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第 19 讲　机械能守恒定律及其应用
——划重点之精细讲义系列
考点 1 机械能守恒的理解和判断
考点 2 机械能守恒定律的应用
考点 3 多物体机械能守恒问题
考点 4 用机械能守恒定律解决非质点问题
考点 1：机械能守恒的理解和判断
一．重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)公式：Ep＝mgh.
(2)特性：
①矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大
还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
②系统性：重力势能是物体和地球共有的．
③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的
选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即 WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二．弹性势能
1．大小
1
弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．公式：E 2P＝－W 弹＝ kx2
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
三．机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或内弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保
持不变．
3．机械能守恒的条件：只有重力做功或系统内弹力做功。
（1）只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等。
（2）只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物
体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。
（3）只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下
落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守
恒。
（4）除受重力（或系统内弹力）外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和
为零。如物体在沿固定斜面向下的拉力 F 的作用下沿斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相
等，在此运动过程中，物体机械能不变，可按照机械能守恒定律计算（应当注意，这时系统并不封
闭，存在着系统内的物体跟外界系统的能量交换．只是系统内物体机械能的减少等于外界对物体做
功使系统增加的机械能。）。
4．机械能守恒的判断方法
（1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机
械能守恒。
（2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外
界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加）。则系统的机械能
守恒。
（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题．除非题目特别说明，机械能必定不守
恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。[]
（4）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如
有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
【考向 1】如图所示，下列说法正确的是（所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量）（ ）
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空，机械能守恒，若加速升空，机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力 F 的作用下匀减速上滑，物块的机械能守恒
C．丙图中，物块 A 以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块 A 的机械能守恒
D．丁图中，物块 A 加速下落，物块 B 加速上升的过程中，A、B 系统机械能守恒
【答案】D
【详解】A．甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加
的，故 A 错误；
B．物体匀减速上滑，力 F 对物块做正功，则物块的机械能必定增加，故 B 错误；
C．在物体 A 压缩弹簧的过程中，弹簧和物体组成的系统，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒。
由于弹性势能增加，则 A 的机械能减小，故 C 错误；
D．对 A、B 组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B 组成的系统机械能守恒，故 D 正确。
故选 D。
【考向 2】如图所示，A、B 两物块放置在足够长的光滑斜面上，当 A、B 一起沿斜面向下滑动的过
程中（A、B 之间相对静止）（ ）
A．A 物体所受摩擦力对 A 做正功
B．A、B 两物体的总机械能不断增大
C．A 物体机械能不断的减小
D．B 物体的机械能守恒
【答案】A
【详解】AC．当 A、B 一起沿斜面向下加速运动时，A 物体所受摩擦力水平向右，此时摩擦力对 A
做正功，则 A 物体机械能不断的增加，选项 A 正确，C 错误；
B．A、B 两物体的整体只有重力做功，则机械能守恒，即总机械能不变，选项 B 错误；
D．A 对 B 的摩擦力对 B 做负功，则 B 物体的机械能减小，选项 D 错误。
故选 A。
【考向 3】如图所示，曲面体 Р 静止于光滑水平面上，物块 Q 自 Р 的上端由静止释放。Q 与 P 的接
触面光滑，Q 在 P 上运动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．P 对 Q 做功为零
B．P 对 Q 做负功
C．物块 Q 的机械能守恒
D．物体 Q 的机械能增加
【答案】B
【详解】AB．Q 在 P 上运动的过程中，曲面体 P 向左运动，P 对 Q 的弹力与运动的位移的夹角大于
90°，根据 W=FLcosθ，P 对 Q 做负功，故 A 错误，B 正确；
CD．Q 在 P 上运动的过程中，系统中 P 和 Q 之间的作用力做功之和为零，系统只有重力做功，系
统机械能守恒，故斜面体增加的动能等于物块减少的机械能，物体 Q 的机械能减小，故 CD 错误。
故选 B。
【考向 4】如图所示，圆心为 O 的四分之一圆弧轨道 BC 竖直放置，O 与 A 处的钉子处于同一高度。
细线的一端系有小物块 P，另一端绕过钉子系一套在圆弧轨道上的小球 Q。将小球从轨道顶端 B 静
止释放，忽略一切摩擦。在小球从 B 点运动到最低点 C 的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．小物块 P 和小球 Q 的速率总相等
B．小物块 P 的机械能守恒
C．小球 Q 的机械能先增加后减小
D．小球 Q 重力的功率先增加后减小
【答案】D
【详解】A．当小球 Q 下滑到某位置时，速度分解如图所示
绳 =
得
绳 = = cos
则当
= 0o
小物块 P 和小球 Q 的速率相等，得小物块 P 和小球 Q 的速率不是总相等，故 A 错误；
B．小物块 P 运动过程中除了重力做功，还有拉力做功，则小物块 P 的机械能不守恒，故 B 错误；
C．小球 Q 从 B 点运动到最低点 C 的过程中，拉力对小球 Q 做负功，小球 Q 的机械能减小，故 C
错误；
D．小球 Q 从 B 点运动到最低点 C 的过程中，B 静止释放初始重力的功率为零，运动到 C 点时速度
和重力垂直，此时重力的功率为零，因此得小球 Q 重力的功率先增加后减小，故 D 正确。
故选 D。
【考向 5】（多选）（2024·广西柳州·三模）如图所示，一小球用轻质细线悬挂在木板的支架上，分别
沿倾角为 θ 的两个固定斜面下滑，甲图中细线保持竖直，乙图中细线保持垂直斜面。在木板下滑的
过程中，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中木板与斜面间的动摩擦因数 = tan
B．甲图中木板、小球组成的系统机械能守恒
C．乙图中木板与斜面间的动摩擦因数 = tan
D．乙图中木板、小球组成的系统机械能守恒
【答案】AD
【详解】A．甲图中，因拉小球的细线呈竖直状态，所以小球受到重力和竖直向上的拉力，在水平
方向没有分力，所以小球在水平方向没有加速度，根据力的平衡条件得
总 sin = 总 cos
则解得
= tan
故 A 正确；
B．甲图中，因小球沿斜面做匀速直线运动，由于木板与小球的运动状态相同，所以木板、小球组
成的系统动能不变，重力势能减小，机械能不守恒，故 B 错误；
C．乙图中，因拉小球的细线与斜面垂直，所以小球受到重力和细线垂直于斜面向上的拉力，其合
力沿斜面向下，所以小球的加速度也沿斜面向下，对小球运用牛顿第二定律得
球 sin = 球
解得
= sin
由于木板与小球的运动状态相同，所以对木板、小球组成的整体，根据牛顿第二定得
总 sin 总 cos = 总
解得
μ=0
故 C 错误；
D．乙图中，由于木板不受斜面的摩擦力，所以木板、小球组成的系统只有重力做功，则机械能守
恒，故 D 正确。
故选 AD．
考点 2：机械能守恒定律的应用
1.应用机械能守恒定律的基本思路
单个物体
(1)选取研究对象{多个物体组成的系统系统内有弹簧
(2)受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件．
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况．
(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解．
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
2.三种守恒表达式的比较
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′ ΔEk＝－ΔEp ΔE 增＝ΔE 减
角度 守恒观点 转化观点 转移观点
表示系统（或物体）机械能守恒时， 一部分物体机械能的增加量与
系统的初状态机械能与
意义 系统减少（或增加）的重力势能等 另一部分物体机械能的减少量
末状态机械能相等
于系统增加（或减少）的动能 相等
A 部分机械能的增加量等于 A
应用时应选好重力势能
应用时关键在于分清重力势能的增 部分末状态的机械能减初状态
注意 的零势能面，且初末状态
加量和减少量，可不选零势能面而 的机械能，而 B 部分机械能的
事项 必须用同一零势能面计
直接计算初末状态的势能差 减少量等于 B 部分初状态的机
算势能
械能减末状态的机械能。
图像
分析
3．研究对象
（1）当只有重力做功时，可取一个物体（其实是物体与地球构成的系统）作为研究对象，也可
取几个物体构成的系统作为研究对象。
（2）当物体之间有弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象（使这些弹力成为
系统内力）。
4．应用机械能守恒定律的基本思路
（1）选取研究对象（物体或系统）。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断
机械能是否守恒。
（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。
（4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。[]
（5）对计算结果进行必要的讨论和说明。
5．机械能守恒定律的应用技巧
（1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对
研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
（2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体
组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。
【考向 6】如图所示，竖直面内光滑的 3/4 圆形导轨固定在一水平地面上，半径为 R．一个质量为 m
的小球从距水平地面正上方 h 高处的 P 点由静止开始自由下落，恰好从 N 点沿切线方向进入圆轨
道．不考虑空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．适当调整高度 h，可使小球从轨道最高点 M 飞出后，恰好落在轨道右端口 N 处
B．若 h=2R，则小球在轨道最低点对轨道的压力为 4mg
C．只有 h≥2.5R 时，小球才能到达圆轨道的最高点 M
D．若 h=R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为 R 的位置，该过程重力做功为 mgR
【答案】C
【详解】A．若小球从 M 到 N 做平抛运动，故有
R=vMt
1
= 2
2
所以
1
= = 2 2

若小球能到达 M 点，对小球在 M 点应用牛顿第二定律可得
′2
≤
所以
′ ≥
故小球不可能从轨道最高点 M 飞出后，恰好落在轨道右端口 N 处，故 A 错误；
B．设小球在最低点速度为 v，对小球从静止到轨道最低点应用动能定理可得
mgh=12mv
2
再由牛顿第三定律，对小球在最低点应用牛顿第二定律可得：小球在轨道最低点对轨道的压力
2 ′ = = + = (1 +
2
) = 5
故 B 错误；
C．对小球从静止到 M 点应用动能定理可得
1 1
( 2 ) = 2
2
′ ≥ 2
所以
h≥2.5R
故 C 正确；
D．若 h=R，由动能定理可得：小球能上升到圆轨道左侧离地高度为 R 的位置，该过程始末位置高
度差为零，故重力做功为零，故 D 错误；
故选 C．
【考向 7】（2024·浙江杭州·二模）有一质量为 m 的小球，用细线挂在天花板上，线长为 l，将其拉
至水平位置由静止释放。忽略空气阻力，小球可看成质点，重力加速度为 g，则下列说法正确的是
（　　）
A．在小球摆动过程中重力总是做正功
B．重力功率最大值为 2
C．小球动能变化周期是

D．在小球下摆过程中，动能随时间的变化率先变大后变小
【答案】D
【详解】A．从释放位置到最低点的过程中，重力做正功，从最低点向上运动的过程中，重力做负
功，故 A 错误；
B．小球下摆过程中，设细绳与竖直方向的夹角为 ，根据动能定理
1
cos = 2
2
重力对小球做功的瞬时功率
= sin
整理得
= sin 2 cos
细绳与竖直方向的夹角 逐渐减小，由数学知识可知，重力对小球做功的瞬时功率先增大后减小，且
当
6
sin = 3
时，重力的瞬时功率有最大值
2
max = 3 3
故 B 错误；
C．单摆运动公式为

= 2
1
此物体不是单摆，故小球动能变化周期不是2 ，故 C 错误；
D．在小球下摆过程中，机械能守恒，动能变化量的绝对值大小等于重力势能变化量的绝对值大小，
故动能随时间的变化率为
| k Ep | = | t | = = = G
故动能随时间的变化率等于重力的瞬时功率，由 B 项可知，重力的瞬时功率先增大后减小，故动能
随时间的变化率先变大后变小，故 D 正确。
故选 D。
【考向 8】（2024·湖北·二模）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于 B 点，半圆轨道的圆心
为 O，半径为 R，C 为其最高点。BD 段为双轨道，D 点以上只有内轨道，D 点与圆心的连线与水平
方向夹角为 ，一小球从水平面上的 A 点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达 C 点。
不计一切摩擦。则（　　）
A．小球到达 C 点时速度为
B．小球到达 C 点后会向左做平抛运动
C 5．小球在 A 点的初动能等于2
D．若小球到达 D 点时对内外轨道均无弹力，则sin = 23
【答案】D
【详解】AB．由于，D 点以上只有内轨道，小球沿圆弧轨道恰好到达 C 点，可知，小球到达 C 点
时速度为 0，小球到达 C 点后不会向左做平抛运动，故 AB 错误；
C．结合上述，小球从 A 点到达 C 点过程，根据动能定理有
2 = 0 k0
解得
k0 = 2
故 C 错误；
D．若小球到达 D 点时对内外轨道均无弹力，根据牛顿第二定律有
2
sin = 1
小球从 A 点到达 D 点过程，根据动能定理有
1
( + sin ) = 22 1 k0
解得
2
sin = 3
故 D 正确。
故选 D
【考向 9】（多选）如图所示，在光滑的斜轨道底端平滑连接着一个半径为 R、顶端有缺口的光滑圆
形轨道，A 点、B 点在同一水平面上，P 点是最低点，∠ = 120°。一质量为 m 的小球由斜轨道
上某高度处静止释放，由轨道连接处进入圆形轨道。重力加速度为 g，不考虑机械能的损失，下道
列说法正确的是（　　）
A．若小球滑到 P 点时速度大小为2 ，则此处轨道对小球作用力的大小为 4mg
B．若小球滑到 P 点时速度大小为2 ，则小球滑到 A 点时速度大小为
C 5．若小球恰好能通过圆形轨道内 A 点，则小球在斜轨道上静止释放的高度为4
D．若小球从圆形轨道内 A 点飞出后恰好从 B 点飞入圆形轨道，则小球经过 B 点时的速度大小为
2
【答案】BD
【详解】A．小球在 P 点，根据牛顿第二定律有
2
=
则此处轨道对小球作用力的大小为
2
= + = 5
故 A 错误；
B．小球从圆形轨道最低点 P 滑到 A 点，由动能定理有
1 1
( sin30° + ) = 2 22 A 2
解得
=
故 B 正确；
C．若小球恰好能通过圆形轨道内 A 点，根据牛顿第二定律有
2
cos60° = 1
对小球从释放到 A 点，根据动能定理有
1
(1 + sin30°) = 22 1
解得
7
= 4
故 C 错误；
D．小球从圆形轨道内 A 点飞出后做斜抛运动到 B 点，竖直方向有

2sin60° = 2
水平方向有
2 sin60° = 2 cos60°
解得
2 = 2
故 D 正确。
故选 BD。
【考向 10】（多选）（2024·陕西渭南·二模）如图，固定在竖直面内的光滑轨道 由直线段 和圆
弧段 组成，两段相切于 B 点， 段与水平面夹角 为30°， 段圆心为 O，最高点为 C，A 与 C
的高度差等于圆弧轨道的直径 2R。小球从 A 点以初速度 0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达 C 点，
重力加速度为 g，下列说法正确的是（　　）
A．小球从 B 到 C 的过程中，对轨道的压力逐渐减小
B．小球从 A 到 C 的过程中，小球的机械能不断减少
C．小球的初速度 0 = 2
D．若小球初速度 0增大时，小球没有从圆轨道上 B 点脱离轨道，则小球能够沿圆轨道运动到 C
点
【答案】CD
【详解】
A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达 C 点，则小球在 C 点的速度为
vC = 0
则小球从 C 到 B 的过程中，有
1
(1 cos ) = 2
2
2
N = cos
联立有
N = 3 cos 2
则从 C 到 B 的过程中 α 由 0 增大到 θ，则 cosα 逐渐减小，故 FN逐渐减小，而小球从 B 到 C 的过
程中，对轨道的压力逐渐增大，A 错误；
B．小球从 A 到 C 的过程中，只有重力做功，机械能不变，故 B 错误；
C．从 A 到 C 的过程中有
1 1
2 = 2
2 2 2 0
解得
0 = 2
故 C 正确；
D．小球没有从圆轨道上 B 点脱离轨道，说明
2
cos ≥
随着高度上升，小球的速度减小，所需向心力减小，同时，重力指向圆心的分力增大，则更不会
脱离轨道，能够到达 C 点，故 D 正确。
故选 CD。
考点 3：多物体机械能守恒问题
一.多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路
1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能
与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。
2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械
能增加，则一定有另一个物体机械能减少。
二.多物体机械能守恒问题的分析技巧
1．对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
3．列机械能守恒方程时，可选用 ΔEk＝－ΔEp的形式。
三．几类连接体的机械能守恒分析
杆连物体系统机械能守恒
情景分析
如图所示的两物体组成的系统，当释放后 A、B 在竖直平面内绕过 O 点的轴转动，
且 A、B 的角速度相等。
求解这类问题时，由于二者角速度相等，所以关键是根据二者转动半径的关系寻
找两物体的线速度的关系，根据两物体间的位移关系，寻找到系统重力势能的变化，
方法突破 最后根据 ΔEk＝－ΔEp 列出机械能守恒的方程求解。另外注意的是轻杆对物体提供的
弹力不一定沿着杆，轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直，轻杆的弹力对一个物体
做了正功，就对另一物体做了负功，并且绝对值相等。
绳连物体系统机械能守恒
如图所示的两物体组成的系统，当释放 B 而使 A、B 运动的过程中，A、B 的速度
情景分析
均沿绳子方向，在相等时间内 A、B 运动的路程相等，A、B 的速率也相等。但有些问
题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速
度之间的关系。
求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关
系，进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时，一般选用 ΔEk＝－ΔEp 的
方法突破
形式。另外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每一
个物体都要做功。
含弹簧类机械能守恒问题
对两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，在能量方面，
由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除
情景分析
弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。在相互作用过程中，弹簧两端物体把
弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一
端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧由静止释放）。
求解这类问题时，首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或
缩短时产生的弹力的大小遵循 F＝kx 和 ΔF＝kΔx。其次，以弹簧的弹力做功为分析问
题的突破口：弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，但是在具体的问题中
方法突破
不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约
去。当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当
时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差。
【考向 11】（2024·辽宁丹东·一模）如图所示，劲度系数为200N/m的轻弹簧下端固定在倾角为 = 53°
的光滑斜面底端，上端连接物块 Q，Q 同时与平行于斜面的轻绳相连，轻绳跨过定滑轮 O 与套在足
够长的光滑竖直杆上的物块 P 连接，图中 O、B 两点等高，间距 = 0.3m。初始时在外力作用下，P
在 A 点静止不动，A、B 间距离 = 0.4m，此时轻绳中张力大小为60N。已知 P 的质量为1kg，Q 的
质量为5kg，P、Q 均可视为质点。现将 P 由静止释放（不计滑轮大小及摩擦，重力加速度 取10m/
s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，弹簧始终处于弹性限度内），下列说法正确的是（ ）
A．物块 P 上升的最大高度为0.8m
B．物块 P 上升至 B 点时，其速度大小为2 2m/s
C．在物块 P 由 A 点运动到 B 点的过程中，弹簧对物块 Q 一直做正功
D．在物块 P 由 A 点运动到 B 点的过程中，物块 P 机械能守恒
【答案】B
【详解】A．假设物块 P 上升的最大高度为0.8m，根据图中几何关系可知，此时物块 Q 刚好回到初
始位置，则物块从 A 点释放到最大高度过程，弹簧的弹性势能变化为 0，Q 的重力势能变化为 0，
而 P 的重力势能增加，不满足 P、Q 弹簧组成的系统机械能守恒，可知物块 P 上升的最大高度一定
小于0.8m，故 A 错误；
B．P 位于 A 点时，设弹簧伸长量为 1；对 Q，由平衡条件得
= Q sin + 1
解得弹簧的伸长量为
1 = 0.1m
P 上升至 B 点时，Q 下降的距离为
Δ = = 0.5 0.3m = 0.2m
则此时弹簧的压缩量为
2 = Δ 1 = 0.2 0.1m = 0.1m
可知 P 从 A 点上升至 B 点时，弹簧的弹性势能不变，且物块 Q 的速度为 0；对物块 P、Q 及弹簧，
根据系统的机械能守恒有
1
Q Δ sin 2P = 2 P
解得 P 上升至 B 点时的速度大小为
= 2 2m/s
故 B 正确；
C．在物块 P 由 A 点运动到 B 点的过程中，弹簧先处于伸长状态后处于压缩状态，弹簧对物块 Q 先
做正功，后做负功，故 C 错误；
D．在物块 P 由 A 点运动到 B 点的过程中，绳子拉力对 P 一直做正功，物块 P 的机械能增加，故 D
错误。
故选 B。
【考向 12】（2024·陕西榆林·三模）如图所示，倾角为45 的光滑斜面与光滑的水平地面在 C 点连接，
质量均为 m 的小球 A、B（均可视为质点）用长为 L 的轻质硬杆连接，现把小球 B 放置在水平面上
的 C 点，小球 A 由静止释放，在小球 A 下滑的过程中，小球 B 始终在水平地面上运动，重力加速
度为 g，下列说法正确的是（　　）
A．在小球 A 下滑的过程中，小球 A 重力势能的减少量等于小球 B 动能的增加量
B．在小球 A 下滑的过程中，轻质硬杆对小球 B 先做正功后做负功
C．小球 A 刚到达 C 点前瞬间，小球 A、B 的速度相等
D 2．小球 A 刚到达 C 点前瞬间，小球 B 的动能为
6
【答案】D
【详解】A．在小球 A 下滑的过程中，小球 A 重力势能的减少量等于小球 A、B 动能的增加量之和，
故 A 错误；
B．在小球 A 下滑的过程中，轻质硬杆对小球 B 的作用力与小球 B 的运动方向始终成锐角，故轻质
硬杆对小球 B 始终做正功，故 B 错误；
CD．设小球 A 下滑时杆与地面的夹角为 、与斜面的夹角为 ，则
Acos = Bcos
可得
Acos B = cos
小球 A 刚到达 C 点还未与地面接触时 = 0 ， = 45°，此时
2
B = 2 A
由机械能守恒定律可得
1 1 sin45 = 2 + 22 A 2 B
解得
= 2 2 A ， 2 3 B = 3
小球 B 的动能为
1 2 2 kB = 2 B = 6
故 C 错误，D 正确。
故选 D。
【考向 13】（2024·辽宁丹东·二模）轻质直角支架两端分别连接质量均为 m 的小球 A 和 B，支架的
两直角边长度分别为 2L 和 L，支架可绕固定轴 O 在竖直平面内无摩擦转动。如图所示，开始时 OA
边与水平方向的夹角为 ， = 37 。由静止释放A球，（重力加速度为g，sin37 = 0.6，cos37 = 0.8）
下列说法正确的是（　　）
A．A、B 两球线速度大小始终相等
B．A 球速度最大时位于 O 点正下方
C．A 由静止释放至摆动到最低点的过程中，支架对 A 不做功
D．A 摆动到最低点位置时，杆对 A 做功的功率为零
【答案】D
【详解】A．A、B 两球属于同轴转动，角速度始终相等，由于两球到轴心间距不等，根据
=
可知，A、B 两球线速度大小始终不相等，故 A 错误；
B．A、B 两球构成的系统机械能守恒，令角速度为 ，经历一定时间，OA 边与水平方向夹角为 ，
则有
1 1
(2 sin 2 sin ) = ( cos cos ) + 2 22 ( 2 ) + 2 ( )
解得
2 (2sin + cos ) 4
= 5
若令
= 2sin + cos
对函数求导有
′ = 2cos sin
当导数值为 0 时，解得
tan = 2
则有
2 5
sin = < 1 = sin90 5
可知
< 90
由于线速度最大时，A 的线速度最大，可知，A 球速度最大时 A 并没有位于 O 点正下方，故 B 错误；
C．A 由静止释放至摆动到最低点的过程中，结合上述可以解得此时的角速度恰好为 0，即此时的线
速度为 0，表明 A 恰好能够运动到最低点，此过程中，A 的机械能减小，表明支架对 A 做负功，故
C 错误；
D．结合上述可知，A 摆动到最低点位置时，A 的线速度恰好等于 0，可知，此时杆对 A 做功的功
率为零，故 D 正确。
故选 D。
【考向 14】（多选）如图所示，光滑竖直固定杆上套有一质量为 m 的小球 A，一根竖直轻弹簧上端
连接着一个质量为 m 的物块 B，下端连接着一个质量为2 的物块 C。一轻绳跨过轻质定滑轮 O，一
端与物块 B 相连，另一端与小球 A 连接，定滑轮到竖直杆的距离为 5L。初始时，小球 A 在外力作
用下静止于 P 点，此时轻绳刚好伸直无张力且 OP 间细绳水平、OB 间细绳竖直。现将小球 A 由 P
点静止释放，A 沿杆下滑12 到达最低点 Q，此时物块 C 与地面间的相互作用刚好为零。不计滑轮
大小及摩擦，重力加速度大小为 g，下列说法中正确的是（　　）
A 3 ．弹簧的劲度系数为 8
B A 8．小球 运动到最低点时弹簧的形变量为3
C．小球 A 运动到最低点时弹簧的弹性势能为4

D．用质量为2的小球 D 替换 A，并将其拉至 Q 点由静止释放，小球 D 经过 P 点时的动能为
6
【答案】AD
【详解】AB．开始时，对 B 有
= 1
A 在 Q 点时，对 C 有
2 = 2A 从 P 到 Q 点，由题意可知
1 + 2 = 8
解得
3
= 8
16
2 = 3
A 正确；B 错误；
C．A 从 P 到 Q，由能量守恒定律有
12 = 8 + Δ p
解得
Δ p = 4
因为弹簧原先有形变量，所以 ≠ 4 ，C 错误；
D．D 从 Q 到 P，由能量守恒定律有

Δ p + 8 = 2 × 12 + k
解得
k = 6
D 正确。
故选 AD。
【考向 15】（多选）（2024·陕西·一模）如图所示，一弹性轻绳（绳的弹力与其伸长量成正比）穿过
固定的光滑圆环 B，左端固定在 A 点，右端连接一个质量为 m 的小球，A、B、C 在一条水平线上，
弹性绳自然长度为 AB。小球穿过竖直固定的杆，从 C 点由静止释放，到 D 点时速度为零，C、D 两
点间距离为 h。已知小球在 C 点时弹性绳的拉力为 0.5mg，g 为重力加速度，小球和杆之间的动摩擦
因数为 0.5，弹性绳始终处在弹性限度内，下列说法正确的是（　　）
A．小球从 C 点运动到 D 点的过程中，弹性绳的弹力不断减小
B．整个运动过程中，弹性绳的最大弹性势能为 0.75mgh
C．若在 D 点给小球一个向上的速度 v，小球恰好回到 C 点，则 =
D．若仅把小球质量变为 2m，则小球到达 D 点时的速度大小为
【答案】CD
【详解】A．设 BC 的长度为 L，根据胡克定律，有
0.5 = BD 与竖直方向的夹角为 时，伸长量为sin ，故弹力为

= sin
可知，小球从 C 点运动到 D 点的过程中， 不断减小，弹性绳弹力不断增大，故 A 错误；
B．小球从 C 点运动到 D 点的过程中克服摩擦力做功为
f = f = sin = = 0.25
当运动到 D 时，绳子伸长最长，弹性势能最大，根据能量守恒
Δ P 弹 = Δ P 重 f = 0.75
因为最初绳子也具有弹性势能，所以，绳子最大的弹性势能大于 0.75mgh，故 B 错误；
C．对小球从 C 到 D 过程，根据动能定理，有
f 弹 = 0
解得
弹 = 0.75
若在 D 点给小球一个向上的速度 v，小球恰好回到 C 点，根据动能定理，有
1
弹 f = 0 2
2
解得
=
故 C 正确；
D．若仅把小球的质量变成 2m，小球从 C 到 D 过程，根据动能定理，有
1
2 = 2 2f 弹 2 1
解得
1 =
故 D 正确。
故选 CD。
【考向 16】（多选）（2024·陕西安康·一模）如图所示，质量为 、高为 、倾角为 的光滑斜面体 放
在足够大的光滑水平地面上，斜面顶端正上方有一固定的光滑套管 ，用手提着质量为 的细长直杆
的上端，将直杆穿过套管，使直杆下端恰好与斜面体顶端接触，突然松手，直杆在套管的约束下
只能沿竖直方向运动，斜面体随即向右加速，重力加速度大小为 ，下列说法正确的是（　　）
A．直杆的最大速度为 2 cos
B．斜面体的最大速度为 2 sin
C 2 ．斜面体的加速时间为 sin
D．斜面体在加速过程中受到地面的支持力大小为2 sin2
【答案】CD
【详解】AB．杆竖直向下运动，接触点沿斜面滑动，同时由于杆向下运动使斜面向右运动，故将杆
竖直向下的速度分解为平行斜面的速度 1和水平方向的速度 2，如图
杆一直向下加速，故可知到达斜面底端时速度最大，在到达底端过程中斜面体向右的速度与杆沿水
平方向的速度相等，设到达底端时杆的速度为 m，斜面体的速度为 ′，从开始到到达底端时对杆和
斜面体由机械能守恒得
1 1
= 2
2
m + 2
′2
其中有

tan = m
′
联立解得
m = 2 sin ， ′ = 2 cos
AB 错误；
C．设杆加速度为 1，斜面体加速度为 2，根据前面分析可知

tan = 1 2
设斜面对杆垂直于斜面方向的弹力为 N，杆对斜面垂直斜面向下的弹力为 N′，可知
N = N′
对杆和斜面体由牛顿第二定律
Ncos = 1
N′sin = 2
求得
2 = sin cos
N = N′ = cos
故斜面体的加速时间为
′ 2
= =2 sin
C 正确；
D．斜面体在加速过程中竖直方向受力平衡
= + N′cos
求得
= 2 sin2
D 正确。
故选 CD。
考点 4：用机械能守恒定律解决非质点问题
一.非质点系统
1．定义：指的是“链条”、“缆绳”、“液柱”等质量不可忽略、柔软的物体或液体。
2．重力势能变化的分析方法
在确认了系统机械能守恒之后，一般采用转化法列方程。重力势能的变化与运动的过程无关，
常常分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化。
二.基本思路
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中
将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
不计摩擦和其他损耗，物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守
恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、
末状态物体重力势能的变化列式求解。
【考向 17】（多选）横截面积为 的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭对两侧
水面高度分别为 1和 2，如图所示，已知水的密度为 ，重力加速度大小为 ，不计水与筒壁间的摩
擦阻力，现把连接两筒的阀门K打开，最后两筒水面高度相等，则该过程中（　　）
A．大气压力对水柱做负功
B．水柱的机械能守恒
C．水柱的重力不做功
D 1．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是4 ( 1
2
2)
【答案】BD
【详解】A．从把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，大气压力对左筒水柱做正功，
对右筒水柱做负功，抵消为零，即大气压力对水柱做功为零，A 错误；
B．由于大气压力对水柱做功为零，故水柱的机械能守恒，B 正确；
C．从把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中，水柱的重心下降了，可知水柱的重力
做正功，C 错误；
D 1- 2．水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左筒高 2
1- 2
的水柱移至右筒，重心下降 2 ，则有
-
= ( 1 2

) ( 1
- 2 1
k 2 2 ) = 4 (
2
1 2)
D 正确；
故选 BD。
【考向 18】（多选）如图所示，倾角 θ=30°的光滑斜面固定在地面上，长为 L、质量为 m、粗细和质
量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用轻质细线将物块与软绳连接，物块的质
量也为 m，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面）在此
过程中（　　）
A．物块重力做的功等于软绳和物块动能的增加量
B．物块重力势能的减少量大于软绳机械能的增加量
C．软绳重力势能共减少了 12mgL
D 1．软绳刚好全部离开斜面时的速度为2 5
【答案】BD
【详解】AB．物块下降的高度为
=
物块重力做功为
=
所以物块重力势能减少了
Δ p =
物块减少的重力势能转化为软绳增加的机械能和物块本身的动能，故 A 错误，B 正确；
C．物块未释放时,软绳的重心离斜面顶端的高度为

1 = 2 sin30° = 4
软绳刚好全部离开斜面时，软绳的重心离斜面顶端的高度

2 = 2
则软绳重力势能共减少
1
( 2 4 ) = 4
故 C 错误；
根据机械能守恒有
1 1
+ 4 = 2( + )
2
则
1
= 2 5
故 D 正确。
故选 BD。
【真题 1】（2023·浙江·高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球
在空中运动时的加速度大小 a、速度大小 v、动能 Ek 和机械能 E 随运动时间 t 的变化关系中，正确
的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随
时间改变，故 A 错误；
B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有
=
则抛出后速度大小为
= 20 + ( )2
可知速度大小与时间不是一次函数关系，故 B 错误；
C．铅球抛出后的动能
1 1
k = 2 2 22 = 2 0 + ( )
可知动能与时间不是一次函数关系，故 C 错误；
D．铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故 D 正确。
故选 D。
【真题 2】（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为 m 的足球从水平地面上位置 1 被踢出后落在位
置 3，在空中达到最高点 2 的高度为 h，则足球（　　）
A．从 1 到 2 动能减少 B．从 1 到 2 重力势能增加
C．从 2 到 3 动能增加 D．从 2 到 3 机械能不变
【答案】B
【详解】AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从从 1 到 2 重
力势能增加 ，则 1 到 2 动能减少量大于 ，A 错误，B 正确；
CD．从 2 到 3 由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小 mgh，则动能增加小于 ，选项
CD 错误。
故选 B。
【真题 3】（2024·北京·高考真题）如图所示，光滑水平轨道 AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道 BC
在 B 点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至 A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，
恰好能够到达最高点 C。下列说法正确的是（　　）
A．物体在 C 点所受合力为零
B．物体在 C 点的速度为零
C．物体在 C 点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在 A 点时弹簧的弹性势能等于物体在 C 点的动能
【答案】C
【详解】AB．物体恰好能到达最高点 C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，
设半圆轨道的半径为 r，由牛顿第二定律得
2
=
解得物体在 C 点的速度
=
AB 错误；
C．由牛顿第二定律得
=
解得物体在 C 点的向心加速度
=
C 正确；
D．由能量守恒定律知，物体在 A 点时弹簧的弹性势能等于物体在 C 点时的动能和重力势能之和，D
错误。
故选 C。
【真题 4】（2024·全国·高考真题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为 m 的小环套在大
圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经 Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则
小环下滑过程中对大圆环的作用力大小（　　）
A．在 Q 点最大 B．在 Q 点最小 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【详解】方法一（分析法）：设大圆环半径为 ，小环在大圆环上某处（ 点）与圆环的作用力恰好
为零，如图所示
设图中夹角为 ，从大圆环顶端到 点过程，根据机械能守恒定律
1
(1 cos ) = 22
在 点，根据牛顿第二定律
2
cos =
联立解得
2
cos = 3
从大圆环顶端到 点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向
心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从 点到最低点过程，小环速度变大，小环
重力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定
律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二（数学法）：设大圆环半径为 ，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的
夹角为 (0 ≤ ≤ )，根据机械能守恒定律
(1 cos ) = 1 22 (0 ≤ ≤ )
在该处根据牛顿第二定律
2
+ cos = (0 ≤ ≤ )
联立可得
= 2 3 cos
则大圆环对小环作用力的大小
| | = |2 3 cos |
根据数学知识可知| |的大小在cos =
2
3时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的
作用力大小先减小后增大。
故选 C。
【真题 5】（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为 m 的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻
木板上，木板通过一根原长为 l 的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为 d（d动摩擦因数均为 μ，弹性绳劲度系数为 k，被拉伸时弹性势能 E=12kx
2（x 为绳的伸长量）。现用水平
力 F 缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静
止，k 保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为 g，则 F 所做的功等于（　　）
A ( m )
2
+ ( ) B 3( m )
2
． 2 ． 2 + ( )
C 3( m )
2 2
． 2 +2 ( ) D
( m )
． 2 +2 ( )
【答案】B
【详解】当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有
0 =
解得弹性绳的伸长量

0 =
则此时弹性绳的弹性势能为
1 2 2 2
20 = 2 0 = 2
从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为
1 = 0 +
则由功能关系可知该过程 F 所做的功
3( )2
= 0 + 1 = 2 + ( )
故选 B。
【真题 6】（2023·辽宁·高考真题）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次
演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到 v =80m/s 时离开水面，该过
程滑行距离 L=1600m、汲水质量 m=1.0×10 kg。离开水面后，飞机攀升高度 h=100m 时速度达到
v =100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度 g=10m/s 。求：
（1）飞机在水面滑行阶段的加速度 a 的大小及滑行时间 t；
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量 ΔE。
【答案】（1）2m/s2，40s；（2）2.8 × 107J
1
【详解】（1）飞机做从静止开始做匀加速直线运动，平均速度为 2，则
1
= 2 1
解得飞机滑行的时间为
2 2 × 1600
= = 80 s = 40s1
飞机滑行的加速度为
80
= 1 = 40m/s
2 = 2m/s2
（2）飞机从水面至 = 100m处，水的机械能包含水的动能和重力势能，则机械能变化量为
1 1
Δ = 2
2
2 + 2
2
1 = 2.8 × 107J
【真题 7】（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A 为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，
半径 = 10m，滑梯顶点 a 与滑梯末端 b 的高度 = 5m，静止在光滑水平面上的滑板 B，紧靠滑梯
的末端，并与其水平相切，滑板质量 = 25kg，一质量为 = 50kg的游客，从 a 点由静止开始下滑，
在 b 点滑上滑板，当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台
上滑行 = 16m停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为 = 0.2，忽略空
气阻力，重力加速度 = 10m/s2，求：
（1）游客滑到 b 点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度 L
【答案】（1）1000N；（2）7m
【详解】（1）设游客滑到 b 点时速度为 0，从 a 到 b 过程，根据机械能守恒
1
= 2
2
0
解得
0 = 10m/s
在 b 点根据牛顿第二定律
2
N =
0

解得
N = 1000N
根据牛顿第三定律得游客滑到 b 点时对滑梯的压力的大小为
N′ = N = 1000N
（2）设游客恰好滑上平台时的速度为 ，在平台上运动过程由动能定理得
1
= 0 22
解得
= 8m/s
根据题意当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，可知该过程游客一
直做减速运动，滑板一直做加速运动，设加速度大小分别为 1和 2，得

1 = = = 2m/s
2

2 = = 4m/s
2
根据运动学规律对游客
= 0 1
解得
= 1s
该段时间内游客的位移为
+
= 01 2 = 9m
滑板的位移为
1
2 = 2
2
2 = 2m
根据位移关系得滑板的长度为
= 1 2 = 7m
【真题 8】（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有
的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都
一样。以某一点 O 为观测点，以质量为 m 的小星体（记为 P）为观测对象。当前 P 到 O 点的距离为
0，宇宙的密度为 0。
（1）求小星体 P 远离到2 0处时宇宙的密度 ρ；
（2）以 O 点为球心，以小星体 P 到 O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质
1 2
量集中于 O 点对 P 的引力。已知质量为 1和 2、距离为 R 的两个质点间的引力势能 p = ，
G 为引力常量。仅考虑万有引力和 P 远离 O 点的径向运动。
a．求小星体 P 从 0处远离到2 0。处的过程中动能的变化量Δ k；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率 v 满足哈勃定律 = ，其中 r 为星体到观测点的距离，H 为哈
勃系数。H 与时间 t 有关但与 r 无关，分析说明 H 随 t 增大还是减小。
1 2
【答案】（1） = 28 0；（2）a．Δ k = 3 π 0 0；b．H 随 t 增大而减小
【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体 P 运动前后距离 O 点半径为 0和2 0
的球内质量相同，即
4 4
3 π
3
0 = 3 π(2 0)
3
解得小星体 P 远离到2 0处时宇宙的密度
1
= 8 0
（2）a．此球内的质量
4
= π 30 3 0
P 从 0处远离到2 0处，由能量守恒定律得，动能的变化量
2
Δ k = 2 = 3 π
2
0 0
0 0
b．由 a 知星体的速度随 0增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间 t 越长，由 = 知，H
减小，故 H 随 t 增大而减小。
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）一质点做匀速圆周运动，从圆周上的一点运动到另一点的过程中，下列
说法一定正确的是（ ）
A．质点速度不变 B．质点加速度不变 C．质点动能不变 D．质点机械能不变
【答案】C
【详解】A．质点做匀速圆周运动，速度大小不变，方向时刻变化，速度是变化的，故 A 错误；
B．质点做匀速圆周运动，加速度大小不变，方向时刻变化，指向圆心，加速度是变化的，故 B 错
误；
C．质点动能为
1
k = 2
2
质点做匀速圆周运动，速度大小不变，故质点动能不变，故 C 正确；
D．质点做匀速圆周运动，动能不变，质点的重力势能不一定不变，故质点机械能不一定不变，故 D
错误。
故选 C。
2．（2024·山东滨州·二模）电动车在刹车或下坡过程中可以利用某些装置把机械能转化为电能，进
行机械能回收。一实验电动车质量 = 2kg，以20J的初机械能沿倾角为15°的平直斜坡 AO 运动，A
点为运动起始点，设 A 点为零势能点。第一次在 A 点关闭发动机，让车自由滑行，其机械能—位移
关系如图直线①所示；第二次在 A 点关闭发动机同时开启“机械能回收”装置，回收一段时间后，关
闭回收装置，其机械能—位移关系如图线②所示。假设机械能回收效率为90%，sin15° ≈ 0.26。下
列说法正确的是（　　）
A．第一次中斜面 AO 作用于实验电动车的阻力大小为5N
B．第二次中实验电动车从10m行驶到20m的过程中，其机械能守恒
C．第二次中实验电动车行驶20m的过程中，回收机械能5.4J
D．第二次中实验电动车行驶前10m的过程中，其加速度一定越来越小
【答案】C
【详解】A．若斜面光滑则电动车运动过程中机械能守恒，由图线①知，机械能在减小，说明下滑
过程中摩擦力做功，在自由滑行时，设摩擦力为 ，A 点机械能为 1，O 点机械能为 2，则由能量守
恒知
= 2 1
代入得
16 20
= 20 N= 0.2N
A 错误；
B．第二次中实验电动车从10m行驶到20m的过程中，由摩擦力做功，其机械能不守恒，B 错误；
C．由图线②知，在前 10m 内进行“机械能回收”，由题图知，图线①表达式为
= 0.2 + 20
当 = 10m时，代入得
= 0.2 × 10 + 20 = 18J
在车自由下滑 10m 时
= 20J 18J=2J
开启能量回收模式下滑 10m 时
+ = 20J 12J=8J
则第二次中实验电动车行驶20m的过程中，回收的电能为
电 = × 90% = (8 2) × 90%J = 5.4J
C 正确；
D．由图线②知，斜率表示摩擦力与回收装置产生合外力，方向沿斜面向上，第二次中实验电动车
行驶前10m的过程中，图线②斜率在变小，则摩擦力与回收装置产生合外力在变小，电动车重力沿
斜面向下分力不变，故电动车加速度一定越来越大，D 错误；
故选 C。
3．（2024·河北·三模）小芳同学上体育课时，从距离地面 H 高度处将 = 0.6kg的篮球从静止开始释
放，篮球与地面撞击后弹起，篮球在此过程中的 图像如图所示。不计篮球与地面撞击过程的时
间间隔，篮球在下落阶段与上升阶段所受的空气阻力大小相等，已知重力加速度 = 10m/s2。则篮
球（　　）
A．下落的高度 = 2.0m
B．在下落阶段和上升阶段运动的时间差为 0.2s
C．在下落阶段和上升阶段所受空气阻力与重力的大小之比为1:4
D．撞击地面过程中损失的机械能为 0.8J
【答案】B
【详解】A．根据 v-t 图像与坐标轴所围面积表示位移，得
1
= 2 × 4 × 0.5m=1m
A 项错误；
B．设篮球在下落过程中受到空气的阻力为 ，由牛顿第二定律有
= 1
由图可知
Δ 4
1 = Δ =
2
0.5m/s = 8m/s
2
联立两式解得
= 1.2N
所以篮球上升过程的加速度
+ = 2

2 = + = 12m/s
2
又因为
Δ 0 ( 3.6)
= = m/s22 Δ 2 0.5
解得
2 = 0.8s
故篮球在上升阶段经历的时间为
′ = (0.8 0.5)s=0.3s
篮球在下落和上升阶段的时间差
Δ = (0.5 0.3)s = 0.2s
B 项正确；
C．篮球下落过程的加速度大小
1 = 8m/s2
设篮球下落过程中所受空气阻力为 ，由牛顿第二定律有
= 1
解得
: = 1:5
C 项错误；
D．由篮球在此过程中的 v-t 图像可知篮球即将着地时的速度大小为 4 m/s，反弹时的速度大小为 3.6
m/s，可知篮球撞击地面过程中损失的机械能
1 2 1Δ = 22 1 2 2 = 0.912J
D 项错误。
故选 B。
4．（2024·浙江·三模）如图所示，细绳的一端固定于 O 点，另一端系一个小球，在 O 点的正下方钉
一个钉子 A，小球从一定高度摆下。不计细绳与钉子碰撞的能量损失，不计空气阻力，则（　　）
A．若 A 高于小球摆下的初位置，则 A 离 O 点越近，小球运动到右侧最高点时加速度就越大
B．若 A 高于小球摆下的初位置，则 A 离 O 点越近，小球运动到右侧最高点时，细绳的拉力就越
大
C．由于机械能守恒，无论 A 离 O 点多远（小于绳长），小球总能上升到原来高度
D．如果 A 与小球摆下的初位置等高，则小球在运动的过程中有可能撞到钉子
【答案】B
【详解】AB．A 离 点越近，小球运动到右侧最高点时，摆角 就越小，小球加速度
= sin
越小，而绳的拉力
= cos
越大，故 A 错误，B 正确；
C．当 A 低于小球开始摆下的高度时，小球摆动到右侧绕 A 运动，到达最高点时速度不为零，此时
小球不能上升到原来高度，C 错误；
D．如果小球摆下的初位置与 A 等高，则小球总是绕 或绕 A 作圆周运动（来回摆动），不可能撞到
钉子，故 D 错误。
故选 B。
5．（2024·广西桂林·三模）如图所示的是简化后的跳台滑雪雪道示意图， 段为助滑道和起跳区，
段为倾角 ( < 45°)的着陆坡。运动员从助滑道的起点 A 由静止开始下滑，到达 时点以初速度 0
起跳， 0方向与水平方向的夹角也为 ，最后落在着陆坡面上的 点， 、 间距离为 。不计一切阻
力，则运动员从 点运动到 点的过程中（　　）

A．最小速度为 0 B．时间为 0
C．速度最小时，机械能最小 D．从 点起跳后瞬间重力功率最大
【答案】B
【详解】A．在最高点时速度最小，沿水平方向，根据速度的分解可知最小速度为
= 0cos
故 A 错误；
B．运动员水平方向做匀速直线运动，从 点运动到 点的过程中有
cos = 0cos
解得

= 0
故 B 正确；
C．运动员从 点运动到 点的过程中只有重力做功，机械能守恒，故 C 错误；
D．根据竖直方向的运动规律
2 = 2
可知 点竖直方向的速度较大，根据
=
可知 点重力的功率最大，故 D 错误；
故选 B。
6．（2023·湖南永州·一模）铅球掷出后，在空中运动的轨迹如图所示。a、b、c、d、e 为轨迹上 5 个
点，c 为轨迹的最高点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．球运动到 c 点时重力的功率最小，但不为零
B．铅球从 点运动到 点和从 点运动到 点速度变化方向相同
C．铅球从 点到 点的过程比从 点到 点的过程中速度变化快
D．铅球从 点运动到 点，合外力做的功大于重力势能的减少量
【答案】B
【详解】A．铅球运动到 c 点时速度沿水平方向，重力的瞬时功率为
PG=mgvcos90°=0
故 A 错误；
B．根据Δ = Δ 可知，铅球从 点运动到 点和从 点运动到 点速度变化方向均与加速度方向相同，
故 B 正确；
C．速度变化快慢即为加速度，铅球从 点到 点的过程比从 点到 点的过程中加速度相同即速度变
化快慢相同，故 C 错误；
D．铅球从 a 点运动到 e 点，只有重力做功，根据重力做功与重力势能的关系可知，重力做功等于
重力势能的减少量，故 D 错误。
故选 B。
7．（2024·湖北·一模）如图所示，一顶角为 120°的“∧”型光滑细杆竖直放置，顶角的角平分线竖直。
质量均为 m 的两金属球套在细杆上，高度相同，中间用水平轻弹簧连接，弹簧处于原长状态，劲度
系数为 k。现将两小球同时由静止释放，小球沿细杆下滑过程中，弹簧始终处于弹性限度内。已知
弹簧形变量为 x 时，弹簧的弹性势能 p =
1 2
2 ，重力加速度为 g，下列说法正确的是（　　）
A 3．两小球下滑过程中，两小球的机械能守恒 B．弹簧的最大拉力为
3
C ．小球在最高点和最低点的加速度大小相等 D．小球的最大速度为
3
【答案】C
【详解】A．两小球下滑过程中，除重力以外，弹簧的弹力对它做功，所以两小球的机械能不守恒，
故 A 错误；
B．小球下降 h 达到最低时，速度减小为 0，形变量最大为
m = 2 tan60° = 2 3
根据机械能守恒定律有
1
2 = 2
2
m
解得

= 3
弹簧的最大伸长量
2 3
m = 2 3 = 3
弹簧的最大拉力为
2 3
= m = 3
故 B 错误；
C．在最高点时小球只受重力和支持力作用，此时重力沿杆方向的分力提供加速度，有

1 = sin30° = 2
在最低点时
2 3
= 3
根据牛顿第二定律可知
cos30° sin30° = 2
解得

2 = 2
小球在最高点与最低点加速度大小相等，故 C 正确；
D．小球受到重力、杆的弹力 N 和弹簧的弹力 F，沿杆方向加速度为 0，即合力为 0 时小球的速度最
大，此时
sin30° = cos30°
又
=
解得形变量
3
= 3
两个小球下降的高度为

1 = 2tan60° = 6
对系统只有重力，弹力做功，对两个金属环和弹簧根据机械能守恒，有
1 1
2 1 = 2
2 + 2 × 2
2
m
解得

= 6
故 D 错误。
故选 C。
8．（2024·山东济南·二模）如图所示，倾角为 = 30°的足够长的光滑斜面体固定在水平地面上，底
端附近垂直斜面固定一挡板，小物块甲、乙用轻弹簧拴接后置于斜面上，甲的质量为 m。初始静止
时，弹簧压缩量为 d。某时刻在甲上施加一沿斜面向上的恒力 = ，当弹簧第一次恢复原长时将
恒力撤去，甲到最高点时乙刚要离开挡板。已知甲物体做简谐振动的周期为 T，弹簧的弹性势能为
E， 1P = 2
2，其中 k 为劲度系数（k 未知），x 为形变量，重力加速度为 g，弹簧始终在弹性限度以
内。则（　　）
A．小物块乙的质量为 2m
B．甲运动到最低点时的加速大小为 2g
C ．从撤去外力到甲运动到最高点的时间为3
D 9．弹簧的最大弹性势能为4
【答案】D
【详解】A．施加恒力前由平衡条件
mgsinα=kd
解得

＝ 2
设乙刚要离开挡板时弹簧的伸长量为 x1，从开始到乙刚要离开挡板的过程，对甲和弹簧由能量守恒
有
1 1
1sin + 22 1 = sin + 2
2
解得
x1=d
设乙的质量为 m'，乙刚好不离开挡板，则有
kx1=m'gsinα
解得
m'=m
故 A 错误；
B．甲在最高点时
+ sin30 1 = =
解得
a=g， = 2
由对称性可知，甲到最低点时加速度也为 g，故 B 错误；
C ．刚撤去外力甲做简谐振动的平衡位置为初始位置，因此甲此时的位移为2且向上运动，则从撤去

外力到甲运动到最高点的时间为6，选项 C 错误；
D．设甲到最低点时弹簧的压缩量为 x2，由能量守恒得
( 1 + 2)sin +
1
2
2
1 =
1
2
2
2
解得
x2=3d
由于 x1＜x2，故最大弹性势能
1 9
2pmax＝ 2 2 = 4
故 D 正确。
故选 D。
9．（2024·广西·二模）如图所示，一轻杆通过铰链连接在固定转轴 1上，可绕 1轴自由转动，轻杆
另一端与一质量未知的小球 A 连接。一轻绳绕过轻质定滑轮 2，一端连接小球 A，另一端连接一带
挂钩，质量为 m 的物块 B，已知 1与 2等高，图中 1 = 60°， 2 = 30°，此时小球 A 与物块 B 恰好
静止。现在物块 B 下再挂物块 C，由静止释放物块 C 后，小球 A 能上升到的最高点恰好与 1等高，
重力加速度为 g，不计一切摩擦。则所挂物块 C 的质量为（　　）
A 3 1． B 3 1． C (2 3 3) D (2 3 3)． ．
2 2 2 2
【答案】A
【详解】对 B 受力分析可知，绳子拉力
=
对 A 受力分析，由共点力平衡中直接合成法可知
A = 2 = 2
解得
A = 2
若小球 A 上升到最高点时，刚好与定滑轮在同一直线上，此时 A、B、C 的速度都为零，设杆长为
l，则根据机械能守恒有
A sin60° = ( + C) × ( + 3 2 )
解得
3 + 1
C = 2
故选 A。
10．如图所示，顶角 P 为 53°的光滑“ ”形硬杆固定在竖直平面内，质量均为 m 的小球甲、乙（均
视为质点）用长度为 L 的轻质硬杆连接，分别套在“ ”形硬杆的倾斜和水平部分，当轻质硬杆呈竖
直状态时甲静止在 A 点，乙静止在 C 点。甲由于受到轻微的扰动开始运动，当甲运动到 B 点时，轻
质硬杆与“ ”形硬杆的倾斜部分垂直，重力加速度大小为 g，则甲在 B 点的速度大小为（　　）
A 5 B 2 5 ． ．
5 5
C 5 ． D 5 ．
2 4
【答案】B
【详解】由于甲在 B 位置时，轻质硬杆与 AP 倾斜部分垂直，根据牵连速度的分解规律可知，甲沿
轻质硬杆的分速度为 0，即此时乙的速度为 0，甲小球减小的重力势能转化为甲的动能，则有
1
( sin37 ) = 22
解得
2 5
= 5
故选 B。
11．（2024·贵州·三模）如图所示， 为固定的粗糙半圆弧轨道， 为其水平直径，可视为质点
的小物块从 A 正上方 a 点处由静止释放，下落后从 A 点进入圆弧轨道后从 B 点冲出，之后返回和离
开轨道多次。若第一次从 B 点离开圆弧轨道上升到达的最高点为 b，第一次从 A 点离开圆弧轨道上
升到达的最高点为 c，第二次从 B 点离开圆弧轨道上升到达的最高点为 d，图中 b、c、d 三点未标出。
设 a、b 之间的竖直高度差为Δ 1，b、c 之间的竖直高度差为Δ 2，c、d 之间的竖直高度差为Δ 3。
不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　）
A．Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 B．Δ 1 > Δ 2 > Δ 3
C．Δ 1 < Δ 2 < Δ 3 D．Δ 1 > Δ 3 > Δ 2
【答案】B
【详解】由于圆弧轨道粗糙，小球在圆弧轨道运动过程中，需要克服摩擦力做功，则每次通过圆弧
相同位置的速度都比前一次通过时小，小球每次通过圆弧轨道上该位置所需向心力都比前一次通过
时小，导致轨道对滑块的弹力变小，即轨道对小球的滑动摩擦力也变小，所以每次通过半圆弧轨道，
小球克服摩擦力做的功都比前一次要少，因此机械能损失量也不断变小，则小球后一次相邻最高点
的高度差总小于前一次相邻最高点的高度差，即有
Δ 1 > Δ 2 > Δ 3
故选 B。
12．如图所示，一根不可伸长的轻质细线一端悬于 O 点，另一端系一小球 A，将 A 拉至细线与水平
方向成 θ 夹角，细线刚好伸直。由静止释放 A，在 A 从释放点运动到最低点的过程中，其重力势能
Ep、动能 Ek、机械能 E、重力的瞬时功率 P 与下落的高度 h 的关系图像可能正确的是（不计空气阻
力）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A．小球下落过程中重力势能随下落高度 h 的增大均匀减小，即图线的斜率保持不变，故 A
错误；
B．A 从释放点开始做自由落体运动，根据机械能守恒定律可知
k =
小球运动到与水平方向对称的位置后，细线被拉直的瞬间有能量损失，动能瞬间减小，然后小球做
圆周运动，根据机械能守恒定律有
k′ =
故 B 正确；
C．由于细线被拉直瞬间，有机械能损失，故 C 错误；
D．小球自由下落过程中，重力的瞬时功率为
= = 2
当细线被拉直瞬间，小球竖直方向的速度减小，重力的瞬时功率突然减小，即小球开始做圆周运动
瞬间，重力的功率应发生突变，故 D 错误。
故选 B。
二、多选题
13．（2024·山东潍坊·三模）潍坊风筝是山东潍坊传统手工艺珍品，制作历史悠久，工艺精湛，是非
物质文化遗产之一，现在世界上 70%以上的风筝都是出自潍坊。本届风筝节上，小明同学在滨海国
际风筝放飞场放风筝，风筝静止于空中且风筝平面与水平面夹角始终为 30°，风速水平，与风筝作
用后，垂直风筝平面的风速减为零，平行风筝平面的风速大小不变。风筝的质量为 m，风筝线质量
不计，重力加速度大小为 g。下列说法正确的是（ ）
A 3．若风筝线与水平方向夹角为 30°，则风对风筝的作用力大小为 mg
2
B．若风筝线与水平方向夹角为 30°，则线对风筝的作用力大小为 mg
C．风筝线长度不变，若风速缓慢变大，则线与水平方向夹角变大
D．风筝线长度不变，若风速缓慢变大，则风筝的机械能减小
【答案】BC
【详解】AB．由于平行风筝平面的风速大小不变，故平行风筝的平面上风力大小为零，对风筝受力
分析如图所示，平衡时则有
cos30° = cos60°
sin60° = + sin30°
解得
=
= 3
A 错误，B 正确；
C．当风速缓慢增大时，垂直作用在风筝上的力 逐渐增大，作出其矢量三角形，如图所示
由图可知，风速缓慢增大时，则线与水平方向夹角变大，C 正确；
D．风速缓慢增大时，风筝线的长度不变，风速平行风筝平面的分速度增大，相当于风筝在该方向
上的速度变大，机械能应增加，D 错误。
故选 BC。
14．（2024·湖南常德·一模）2023 年 9 月 21 日，“天宫课堂”第四课在中国空间站正式开讲，神舟十
六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行授课，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课。在
天宫课堂上，航天员老师在太空实验室中做如图所示的实验。一根长为 L 的不可伸长的轻绳，一端
固定于 O 点，另一端系一质量为 m 的小球（可视为质点）。开始时，小球位于位置 M，O、M 间距
= 离 4，绳子处于松弛状态。小球突然受到一瞬时冲量后以初速度 0垂直于 OM 向右运动，设在以
后的运动中小球到达位置 N，此时小球的速度方向与绳垂直，则小球从 M 运动到 N 的过程中，下列
说法正确的是（　　）
A．小球的机械能守恒 B．轻绳对小球做功不为零

C 0．小球始终做匀速圆周运动 D．小球在 N 点时的速度大小为 4
【答案】BD
【详解】AC．因空间站内的物体都处于完全失重状态，小球以初速度 0先向右做匀速直线运动至轻
绳恰好伸直，轻绳在绷紧瞬间产生拉力，使小球沿绳方向的速度立刻减为零，只剩下垂直于绳方向
的速度分量 ⊥，即此时小球的机械能有损失，之后小球绕 O 点以速度大小 ⊥做半径为 L 的匀速圆周
运动，故 AC 错误；
BD．因小球在 N 点时已做匀速圆周运动，其速度大小为
⊥ = 0sin
又
1
sin = = 4
故

⊥ =
0
4
因轻绳在细紧瞬间造成小球机械能的损失，故轻绳对小球做功不为零，故 BD 正确。
故选 BD。
15．（2023·四川德阳·一模）如图所示，竖直平面内固定一根竖直的光滑杆 P 和水平光滑杆 Q，两杆
在同一平面内，不接触，水平杆延长线与竖直杆的交点为 O。质量为 2m 的小球 A 套在竖直杆上，
上端固定在杆上的轻质弹簧的另一端与小球 A 相连。另一质量为 m 的小球 B 套在水平杆 Q 上，小
球 A、B 用长为 2L 的轻杆通过铰链分别连接。在外力作用下，当轻杆与水平杆 Q 成 θ=53°斜向左上
时，轻质弹簧处于原长，系统处于静止状态。撤去外力，小球 A 在竖直杆上做往复运动，下降的最
大距离为 2L 1。已知轻质弹簧的弹性势能 = 2
2，x 为弹簧的形变量，k 为轻质弹簧的劲度系数，
整个过程轻质弹簧始终处在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度大小为 g，sin53°=0.8，
cos53°=0.6.则下列说法正确的是（　　）
A 2 ．轻质弹簧的劲度系数 k 为
B．小球 A 运动到 O 4点时的速度大小为5 2
C 21．从撤去外力到轻杆与水平杆 Q 成 θ=30°斜向左上的过程，轻杆对小球 B 做的功为175
D．小球 A 从最高点运动到 O 点的过程，水平杆 Q 对小球 B 的作用力始终大于 mg
【答案】AC
【详解】A．小球 A、弹簧和小球 B 组成的系统能量守恒，小球 A 下降到最大距离时，根据能量守
恒定律有
1
2 (2 )
2 = 2 × 2
解得
2
=
故 A 正确
B．AB 两球沿着轻杆方向的速度相等，小球 A 运动到 O 点时，轻杆水平，A 水平方向的速度为 0，
则 B 的速度也为 0，整个过程中系统机械能守恒，则
1 1
2 × 2 cos53° = 2 × 2
2
+ 2 × (2 cos53°)
2
则 A 速度为
2
= 5 6
故 B 错误；
C．轻杆与水平杆 Q 成 θ=30°斜向左上时，设 B 的速度为 ′，A 的速度为 vA，根据关联问题可知
Acos60° = ′cos30°
根据能量守恒定律有
1 1 1
2 × 2 (sin53° sin30°) 2 (2 sin53° 2 sin30°)
2 = 2 × 2
2
A + 2 ′
2
解得
42
′ = 175
根据动能定理可知轻杆对小球 B 做的功为
1
= 2 ′
2
解得
= 21175
故 C 正确；
D．根据小球 A 在竖直杆上做往复运动的特点可知，小球从从最高点运动到 O 点的过程，铰链对小
球先做正功，后做负功，则水平杆 Q 对小球 B 的作用力并非始终大于 mg，故 D 错误；
故选 AC。
16．如图所示，柔软的绳索放置在粗糙水平桌面上， 、 为绳索端点， 为绳索中点，且恰好处于桌
面边缘。开始时绳索在外力的作用下处于静止状态，由静止释放绳索后，绳索开始滑动，直至离开
桌面，此过程中 点未落至地面。已知质量分布均匀的绳索总质量为 ，总长度为 ，绳索和桌面间
的滑动摩擦因数为 。下列分析正确的有（ ）
A 3．绳索离开桌面前的过程中重力势能减少了8
B 3 1．绳索离开桌面时的动能为8 4
C．绳索离开桌面前的过程中， 段的动能增加得越来越快
D．绳索离开桌面前的过程中， 段的机械能减小得越来越慢
【答案】ACD
【详解】A．绳索离开桌面前的过程中重力势能减少量
1 3 3
Δ p = 2 4 = 8
故 A 正确；
B．绳索离开桌面前的过程中，克服摩擦力做功
0 + 12 1 f = 2 2 = 8
3 1
由动能定理知绳索离开桌面时的动能为8 8 ，故 B 错误；
C．由题易得绳索下滑过程加速度逐渐增大，速度增加得越来越快，动能增加得越来越快，C 正确；
D．对 段利用牛顿第二定律易得 点张力逐渐减小，由功能关系得 段机械能减小得越来越慢，D
正确。
故选 ACD。
17．（2024·湖北·一模）如图所示，半径为 R=0.4m 的光滑圆环固定在竖直平面内，AB、CD 是圆环
相互垂直的两条直径，C、D 两点与圆心 等高。一个质量为 m=2kg 的光滑小球套在圆环上，一根

轻质弹簧一端连在小球上，另一端固定在 P 点，P 点在圆心 O 的正下方2处。小球从最高点 A 由静
止开始沿顺时针方向下滑，已知弹簧的原长为 R，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为 = 10m
/s2。下列说法正确的有（　　）
A．弹簧长度等于 R 时，小球的动能最大
B．小球在 A、B 两点时对圆环的压力差的大小为 80N
C．小球运动到 B 点时的速度大小为 4m/s
D．从 A 点运动到 B 点的过程中，小球的机械能先增大后减小，在 D 点小球的机械能最大
【答案】BC
【详解】A．由题可知，弹簧长度等于 R 时，弹簧处于原长，在此后的过程中，小球的重力沿轨道
的切向分力大于弹簧的弹力沿轨道切向分力，小球仍在加速，所以弹簧长度等于 R 时，小球的动能
不是最大。故 A 错误；
C．小球在 A、B 两点时弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等，根据系统的机械能守恒得
1
2 = 2
2

解得小球运动到 B 点时的速度
= 2 = 4m/s
故 C 正确；
B．设小球在 A、B 两点时弹簧的弹力大小为 F，在 A 点，圆环对小球的支持力
1 = +
在 B 点，由牛顿第二定律得
2
2
解得圆环对小球的支持力
2 = 5 +
则
2 1 = 4
由牛顿第三定律知，小球在 A、B 两点时对圆环的压力差为
4mg=80N
故 B 正确；
D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒，从 A 到 D 的过程中，弹性势能先减小后增大，故小球机械
能先增大后减小，弹簧原长时小球机械能最大，故 D 点机械能不是最大，故 D 错误。
故选 BC。
18．（2024·山东聊城·三模）如图甲所示，半径 R＝0.4m 的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的
一个端点 B 和圆心 O 的连线与水平方向间的夹角 = 30°，另一端点 D 与圆心 O 等高，点 C 为轨道
的最低点。质量 m＝1kg 的物块（可视为质点）从空中 A 点以速度 0水平抛出，恰好从轨道的 B 端
沿切线方向进入轨道，物块进入轨道后开始计时，轨道受到的压力 F 随时间 的关系如图乙所示，重
力加速度 g 取10m/s2，则（　　）
A．物块从 D 点离开轨道时速度大小为 4m/s
B． 0大小为 70N
C． 0的大小为 2m/s
D．物块在 AC 段运动过程中重力的瞬时功率一直增大
【答案】AB
【详解】A．由图像可知，物块从轨道 D 点飞出轨道到再次回到 D 点的时间为
t=1.675s-0.875s=0.8s
则物块从 D 点离开轨道时速度大小为

= 2 = 4m/s
选项 A 正确；
B．从 C 到 D 由机械能守恒可知
1 2 1
2 =
2
2 +
在 C 点时压力最大，则由
2
0 =
解得
0 = 70N
选项 B 正确；
C．从 B 到 D 由机械能守恒可知
1 1
2
2
= 22 + sin30

解得
= 2 5m/s
则
0 = sin30 = 5m/s
选项 C 错误；
D．根据
PG=mgvy
可知，物块在 A 点时竖直速度为零，则重力的瞬时功率为零；在 C 点时竖直速度为零，则重力的瞬
时功率也为零，可知物块在 AC 段运动过程中重力的瞬时功率先增大后减小，选项 D 错误。
故选 AB。
三、解答题
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水
面时并不会直接沉入水中，而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中．如
图所示，某同学在岸边离水面高度 0 = 0．2m处，将一块质量 = 0．1kg的小石片以初速度 0 = 12
m/s 2水平抛出，若小石片与水面碰撞后，竖直分速度反向，大小变为碰前的3，水平分速度方向不变，
1
大小变为碰前的3，当小石片的入水角（速度方向与水面间的夹角）大于 53°时，小石片将沉底．空
气阻力可忽略不计，重力加速度 = 10m/s2，tan53° = 43。求：
（1）第一次接触水面处与抛出点的水平距离；
（2）小石片第一次与水面碰撞过程中损失的机械能；
（3）小石片最多能弹跳的次数。
【答案】（1）2.4m 293；（2） 45 J；（3）4 次
【详解】（1）小石片抛出后做平抛运动，而平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有
1
20 = 2
解得
= 0.2s
平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，则有
= 0
解得
= 2.4m
（2）小石片第一次接触水面前瞬间的竖直分速度
= = 2m/s
第一次被反弹后竖直分速度大小
2 4
1 = 3 = 3 m/s
水平分速度大小为
1
01 = 3 0 = 4m/s
则小石片第一次与水面碰撞过程中损失的机械能
1 2 2 1 293Δ = 2 ( 0 + ) 2 (
2 + 201 1) = 45 J
（3）设小石片完成第一次弹跳后还能弹跳 次，则根据已知条件可得

(
2
3 ) 4
( 1
≤ tan53 =
) 30 3
解得
≤ 3
因此可知小石片最多能弹跳 4 次。
20．（2024·黑龙江·三模）如图所示，一半径为 r=0.45m 1的4光滑圆弧的底端 B 与水平传送带相接，
传送带的运行速度为 0 = 5m/s，长为 = 1.75m，DEF 为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空
细管，EF 段被弯成以 O 为圆心、半径。 = 0.2m的一小段圆弧，管的 D 端弯成与水平传送带 C 端
平滑相接，O 点位于地面，OF 连线竖直。一质量为 = 0.2kg的滑块（可视为质点）从圆弧顶端 A
点无初速滑下，滑到传送带上后被送入细管 DEF。已知滑块与传送带间的动摩擦因数 = 0.2，重力
加速度 g 取10m/s2，不计空气阻力，滑块横截面略小于细管中空部分的横截面。求：
（1）滑块到达光滑圆弧底端 B 时对轨道的压力大小；
（2）滑块与传送带间因摩擦产生的热量；
（3）滑块滑到 F 点后水平飞出，滑块的落地点到 O 点的距离。
【答案】（1）6N；（2）0.3J；（3 2 3） m
5
【详解】（1）设滑块到达 B 点的速度大小为
由机械能守恒定律有
1
= 2
2

解得
= 3m/s
滑块在 B 点，由向心力公式有
2
=
解得
= 6N
根据牛顿第三定律可知，滑块到达光滑圆弧底端 B 时对轨道的压力大小为6N；
（2）滑块在传送带上做匀加速运动，由牛顿第二定律有
= = 2m/s2
由速度位移公式得
2 2 = 2
解得
= 4m/s < 0 = 5m/s
滑块在传送带上运行的时间为
= = 0.5s
传送带运行的距离为
= 0 = 2.5m
故滑块与传送带间因摩擦产生的热量为
= ( ) = 0.3J
（3）滑块从 C 至 F，由机械能守恒有
1 1
2
2 = + 2 2
滑块离开 F 点后做平抛运动，竖直方向有
1
= ′22
联立解得滑块的落地点到 O 点的距离
2 3
= ′ = 5 m第 19 讲　机械能守恒定律及其应用
——划重点之精细讲义系列
考点 1 机械能守恒的理解和判断
考点 2 机械能守恒定律的应用
考点 3 多物体机械能守恒问题
考点 4 用机械能守恒定律解决非质点问题
考点 1：机械能守恒的理解和判断
一．重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)公式：Ep＝mgh.
(2)特性：
①矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大
还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
②系统性：重力势能是物体和地球共有的．
③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的
选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即 WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二．弹性势能
1．大小
1
弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．公式：E 2P＝－W 弹＝ kx2
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
三．机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或内弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保
持不变．
3．机械能守恒的条件：只有重力做功或系统内弹力做功。
（1）只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等。
（2）只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物
体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。
（3）只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下
落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守
恒。
（4）除受重力（或系统内弹力）外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和
为零。如物体在沿固定斜面向下的拉力 F 的作用下沿斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相
等，在此运动过程中，物体机械能不变，可按照机械能守恒定律计算（应当注意，这时系统并不封
闭，存在着系统内的物体跟外界系统的能量交换．只是系统内物体机械能的减少等于外界对物体做
功使系统增加的机械能。）。
4．机械能守恒的判断方法
（1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机
械能守恒。
（2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外
界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加）。则系统的机械能
守恒。
（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题．除非题目特别说明，机械能必定不守
恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。[]
（4）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如
有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
【考向 1】如图所示，下列说法正确的是（所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量）（ ）
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空，机械能守恒，若加速升空，机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力 F 的作用下匀减速上滑，物块的机械能守恒
C．丙图中，物块 A 以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块 A 的机械能守恒
D．丁图中，物块 A 加速下落，物块 B 加速上升的过程中，A、B 系统机械能守恒
【考向 2】如图所示，A、B 两物块放置在足够长的光滑斜面上，当 A、B 一起沿斜面向下滑动的过
程中（A、B 之间相对静止）（ ）
A．A 物体所受摩擦力对 A 做正功
B．A、B 两物体的总机械能不断增大
C．A 物体机械能不断的减小
D．B 物体的机械能守恒
【考向 3】如图所示，曲面体 Р 静止于光滑水平面上，物块 Q 自 Р 的上端由静止释放。Q 与 P 的接
触面光滑，Q 在 P 上运动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．P 对 Q 做功为零
B．P 对 Q 做负功
C．物块 Q 的机械能守恒
D．物体 Q 的机械能增加
【考向 4】如图所示，圆心为 O 的四分之一圆弧轨道 BC 竖直放置，O 与 A 处的钉子处于同一高度。
细线的一端系有小物块 P，另一端绕过钉子系一套在圆弧轨道上的小球 Q。将小球从轨道顶端 B 静
止释放，忽略一切摩擦。在小球从 B 点运动到最低点 C 的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．小物块 P 和小球 Q 的速率总相等
B．小物块 P 的机械能守恒
C．小球 Q 的机械能先增加后减小
D．小球 Q 重力的功率先增加后减小
【考向 5】（多选）（2024·广西柳州·三模）如图所示，一小球用轻质细线悬挂在木板的支架上，分别
沿倾角为 θ 的两个固定斜面下滑，甲图中细线保持竖直，乙图中细线保持垂直斜面。在木板下滑的
过程中，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中木板与斜面间的动摩擦因数 = tan
B．甲图中木板、小球组成的系统机械能守恒
C．乙图中木板与斜面间的动摩擦因数 = tan
D．乙图中木板、小球组成的系统机械能守恒
考点 2：机械能守恒定律的应用
1.应用机械能守恒定律的基本思路
{单个物体(1)选取研究对象 多个物体组成的系统系统内有弹簧
(2)受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件．
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况．
(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解．
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
2.三种守恒表达式的比较
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′ ΔEk＝－ΔEp ΔE 增＝ΔE 减
角度 守恒观点 转化观点 转移观点
表示系统（或物体）机械能守恒时， 一部分物体机械能的增加量与
系统的初状态机械能与
意义 系统减少（或增加）的重力势能等 另一部分物体机械能的减少量
末状态机械能相等
于系统增加（或减少）的动能 相等
A 部分机械能的增加量等于 A
应用时应选好重力势能
应用时关键在于分清重力势能的增 部分末状态的机械能减初状态
注意 的零势能面，且初末状态
加量和减少量，可不选零势能面而 的机械能，而 B 部分机械能的
事项 必须用同一零势能面计
直接计算初末状态的势能差 减少量等于 B 部分初状态的机
算势能
械能减末状态的机械能。
图像
分析
3．研究对象
（1）当只有重力做功时，可取一个物体（其实是物体与地球构成的系统）作为研究对象，也可
取几个物体构成的系统作为研究对象。
（2）当物体之间有弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象（使这些弹力成为
系统内力）。
4．应用机械能守恒定律的基本思路
（1）选取研究对象（物体或系统）。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断
机械能是否守恒。
（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。
（4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。[]
（5）对计算结果进行必要的讨论和说明。
5．机械能守恒定律的应用技巧
（1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对
研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
（2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体
组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。
【考向 6】如图所示，竖直面内光滑的 3/4 圆形导轨固定在一水平地面上，半径为 R．一个质量为 m
的小球从距水平地面正上方 h 高处的 P 点由静止开始自由下落，恰好从 N 点沿切线方向进入圆轨
道．不考虑空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．适当调整高度 h，可使小球从轨道最高点 M 飞出后，恰好落在轨道右端口 N 处
B．若 h=2R，则小球在轨道最低点对轨道的压力为 4mg
C．只有 h≥2.5R 时，小球才能到达圆轨道的最高点 M
D．若 h=R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为 R 的位置，该过程重力做功为 mgR
【考向 7】（2024·浙江杭州·二模）有一质量为 m 的小球，用细线挂在天花板上，线长为 l，将其拉
至水平位置由静止释放。忽略空气阻力，小球可看成质点，重力加速度为 g，则下列说法正确的是
（　　）
A．在小球摆动过程中重力总是做正功
B．重力功率最大值为 2
C ．小球动能变化周期是

D．在小球下摆过程中，动能随时间的变化率先变大后变小
【考向 8】（2024·湖北·二模）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于 B 点，半圆轨道的圆心
为 O，半径为 R，C 为其最高点。BD 段为双轨道，D 点以上只有内轨道，D 点与圆心的连线与水平
方向夹角为 ，一小球从水平面上的 A 点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达 C 点。
不计一切摩擦。则（　　）
A．小球到达 C 点时速度为
B．小球到达 C 点后会向左做平抛运动
C 5．小球在 A 点的初动能等于2
D 2．若小球到达 D 点时对内外轨道均无弹力，则sin = 3
【考向 9】（多选）如图所示，在光滑的斜轨道底端平滑连接着一个半径为 R、顶端有缺口的光滑圆
形轨道，A 点、B 点在同一水平面上，P 点是最低点，∠ = 120°。一质量为 m 的小球由斜轨道
上某高度处静止释放，由轨道连接处进入圆形轨道。重力加速度为 g，不考虑机械能的损失，下道
列说法正确的是（　　）
A．若小球滑到 P 点时速度大小为2 ，则此处轨道对小球作用力的大小为 4mg
B．若小球滑到 P 点时速度大小为2 ，则小球滑到 A 点时速度大小为
C 5．若小球恰好能通过圆形轨道内 A 点，则小球在斜轨道上静止释放的高度为4
D．若小球从圆形轨道内 A 点飞出后恰好从 B 点飞入圆形轨道，则小球经过 B 点时的速度大小为
2
【考向 10】（多选）（2024·陕西渭南·二模）如图，固定在竖直面内的光滑轨道 由直线段 和圆
弧段 组成，两段相切于 B 点， 段与水平面夹角 为30°， 段圆心为 O，最高点为 C，A 与 C
的高度差等于圆弧轨道的直径 2R。小球从 A 点以初速度 0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达 C 点，
重力加速度为 g，下列说法正确的是（　　）
A．小球从 B 到 C 的过程中，对轨道的压力逐渐减小
B．小球从 A 到 C 的过程中，小球的机械能不断减少
C．小球的初速度 0 = 2
D．若小球初速度 0增大时，小球没有从圆轨道上 B 点脱离轨道，则小球能够沿圆轨道运动到 C
点
考点 3：多物体机械能守恒问题
一.多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路
1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能
与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。
2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械
能增加，则一定有另一个物体机械能减少。
二.多物体机械能守恒问题的分析技巧
1．对多个物体组成的系统，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒。
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
3．列机械能守恒方程时，可选用 ΔEk＝－ΔEp的形式。
三．几类连接体的机械能守恒分析
杆连物体系统机械能守恒
情景分析
如图所示的两物体组成的系统，当释放后 A、B 在竖直平面内绕过 O 点的轴转动，
且 A、B 的角速度相等。
求解这类问题时，由于二者角速度相等，所以关键是根据二者转动半径的关系寻
找两物体的线速度的关系，根据两物体间的位移关系，寻找到系统重力势能的变化，
方法突破 最后根据 ΔEk＝－ΔEp 列出机械能守恒的方程求解。另外注意的是轻杆对物体提供的
弹力不一定沿着杆，轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直，轻杆的弹力对一个物体
做了正功，就对另一物体做了负功，并且绝对值相等。
绳连物体系统机械能守恒
如图所示的两物体组成的系统，当释放 B 而使 A、B 运动的过程中，A、B 的速度
情景分析
均沿绳子方向，在相等时间内 A、B 运动的路程相等，A、B 的速率也相等。但有些问
题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速
度之间的关系。
求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关
系，进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时，一般选用 ΔEk＝－ΔEp 的
方法突破
形式。另外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每一
个物体都要做功。
含弹簧类机械能守恒问题
对两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，在能量方面，
由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除
弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。在相互作用过程中，弹簧两端物体把
情景分析
弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一
端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧由静止释放）。
求解这类问题时，首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或
方法突破 缩短时产生的弹力的大小遵循 F＝kx 和 ΔF＝kΔx。其次，以弹簧的弹力做功为分析问
题的突破口：弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，但是在具体的问题中
不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约
去。当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当
时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差。
【考向 11】（2024·辽宁丹东·一模）如图所示，劲度系数为200N/m的轻弹簧下端固定在倾角为 = 53°
的光滑斜面底端，上端连接物块 Q，Q 同时与平行于斜面的轻绳相连，轻绳跨过定滑轮 O 与套在足
够长的光滑竖直杆上的物块 P 连接，图中 O、B 两点等高，间距 = 0.3m。初始时在外力作用下，P
在 A 点静止不动，A、B 间距离 = 0.4m，此时轻绳中张力大小为60N。已知 P 的质量为1kg，Q 的
质量为5kg，P、Q 均可视为质点。现将 P 由静止释放（不计滑轮大小及摩擦，重力加速度 取10m/
s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，弹簧始终处于弹性限度内），下列说法正确的是（ ）
A．物块 P 上升的最大高度为0.8m
B．物块 P 上升至 B 点时，其速度大小为2 2m/s
C．在物块 P 由 A 点运动到 B 点的过程中，弹簧对物块 Q 一直做正功
D．在物块 P 由 A 点运动到 B 点的过程中，物块 P 机械能守恒
【考向 12】（2024·陕西榆林·三模）如图所示，倾角为45 的光滑斜面与光滑的水平地面在 C 点连接，
质量均为 m 的小球 A、B（均可视为质点）用长为 L 的轻质硬杆连接，现把小球 B 放置在水平面上
的 C 点，小球 A 由静止释放，在小球 A 下滑的过程中，小球 B 始终在水平地面上运动，重力加速
度为 g，下列说法正确的是（　　）
A．在小球 A 下滑的过程中，小球 A 重力势能的减少量等于小球 B 动能的增加量
B．在小球 A 下滑的过程中，轻质硬杆对小球 B 先做正功后做负功
C．小球 A 刚到达 C 点前瞬间，小球 A、B 的速度相等
D 2．小球 A 刚到达 C 点前瞬间，小球 B 的动能为
6
【考向 13】（2024·辽宁丹东·二模）轻质直角支架两端分别连接质量均为 m 的小球 A 和 B，支架的
两直角边长度分别为 2L 和 L，支架可绕固定轴 O 在竖直平面内无摩擦转动。如图所示，开始时 OA
边与水平方向的夹角为 ， = 37 。由静止释放A球，（重力加速度为g，sin37 = 0.6，cos37 = 0.8）
下列说法正确的是（　　）
A．A、B 两球线速度大小始终相等
B．A 球速度最大时位于 O 点正下方
C．A 由静止释放至摆动到最低点的过程中，支架对 A 不做功
D．A 摆动到最低点位置时，杆对 A 做功的功率为零
【考向 14】（多选）如图所示，光滑竖直固定杆上套有一质量为 m 的小球 A，一根竖直轻弹簧上端
连接着一个质量为 m 的物块 B，下端连接着一个质量为2 的物块 C。一轻绳跨过轻质定滑轮 O，一
端与物块 B 相连，另一端与小球 A 连接，定滑轮到竖直杆的距离为 5L。初始时，小球 A 在外力作
用下静止于 P 点，此时轻绳刚好伸直无张力且 OP 间细绳水平、OB 间细绳竖直。现将小球 A 由 P
点静止释放，A 沿杆下滑12 到达最低点 Q，此时物块 C 与地面间的相互作用刚好为零。不计滑轮
大小及摩擦，重力加速度大小为 g，下列说法中正确的是（　　）
A 3 ．弹簧的劲度系数为 8
B 8．小球 A 运动到最低点时弹簧的形变量为3
C．小球 A 运动到最低点时弹簧的弹性势能为4

D．用质量为2的小球 D 替换 A，并将其拉至 Q 点由静止释放，小球 D 经过 P 点时的动能为
6
【考向 15】（多选）（2024·陕西·一模）如图所示，一弹性轻绳（绳的弹力与其伸长量成正比）穿过
固定的光滑圆环 B，左端固定在 A 点，右端连接一个质量为 m 的小球，A、B、C 在一条水平线上，
弹性绳自然长度为 AB。小球穿过竖直固定的杆，从 C 点由静止释放，到 D 点时速度为零，C、D 两
点间距离为 h。已知小球在 C 点时弹性绳的拉力为 0.5mg，g 为重力加速度，小球和杆之间的动摩擦
因数为 0.5，弹性绳始终处在弹性限度内，下列说法正确的是（　　）
A．小球从 C 点运动到 D 点的过程中，弹性绳的弹力不断减小
B．整个运动过程中，弹性绳的最大弹性势能为 0.75mgh
C．若在 D 点给小球一个向上的速度 v，小球恰好回到 C 点，则 =
D．若仅把小球质量变为 2m，则小球到达 D 点时的速度大小为
【考向 16】（多选）（2024·陕西安康·一模）如图所示，质量为 、高为 、倾角为 的光滑斜面体 放
在足够大的光滑水平地面上，斜面顶端正上方有一固定的光滑套管 ，用手提着质量为 的细长直杆
的上端，将直杆穿过套管，使直杆下端恰好与斜面体顶端接触，突然松手，直杆在套管的约束下
只能沿竖直方向运动，斜面体随即向右加速，重力加速度大小为 ，下列说法正确的是（　　）
A．直杆的最大速度为 2 cos
B．斜面体的最大速度为 2 sin
C 2 ．斜面体的加速时间为 sin
D．斜面体在加速过程中受到地面的支持力大小为2 sin2
考点 4：用机械能守恒定律解决非质点问题
一.非质点系统
1．定义：指的是“链条”、“缆绳”、“液柱”等质量不可忽略、柔软的物体或液体。
2．重力势能变化的分析方法
在确认了系统机械能守恒之后，一般采用转化法列方程。重力势能的变化与运动的过程无关，
常常分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化。
二.基本思路
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中
将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
不计摩擦和其他损耗，物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守
恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、
末状态物体重力势能的变化列式求解。
【考向 17】（多选）横截面积为 的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭对两侧
水面高度分别为 1和 2，如图所示，已知水的密度为 ，重力加速度大小为 ，不计水与筒壁间的摩
擦阻力，现把连接两筒的阀门K打开，最后两筒水面高度相等，则该过程中（　　）
A．大气压力对水柱做负功
B．水柱的机械能守恒
C．水柱的重力不做功
D 1．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是4 ( 1 2)
2
【考向 18】（多选）如图所示，倾角 θ=30°的光滑斜面固定在地面上，长为 L、质量为 m、粗细和质
量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平。用轻质细线将物块与软绳连接，物块的质
量也为 m，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面）在此
过程中（　　）
A．物块重力做的功等于软绳和物块动能的增加量
B．物块重力势能的减少量大于软绳机械能的增加量
C 1．软绳重力势能共减少了 2mgL
D 1．软绳刚好全部离开斜面时的速度为2 5
【真题 1】（2023·浙江·高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球
在空中运动时的加速度大小 a、速度大小 v、动能 Ek 和机械能 E 随运动时间 t 的变化关系中，正确
的是（　　）
A． B．
C． D．
【真题 2】（2024·浙江·高考真题）如图所示，质量为 m 的足球从水平地面上位置 1 被踢出后落在位
置 3，在空中达到最高点 2 的高度为 h，则足球（　　）
A．从 1 到 2 动能减少 B．从 1 到 2 重力势能增加
C．从 2 到 3 动能增加 D．从 2 到 3 机械能不变
【真题 3】（2024·北京·高考真题）如图所示，光滑水平轨道 AB 与竖直面内的光滑半圆形轨道 BC
在 B 点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至 A 点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，
恰好能够到达最高点 C。下列说法正确的是（　　）
A．物体在 C 点所受合力为零
B．物体在 C 点的速度为零
C．物体在 C 点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在 A 点时弹簧的弹性势能等于物体在 C 点的动能
【真题 4】（2024·全国·高考真题）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为 m 的小环套在大
圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经 Q 点自由下滑至其底部，Q 为竖直线与大圆环的切点。则
小环下滑过程中对大圆环的作用力大小（　　）
A．在 Q 点最大 B．在 Q 点最小 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【真题 5】（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为 m 的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻
木板上，木板通过一根原长为 l 的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为 d（d1
动摩擦因数均为 μ，弹性绳劲度系数为 k，被拉伸时弹性势能 E= kx22 （x 为绳的伸长量）。现用水平
力 F 缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静
止，k 保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为 g，则 F 所做的功等于（　　）
( m )2 2A． 2 + ( ) B
3( m )
． 2 + ( )
C 3( m )
2 2
． 2 +2 ( ) D
( m )
． 2 +2 ( )
【真题 6】（2023·辽宁·高考真题）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次
演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到 v =80m/s 时离开水面，该过
程滑行距离 L=1600m、汲水质量 m=1.0×10 kg。离开水面后，飞机攀升高度 h=100m 时速度达到
v =100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度 g=10m/s 。求：
（1）飞机在水面滑行阶段的加速度 a 的大小及滑行时间 t；
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量 ΔE。
【真题 7】（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A 为固定在地面上的光滑圆弧形滑梯，
半径 = 10m，滑梯顶点 a 与滑梯末端 b 的高度 = 5m，静止在光滑水平面上的滑板 B，紧靠滑梯
的末端，并与其水平相切，滑板质量 = 25kg，一质量为 = 50kg的游客，从 a 点由静止开始下滑，
在 b 点滑上滑板，当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台
上滑行 = 16m停下。游客视为质点，其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为 = 0.2，忽略空
气阻力，重力加速度 = 10m/s2，求：
（1）游客滑到 b 点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度 L
【真题 8】（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有
的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都
一样。以某一点 O 为观测点，以质量为 m 的小星体（记为 P）为观测对象。当前 P 到 O 点的距离为
0，宇宙的密度为 0。
（1）求小星体 P 远离到2 0处时宇宙的密度 ρ；
（2）以 O 点为球心，以小星体 P 到 O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质
1 2
量集中于 O 点对 P 的引力。已知质量为 1和 2、距离为 R 的两个质点间的引力势能 p = ，
G 为引力常量。仅考虑万有引力和 P 远离 O 点的径向运动。
a．求小星体 P 从 0处远离到2 0。处的过程中动能的变化量Δ k；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率 v 满足哈勃定律 = ，其中 r 为星体到观测点的距离，H 为哈
勃系数。H 与时间 t 有关但与 r 无关，分析说明 H 随 t 增大还是减小。
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）一质点做匀速圆周运动，从圆周上的一点运动到另一点的过程中，下列
说法一定正确的是（ ）
A．质点速度不变 B．质点加速度不变 C．质点动能不变 D．质点机械能不变
2．（2024·山东滨州·二模）电动车在刹车或下坡过程中可以利用某些装置把机械能转化为电能，进
行机械能回收。一实验电动车质量 = 2kg，以20J的初机械能沿倾角为15°的平直斜坡 AO 运动，A
点为运动起始点，设 A 点为零势能点。第一次在 A 点关闭发动机，让车自由滑行，其机械能—位移
关系如图直线①所示；第二次在 A 点关闭发动机同时开启“机械能回收”装置，回收一段时间后，关
闭回收装置，其机械能—位移关系如图线②所示。假设机械能回收效率为90%，sin15° ≈ 0.26。下
列说法正确的是（　　）
A．第一次中斜面 AO 作用于实验电动车的阻力大小为5N
B．第二次中实验电动车从10m行驶到20m的过程中，其机械能守恒
C．第二次中实验电动车行驶20m的过程中，回收机械能5.4J
D．第二次中实验电动车行驶前10m的过程中，其加速度一定越来越小
3．（2024·河北·三模）小芳同学上体育课时，从距离地面 H 高度处将 = 0.6kg的篮球从静止开始释
放，篮球与地面撞击后弹起，篮球在此过程中的 图像如图所示。不计篮球与地面撞击过程的时
间间隔，篮球在下落阶段与上升阶段所受的空气阻力大小相等，已知重力加速度 = 10m/s2。则篮
球（　　）
A．下落的高度 = 2.0m
B．在下落阶段和上升阶段运动的时间差为 0.2s
C．在下落阶段和上升阶段所受空气阻力与重力的大小之比为1:4
D．撞击地面过程中损失的机械能为 0.8J
4．（2024·浙江·三模）如图所示，细绳的一端固定于 O 点，另一端系一个小球，在 O 点的正下方钉
一个钉子 A，小球从一定高度摆下。不计细绳与钉子碰撞的能量损失，不计空气阻力，则（　　）
A．若 A 高于小球摆下的初位置，则 A 离 O 点越近，小球运动到右侧最高点时加速度就越大
B．若 A 高于小球摆下的初位置，则 A 离 O 点越近，小球运动到右侧最高点时，细绳的拉力就越
大
C．由于机械能守恒，无论 A 离 O 点多远（小于绳长），小球总能上升到原来高度
D．如果 A 与小球摆下的初位置等高，则小球在运动的过程中有可能撞到钉子
5．（2024·广西桂林·三模）如图所示的是简化后的跳台滑雪雪道示意图， 段为助滑道和起跳区，
段为倾角 ( < 45°)的着陆坡。运动员从助滑道的起点 A 由静止开始下滑，到达 时点以初速度 0
起跳， 0方向与水平方向的夹角也为 ，最后落在着陆坡面上的 点， 、 间距离为 。不计一切阻
力，则运动员从 点运动到 点的过程中（　　）

A．最小速度为 0 B．时间为 0
C．速度最小时，机械能最小 D．从 点起跳后瞬间重力功率最大
6．（2023·湖南永州·一模）铅球掷出后，在空中运动的轨迹如图所示。a、b、c、d、e 为轨迹上 5 个
点，c 为轨迹的最高点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．球运动到 c 点时重力的功率最小，但不为零
B．铅球从 点运动到 点和从 点运动到 点速度变化方向相同
C．铅球从 点到 点的过程比从 点到 点的过程中速度变化快
D．铅球从 点运动到 点，合外力做的功大于重力势能的减少量
7．（2024·湖北·一模）如图所示，一顶角为 120°的“∧”型光滑细杆竖直放置，顶角的角平分线竖直。
质量均为 m 的两金属球套在细杆上，高度相同，中间用水平轻弹簧连接，弹簧处于原长状态，劲度
系数为 k。现将两小球同时由静止释放，小球沿细杆下滑过程中，弹簧始终处于弹性限度内。已知
1
弹簧形变量为 x 时，弹簧的弹性势能 p = 2
2，重力加速度为 g，下列说法正确的是（　　）
A 3．两小球下滑过程中，两小球的机械能守恒 B．弹簧的最大拉力为
3
C ．小球在最高点和最低点的加速度大小相等 D．小球的最大速度为
3
8．（2024·山东济南·二模）如图所示，倾角为 = 30°的足够长的光滑斜面体固定在水平地面上，底
端附近垂直斜面固定一挡板，小物块甲、乙用轻弹簧拴接后置于斜面上，甲的质量为 m。初始静止
时，弹簧压缩量为 d。某时刻在甲上施加一沿斜面向上的恒力 = ，当弹簧第一次恢复原长时将
恒力撤去，甲到最高点时乙刚要离开挡板。已知甲物体做简谐振动的周期为 T，弹簧的弹性势能为
E， P =
1
2
2，其中 k 为劲度系数（k 未知），x 为形变量，重力加速度为 g，弹簧始终在弹性限度以
内。则（　　）
A．小物块乙的质量为 2m
B．甲运动到最低点时的加速大小为 2g
C ．从撤去外力到甲运动到最高点的时间为3
D 9．弹簧的最大弹性势能为4
9．（2024·广西·二模）如图所示，一轻杆通过铰链连接在固定转轴 1上，可绕 1轴自由转动，轻杆
另一端与一质量未知的小球 A 连接。一轻绳绕过轻质定滑轮 2，一端连接小球 A，另一端连接一带
挂钩，质量为 m 的物块 B，已知 1与 2等高，图中 1 = 60°， 2 = 30°，此时小球 A 与物块 B 恰好
静止。现在物块 B 下再挂物块 C，由静止释放物块 C 后，小球 A 能上升到的最高点恰好与 1等高，
重力加速度为 g，不计一切摩擦。则所挂物块 C 的质量为（　　）
A 3 1 3 1 (2 3 3) (2 3 3)． B． C． D．
2 2 2 2
10．如图所示，顶角 P 为 53°的光滑“ ”形硬杆固定在竖直平面内，质量均为 m 的小球甲、乙（均
视为质点）用长度为 L 的轻质硬杆连接，分别套在“ ”形硬杆的倾斜和水平部分，当轻质硬杆呈竖
直状态时甲静止在 A 点，乙静止在 C 点。甲由于受到轻微的扰动开始运动，当甲运动到 B 点时，轻
质硬杆与“ ”形硬杆的倾斜部分垂直，重力加速度大小为 g，则甲在 B 点的速度大小为（　　）
A 5 B 2 5 ． ．
5 5
C 5 5 ． D．
2 4
11．（2024·贵州·三模）如图所示， 为固定的粗糙半圆弧轨道， 为其水平直径，可视为质点
的小物块从 A 正上方 a 点处由静止释放，下落后从 A 点进入圆弧轨道后从 B 点冲出，之后返回和离
开轨道多次。若第一次从 B 点离开圆弧轨道上升到达的最高点为 b，第一次从 A 点离开圆弧轨道上
升到达的最高点为 c，第二次从 B 点离开圆弧轨道上升到达的最高点为 d，图中 b、c、d 三点未标出。
设 a、b 之间的竖直高度差为Δ 1，b、c 之间的竖直高度差为Δ 2，c、d 之间的竖直高度差为Δ 3。
不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　）
A．Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 B．Δ 1 > Δ 2 > Δ 3
C．Δ 1 < Δ 2 < Δ 3 D．Δ 1 > Δ 3 > Δ 2
12．如图所示，一根不可伸长的轻质细线一端悬于 O 点，另一端系一小球 A，将 A 拉至细线与水平
方向成 θ 夹角，细线刚好伸直。由静止释放 A，在 A 从释放点运动到最低点的过程中，其重力势能
Ep、动能 Ek、机械能 E、重力的瞬时功率 P 与下落的高度 h 的关系图像可能正确的是（不计空气阻
力）（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．（2024·山东潍坊·三模）潍坊风筝是山东潍坊传统手工艺珍品，制作历史悠久，工艺精湛，是非
物质文化遗产之一，现在世界上 70%以上的风筝都是出自潍坊。本届风筝节上，小明同学在滨海国
际风筝放飞场放风筝，风筝静止于空中且风筝平面与水平面夹角始终为 30°，风速水平，与风筝作
用后，垂直风筝平面的风速减为零，平行风筝平面的风速大小不变。风筝的质量为 m，风筝线质量
不计，重力加速度大小为 g。下列说法正确的是（ ）
A．若风筝线与水平方向夹角为 30° 3，则风对风筝的作用力大小为 mg
2
B．若风筝线与水平方向夹角为 30°，则线对风筝的作用力大小为 mg
C．风筝线长度不变，若风速缓慢变大，则线与水平方向夹角变大
D．风筝线长度不变，若风速缓慢变大，则风筝的机械能减小
14．（2024·湖南常德·一模）2023 年 9 月 21 日，“天宫课堂”第四课在中国空间站正式开讲，神舟十
六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮进行授课，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课。在
天宫课堂上，航天员老师在太空实验室中做如图所示的实验。一根长为 L 的不可伸长的轻绳，一端
固定于 O 点，另一端系一质量为 m 的小球（可视为质点）。开始时，小球位于位置 M，O、M 间距
= 离 4，绳子处于松弛状态。小球突然受到一瞬时冲量后以初速度 0垂直于 OM 向右运动，设在以
后的运动中小球到达位置 N，此时小球的速度方向与绳垂直，则小球从 M 运动到 N 的过程中，下列
说法正确的是（　　）
A．小球的机械能守恒 B．轻绳对小球做功不为零

C．小球始终做匀速圆周运动 D．小球在 N 0点时的速度大小为 4
15．（2023·四川德阳·一模）如图所示，竖直平面内固定一根竖直的光滑杆 P 和水平光滑杆 Q，两杆
在同一平面内，不接触，水平杆延长线与竖直杆的交点为 O。质量为 2m 的小球 A 套在竖直杆上，
上端固定在杆上的轻质弹簧的另一端与小球 A 相连。另一质量为 m 的小球 B 套在水平杆 Q 上，小
球 A、B 用长为 2L 的轻杆通过铰链分别连接。在外力作用下，当轻杆与水平杆 Q 成 θ=53°斜向左上
时，轻质弹簧处于原长，系统处于静止状态。撤去外力，小球 A 在竖直杆上做往复运动，下降的最
1
大距离为 2L。已知轻质弹簧的弹性势能 = 2 2 ，x 为弹簧的形变量，k 为轻质弹簧的劲度系数，
整个过程轻质弹簧始终处在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度大小为 g，sin53°=0.8，
cos53°=0.6.则下列说法正确的是（　　）
A k 2 ．轻质弹簧的劲度系数 为
B 4．小球 A 运动到 O 点时的速度大小为5 2
C 21．从撤去外力到轻杆与水平杆 Q 成 θ=30°斜向左上的过程，轻杆对小球 B 做的功为175
D．小球 A 从最高点运动到 O 点的过程，水平杆 Q 对小球 B 的作用力始终大于 mg
16．如图所示，柔软的绳索放置在粗糙水平桌面上， 、 为绳索端点， 为绳索中点，且恰好处于桌
面边缘。开始时绳索在外力的作用下处于静止状态，由静止释放绳索后，绳索开始滑动，直至离开
桌面，此过程中 点未落至地面。已知质量分布均匀的绳索总质量为 ，总长度为 ，绳索和桌面间
的滑动摩擦因数为 。下列分析正确的有（ ）
A 3．绳索离开桌面前的过程中重力势能减少了8
B 3 1．绳索离开桌面时的动能为8 4
C．绳索离开桌面前的过程中， 段的动能增加得越来越快
D．绳索离开桌面前的过程中， 段的机械能减小得越来越慢
17．（2024·湖北·一模）如图所示，半径为 R=0.4m 的光滑圆环固定在竖直平面内，AB、CD 是圆环
相互垂直的两条直径，C、D 两点与圆心 等高。一个质量为 m=2kg 的光滑小球套在圆环上，一根

轻质弹簧一端连在小球上，另一端固定在 P 点，P 点在圆心 O 的正下方2处。小球从最高点 A 由静
止开始沿顺时针方向下滑，已知弹簧的原长为 R，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为 = 10m
/s2。下列说法正确的有（　　）
A．弹簧长度等于 R 时，小球的动能最大
B．小球在 A、B 两点时对圆环的压力差的大小为 80N
C．小球运动到 B 点时的速度大小为 4m/s
D．从 A 点运动到 B 点的过程中，小球的机械能先增大后减小，在 D 点小球的机械能最大
18．（2024·山东聊城·三模）如图甲所示，半径 R＝0.4m 的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的
一个端点 B 和圆心 O 的连线与水平方向间的夹角 = 30°，另一端点 D 与圆心 O 等高，点 C 为轨道
的最低点。质量 m＝1kg 的物块（可视为质点）从空中 A 点以速度 0水平抛出，恰好从轨道的 B 端
沿切线方向进入轨道，物块进入轨道后开始计时，轨道受到的压力 F 随时间 的关系如图乙所示，重
力加速度 g 取10m/s2，则（　　）
A．物块从 D 点离开轨道时速度大小为 4m/s
B． 0大小为 70N
C． 0的大小为 2m/s
D．物块在 AC 段运动过程中重力的瞬时功率一直增大
三、解答题
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水
面时并不会直接沉入水中，而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中．如
图所示，某同学在岸边离水面高度 0 = 0．2m处，将一块质量 = 0．1kg的小石片以初速度 0 = 12
m/s 2水平抛出，若小石片与水面碰撞后，竖直分速度反向，大小变为碰前的3，水平分速度方向不变，
1
大小变为碰前的3，当小石片的入水角（速度方向与水面间的夹角）大于 53°时，小石片将沉底．空
气阻力可忽略不计，重力加速度 = 10m/s2 tan53° = 4， 3。求：
（1）第一次接触水面处与抛出点的水平距离；
（2）小石片第一次与水面碰撞过程中损失的机械能；
（3）小石片最多能弹跳的次数。
20．（2024·黑龙江· 1三模）如图所示，一半径为 r=0.45m 的4光滑圆弧的底端 B 与水平传送带相接，
传送带的运行速度为 0 = 5m/s，长为 = 1.75m，DEF 为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空
细管，EF 段被弯成以 O 为圆心、半径。 = 0.2m的一小段圆弧，管的 D 端弯成与水平传送带 C 端
平滑相接，O 点位于地面，OF 连线竖直。一质量为 = 0.2kg的滑块（可视为质点）从圆弧顶端 A
点无初速滑下，滑到传送带上后被送入细管 DEF。已知滑块与传送带间的动摩擦因数 = 0.2，重力
加速度 g 取10m/s2，不计空气阻力，滑块横截面略小于细管中空部分的横截面。求：
（1）滑块到达光滑圆弧底端 B 时对轨道的压力大小；
（2）滑块与传送带间因摩擦产生的热量；
（3）滑块滑到 F 点后水平飞出，滑块的落地点到 O 点的距离。

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