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第3课时　函数性质的综合应用
【核心考点·分类突破】
考点一函数的奇偶性与单调性
[例1](1)(多选题)(2024·辽宁师大附中模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,若f(-1)=f(2)=1,则下列不等式成立的是(　　)
A.f(-)>-1 B.f(-1)>f(1)
C.f(3)>1 D.f()>-1
【解析】选ABC.根据题意可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(-1)=f(2)=1可得f(1)=f(-2)=-1.由f(x)在(-∞,0)上单调递增,得f(-)>f(-2)=-1,故A正确;由f(-1)=1,f(1)=-1,得f(-1)>f(1),故B正确;由函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,得f(3)>f(2)=1,故C正确;由函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,得f()(2)(2024·宜宾模拟)若函数f(x)=a-为奇函数,则关于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>a的解集为　　　　　.
【解析】由f(-x)=-f(x),得a=0,
即f(x)=-=
当x≥0时,f(x)=-1+在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为奇函数,
故f(x)在R上单调递减.
由f(x)为奇函数,则不等式f(x2)+f(2x-3)>0可化为f(x2)>f(3-2x),得x2<3-2x,解得x∈(-3,1).
答案:(-3,1)
解题技法
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性,将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为同一单调区间上的自变量的函数值,然后利用单调性比较大小.
(2)解不等式:先将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系,再利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.
对点训练
1.已知函数f(x)=e|x|,设a=f(ln ),b=f(lg 5),c=f(log63),则a,b,c的大小关系是(　　)
A.cC.a【解析】选A.显然函数f(x)=e|x|为偶函数,当x>0时,f(x)=e|x|=ex单调递增,因为
lg 5=1-lg 2,log63=1-log62,1>log62>lg 2>0,所以1>lg 5>log63>0,因为a=f(ln )=
f(-ln 3)=f(ln 3),ln 3>1,所以f(ln 3)>f(lg 5)>f(log63),即c2.已知函数f(x)=,则不等式f(2x-3)<2的解集是(　　)
A.(1,2)
B. (,)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D. (-∞,)∪(,+∞)
【解析】选A.显然f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)===4-是增函数.
又f(1)=2,所以f(2x-3)<2可化为f(2x-3)考点二 函数的奇偶性与周期性
[例2](1)已知函数f(x)为奇函数,且周期为4,f(3)=-2,则f(2 025)=(　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-4
【解析】选A.依题意,函数f(x)是奇函数,
又f(x)的周期为4,且f(3)=-2,
则有f(2 025)=f(-3+507×4)=f(-3)=-f(3)=2,所以f(2 025)=2.
(2)(多选题)(2023·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)=f(x-16) B.f(19)=0
C.f(2 024)=f(0) D.f(2 023)=f(1)
【解析】选ABC.因为f(2x+1)是偶函数,所以f(-2x+1)=f(1+2x),
即f(1-x)=f(1+x),即函数关于x=1对称,则f(x)=f(2-x).
因为f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),则f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x),
即f(x-2)=-f(2+x),则f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数的周期是8,
则f(x)=f(x-16)成立,故A正确;
令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0,
则f(19)=f(3)=0,故B正确;
f(2 024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正确;
f(2 023)=f(8×253-1)=f(-1),故D错误.
解题技法
综合应用奇偶性与周期性解题的技巧
(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期;
(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化;
(3)代入已知的解析式求解,即得欲求的函数值.
对点训练
1.(多选题)(2023·湖州模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则(　　)
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+4)
【解析】选CD.因为f(x+1)是偶函数,
所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).
因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2),
所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),
即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数.
2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)的值为　　　　.
【解析】因为y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,即函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.
因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4,
所以f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2 020)=f(0)=0,f(2 022)=f(2)=-f(0)=0,所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4.
答案:4
考点三 函数的奇偶性与对称性
[例3](1)(2023·拉萨模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)成中心对称.当x>0时,f(x)=,则f(-2)=(　　)
A.1 B.3 C.-1 D.-3
【解析】选C.因为将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=f(x)的图象且y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)成中心对称,
所以y=f(x)的图象关于原点成中心对称,
则y=f(x)在R上是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-=-1.
(2)(多选题)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),则下列结论一定正确的是(　　)
A.f(x+2)=f(x)
B.函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称
C.函数y=f(x+1)是偶函数
D.f(2-x)=f(x-1)
【解析】选BC.对于A选项,因为f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),
则f(1-(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=-f(x),A错;
对于B选项,因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
因为f(-x)+f(x)=0,所以f(-(2+x))+f(2+x)=0,
即f(2+x)=-f(-2-x)=-f(2-x),即f(2+x)+f(2-x)=0,
故函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称,B对;
对于C选项,因为f(1-x)=f(1+x),所以函数y=f(x+1)是偶函数,C对;
对于D选项,因为f(1-x)=f(1+x),
所以f(1-(x-1))=f(1+(x-1)),即f(2-x)=f(x)≠f(x-1),D错.
解题技法
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期,常用于化简求值、比较大小等.
对点训练
已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)的图象关于点(1,0)对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2-2x,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
【解析】选D.因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(-x)=-f(2+x),
又f(x)为R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以f(x+2)=-f(-x)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
所以f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0.
又f(0)=1,f(2)=-f(0)=-1,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+
f(2 024)=506×(1+0-1+0)+f(0)=1.
考点四函数的周期性与对称性
[例4](1)(2023·新乡模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x-)为偶函数,当x∈时,f(x)=x3,则f(2 023)=(　　)
A.0 B. C.- D.1
【解析】选A.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x)的周期为4.
又f(x-)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=-对称,
则f(2 023)=f(-1)=f(0)=0.
(2)(多选题)(2023·邯郸模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)-f(-x)=0,且满足f(x+1)为奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=-cos ,则下列结论正确的是(　　)
A.f(1)=0
B.f(x)的周期为2
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f()=-
【解析】选ACD.因为f(x+1)为奇函数,
所以f(-x+1)=-f(x+1),所以f(-0+1)=-f(0+1),所以f(1)=0,A正确;
因为当x∈[0,1)时,f(x)=-cos ,所以f(0)=-cos 0=-1.
因为f(-x+1)=-f(x+1),所以f(2)=-f(0)=1,故f(2)≠f(0),
所以2不是f(x)的周期,故B错误;
因为f(x+1)为奇函数,
所以函数f(x+1)的图象关于原点对称,
所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,C正确;
由f(-x+1)=-f(x+1),f(x)-f(-x)=0,
可得f(x+2)=-f(-x-1+1)=-f(-x)=-f(x),
所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
所以函数f(x)为周期函数,周期为4,
所以f()=f(4×253-)=f(-)=f(),又当x∈[0,1)时,f(x)=-cos ,
所以f()=-cos =-,D正确.
解题技法
区别两个对应关系
函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.
对点训练
1.(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数.则下列命题正确的是(　　)
A.f(x)是周期函数
B.f(x)的图象关于直线x=1对称
C.f(x)在[1,2]上是增函数
D.f(2)=f(0)
【解析】选ABD.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,即f(x)是周期函数,故A正确;
因为f(x+2)=-f(x),所以f(-x+2)=-f(-x).
又因为f(x)为奇函数,所以f(2-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(x)在[-1,0]上为增函数,且f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数.
因为f(x)关于直线x=1对称,所以f(x)在[1,2]上为减函数,故C错误;
因为f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0),故D正确.
2.(多选题)已知f(x)是定义域为R的函数,满足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),当0≤x≤2时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的周期为4
B.f(x)的图象关于直线x=2对称
C.当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为2
D.当6≤x≤8时,函数f(x)的最小值为-
【解析】选ABC.对于A,因为f(x+1)=f(x-3),所以f(x+3+1)=f(x+3-3),则f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,故A正确;
对于B,由f(1+x)=f(3-x)知,f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确;
对于C,当0≤x≤2时,f(x)=x2-x在(0,)上单调递减,在(,2)上单调递增,
根据对称性可知,函数f(x)在(0,), (2,)上单调递减,在(,2), (,4)上单调递增,则函数f(x)在[0,4]上的最大值为f(2)=4-2=2,故C正确;
对于D,根据周期性以及单调性可知,函数f(x)在(6,)上单调递减,在(,8)上单调递增,则函数f(x)在[6,8]上的最小值为f()=f(4+)=f()=f()=-=-,故D错误.第3课时　函数性质的综合应用
【核心考点·分类突破】
考点一函数的奇偶性与单调性
[例1](1)(多选题)(2024·辽宁师大附中模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,若f(-1)=f(2)=1,则下列不等式成立的是(　　)
A.f(-)>-1 B.f(-1)>f(1)
C.f(3)>1 D.f()>-1
(2)(2024·宜宾模拟)若函数f(x)=a-为奇函数,则关于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>a的解集为　　　　　.
解题技法
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性,将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为同一单调区间上的自变量的函数值,然后利用单调性比较大小.
(2)解不等式:先将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系,再利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.
对点训练
1.已知函数f(x)=e|x|,设a=f(ln ),b=f(lg 5),c=f(log63),则a,b,c的大小关系是(　　)
A.cC.a2.已知函数f(x)=,则不等式f(2x-3)<2的解集是(　　)
A.(1,2)
B. (,)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)
D. (-∞,)∪(,+∞)
考点二 函数的奇偶性与周期性
[例2](1)已知函数f(x)为奇函数,且周期为4,f(3)=-2,则f(2 025)=(　　)
A.2 B.0 C.-2 D.-4
(2)(多选题)(2023·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)=f(x-16) B.f(19)=0
C.f(2 024)=f(0) D.f(2 023)=f(1)
解题技法
综合应用奇偶性与周期性解题的技巧
(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期;
(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化;
(3)代入已知的解析式求解,即得欲求的函数值.
对点训练
1.(多选题)(2023·湖州模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则(　　)
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+4)
2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)的值为　　　　.
考点三 函数的奇偶性与对称性
[例3](1)(2023·拉萨模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)成中心对称.当x>0时,f(x)=,则f(-2)=(　　)
A.1 B.3 C.-1 D.-3
(2)(多选题)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),则下列结论一定正确的是(　　)
A.f(x+2)=f(x)
B.函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称
C.函数y=f(x+1)是偶函数
D.f(2-x)=f(x-1)
解题技法
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期,常用于化简求值、比较大小等.
对点训练
已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)的图象关于点(1,0)对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2-2x,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
考点四函数的周期性与对称性
[例4](1)(2023·新乡模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x-)为偶函数,当x∈时,f(x)=x3,则f(2 023)=(　　)
A.0 B. C.- D.1
(2)(多选题)(2023·邯郸模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)-f(-x)=0,且满足f(x+1)为奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=-cos ,则下列结论正确的是(　　)
A.f(1)=0
B.f(x)的周期为2
C.f(x)的图象关于点(1,0)对称
D.f()=-
解题技法
区别两个对应关系
函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.
对点训练
1.(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数.则下列命题正确的是(　　)
A.f(x)是周期函数
B.f(x)的图象关于直线x=1对称
C.f(x)在[1,2]上是增函数
D.f(2)=f(0)
2.(多选题)已知f(x)是定义域为R的函数,满足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),当0≤x≤2时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的周期为4
B.f(x)的图象关于直线x=2对称
C.当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为2
D.当6≤x≤8时,函数f(x)的最小值为-

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