抛出小球，只要落到斜面时速度的方向都
平行或者速度方向与斜面的夹角都相等；
③速度与斜面平行时，距离斜面最远，满足以下四个特点：
vy gt
分解位移： A、由 tan ，即可求出距离斜面最远的时间。
vx v0
x＝v0t，
B、该时刻是全运动过程的中间时刻。
1
y＝ gt2，
2 C、该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为 1 3。
y
而 tan θ＝ ， D、利用分解加速度和分解速度即可以求出距离斜面的最远
x
2v0tan θ
联立得 t＝ 距离： =
=
g
以最小位移落在斜面
上，分解位移： 以最小位移落在斜面上时，合位移与斜面垂直，此时合位移
tan v0t 与竖直方向的夹角与斜面夹角相等。1 gt 2
2
分解运动： 竖直方向上的位移等于斜面上下落的 h 和沿着斜面下降的
1 gt 2 h v0t tan y v0t tan 。2
沿斜面轨道入射类，
沿轨道或者沿轨道的切线方向入射类的模型一般是先分解
分解速度：
速度。
gt v0 tan
【考向 4】一滑雪运动员以一定的初速度从一平台上滑出，刚好落在一斜坡上的 B 点，且与斜坡没
有撞击，则 A、B 两点连线与竖直方向所成夹角 α 和斜坡倾角 θ 的关系为（ ）
A．tan 1tan = 2 B．tan tan = 2
C．tan 1tan = 2 D．tan tan = 1
【答案】B
【详解】由题知到达 B 点时，运动员的速度方向刚好沿斜面向下，根据平行四边形定则知

tan = =0 0
1
2
tan(90° ) = = 2 =0 2 0
则
1
tan = 2tan(90° ) = 2 × tan
即
tan tan = 2
故选 B。
【考向 5】如图所示，竖直平面内有一足够长且与水平方向成 30°的斜面，斜面上有 A、B 两点，O
点正上方的 S 点为小球的发射点，其中 OS、OA、AB 的长度均为 l。初速度 0的小球水平射出，正
好可以击中 A 点，不计空气阻力，当地重力加速度为 g，以下说法正确的是（　　）
A．若将发射速度增大到2 0，则正好击中 B 点
B．小球分别击中 A 点和 B 点时速度方向与斜面夹角 >
C．小球分别击中 A 点和 B 点，在空中飞行时间 = 2
D 3．调整 0大小使小球击中 B 点，则击中时速度大小为 2
【答案】B
【详解】A．如图所示，过 A 点做水平面，当下落高度相同时所用时间相同，若以2 0射出小球，水
平位移为原来 2 倍，会过 B 点正上方的 ′点，不会正好击中 B 点，故 A 错误；
B．落至斜面上时速度偏角为

tan = =0 0
位移偏角为
1 2
tan = 2

0
= 2 0
对比可知
tan = 2tan
由图可知，落至 A 点时位移偏角 较大，速度偏角 较大，速度与斜面夹角
= 30
故小球分别击中 A 点和 B 点时速度与斜面夹角 > ，故 B 正确；
C．击中 点时，竖直方向
1
+ sin30° = 22
击中 点时，竖直方向
1
+ 2 sin30° = 2
2

可得
≠ 2
故 C 错误；
D．调整 0大小使小球击中 B 点，水平方向、竖直方向分别有
2 cos30 = 0
1
2 = 2
2
联立解得
4
=
3
0 = 4
则击中时速度大小为
19
= 20 + ( )2 = 4
故 D 错误。
故选 B。
【考向 6】（多选）冬奥会中跳台滑雪项目是勇敢者的运动，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助
滑区上获得高速后水平飞出，图乙是滑道的简略示意图，飞行着陆区斜面倾角为 θ，从飞出点水平
飞出时的速度大小为 v0，各功能区的高度和坡度都是定值，运动员可视为质点和忽略各种阻力，重
力加速度为 g（　　）

A 0．运动员水平飞出后，当 t= tanθ 时，运动员离斜面最远
B．由于运动员质量不同，因此落在飞行着陆区时的速度方向不同
tan
C 0．运动员水平飞出后到落回斜面的时间是
2
D ( 0sin )．运动员水平飞出后离斜面最远距离为 2 cos
【答案】AD
【详解】A．运动员离斜面最远时速度方向与斜面平行，即满足

tan = 0
运动员竖直方向的速度大小
= 0tan
从飞出到离斜面最远时速度方向的时间

= = 0 tan
故 A 正确；
B．运动员在飞行着陆区做平抛运动，根据位移分解有
1 2
tan = 2 0
着陆时，令速度与水平方向夹角为 ，根据速度分解有
1
2
tan = = 2 1 = 2tan 0
2 0
可知，运动员落在飞行着陆区时的速度方向相同，故 B 错误；
C．运动员在飞行着陆区做平抛运动，令落点到飞出点间距为 L，则有
sin = 1 22 ， cos = 0
解得
2 0tan =
故 C 错误；
D．运动员在飞行着陆区做平抛运动，将运动沿斜坡与垂直于斜坡分解，垂直于斜坡方向分运动为
初速度为 0sin ，加速度为 cos 的双向匀变速直线运动，当速度减为 0 时，距离斜坡最远，利用逆
向思维有
( 20sin ) = 2 cos max
解得
( 0sin )2 max = 2 cos
故 D 正确。
故选 AD。
【考向 7】（多选）如图所示，一小球从斜面上的某点以速度 v 水平抛出，落在斜面上 A 点。平抛末
速度与竖直方向的夹角为 β，平抛位移与竖直方向的夹角为 α。已知斜面与水平面夹角为 θ，重力加
速度为 g，则（　　）
tan
A． = 2 B．平抛的时间 =
2 2
C = 2 tan ．平抛的竖直位移 D．平拋抛末速度为 2 + 4 2tan2
【答案】CD
【详解】ABC．小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动
=
竖直方向做自由落体运动
1
= 2
2
根据题意

tan =

tan =
又
=
分析题意
tan tan = 1
联立解得
tan = 2tan
2 tan
=
2 2tan2
=
故 AB 错误、C 正确；
D．竖直方向的速度
2 tan
= = = 2 tan
平抛末速度为
= 2 + 2 = 2 + 4 2tan2
故 D 正确。
故选 CD。
【考向 8】（多选）某运动员从滑雪跳台以不同的速度 0水平跳向对面倾角为 45°的斜坡（如图所
示），已知跳台的高度为 h，不计空气阻力，重力加速度为 g，则下列说法正确的是（　　）
A ．若运动员以最短位移落到斜坡上，则在空中所用时间为
2
B 2 ．若运动员落到斜坡上时速度与斜坡垂直，则在空中所用时间为
3
C 2 ．若该运动员落到斜坡上某位置时速度最小，则在空中所用时间为
5
D．该运动员落到斜坡上的最小速度为 5 1
【答案】BD
【详解】A．若若运动员以最短位移落到斜坡上，则其位移垂直 PQ，根据几何关系可知，此种情况

下运动员下落的高度为2，根据平抛运动在竖直方向做自由落体运动可得
1
2 =
2
2
解得运动员在空中下落时间为

=
故 A 错误；
B．若运动员落到斜坡上时速度与斜坡垂直，则有

= tan45
， = 0 1
根据几何关系有
0 1
1 = tan45

( 22 1)
联立解得
2
1 = 3
故 B 正确；
CD．设该运动员落到斜坡上某位置时速度最小所用时间为 2，最小速度为 ，则在水平方向有
= 0 2
竖直方向有
1
= 2
2
2
根据几何关系有

= tan45

而该运动员落在斜坡上时的速度
= 20 + ( 2)2
联立以上各式可得
2
2 5
= ( ) +
2
4( )
变式可得
2
2
5
= ( 2 ) + ( 5 1)
可知，当
5
= 2
即
2 5
= 5
是速度有最小值
= ( 5 1)
故 C 错误，D 正确。
故选 BD。
考点 3：平面及半圆约束模型
1．竖直面及水平面约束模型
本模型中的障碍主要是对水平或竖直位移形成限制，以及所能形成的临界状态情景。
图甲中竖直位移一定，对水平位移可形成最大值与最小值的限制；
图乙中水平位移一定，使飞行时间受到初速度的限制；
图丙中竖直障碍高度一定，对越过障碍的初速度、抛出点的高度形成限制；
图丁中对水平位移、竖直位移均可形成限制：速度较小时竖直位移一定，速度较大时水平位移
一定。
2．半圆形约束模型
平抛运动与圆形障碍模型中物体抛出点位置不同限制关系不同，有对位移与球面半径之间形成
限制关系的，如图甲、乙、丙、丁所示，可分解位移处理，如在图甲中 x=R±Rcosθ,y =R sinθ;也有
对速度方向限制的，如图戊、己所示，可分解速度处理。
若物体从球面沿水平直径抛出，随抛出速度的增大，飞行时间先增大后减小、水平位移一直增大，
落到球面上时速度方向不可能垂直于球面。
【考向 9】（2024·浙江·二模）如图在水平地面上放置一边长为 0.8m 的正方形水箱，一水管可在 ABCD
面内绕 A 点转动 ≤ 90°，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为 2.5m/s，不计水管管口长度及一切
阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，则（ ）
A．任何方向喷出的水柱都能打到 DCGH 或 CGFB 侧面
B．水在空中运动时间的最大值为0.32 2s
C．空中运动的水的质量最大值为 0.5kg
D．若保持 不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短
【答案】C
【详解】AB．根据平抛知识，如果全都落在水平面上，则在竖直方向上
1
= 2
2
水平方向上
= 0
求得
= 0.4s， = 1m
而由几何关系可知
= 0.8 2 > 1m
所以不是所有方向喷出的水都能达到 DCGH 或 CGFB 侧面，水在空中运动时间的最大值为 = 0.4s，
AB 错误；
C．水的流量为
= 0 = 2.5 × 5 × 10 4m3/s=1.25 × 10 3m3/s
空中运动的水的质量最大值为
= = 1.0 × 103 × 1.25 × 10 3 × 0.5kg= 0.5kg
C 正确；
D．若保持 与 AD 边一个较小的角或者与 AB 边一个较小的角不变，使喷出的水打到侧面一个较高
位置处，则随着液面上升，水在空中运动的时长先不变，然后再减小，D 错误。
故选 C。
【考向 10】（2024·浙江·三模）如图所示，网球发球机在距离墙 L 处将网球以不同的水平速度射出打
到竖直墙上。已知墙上的 O 点与网球出射点等高，A、B 两点分别为两个击中点， = ，击中 A
点的网球水平射出时的速度为 0，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　）
A．击中 B 点的网球水平射出时的速度为2 0
B．击中 B 1点的网球水平射出时的速度为2 0
C．要使原来击中 A 点的网球能击中 B 点，网球发球机应沿 OP 方向后退 2
2
D．要使原来击中 B 点的网球能击中 A 点，网球发球机应沿 OP 方向前进 1 2
2
【答案】D
【详解】AB．网球在竖直方向上做自由落体运动
1
= 2 2
1
= 2
2

因 = ，所以
= 2
又
= 0
= 0
得击中 点的网球水平射出时的速度为
2
0 = 2 0
AB 错误；
C．要使原来击中 A 点的网球能击中 B 点，运动时间变长为原来的 2倍，所以水平距离也应变为 2
倍，即网球发球机应向后退( 2 1) ，C 错误；
D．要使原来击中 B 点的网球能击中 A 点，运动时间变短为原来的 2倍，所以水平距离也应变为 2
2 2
倍，即网球发球机应向前进 1 2 ，故 D 正确。
2
故选 D。
【考向 11】（2024·北京大兴·三模）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天
下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面片刚被削
离时距开水锅的高度为 L，与锅沿的水平距离为 L，锅的半径也为 L，若将削出的小面片的运动视为
平抛运动，且小面片都落入锅中，重力加速度为 g，则下列关于所有小面片的描述正确的是（　　）
A．空中相邻两个面片飞行过程中水平距离可能逐渐变大
B．掉落位置不相同的小面片，从抛出到落水前瞬间速度的变化量不同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的 3 倍
D ．若初速度为 0，则 < 0 < 2 2
【答案】A
【详解】A．面片飞行过程中水平方向做匀速直线运动，若先飞出的面片初速度较大，则空中相邻
两个面片飞行过程中水平距离逐渐变大，故 A 正确；
B 1．掉落位置不相同的小面片，下落高度相同，由 = 22 可知，下落的时间相等，由Δ = 可知，
从抛出到落水前瞬间速度的变化量相等，故 B 错误；
CD．由 = 12
2可知，下落时间为
2
=
水平位移的范围为
< < 3
则初速度的取值范围为
3
< 0 <
可得
9
2 < 0 < 2
落入锅中时的竖直分速度为
= 2
则落入锅中时，最大速度
9 13
max = 2 + 2 = 2
最小速度为
5
min = 2 + 2 = 2
可知，落入锅中时，最大速度不是最小速度的 3 倍，故 CD 错误。
故选 A。
【考向 12】如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心 O 点分别以水平初速度 v1、v2沿相反方向抛
出两个小球 1 和 2（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的 A 点和 B 点，已知 OA 与 OB 互相垂

直，且 OA 1与竖直方向成 α 角，则两小球的初速度之比 为（　　）2
A．tanα B．cosα
C．tan tan D．cos cos
【答案】C
【详解】两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为 R，两小球运动的时间分别为 t1、t2。则对
球 1 有
Rsinα=v1t1， cos =
1
2
2
1
对球 2 有
Rcosα=v2t2， sin =
1
2
2
2
解得
1
= tan tan 2
故选 C。
【考向 13】如图是一个竖直放置的圆环，AB 为半圆环 ACB 的水平直径，C 为环上的最低点，一个
小球从 A 点以速度 0水平抛出，经一段时间 t 与半圆环相撞，不计空气阻力。则下列判断正确的是
（　　）
A． 0越大，运动时间越长
B．发现小球有两次运动时间相同，则这两次抛出的初速度一定相同
C．要使小球掉到环上时的竖直分速度最大，小球应该落在 C 点
D．只需 0取值合适，可能使小球垂直撞击圆环
【答案】C
【详解】A．根据
1
= 2
2
2
=
小球做平抛运动，运动时间取决于高度差，与 0无关，故 A 错误；
C．小球的竖直分速度为
=
可知当小球落在 C 点时，高度差最大，时间最长，竖直分速度最大，故 C 正确；
B．小球运动时间由高度差决定，当小球分别落在点两侧等高的圆弧位置上时，运动时间相等，对应
的水平位移不同，则初速度不同，故 B 错误；
D．若小球垂直撞击圆环，则此时速度方向反向延长线过圆心，由平抛运动的规律可知，速度方向
反向延长线过水平位移中点，但小球落在圆弧上时水平位移必定小于 2R，即小球的速度反向延长线
必不可能过半圆的圆心，故 D 错误。
故选 C。
【考向 14】（多选）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB 为水平直径，O 为圆心，同时从 A 点水
平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为 1、 2，落在轨道上的 C、D 两点，OC、OD 连线与竖直方
向的夹角均为 30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　）
A．甲、乙两球同时落到轨道上
B． 1: 2 = 1:3
C．乙球的速度变化量比甲球的大
D．乙球在 D 点速度的反向延长线一定过 O 点
【答案】AB
【详解】AC．由图可知，两个物体下落的高度是相等的，根据
1
= 2
2
又
=
可知甲乙两球下落到轨道的时间相等，甲乙两球下落到轨道的速度变化相等，故 A 正确，C 错误；
B．设圆形轨道的半径为 ，则甲水平位移为
1 = sin30° = 0.5
乙水平位移为
2 = + sin30° = 1.5
可得
2 = 3 1
水平方向做匀速直线运动，则有
1: 2 = 1:3
故 B 正确；
D．设乙球在 D 点速度偏转角为 ，有

tan = 0 乙
设乙球在 D 点位移偏转角为 ，有

tan = 2 0 乙
可见
tan = 2tan
即在 D 点速度反向延长线平分水平位移，所以乙球在 D 点速度的反向延长线不过 O 点，故 D 错误。
故选 AB。
【考向 15】（多选）如图所示，半径为 R 的半圆形槽竖直放置，其圆心为 О，且直径 AC 水平。一可
视为质点的小球从 A 点正上方的 P 处以速度 0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在槽上，此
时小球速度与竖直方向的夹角为 53°。已知重力加速度大小为 g，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不计空气
阻力，则（　　）
A 12 ．小球的初速度 0 = 5
B．PA 之间的高度 = 415
C．若将小球以不同速率从 A 点水平抛出，也有可能垂直打到槽上
D．若将小球以不同速率从 О 点水平抛出，小球落到槽上时的速度最小值为 3
【答案】AD
【详解】A．小球竖直方向的速度为

= 0
3
tan53 = 4 0
小球做平抛运动，水平方向有
+ sin53 = 0
竖直方向有
=
解得小球的初速度为
12
0 = 5
故 A 正确；
B．PA 之间的高度
2 3
= 2 cos53 = 40
故 B 错误；
C．若小球垂直打在槽上，则速度方向延长线过圆心，根据平抛运动的推论平抛运动速度的反向延长
线过水平位移的中点，小球打在槽上，水平位移小于半圆形槽直径，速度方向延长线不可能过圆心，
故若将小球以不同速率从 A 点水平抛出，不可能垂直打到槽上，故 C 错误；
D．将小球以不同速率从 О 点水平抛出，设小球、圆心连线与水平方向的夹角为 ，则
= cos = 0
1
= sin = 22
小球落到槽上时的速度为
1 3
= 2 20 + 1 = ( 2sin + 2 sin )
根据数学关系可得，当
1 3
2sin = 2 sin
时，小球落到槽上时的速度最小，为
min = 3
故 D 正确。
故选 AD。
【考向 16】水平放置的圆柱体正上方有一点 P，将一个小球从 P 点以 0沿垂直于圆柱体轴线方向水
平抛出，其飞行一段时间后，恰由 Q 点沿切线飞过，测得圆心 O 与 Q 的连线与 OP 的夹角为 θ，试
求：
（1）小球从 P 运动到 Q 的时间 t；
（2）小球的初始位置 P 点到圆柱体最高点的高度 H。
tan 2 2 2 2
【答案】（1） = 0 ；（2） =
0 tan 0 02 cos +
【详解】（1）设小球在 Q 点时的速度为 ，在 Q 点竖直方向的速度为 ，如图所示
根据几何关系可得到 Q 点速度同水平方向夹角为 ，则

tan = 0
可得
= 0tan
小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动

= ， =


代入数据得
0tan =
（2）平抛运动，在水平方向匀速运动
2tan
= 0 =
0

由几何关系
2
= = 0sin cos
竖直方向位移
1
= 2
2
可得
2 2
= 0
tan
2
小球距圆柱体的高度
= (1 cos )
联立可得
2 20 tan 2 2 = 0
0
2 cos +
考点 4：类平抛运动
1．模型概述
有些物体的运动与平抛运动很相似，也是在与初速度方向垂直的恒定外力作用下运动，其轨迹
与平抛运动相似，我们把这种运动称为类平抛运动，这样的运动系统称作“类平抛”模型。
2．正确理解类平抛运动的特点
（1）受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
（2）运动特点：在初速度 v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运
F 合
动，加速度 a＝ 。
m
3．求解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即
沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为 ax、
ay，初速度 v0分解为 vx、vy，然后分别在 x、y 方向列方程求解。
【考向 17】（多选）如图所示的光滑固定斜面长为 、宽为 、倾角为 ，一物块（可看成质点）从斜
面左上方顶点 沿水平方向射入，恰好从底端右侧 点离开斜面，已知重力加速度为 ，不计空气阻
力（　　）
A．物块加速度的大小 = cos
B．物体轨迹变加速曲线运动
C 2 ．物块由 运动到 所用的时间 =
sin
D．物块由 sin 点水平射入时初速度的大小 0 = 2
【答案】CD
【详解】AB．物块合力沿斜面向下，所以
sin =
解得
= sin
物体做匀加速运动，故 AB 不符合题意；
C．沿斜面方向
1
= 22
解得
2
= sin
故 C 符合题意；
D．沿水平方向有
= 0
解得
sin
0 = = 2
故 D 符合题意。
故选 CD。
【考向 18】（多选）如图所示的坐标系，x 轴水平向右，质量为 m=0.5kg 的小球从坐标原点 O 处，
以初速度 0 = 3m/s斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力 风 = 5N的作用，风力与 0
的夹角为 30°，风力与 x 轴正方向的夹角也为 30°，重力加速度 g 取 10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．小球的加速度大小为 10m/s2
B．加速度与初速度 0的夹角为 60°
C．小球做类斜抛运动
D 6 3．当小球运动到 x 轴上的 P 点（图中未标出），则小球在 P 点的横坐标为 m
5
【答案】AD
【详解】A．由题意可知，风力与重力的夹角为 120°，由于
风 = 5N =
即风力与重力大小相等，根据矢量合成规律，可知合力与重力等大，则小球的加速度大小为 10m/s2，
故 A 正确；
B．由几何关系可知，合力与初速度 0方向垂直，即加速度方向与初速度 0的夹角为 90°，故 B 错误；
C．根据上述可知，加速度 a 与初速度 0方向垂直，则小球做类平抛运动，故 C 错误；
D．设 P 点的横坐标为 x，把 x 分别沿着 0和垂直 0分解，则有
1 = sin30 ， 2 = cos30
由类平抛运动的规律可得
1 = 0 ， =
1 2
2 2
解得
= 0.6s = 6 3， m
5
故 D 正确。
故选 AD。
【考向 19】风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风
洞竖直放置且足够长，质量为 m 的小球从 A 点以速度 0 = 10m/s沿直径水平进入风洞。小球在风洞
中运动时受到的风力 F 恒定，方向竖直向上，风力大小 F 可在 0~3mg 间调节。小球可视作质点，碰
壁后不反弹，重力加速度 g 取10m/s2，风洞横截面直径 = 10m。
（1）当 = 0时，求小球撞击右壁的速度大小和方向；
（2）保持 0不变，调节 F 的大小，求小球撞击右壁的区域长度。
【答案】（1）10 2m/s，速度方向与水平方向夹角为45 ；（2）15m
【详解】（1）当 = 0时，小球做平抛运动，水平方向有
= 0 1
解得
1 = 1s
竖直分速度为
1 = 1
小球撞击右壁的速度大小
21 = 0 + 2 1
令速度与水平方向夹角为 ，则有
= 10 2m/s， = 45
（2）结合上述，当 = 0时，小球做平抛运动，竖直方向的分位移
1
1 = 2
2
1
解得
1 = 5m
当 = 3 时，根据牛顿第二定律有
3 =
小球做类平抛运动，则有
= 0
1
1， 1 = 2
2
1
解得
1 = 10m
则小球撞击右壁的区域长度
0 = 1 + 2 = 15m
考点 5：多体平抛问题及相遇与临界问题
1．定义：多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时涉及的问题。
2．三类常见的多体平抛运动
3．平抛运动中相遇问题
抛体相遇问题要比运动学中的追及相遇问题复杂，因为它不再是一直线运动，通常是采用分解
方法分别对两个运动方向独立分析，再根据时间相等进行解答。也可以巧取参考系，使问题更加简
单。
两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
2．平抛运动中的临界问题
(1)在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出
边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界
轨迹，是解决问题的关键点．
(2)分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极
小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件．
【考向 20】在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球 A 和 B，其运动轨迹如图所示，不
计空气阻力，两球在空中 P 点相遇，则（ ）
A．应先抛出 A 球 B．应先抛出 B 球
C．相遇时 A 球速率小于 B 球速率 D．抛出时 A 球的初速度大于 B 球的初速度
【答案】D
【详解】AB．由于相遇时 A、B 做平抛运动的竖直位移 h 相同，由
1
= 22
可知两球下落时间相同，两球应同时抛出，故 AB 错误；
CD．根据以上分析 A、B 做平抛运动的时间相同，但
xA > xB
由于水平方向做匀速直线运动，则
vAx > vBx
相遇时
= 2 + ( )2
则相遇时 A 球速率大于 B 球速率，故 C 错误、故 D 正确。
故选 D。
【考向 21】如图所示，A、B 两小球从同一竖直线上的不同位置水平抛出后，恰好在 C 位置相遇，
已知 A、B 两球抛出时的速度分别为 v1、v2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．两球从抛出到运动至 C 点的时间相等
B．相遇时 A 球竖直方向的速度大于 B 球竖直方向的速度
C．A 先抛出，且 v1>v2
D．B 先抛出，且 v1＜v2
【答案】B
【详解】AB．根据
= 1 2， 22 = 2 ， A > B
得
A > B， A > B
故 A 错误，B 正确；
CD．水平方向做匀速直线运动的位移相等，由
= 0
得 A 先抛出，且
1 < 2
故 CD 错误。
故选 B。
【考向 22】如图所示，相距为 的两小球 、 位于同一高度的水平线上，现将A球向B球水平抛出，
初速度大小为 0，同时释放B球自由下落。A、B两球与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速
度大小不变、方向相反。不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，下列说法正确的是（　　）
A．两小球可能无法相遇
B．两小球一定不能在最高点相遇

C．从开始至相遇经历的时间一定为 0
D．若将两球的初始高度变为原来的两倍，则相遇经历的时间变为原来的两倍
【答案】C
【详解】AB．两球从同高度处开始运动，竖直方向均做自由落体运动，故两球始终在同一高度上，
相遇时间只跟水平初速度 0和初始水平距离有关，水平方向一定会相遇，且可能在任一高度相遇，A
错误；B 错误；
C．相遇时间一定为

= 0
C 正确；
D．相遇时间与高度无关，D 错误。
故选 C。
【考向 23】（多选）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环 BC 和倾角为53°的斜面 AC，A、B
两点与圆环 BC 的圆心 O 等高。现将甲、乙小球分别从 A、B 两点以初速度 1、 2沿水平方向同时抛
出，两球恰好在 C 点相碰（不计空气阻力），已知sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，下列说法正确的是
（ ）
A．初速度 1、 2大小之比为 3∶4
B．若 1大小变为原来的两倍，让两球仍在 OC 竖直面相遇，则 2应增大到原来 4 倍
C．若 1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点 D
4
D．若要甲球垂直击中圆环 BC，则 1应变为原来的4 7倍
【答案】AD
【详解】A．两小球竖直位移相同，则运动时间相同，初速度 1、 2大小之比为
1 1 tan37° 3
= = =2 2 4
故 A 正确；
B．若让两球仍在 OC 竖直面相遇，则
+ =
其中
= 1 ， = 2
若 1大小变为原来的两倍，则时间 t 变为原来的一半，要能相遇，则 B 球的速度 2要增大为原来的 2
倍，故 B 错误；
C．甲球落在 D、C 两点时的竖直位移之比为
′1 1
=1 2
2
根据 = 可知甲球落在 D、C 两点时的时间之比为

′1 ′1 1
=1
=
1 2
甲球落在 D、C 两点时的水平位移之比为
′1 1
=1 2

根据 = 可知甲球落在 D、C 两点时的初速度大小之比为
′1 ′= 1
1 2
1
=
1 ′1 2
故若 大小变为 21 1，则甲球恰能落在斜面的中点 D，故 C 错误；2
D．若要甲球垂直击中圆环 BC，则击中 BC 时的速度方向一定过 O 点，且根据平抛运动规律的推论
可知 O 点为甲球水平位移的中点，故甲球落点到 O 点的水平距离为
′ = 2 tan37° = 1′ ′
竖直距离为
7
′ = 2 ( tan37°)2 = 4
结合在 C 点相碰
= tan37° = 1 ， =
根据
1
= 22
解得
′ 4= 7 1′
4
，2
= 4
1 7
4
所以若要甲球垂直击中圆环 BC，则 1应变为原来的4 7倍，故 D 正确。
故选 AD。
考点 6：斜抛运动
重要结论：
(1)运动轨迹取决于初速度 v0的大小与方向,与其他因素无关。
(2)运动具有对称性:时间对称、速度对称。
t v0 sin (3)斜上抛的物体到达最大高度的时间
g 。
v2 sin 2 v2
(4)落回抛出高度时的水平射程 x 0 ，α=45°时水平射程最远 x 0
g max

g 。
(5)斜上抛物体的初速度大小相同时,抛射角互余时具有相同的水平射程。
v2 sin 2 v2
(6)斜上抛物体到达的最大高度 ymax 0 ，α=90°时射高最大 H 02g 2g 。
【考向 24】（多选）从地面上的 O 点以相同的速率，朝不同方向分别抛出三个小球 A、B、C，它们
在同一竖直平而内的运动轨迹如图所示，假设球在空中相遇时不会相互影响，忽略空气阻力，下列
说法正确的是（　　）
A．三球落地时速度大小相等
B．A 球在空中飞行时间最长
C．若 A、B 两球是同时抛出的，则它们在 P 点相遇
D．B 球在最高点时的速率大于 C 球在最高点时的速率
【答案】AB
【详解】AB．不计空气阻力，两球都是只受重力，所以加速度相同，A 球最大高度最大，则根据飞
行时间
2
= 2
可知 A 球在空中飞行时间最长，水平位移比 B 小，水平匀速，则 A 水平速度小于 B 的；从地面上的
O 点以相同的速率，朝不同方向分别抛出三个小球 A、B、C，根据斜抛运动对称性可知，三球落地
时速度大小相等，故 AB 正确；
C．若 A、B 两球是同时抛出的，因为到 P 点水平位移相同，而水平速度不同，则不会在 P 点相遇，
故 C 错误；
D．因为抛出速率相同，根据
= 0cos
可知，与水平夹角越小，水平速度越大，则 B 球水平分速度小于 C 的，B 球在最高点时的速率小于 C
球在最高点时的速率，故 D 错误。
故选 AB。
【考向 25】（多选）某运动员在练习投篮时，篮球恰好垂直打在竖直平面内的篮板上，如图所示。
已知篮球的质量为 m，投出点与篮球撞击篮板处的高度差为 h，水平距离为 s，忽略篮球在空中飞行
过程中受到的阻力，重力加速度为 g。下列判断正确的是（　　）
A (
2 4 2)
．该同学对篮球做功为 4
B．篮球飞向篮板过程中的位移大小为 s
C．若投出篮球方向不变，仅增大投出速度，篮球仍会垂直打在篮板上原来的位置
D．若 s 是 h 的 2 倍，则篮球被投出时的速度方向与水平方向的夹角为45°
【答案】AD
【详解】A．设篮球垂直打在竖直平面内的篮板时的速度为 0，根据逆向思维，把篮球看成反方向
的平抛运动，则有
= 12
2， = 0
联立解得
= 2 ， =
0 2
则篮球抛出时的速度大小为
2
= 2

0 + ( )2 = 2 + 2
根据动能定理可知，该同学对篮球做功为
1 2 (
2 + 4 2)
= 2 = 4
故 A 正确；
B．篮球飞向篮板过程中的位移大小为
合 = 2 + 2
故 B 错误；
C．若投出篮球方向不变，仅增大投出速度，则投出篮球时的水平分速度和竖直分速度均增大，从投
出到打在篮板上的水平位移不变，则篮球在空中的时间变小，所以篮球打在篮板上时，竖直分速度
还没有减为 0，则篮球不会垂直打在篮板上原来的位置，故 C 错误；
D．若 s 是 h 的 2 倍，则篮球被投出时的速度方向与水平方向的夹角满足
2 2
tan = = = = 10 2
可得
= 45°
故 D 正确。
故选 AD。
【考向 26】（多选）“抛石机”是古代战争中常用的一种机械．某学习小组用自制的抛石机演练抛石过
程，其运动轨迹可简化为下图，A 点为石块的投出点，B 点为运动轨迹的最高点，C 点为石块的落点，
落点的速度方向与水平面的夹角为 = 24°，已知 A 点与 C 点在同一水平面上，A、B 两点之间的高
度差为 5m，石块视为质点，空气阻力不计．取sin24° = 0.4，cos24° = 0.9，重力加速度大小 = 10
m/s2．则下列说法正确的是（ ）
A．石块从 A 点运动至 C 点的过程中加速度方向一直在改变
B．石块离开 A 点时的速度大小为 25m/s
C．石块从 A 点运动至 C 点的过程中最小速度为 22.5m/s
D．A、C 两点之间的距离为 14.4m
【答案】BC
【详解】A．石块从 A 点运动至 C 点的过程中只受重力，加速度方向始终竖直向下，大小恒为 g，
故 A 错误；
B．设石块从 B 点运动至 C 点用时为 t，到达 C 点时的速度大小为 v，由对称性知，离开 A 点时的速
度大小也是 v，则
sin24° =
1
= 22
解得
= 1s， = 25m/s
故 B 正确；
C．石块从 A 点运动至 C 点的过程中，当到达 B 点时的速度最小，最小速度为
= cos24° = 22.5m/s
故 C 正确；
D．A、C 两点之间的距离
= 2 = 45m
故 D 错误。
故选 BC。
【真题 1】（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳
到低处荷叶上。设低处荷叶 a、b、c、d 和青蛙在同一竖直平面内，a、b 高度相同，c、d 高度相同，
a、b 分别在 c、d 正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到
（　　）
A．荷叶 a B．荷叶 b C．荷叶 c D．荷叶 d
【答案】C
【详解】青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自由落体则有
1
= , = 2
2
可得

= 2
因此水平位移越小，竖直高度越大初速度越小，因此跳到荷叶 c 上面。
故选 C。
【真题 2】（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为
水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿 A。已知桶高为 h，直
径为 D，则水离开出水口的速度大小为（　　）
A B ．4 ． 4 2
C．( 2 1) D．( 2 +1) 2 2 2
【答案】C
【详解】设出水孔到水桶中心距离为 x，则
2
= 0
落到桶底 A 点时
2 2
+ 2 = 0
解得
( 2 + 1)
0 = 2 2
故选 C。
【真题 3】（2022·广东·高考真题）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足
够高处，一玩具枪的枪口与小积木上 P 点等高且相距为 L。当玩具子弹以水平速度 v 从枪口向 P 点
射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为 t。不计空气阻力。下列关于子
弹的说法正确的是（　　）
A ．将击中 P 点，t 大于 B．将击中 P 点，t 等于
C．将击中 P 点上方，t 大于 D．将击中 P 点下方，t 等于
【答案】B
【详解】由题意知枪口与 P 点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木
时子弹和积木运动时间相同，根据
1
= 2
2
可知下落高度相同，所以将击中 P 点；又由于初始状态子弹到 P 点的水平距离为 L，子弹在水平方
向上做匀速直线运动，故有

=
故选 B。
【真题 4】（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。
某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为 ，且
轨迹交于 点，抛出时谷粒 1 和谷粒 2 的初速度分别为 1和 2，其中 1方向水平， 2方向斜向上。忽
略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．谷粒 1 的加速度小于谷粒 2 的加速度 B．谷粒 2 在最高点的速度小于 1
C．两谷粒从 到 的运动时间相等 D．两谷粒从 到 的平均速度相等
【答案】B
【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒 1 的加速度等
于谷粒 2 的加速度，A 错误；
C．谷粒 2 做斜向上抛运动，谷粒 1 做平抛运动，均从 O 点运动到 P 点，故位移相同。在竖直方向
上谷粒 2 做竖直上抛运动，谷粒 1 做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒 2 运动时间较长，C
错误；
B．谷粒 2 做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速
度。与谷粒 1 比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒 2 水平方向上的速度较小即最高点的速
度小于 1，B 正确；
D．两谷粒从 O 点运动到 P 点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒 1 的平均速度
大于谷粒 2 的平均速度，D 错误。
故选 B。
【真题 5】（2024·江苏·高考真题）喷泉 a、b 形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉 a、b 的
（　　）
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
【答案】A
【详解】A．不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故 A 正确；
D．设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为 ，水平方向速度为 ，竖直方向，根据对称性可知在空中
运动的时间
2
= 2
可知
>
D 错误；
BC．最高点的速度等于水平方向的分速度

=
由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判
断初速度的大小，BC 错误；
故选 A。
【真题 6】（2024·安徽·高考真题）在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，
简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为 H。出水口距水平地面的高度为 h，与落
地点的水平距离约为 l。假设抽水过程中 H 保持不变，水泵输出能量的 倍转化为水被抽到出水口处
增加的机械能。已知水的密度为 ，水管内径的横截面积为 S，重力加速度大小为 g，不计空气阻力。
则水泵的输出功率约为（ ）
A 2
2 2 2． 2 + + B．2 2 + + 4
C 2
2 2 2
． 2 + D． 2 +

2 4
【答案】B
【详解】设水从出水口射出的初速度为 0，取 时间内的水为研究对象，该部分水的质量为
= 0
根据平抛运动规律
0 ′ =
= 12 ′
2
解得

0 = 2
根据功能关系得
1
= 2
2
0 + ( + )
联立解得水泵的输出功率为
2 2
= 2 + + 4
故选 B。
【真题 7】（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度 v0大
小为 20m/s，与水平方向的夹角为 30°，抛出点 P 和落点 Q 的连线与水平方向夹角为 30°，重力加速
度大小取 10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．运动时间为2 3s
B．落地速度与水平方向夹角为 60°
C．重物离 PQ 连线的最远距离为 10m
D．轨迹最高点与落点的高度差为 45m
【答案】BD
【详解】AC．将初速度分解为沿 方向分速度 1和垂直 分速度 2，则有
1 = 0cos60° = 10m/s， 2 = 0sin60° = 10 3m/s
将重力加速度分解为沿 方向分速度 1和垂直 分速度 2，则有
1 = sin30° = 5m/s2， 22 = cos30° = 5 3m/s
垂直 方向根据对称性可得重物运动时间为

= 2 2 = 4s2
重物离 PQ 连线的最远距离为
2
= 2max 2 = 10 3m2
故 AC 错误；
B．重物落地时竖直分速度大小为
= 0sin30° + = 30m/s
则落地速度与水平方向夹角正切值为

tan = = = 3 0cos30°
可得
= 60°
故 B 正确；
D．从抛出到最高点所用时间为
sin30°
= 01 = 1s
则从最高点到落地所用时间为
2 = 1 = 3s
轨迹最高点与落点的高度差为
1
= 2
2
2 = 45m
故 D 正确。
故选 BD。
【真题 8】（多选）（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲
到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x 轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为
0，末速度 v 沿 x 轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置
x、竖直位置 y、水平方向分速度 和竖直方向分速度 与时间 t 的关系，下列图像可能正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即 为定值，
则有水平位移
=
故 A 正确，C 错误；
BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则
= 1 2 0 2 ， = 0
且最高点时竖直方向的速度为 0，故 B 错误，D 正确。
故选 AD。
【真题 9】（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为 S，管
口离水池水面的高度为 h，水在水池中的落点与管口的水平距离为 d。假定水在空中做平抛运动，已
知重力加速度为 g，h 远大于管口内径。求：
（1）水从管口到水面的运动时间 t；
（2）水从管口排出时的速度大小 0；
（3）管口单位时间内流出水的体积 Q。
2
【答案】（1） ；（2） ；（3）
2 2
【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向
1
= 22
解得水从管口到水面的运动时间
2
=
（2）由平抛运动规律得，水平方向
= 0
解得水从管口排出时的速度大小

0 = 2
（3）管口单位时间内流出水的体积

= 0 = 2
【真题 10】（2024·全国·高考真题）如图，一长度 = 1.0m的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，
薄板的右端与平台的边缘 O 对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板
运动的距离Δ = 6时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到 O 点。
已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数 = 0.3，重力加速度大小 = 10m/s2。求
（1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
（2）平台距地面的高度。
【答案】（1）4m/s 1 5；3s；（2）9m
【详解】（1）物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为
1 = = 3m/s2
薄板做加速运动的加速度

2 = = 3m/s
2
对物块
1
+ Δ = 0 2
2
1
对薄板
1
Δ = 2 2
2
解得
0 = 4m/s
1
= 3 s
（2）物块飞离薄板后薄板得速度
2 = 2 = 1m/s
物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为
1
′ = 2 6 =2 3
s
则平台距地面的高度
1
= ′2
5
2 = 9 m
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）如图所示，在水平地面上方某处有一个足够长的水平固定横梁，底部悬挂一个

静止的盛水小桶，小桶底部离地面高为 h。某时刻开始，小桶以加速度 = 4匀加速水平向右运动，
同时桶底小孔向下漏水，单位时间漏水量相同。当小桶前进 h 时，水恰好流尽。略去漏水相对小桶
的初速度，设水达到地面既不反弹也不流动。地面上水线长度为 l，定义地上水线单位长度水的质量
为 k，忽略空气阻力，则（ ）
A． = ，水线从左端到右端 k 值递减 B． = 1.5 ，水线从左端到右端 k 值递增
C． = 2 ，水线从左端到右端 k 值递减 D． = 1.25 ，水线从左端到右端 k 值递增
【答案】C
【详解】第一滴水水平速度为零，则第一滴水将落到水桶初始点的正下方；最后一滴水滴出时水桶
的速度

= 2 = 2
则水平射程
2
= =
则地面上水线长度为
l=2h
因为水滴的水平速度逐渐增加，则相同长度的水平位移所用时间越来越短，而单位时间漏水量相同，
则地上水线单位长度水的质量逐渐减小，即水线从左端到右端 k 值递减。
故选 C。
2．（2024·山东济宁·二模）如图所示，微山湖某段堤坝倾角为53°，某同学从水平坝面边缘正上方
= 1.0m处，以 0 = 3m/s的水平速度垂直河岸扔出一个小石子，小石子恰好落入水中。已知重力加
速度 = 10m/s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，则坝面离水面的高度 H 为（　　）
A．3.2m B．4.0m C．4.8m D．5.0m
【答案】B
【详解】小石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动
1
+ = 22
水平方向做匀速直线运动

tan53 = 0
联立可得
= 4.0m
故选 B。
3．（2024·河北·三模）消防火箭炮具有覆盖面积大、发射效率高、使用简便和再装填时间短等优点。
火箭炮发射的火箭弹打到着火点后会立即释放高浓度灭火剂，迅速扑灭火灾。如图是一种肩扛式消
防火箭炮。设着火点与消防员站立点的水平距离和竖直距离分别为 L、H，消防员身高 h，肩扛火箭
筒的瞄准仰角（与水平方向所成锐角）为 ，火箭弹发射后其高度达到最大值时刚好打到着火点上，
忽略空气阻力，火箭炮发射点与消防员的头顶平齐，则 L、H、h、 这几个物理量满足的关系式为
（ ）
A 1 1． = 2 tan B． = 2 tan C． = 2 sin D． = 2 sin
【答案】B
【详解】如图
设初速度为 0，则竖直方向有
0sin
2 =
水平反向
0cos =
联立可得
1
= 2 tan
故选 B。
4．（2024·河北·二模）如图所示，将物体（可视为质点）从半球形凹槽边缘上的 P 点沿不同方向水
平抛出，物体均经过相同时间 t 落在凹槽内壁上。已知 O 为槽口圆心，物体初速度方向与 PO 连线
的最大夹角为 θ，凹槽半径为 R，忽略空气阻力，则 t 等于（　　）
A 2 B 2 sin ． ．

C 2 cos D 2 tan ． ．

【答案】C
【详解】因为从 P 点沿不同方向水平抛出的物体均经过相同时间 t 落在凹槽内壁上，可知所有物体
下落的竖直高度相同，即物体落到内壁上的位移为一水平面上的圆面（设圆心为 O1），设该圆面半
径为 r，其中速度方向与 OP 夹角最大的物体落在内壁上时距离 O1点最远（设为 M 点），由几何关
系
2 = 2 2

sin =
1
= 22
联立解得
2 cos
=
故选 C。
5．（2024·北京海淀·二模）如图所示，一个沙漏沿水平方向以速度 v 做匀速直线运动，沿途连续漏出
沙子，单位时间内漏出的沙子质量恒定为 Q，出沙口距水平地面的高度为 H。忽略沙子漏出瞬间相
对沙漏的初速度，沙子落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重力加速度为 g，在已有沙子落
地后的任意时刻，下列说法正确的是（　　）
A．每粒沙子在空中的轨迹是一条抛物线
B．若将沙漏以速度 v 水平抛出，漏出的沙子在空中形成的几何图形是一条竖直直线
C 1．每粒沙子从漏出开始计时，t 时刻与地面间的高度 = 2
2
D．若沙漏内的沙子在 t 时间内落完，则地面上沙子的长度大于
【答案】A
【详解】A．由于惯性，每粒沙子漏出的瞬间，存在一个水平向右的初速度 v，沙子开始做平抛运动，
其在空中的轨迹为一条抛物线，故 A 正确；
B．若将沙漏以速度 v 水平抛出，沙漏处于完全失重状态，沙漏中的沙子将不会漏出沙漏，沙子在空
中始终随沙漏一起做平抛运动，故 B 错误；
C．每粒沙子从漏出开始计时，t 时刻沙子下落的高度
1
0 = 2
2
此时其与地面间的高度为
1
= 0 = 22
故 C 错误；
D．沙子漏出后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，地面上沙子的长度等于初始时刻漏出的沙
子与末时刻漏出沙子在地面上落地之间的间距，即等于 t 时间内沙漏的位移大小，即若沙漏内的沙
子在 t 时间内落完，则地面上沙子的长度等于 ，故 D 错误。
故选 A。
6．如图所示，一小球以一定初速度水平抛出，忽略空气阻力。当小球以速度 0抛出时，经历时间 1
后以 恰好击中斜面 A 处（抛出点与 A 点的连线垂直于斜面）。当小球以速度 3 0抛出时，经历时间 2
后以 恰好从 B 点沿圆弧切线进入圆轨道。则（　　）
A． 1: =
2 2
2 3tan2 B． 1: 2 = tan2
C． : = sin tan
2 4 2
D． : = 2cos tan 43tan 3tan
【答案】A
【详解】当击中斜面 处时，竖直方向
1
= 22 1
水平方向
= 0 1
根据几何关系可得

tan =
解得
2
01 = tan
则
4
= 20 + ( 1)2 = 0 1 + tan2
当小球恰好从 B 点沿圆弧切线进入圆轨道时，根据几何关系可得

tan = 23 0
3
cos = 0
联立可得
2
1: 2 = 3tan2
cos tan2 + 4
: = 3tan
故选 A。
7．（2024·山西晋城·三模）在第 19 届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以 3∶0 战胜日本女排，

以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为 d，长为 2d，球网高为4，发球员

在底线中点正上方的 O 点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的 E 点， = 2，
不计空气阻力，重力加速度大小为 g，下列说法正确的是（ ）
A ．O 点距地面的高度为2 B．排球做平抛运动的时间为
C 5 ．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为2
3
【答案】C
【详解】AB．排球做平抛运动的轨迹在地面上的投影为 ′ ，如图所示
显然
′ 2
= = 1
所以排球在左、右场地运动的时间之比为 1∶2，设排球做平抛运动的时间为 3t，有
= 1 (3 )2 ， = 1 (3 )22 4 2
1
2 (2 )
2
解得
= 9 20，3 =
9
10
故 AB 错误；
C．排球击出时的速度大小
′ 5
0 = 3 = 3
故 C 正确；
D．排球着地时的速度大小
2 331 = 0 + 2 = 90
故 D 错误。
故选 C。
8．（2024·江西赣州·二模）如图所示，甲同学站在地面上将排球以大小为 1的速度击出，排球沿轨迹
①运动：经过最高点后，乙同学跳起将排球以大小为 2的水平速度击回，排球沿轨迹②运动，恰好
落回出发点。忽略空气阻力，则排球（ ）
A．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小相同
B．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
C．沿轨迹①运动的最小速度大小可能为 2
D．沿轨迹②运动的最大速度大小可能为 1
【答案】D
【详解】A．根据图像可知，轨迹①最高点大于轨迹②最高点，根据平抛运动规律
1
= 22
可知沿轨迹②运动的时间小于沿轨迹①运动的时间，沿轨迹①和轨迹②运动过程的位移相同，所
以沿轨迹②运动的平均速度大于沿轨迹①运动的平均速度，故 A 错误；
B．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量为
Δ =
可知沿轨迹②的速度变化量小于沿轨迹①的速度变化量，故 B 错误；
CD．根据

=
轨迹①的时间长，但水平位移小，所以轨迹①水平分速度小，竖直分速度为
= 2
沿轨迹①的竖直分速度大，可知沿轨迹②的最大速度可能为 1，沿轨迹①运动的最小速度即水平速
度，小于 2，故 D 正确，C 错误。
故选 D。
9．（2024·湖南岳阳·三模）如图所示，光垂直照射倾斜木板，把一个质量为 0.2kg 的小球从倾斜木板
顶端水平弹射出来做平抛运动，小球刚好落在倾斜木板底端。然后使用手机连续拍照功能，拍出多
张照片记录小球此运动过程。通过分析照片可以得到小球的飞行时间为 0.6s，小球与其影子距离最
大时，影子 A 距木板顶端和底端的距离之比为7:9，重力加速度 = 10m/s2。下列说法不正确的是
（ ）
A．飞行过程中，重力对小球做的功为 3.6J
B．小球与影子距离最大时，刚好是飞行的中间时刻
C．木板的斜面倾角 = 37°
D．木板的长度为 3.6m
【答案】C
【详解】A．小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动位移时间公式有
1
= 2
1
2 = 2 × 10 × 0.6
2m = 1.8m
根据功的公式，可得飞行过程中，重力对小球做的功为
G = = 0.2 × 10 × 1.8J = 3.6J
故 A 正确；
B．经过分析可知，当小球与影子距离最大时，此时小球的速度方向与斜面平行，即速度方向与水平
方向的夹角为 ，此时竖直方向的速度为
= 0tan
当小球落到斜面底端时，此时小球位移与水平方向的夹角为 ，令此时速度方向与水平方向的夹角为
，则有
1
2
tan = = 2

= 20 1
= 2tan
2 0
此时竖直方向的速度为
1 = 0tan = 2 0tan
则有
1 = = 0
tan 1
1 2 2 0tan
= 2
则有
1 1
=2 2
故小球与影子距离最大时，刚好是飞行的中间时刻，故 B 正确；
CD．将小球的运动沿斜面与垂直于斜面分解，建立直角坐标系如图所示
由题意可知
: = 7:9
则有
: = 7:16
可得
1
= 0cos 1 + 2 sin
2
1
1
= 0cos 2 + 2 sin
2
2
又由于
= 0sin cos 1
则 y 方向速度减为零需要的时间为
sin
1 =
0
cos
结合上述有
2 = 2 1
联立可得
20 sin 1 = 1 + 2tan
2
2 20 sin = (1 + tan
2 )
可得
3
tan = 3
则有
= 30°
故木板的长度为

= sin = 3.6m
故 C 错误，D 正确。
本题选不正确的，故选 C。
10．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为 R，A 点与球心 O 等高，小球两次从 A 点以不
同的速率沿 AO 方向抛出，下落相同高度 h，分别撞击到球面上 B 点和 C 点，速度偏转角分别为 和
，不计空气阻力。则小球（ ）
A．运动时间 > B．两次运动速度变化Δ > Δ
1
C 1 ．在 C 点的速度方向可能与球面垂直 D．tan + tan =
【答案】D
【详解】A．根据
1
= 22
2
=
则运动时间
=
故 A 错误；
B．根据
Δ = Δ
两次运动速度变化
Δ = Δ
故 B 错误；
C．若在 C 点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经
过水平位移的中点，显然不符合，故 C 错误；
D．速度偏转角分别为 和 ，位移偏转角分别为 ′和 ′，水平位移分别为 1、 2，有
tan = 2tan ′
tan = 2tan ′

tan ′ = 1

tan ′ = 2
可得
1 1 +
tan + =
1 2
tan 2
如图
可知
△
= = 1
+ = + = 2 + 1 = 2
所以
1 1
tan + tan =
故 D 正确。
故选 D。
二、多选题
11．（2024·山东东营·二模）如图所示，可视为质点的小球 A、B 同时从倾角为 37°的光滑斜面顶端
分别水平抛出和沿斜面下滑，平抛初速度大小为 A = 5m/s，下滑初速度 B未知，两小球恰好在斜面
底端相遇，重力加速度 = 10m/s2，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，则（ ）
A．B 球初速度 B = 3m/s
B．B 球经过 0.75s 到达斜面底端
C．A、B 相距最远时，B 球恰好运动到斜面中点位置
D 9．相遇前两小球最远相距16m
【答案】BD
【详解】A B．设斜面的长为 ,对于 A 球，则有
A = cos37° = A
1
A = sin37° = 22
联立解得
= 0.75s
由于 A、B 同时开始运动，同时到达底端，故 B 球经过0.75s到达斜面底端。对于小球 B，其加速度
= sin37° = 6m/s2
斜面的长

= Acos37°
又因为
1
= B + 22
联立解得
B = 4m/s
A 错误，B 正确；
CD．建立如图所示的坐标系，将 A 球的速度进行分解可得
0 = Acos37°
0 = Asin37°
再将重力加速度进行分解
= sin37°
= cos37°
A 球沿 方向做匀加速运动，沿 方向做匀减速运动，根据匀变速直线运动的规律可知
= 0 + = Acos37° + sin37°
= 0 + = Asin37° cos37°
A、B 相距最远时，则
Asin37° cos37° = 0
解得

= A tan37° = 0.375s
此时 B 球下滑的位移
1
B = B + 2 sin37°
2
= 1.92m
由上述结果可得斜面的长

= A

cos37° = 4.69m
此时 B 球未到斜面的中点位置，此时 A、B 之间的距离
20 ( 2 = A
sin37°) 9
2 = 2 cos37°
= 16 m
所以 C 错误，D 正确。
故选 BD。
12．（2024·四川遂宁·二模）如图所示，在 M 点的正上方离地高 H 处以水平速度 v1向右投掷一飞盘
P，反应灵敏的小狗 Q 同时在 M 点右方水平地面上的 N 点以速度 v2斜向左上方跳出，结果飞盘 P 和
小狗 Q 恰好在 M、N 连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘
和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（　　）
A．飞盘和小狗速度的变化量相等
B 3．飞盘和小狗相遇点在距离地面4 高度处
C．初速度大小关系一定是 1 < 2
D．小狗相对飞盘做匀加速直线运动
【答案】AC
【详解】A．飞盘和小狗分别做平抛和斜上抛运动，根据
Δ =
可知飞盘和小狗速度的变化量相等，故 A 正确；
C．因为飞盘和小狗恰好在 M、N 两点连线中点的正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又因
为运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即
2cos = 1
可得
1 < 2
故 C 正确；
B．根据题意可知飞盘和小狗运动的时间相同，因为不知道小狗在竖直方向初速度的大小，所以不能
判断飞盘和小狗相遇点距离地面的高度，故 B 错误；
D．飞盘和小狗都只受到重力作用，都做匀变速运动，加速度相同，所以小狗相对飞盘做匀速直线
运动，故 D 错误。
故选 AC。
13．（2024·山西晋中·三模）在某次实战模拟训练时，将智能投送系统安装在山脚，山坡可视为倾角
为 = 30°的斜面，简化示意图如图所示。炮弹从斜面上的 O 点以初速度 v 斜向上发射，初速度与斜
面的夹角为 θ，最后落于斜面上的 P 点。忽略炮弹的体积和空气阻力的影响，重力加速度 g 取10
m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．当炮弹射程最远时，炮弹的初速度方向与斜面的夹角为 = 30°
B．当炮弹射程最远时，炮弹的初速度方向与斜面的夹角为 = 45°
C =
2
．当炮弹射程最远时，炮弹在山坡上的最大位移为 30
D．当炮弹射程最远时，炮弹的初速度方向与末速度方向垂直
【答案】AD
【详解】ABC．如图 1 所示，沿斜面建立 x 轴，垂直于斜面建立 y 轴，则导弹在 x 轴方向的初速度
为 cos ，加速度为 sin30°，做匀减速直线运动，设时间为 t，位移为 ，则有
cos 12 sin30°
2 = y 轴方向上初速度为 sin ，加速度为 cos30°，做匀变速直线运动，设从 O
点到离斜面最远处时间为 ′，则
= 2 ′
则有
sin = cos30° ′
联立可得
= 30° 最大
2
= 15
所以 A 正确，BC 错误；
D．当 = 30°时，落到 P 点时分解速度如图 2 所示，β 为末速度与 x 轴夹角，则有
2 sin
′ = cos30° sin30° cos30°
2 sin
′ = sin cos30° cos30°
解得
3
′ = 6

′ = 2
则
′
tan = = 3
′
可得
= 60°
所以末速度方向与初速度方向垂直，故 D 正确。
故选 AD。
14．（2024·山东烟台·三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如
图甲所示为一城墙的入城通道，通道宽度 L=6m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运
动，加速到 M 点时斜向上跃起，到达右墙壁 P 点时，竖直方向的速度恰好为零，P 点距离地面高
h=0.8m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃
到左墙壁上的 Q 点，P 点与 Q 点等高，飞跃过程中人距地面的最大高度为 H=2.05m，重力加速度 g
取 10m/s2，整个过程中人的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．人助跑的距离为 3.6m
B．人助跑的距离为 3m
C．人刚离开墙壁时的速度大小为 6m/s
D 6．人刚离开 P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为5
【答案】AD
【详解】AB．人到达右墙壁 P 点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维，可知从 点到 点
的逆过程为平抛运动，则
1
= 22 1
从 点到 点的过程为斜抛运动，根据对称性可得
1 2
= 2 (
2
2 )
= 0 2
解得
1 = 0.4s， 2 = 1s， 0 = 6m/s
人助跑的距离为
= 0 1 = 3.6m
故 A 正确，B 错误；
C．人刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为

2 = × 2 = 5m/s
人刚离开墙壁时的速度大小为
= 20 + 2 = 61m/s
故 C 错误；
D．人刚离开 P 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为
6
tan = 0 = 5
故 D 正确。
故选 AD。
三、实验题
15．（23-24 高三下·辽宁·期中）在探究平抛运动规律的实验中：
(1)在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨
迹。关于该实验下列说法正确的是______。
A．斜槽轨道必须光滑
B．斜槽轨道末端要保持水平
C．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些
D．每次应该从斜槽上相同的位置无初速度释放小球
(2)实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点 O 为坐标原点，测量它们的水平
坐标 x 和竖直坐标 y，图 2能说明平抛小球的运动轨迹为抛物线的是______。
A． B．
C． D．
(3)如图所示，一个做平抛运动的小球，先后通过 a、b、c 三点，若相邻两点间的水平距离均为
= 0.4m，竖直距离分别为 1 = 0.6m和 2 = 1.0m，则抛出该球的初速度大小为 。（不计空气阻
力，g 取10m/s2）
【答案】(1)BCD
(2)A
(3)2m/s
【详解】（1）AD．小球每次从斜槽上相同的位置由静止释放，不论斜槽是否光滑，小球从斜槽飞出
时的速度都相同，这样能保证描绘的是同一平抛运动的轨迹。故 A 错误；D 正确；
B．斜槽的末端必须保证水平，这样小球从斜槽飞出后才能做平抛运动。故 B 正确；
C．要使描出的轨迹更好地反映小球的真实运动，记录的点应适当多一些。故 C 正确。
故选 BCD。
（2）小球在竖直方向做自由落体运动，有
1
= 2
2
水平方向做匀速直线运动，有
=
联立，可得
2
= 2 2

因初速度相同，所以2 2为常数，故 y x2为正比例关系。
故选 A。
（3）小球做平抛运动，相邻两点间的水平距离均为 ，则从 a 到 b 的时间与从 b 到 c 的时间相等，
设为 T，竖直方向有
2 1 = 2
水平方向，有
= 0
联立，解得
0 = 2 m s
16．（2023·北京·高考真题）用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的特点。
（1）关于实验，下列做法正确的是 （填选项前的字母）。
A．选择体积小、质量大的小球 B．借助重垂线确定竖直方向
C．先抛出小球，再打开频闪仪 D．水平抛出小球
（2）图 1 所示的实验中，A 球沿水平方向抛出，同时 B 球自由落下，借助频闪仪拍摄上述运动过程。
图 2 为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻 A、B 两球的竖直高度相同，可判
断 A 球竖直方向做 运动；根据 ，可判断 A 球水平方向做匀速直线运动。
（3）某同学使小球从高度为0.8m的桌面水平飞出，用频闪照相拍摄小球的平抛运动（每秒频闪 25
次），最多可以得到小球在空中运动的 个位置。
（4）某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，
沿任意两个相互垂直的方向作为 x 轴和 y 轴正方向，建立直角坐标系 ，并测量出另外两个位置的
坐标值( 1, 1)、( 2, 2)，如图 3 所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重
垂线方向与 y 轴间夹角的正切值为 。
| 2 |
【答案】 ABD 自由落体运动 A 2 1球相邻两位置水平距离相等 10 2 2 1
【详解】（1）[1]A．用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，选择体积小质量大的小球可以减
小空气阻力的影响，A 正确；
B．本实验需要借助重垂线确定竖直方向，B 正确；
CD．实验过程先打开频闪仪，再水平抛出小球，C 错误，D 正确。
故选 ABD。
（2）[2][3]根据任意时刻 A、B 两球的竖直高度相同，可以判断出 A 球竖直方向做自由落体运动；
根据 A 球相邻两位置水平距离相等，可以判断 A 球水平方向做匀速直线运动。
（3）[4] 1小球从高度为 0.8m 的桌面水平抛出，根据运动学公式 = 2
2，解得
= 0.4s
频闪仪每秒频闪 25 次，频闪周期
1
= 25 s = 0.04s
故最多可以得到小球在空中运动个数为

= 10
（4）[5]如图 0、 0分别表示水平和竖直方向，设重垂线方向 0与 y 轴间的夹角为 ，建立坐标系存
在两种情况，如图所示
当建立的坐标系为 1、 1时，则 x 轴方向做匀减速运动，根据逐差法计算加速度有
2 2 1 = sin (2 )2y 轴方向在
2 2 1 = cos (2 )2
联立解得
2 1 tan = 2 2 2 1
当建立的坐标系为 2、 2时，则 x 轴方向做匀加速运动，根据逐差法计算加速度有
2 = sin (2 )22 1 y 轴方向在
2 2 1 = cos (2 )2
联立解得
2
tan = 2 1 2 2 1
综上所述，重垂线方向与 y 轴间夹角的正切值为
| 2 2 |tan = 1 2 2 1
17．（2024·河北·高考真题）图 1 为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐
标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复
写纸，在坐标纸上留下印迹．某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图 2 所示的印迹，坐
标纸的 y 轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点．
①每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度 （填“相同”或“不同”）。
②在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。
③根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为 m/s（当地重力加速度 g 为9.8m/s2,保
留 2 位有效数字）。
【答案】 相同 0.71
【详解】[1]为保证钢球每次平抛运动的初速度相同，必须让钢球在斜槽上同一位置静止释放，故高
度相同；
[2]描点连线用平滑曲线连接，钢球做平抛运动的轨迹如图所示
[3]因为抛出点在坐标原点，为方便计算，在图线上找到较远的点，在图线上找到坐标为 19.6cm 的点
为研究位置，该点坐标为(14.1cm,19.6cm)，根据平抛运动规律
= 1 20 ， = 2
解得
0 = 0.71m/s
四、解答题
18．（2024·山东泰安·三模）如图所示，倾角 θ=37°的光滑斜面 AB 固定在水平面上，现将一弹力球从
斜面的顶端 A 点以初速度 v0=10m/s 水平向右抛出，弹力球恰好落在斜面的底端 B 点。已知重力加速
度 g 取 10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。
（1）求斜面的长度；
（2）若弹力球与斜面碰撞时，沿斜面方向的速度不变，垂直斜面方向的速度大小不变，方向反向，
现仅调整弹力球从 A 点水平抛出时的速度大小，使弹力球与斜面碰撞 1 次后仍能落到 B 点，求调整
后弹力球水平抛出的速度大小。
1 18.75m 2 25 17【答案】（ ） ；（ ） m/s
17
【详解】（1）弹力球做平抛运动，竖直方向有
1 2
2 = sin37°
水平方向有
0 = cos37°
联立解得斜面的长度为
= 18.75m
（2）将平抛运动分解为沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动，设调整后弹力
球水平抛出时的速度大小沿垂直斜面方向的分速度大小为
⊥ = 1sin37°
沿斜面方向的分速度大小为
∥ = 1cos37°
垂直斜面方向的加速度大小为
⊥ = cos37°
沿斜面方向的加速度大小为
∥ = sin37°
弹力球每次从斜面离开到再次落回斜面过程中用时为
2
= ⊥ ⊥
沿斜面方向有
1
2 + (2 )2∥ 2 ∥ =
联立解得
25 17
1 = 17 m/s

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