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第2课时　函数的奇偶性与周期性
【课标解读】
【课程标准】
1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
【核心素养】
数学抽象、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用.函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考热点,常以选择题的形式出现.
预测 预计2025年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用;题型既有选择题、填空题,又有解答题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的奇偶性
奇偶 性 定义 图象
偶函 数 设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函 数 设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
微点拨 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2.函数的周期性
(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般就是指最小正周期).
微点拨存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.
常用结论
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称;特别地,当a=b时,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b=0时,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时,则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数.(　 　)
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(　 　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.(　 　)
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(,0)对称.(　 　)
提示:
(1) 由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性. ×
(2) 由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,且在x=0处有意义时才满足f(0)=0,故错误. ×
2.(2023·上海高考)下列函数是偶函数的是(　　)
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=x3 D.y=2x
3.(忽略奇偶函数定义域关于原点对称)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(　　)
A.- B. C. D.-
4.(必修第一册P86习题T11·变设问)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=　　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一函数奇偶性的判断
[例1]判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3-;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];
(4)f(x)=;
(5)f(x)=(x-1),x∈(-1,1).
解题技法
1.判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x).
(2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称.
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
2.一些重要类型的奇偶函数模型
(1)函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)是偶函数.
(2)函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数.
(3)函数f(x)=(a>0且a≠1)是奇函数.
(4)函数f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函数.
对点训练
1.(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A.奇函数的图象一定过坐标原点
B.函数y=xsin x是偶函数
C.函数y=|x+1|-|x-1|是奇函数
D.函数y=是奇函数
2.已知函数f(x)=sin x,g(x)=ex+e-x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
考点二函数奇偶性的应用
角度1　利用奇偶性求值(解析式)
[例2](1)(2023·海南模拟)已知函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=ex,则=(　　)
A. B. C. D.
(2)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　)
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
角度2　利用奇偶性解不等式
[例3](1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.则不等式>0的解集为(　　)
A.(-2,2)
B.(-∞,0)∪(0,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
(2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)角度3　利用奇偶性求解析式中的参数
[例4](1)(一题多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)=(x+a)ln()为偶函数,则a=(　　)
A.-1　 B.0　 C.　 D.1
(2)(2022·全国乙卷)若f(x)=ln|a+|+b是奇函数,则a=　　　　　,b=　　　　　.
解题技法
已知函数奇偶性可以解决的三个问题
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.
对点训练
1.(一题多法)(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(　　)
A.-2 B. -1 C. 1 D. 2
2.若函数f(x-2)为奇函数,f(-2)=0,f(x)在区间[-2,+∞)上单调递减,则f(3-x)>0的解集为　　　　　.
考点三函数周期性及应用
[例5](1)(2023·长沙模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,则下列是周期函数的是(　　)
A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x
C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x
(2)函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=x2,则f(2 025)=　　　　.
(3)已知f(x)是定义在R上的函数,并且f(x+3)=-,当1则f(2 024)=　　　　.
解题技法
函数周期性有关问题的求解策略
(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
对点训练
1.(2023·石家庄模拟)函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(1)=2,则f(2 023)=　　　　　.
2.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是　　　　　　.
考点四函数的对称性及应用
[例6](1)(多选题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是(　　)
A.f(x+1)为偶函数
B.f(1+x)=f(1-x)
C.f(1+x)+f(1-x)=0
D.f(1)=0
(2)(2023·海口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=|x-2|·f(x)的图象关于直线x=2对称,若f(-1)=-1,则g(3)=(　　)
A.5 B.1 C.-1 D.-5
(3)已知函数y=f(x)-2为奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则y1+y2+…+y6=　　　　　　.
解题技法
函数对称性问题的解题关键
(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心: (,).
对点训练
若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,则a=　　　　,b=　　　　. 第2课时　函数的奇偶性与周期性
【课标解读】
【课程标准】
1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
【核心素养】
数学抽象、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的奇偶性、周期性和图象的对称性及其应用.函数的奇偶性与单调性、周期性的综合问题是高考热点,常以选择题的形式出现.
预测 预计2025年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用;题型既有选择题、填空题,又有解答题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的奇偶性
奇偶 性 定义 图象
偶函 数 设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函 数 设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
微点拨 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2.函数的周期性
(1)周期函数:设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般就是指最小正周期).
微点拨存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.
常用结论
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称;特别地,当a=b时,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b=0时,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时,则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数.(　×　)
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(　×　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.(　√　)
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(,0)对称.(　√　)
提示:
(1) 由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性. ×
(2) 由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,且在x=0处有意义时才满足f(0)=0,故错误. ×
2.(2023·上海高考)下列函数是偶函数的是(　　)
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=x3 D.y=2x
【解析】选B.对于A,由正弦函数的性质可知,y=sin x为奇函数;对于B,由余弦函数的性质可知,y=cos x为偶函数;对于C,由幂函数的性质可知,y=x3为奇函数;对于D,由指数函数的性质可知,y=2x为非奇非偶函数.
3.(忽略奇偶函数定义域关于原点对称)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(　　)
A.- B. C. D.-
【解析】选B.因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=.
又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=.
4.(必修第一册P86习题T11·变设问)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=　　　　　.
【解析】f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.
答案:-2
【核心考点·分类突破】
考点一函数奇偶性的判断
[例1]判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3-;
【解析】(1)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-=-(x3-)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)=+;
【解析】(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];
【解析】(3)因为f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)=;
【解析】(4)方法一(定义法):
当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).
所以f(x)为奇函数.
方法二(图象法):
作出函数f(x)的图象,
由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.
(5)f(x)=(x-1),x∈(-1,1).
【解析】(5)已知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
因为f(x)=(x-1)=-,
所以f(-x)=-=f(x),所以f(x)是偶函数.
解题技法
1.判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x).
(2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称.
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
2.一些重要类型的奇偶函数模型
(1)函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)是偶函数.
(2)函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数.
(3)函数f(x)=(a>0且a≠1)是奇函数.
(4)函数f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函数.
对点训练
1.(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A.奇函数的图象一定过坐标原点
B.函数y=xsin x是偶函数
C.函数y=|x+1|-|x-1|是奇函数
D.函数y=是奇函数
【解析】选BC.对于A,只有奇函数在x=0处有意义时,函数的图象过原点,所以A不正确;
对于B,因为函数y=xsin x的定义域为R且f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x),
所以该函数为偶函数,所以B正确;
对于C,函数y=|x+1|-|x-1|的定义域为R,关于原点对称,
且满足f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
即f(-x)=-f(x),
所以函数为奇函数,所以C正确;
对于D,函数y=满足x-1≠0,即x≠1,所以函数的定义域不关于原点对称,
所以该函数为非奇非偶函数,所以D不正确.
2.已知函数f(x)=sin x,g(x)=ex+e-x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】选C.选项A,f(x)g(x)=(ex+e-x)sin x,
f(-x)g(-x)=(e-x+ex)sin(-x)=-(ex+e-x)sin x=-f(x)g(x),是奇函数,结论错误;
选项B,|f(x)|g(x)=|sin x|(ex+e-x),
|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|(e-x+ex)=|sin x|(ex+e-x)=|f(x)|g(x),是偶函数,结论错误;
选项C,f(x)|g(x)|=|ex+e-x|sin x,
f(-x)|g(-x)|=|e-x+ex|sin(-x)=-|ex+e-x|sin x=-f(x)|g(x)|,是奇函数,结论正确;
选项D,|f(x)g(x)|=|(ex+e-x)sin x|,
|f(-x)g(-x)|=|(e-x+ex)sin(-x)|=|(ex+e-x)sin x|=|f(x)g(x)|,是偶函数,结论错误.
考点二函数奇偶性的应用
角度1　利用奇偶性求值(解析式)
[例2](1)(2023·海南模拟)已知函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=ex,则=(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.根据题意,f(x)-g(x)=ex,
则f(1)-g(1)=e①,f(-1)-g(-1)=-f(1)-g(1)=e-1=,变形可得f(1)+g(1)=-②,
联立①②可得,f(1)=,g(1)=-,则有==.
(2)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　)
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
【解析】选D.依题意得,当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.
角度2　利用奇偶性解不等式
[例3](1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.则不等式>0的解集为(　　)
A.(-2,2)
B.(-∞,0)∪(0,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选D.因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,
所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(-x)=-f(x)可得,==>0,
因为x在分母位置,所以x≠0.
当x<0时,只需f(x)<0,由图象可知x<-2;
当x>0时,只需f(x)>0,由图象可知x>2.
综上,不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).
(2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),
所以f(2x-1)又f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以|2x-1|<,解得答案: (,)
角度3　利用奇偶性求解析式中的参数
[例4](1)(一题多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)=(x+a)ln()为偶函数,则a=(　　)
A.-1　 B.0　 C.　 D.1
【解析】选B.解法一:由>0,得x>或x<-,因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),得(-x+a)ln()=(x+a)ln(),
即(-x+a)ln ()=(x+a)ln (),
即(-x+a)ln()-1=(x+a)ln (),
则(x-a)ln ()=(x+a)ln (),
所以x-a=x+a,得-a=a,得a=0.
解法二:f(x)为偶函数,则有f(-1)=f(1),
即(-1+a)ln 3=(1+a)ln ,解得a=0.
解法三:g(x)=ln ,g(-x)=-g(x),
则g(x)为奇函数,若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则h(x)=x+a为奇函数,得a=0.
(2)(2022·全国乙卷)若f(x)=ln|a+|+b是奇函数,则a=　　　　　,b=　　　　　.
【解析】若a=0,则函数f(x)的定义域为{x|x≠1},
不关于原点对称,不具有奇偶性,所以a≠0.
由函数解析式有意义可得,x≠1且a+≠0,
所以x≠1且x≠1+.
因为函数f(x)为奇函数,
所以定义域必须关于原点对称,
所以1+=-1,解得a=-,
所以f(x)=ln||+b,定义域为{x|x≠1且x≠-1}.
由f(0)=0得ln +b=0,
所以b=ln 2,
即f(x)=ln|-+|+ln 2=ln||,在定义域内满足f(-x)=-f(x),符合题意.
综上,a=-,b=ln 2.
答案:-　ln 2
解题技法
已知函数奇偶性可以解决的三个问题
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.
对点训练
1.(一题多法)(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(　　)
A.-2 B. -1 C. 1 D. 2
【解析】选D.解法一:因为f(x)=的定义域为{x|x≠0},f(x)为偶函数,
所以f(-x)=f(x),
所以=,所以=,所以ax-x=x,所以a=2.
解法二:由f(x)为偶函数得f(-1)=f(1),故=①,
又-==,代入①得=,所以ea-1=e,从而a-1=1,
故a=2,经检验,满足f(x)为偶函数.
2.若函数f(x-2)为奇函数,f(-2)=0,f(x)在区间[-2,+∞)上单调递减,则f(3-x)>0的解集为　　　　　.
【解析】因为f(x-2)为奇函数,所以f(x-2)的图象的对称中心为(0,0).
又因为f(x)的图象可由f(x-2)的图象向左平移2个单位长度得到,
所以f(x)的图象关于点(-2,0)中心对称.因为f(x)在[-2,+∞)上单调递减,
所以f(x)在(-∞,-2]上也单调递减,
所以f(3-x)>0=f(-2),即3-x<-2,解得x>5,所以解集为(5,+∞).
答案:(5,+∞)
考点三函数周期性及应用
[例5](1)(2023·长沙模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,则下列是周期函数的是(　　)
A.y=f(x)-x B.y=f(x)+x
C.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x
【解析】选D.依题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-2,所以f(x+1)+2(x+1)=f(x)+2x,所以y=f(x)+2x是周期为1的周期函数.
(2)函数f(x)满足f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=x2,则f(2 025)=　　　　.
【解析】由f(x-2)=f(x+2)知f(x)的周期为4,故f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=1.
答案:1
(3)已知f(x)是定义在R上的函数,并且f(x+3)=-,当1则f(2 024)=　　　　.
【解析】由已知可得f(x+6)=f((x+3)+3)=-=-=f(x),
故函数f(x)的周期为6,
所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2).
又f(2)=cos =-,所以f(2 024)=-.
答案:-
解题技法
函数周期性有关问题的求解策略
(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
对点训练
1.(2023·石家庄模拟)函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(1)=2,则f(2 023)=　　　　　.
【解析】因为f(x)f(x+2)=13,
所以f(x),f(x+2)均不为0,
所以f(x+2)=,所以f(x+4)===f(x),所以f(x)的周期为4,
所以f(2 023)=f(3)==.
答案:
2.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是　　　　　　.
【解析】令x∈[-1,0],则-x∈[0,1],
结合题意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1),
令x∈[1,2],则x-2∈[-1,0],
故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x),
故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).
答案:f(x)=log2(3-x)
考点四函数的对称性及应用
[例6](1)(多选题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是(　　)
A.f(x+1)为偶函数
B.f(1+x)=f(1-x)
C.f(1+x)+f(1-x)=0
D.f(1)=0
【解析】选AB.由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误.
(2)(2023·海口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=|x-2|·f(x)的图象关于直线x=2对称,若f(-1)=-1,则g(3)=(　　)
A.5 B.1 C.-1 D.-5
【解析】选B.因为g(x)的图象关于直线x=2对称,
则g(x+2)=|x|f(x+2)是偶函数,g(2-x)=|-x|f(2-x)=|x|f(2-x),
所以|x|f(2-x)=|x|f(x+2)对任意的x∈R恒成立,所以f(2-x)=f(2+x).
因为f(-1)=-1且f(x)为奇函数,
所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=-f(-1)=1,
因此g(3)=|3-2|f(3)=1.
(3)已知函数y=f(x)-2为奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则y1+y2+…+y6=　　　　　　.
【解析】因为函数y=f(x)-2为奇函数,
所以函数y=f(x)的图象关于点(0,2)对称,
又g(x)==+2,
其图象也关于(0,2)对称,
所以两函数图象交点关于(0,2)对称,
则y1+y2+…+y6=3×4=12.
答案:12
解题技法
函数对称性问题的解题关键
(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心: (,).
对点训练
若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称,则a=　　　　,b=　　　　.
【解析】f(x)最多有4个零点,显然已有2个,x=±1,又由对称性可知,另外两个零点为-3和-5,所以x2+ax+b=0的两根为-3和-5,所以a=8,b=15.
答案:8　15

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