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第六节　函数的图象
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 【核心素养】 逻辑推理、直观想象、数学运算. 考向 考法 高考命题考查函数图象的识别、函数图象的画法及应用函数图象研究函数的性质,已知函数解析式选择函数图象是高考热点,常以选择题形式出现.
预测 预计2025年高考函数图象仍会出题,一般在选择题或填空题中出现,题目的难度起伏较大.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)化简函数的解析式.
(3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势).
(4)描点连线,画出函数的图象.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y=f(x)y=f(ax).
②y=f(x)y=af(x).
(3)对称变换
①y=f(x)y=-f(x).
②y=f(x)y=f(-x).
③y=f(x)y=-f(-x).
④y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1).
(4)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|.
②y=f(x)y=f(|x|).
微点拨函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度,其中是把x变成x-.
常用结论
1.记住几个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(　×　)
(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　×　)
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.(　×　)
(4)函数y=lg x的图象关于x=3对称的图象对应的函数是y=lg(6-x).(　√　)
提示:
(1) 令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同. ×
(2) 当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同. ×
(3) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. ×
2.(必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(　　)
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)
3.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(　　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
4.(看不懂图象导致错误)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一作函数的图象
[例1]作出下列函数的图象:
(1)y=()|x|;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=x2-2|x|-1.
解题技法
函数图象的常见画法
(1)描点法作图:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
对点训练
　作出下列各函数的图象:
(1)y=x-|x-1|;
(2)y=|x2-4x+3|;
(3)y=()|x+2|;
(4)y=sin |x|.
考点二函数图象的识别
考情提示
函数图象作为高中数学的一个“重头戏”,是研究函数性质、方程、不等式的重要武器,已经成为高考命题的一个热点.在高考中经常以几类初等函数图象为基础,结合函数性质综合考查,多以选择、填空题形式出现.
角度1　知式选图——根据函数解析式辨别图象
[例2](1)函数f(x)=的图象大致为(　　)
(2)(2022·全国甲卷)函数y=cos x在区间的图象大致为(　　)
解题技法
　根据函数解析式辨别图象的基本方法
角度2　知图选式——根据图象辨别函数解析式
[例3](1)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=x+sin x B.f(x)=x2sin x
C.f(x)=x2+sin x D.f(x)=xsin x
(2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A. B.
C. D.
解题技法
由函数图象确定其解析式的基本方法
(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照.
(2)从图象的增减变化趋势,分析函数的单调性,与函数解析式对照.
(3)从图象的对称性特征,分析函数的奇偶性,与函数解析式对照.
(4)从图象的循环往复特征,分析函数的周期性,与函数解析式对照.
角度3　知图选图——根据图象辨别函数的图象
[例4](2023·汕头模拟)若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为(　　)
解题技法
　若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
角度4　借助动点探究函数的图象
[例5]如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为(　　)
解题技法
　根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法:根据题目所给条件确定函数解析式,从而判断函数图象.
(2)定性分析法:采用“以静观动”,即判断动点处于不同的特殊位置时图象的变化特征,从而利用排除法做出选择.
对点训练
1.(2023·安徽毛坦厂中学模拟)函数f(x)=的图象大致为(　　)
2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=xsin πx
B.f(x)=(x-1)sin πx
C.f(x)=xcos[π(x+1)]
D.f(x)=(x-1)cos πx
3.函数f(x)=xln x的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为(　　)
4.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是(　　)
[例6](1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
(2)不等式log2(-x)(3)若直线y=x+m和曲线y=有两个不同的交点,则实数m的取值范围是　　　　.
解题技法
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否有解,有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
对点训练
1.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设y=max{2x,2x-3,6-x},则y的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在(-1,3)上的解集为(　　)
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
3.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是　　　　. 第六节　函数的图象
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 【核心素养】 逻辑推理、直观想象、数学运算. 考向 考法 高考命题考查函数图象的识别、函数图象的画法及应用函数图象研究函数的性质,已知函数解析式选择函数图象是高考热点,常以选择题形式出现.
预测 预计2025年高考函数图象仍会出题,一般在选择题或填空题中出现,题目的难度起伏较大.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)化简函数的解析式.
(3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势).
(4)描点连线,画出函数的图象.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y=f(x)y=f(ax).
②y=f(x)y=af(x).
(3)对称变换
①y=f(x)y=-f(x).
②y=f(x)y=f(-x).
③y=f(x)y=-f(-x).
④y=ax(a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1).
(4)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|.
②y=f(x)y=f(|x|).
微点拨函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度,其中是把x变成x-.
常用结论
1.记住几个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(　×　)
(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　×　)
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.(　×　)
(4)函数y=lg x的图象关于x=3对称的图象对应的函数是y=lg(6-x).(　√　)
提示:
(1) 令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同. ×
(2) 当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同. ×
(3) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. ×
2.(必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是(　　)
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|)
【解析】选C .因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,
所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|).
3.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(　　)
A.y= B.y=
C.y= D.y=
【解析】选A.设f(x)=,则f(1)=0,故排除B;
设h(x)=,当x∈(0,)时,0所以h(x)=<≤1,故排除C;
设g(x)=,则g(3)=>0,故排除D.
4.(看不懂图象导致错误)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】由题意a=|x|+x,令y=|x|+x=图象如图所示,故要使a=|x|+x只有一解,则a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).
答案:(0,+∞)
【核心考点·分类突破】
考点一作函数的图象
[例1]作出下列函数的图象:
(1)y=()|x|;
【解析】(1)先作出y=()x的图象,保留y=()x图象中x≥0的部分,再作出y=()x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,
即得y=()|x|的图象,如图①实线部分.
(2)y=|log2(x+1)|;
【解析】(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.
(3)y=x2-2|x|-1.
【解析】(3)因为y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,
再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,
得图象如图③.
解题技法
函数图象的常见画法
(1)描点法作图:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
对点训练
　作出下列各函数的图象:
(1)y=x-|x-1|;
【解析】(1)根据绝对值的意义,可将函数解析式化为分段函数y=
其图象如图①所示.
(2)y=|x2-4x+3|;
【解析】(2)函数解析式可化为
y=其图象如图②实线所示.
(3)y=()|x+2|;
【解析】(3)作出y=()x的图象,保留y=()x的图象中x≥0的部分,加上y=()x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y=()|x|的图象,再向左平移2个单位长度,即得y=()|x+2|的图象,如图③所示.
(4)y=sin |x|.
【解析】(4)当x≥0时,y=sin |x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin |x|为偶函数,图象关于y轴对称,故图象如图④所示.
考点二函数图象的识别
考情提示
函数图象作为高中数学的一个“重头戏”,是研究函数性质、方程、不等式的重要武器,已经成为高考命题的一个热点.在高考中经常以几类初等函数图象为基础,结合函数性质综合考查,多以选择、填空题形式出现.
角度1　知式选图——根据函数解析式辨别图象
[例2](1)函数f(x)=的图象大致为(　　)
【解析】选D.由题意可知,当x=0时,y=1,所以排除A,C;且f(-x)==ex(1-x2)≠f(x),所以函数f(x)不是偶函数,所以排除B.
(2)(2022·全国甲卷)函数y=cos x在区间的图象大致为(　　)
【解析】选A.令f=cos x,x∈,
则f=cos=-(3x-3-x)cos x=-f(x),
所以f为奇函数,排除BD;
又当x∈时,3x-3-x>0,cos x>0,
所以f>0,排除C.
解题技法
　根据函数解析式辨别图象的基本方法
角度2　知图选式——根据图象辨别函数解析式
[例3](1)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=x+sin x B.f(x)=x2sin x
C.f(x)=x2+sin x D.f(x)=xsin x
【解析】选B.若f(x)=x+sin x,则f'(x)=1+cos x≥0,所以f(x)=x+sin x在R上单调递增,故排除A;因为f(x)=x2+sin x为非奇非偶函数,所以排除C;因为f(x)=xsin x为偶函数,所以排除D.
(2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D.由题干中函数图象可知,f(x)图象关于y轴对称,其为偶函数,且f(-2)=f(2)<0,由=-,且定义域为R,即选项B中函数为奇函数,排除B;当x>0时,>0,>0,即A,C中函数在(0,+∞)上函数值为正,排除A,C.
解题技法
由函数图象确定其解析式的基本方法
(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照.
(2)从图象的增减变化趋势,分析函数的单调性,与函数解析式对照.
(3)从图象的对称性特征,分析函数的奇偶性,与函数解析式对照.
(4)从图象的循环往复特征,分析函数的周期性,与函数解析式对照.
角度3　知图选图——根据图象辨别函数的图象
[例4](2023·汕头模拟)若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为(　　)
【解析】选C.y=f(x)的图象y=f(x+1)的图象y=-f(x+1)的图象.
解题技法
　若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
角度4　借助动点探究函数的图象
[例5]如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为(　　)
【解析】选C.(排除法)由题图可知:当x=时,OP⊥OA,
此时f(x)=0,排除A,D;
当x∈(0,)时,OM=cos x,
设点M到直线OP的距离为d,
则=sin x,即d=OMsin x=sin x·cos x,
所以f(x)=sin xcos x=sin 2x≤,排除B,故选C.
解题技法
　根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法:根据题目所给条件确定函数解析式,从而判断函数图象.
(2)定性分析法:采用“以静观动”,即判断动点处于不同的特殊位置时图象的变化特征,从而利用排除法做出选择.
对点训练
1.(2023·安徽毛坦厂中学模拟)函数f(x)=的图象大致为(　　)
【解析】选A.易知函数f(x)=为奇函数,所以排除选项B,C,又当x>0时,f(x)最小的零点为x=,所以令x=,则有2x-sin x=>0,cos=>0,所以排除D.
2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=xsin πx
B.f(x)=(x-1)sin πx
C.f(x)=xcos[π(x+1)]
D.f(x)=(x-1)cos πx
【解析】选B.对于A,f(-x)=-xsin(-πx)=xsin πx=f(x),所以函数f(x)=xsin πx为偶函数,故排除A;对于C,f(x)=xcos[π(x+1)]=-xcos πx,则f(-x)=xcos πx=-f(x),所以函数f(x)=xcos[π(x+1)]为奇函数,故排除C;对于D,f(0)=-1≠0,故排除D.
3.函数f(x)=xln x的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为(　　)
【解析】选D.方法一:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由1-x>0得x<1,即函数y=f(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),设g(x)=f(1-x)=(1-x)ln(1-x),则g(-1)=2ln 2>0,排除B.
方法二:将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换,得到函数y=f(-x)的图象,再将图象向右平移一个单位长度,即可得到函数y=f(-(x-1))=f(1-x)的图象.
4.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是(　　)
【解析】选C.当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.
考点三函数图象的应用
[例6](1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
【解析】选C.将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值,
得f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图所示,
观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,
故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
(2)不等式log2(-x)【解析】设f(x)=log2(-x),g(x)=x+1.
函数f(x),g(x)(x<0)在同一坐标系中的图象如图.
由图象可知,
不等式log2(-x)答案:(-1,0)
(3)若直线y=x+m和曲线y=有两个不同的交点,则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】曲线y=表示圆x2+y2=1的上半部分(包括端点),如图.
要使y=x+m与曲线y=有两个不同的交点,则直线只能在l1与l2之间(含l1)平移,故1≤m<.
答案:[1,)
解题技法
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否有解,有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
对点训练
1.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设y=max{2x,2x-3,6-x},则y的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】选C.画出y=max{2x,2x-3,6-x}的示意图,如图中实线部分所示.由图可知,y的最小值为4.
2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在(-1,3)上的解集为(　　)
A.(1,3) B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
【解析】选C.作出函数f(x)的图象如图所示,当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);当x∈(0,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).所以x∈(-1,0)∪(1,3).
3.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是　　　　.
【解析】由已知,函数f(x)=|x-2|+1与g(x)=kx的图象有两个公共点,画图可知当直线y=kx介于l1:y=x,l2:y=x之间时,符合题意.
答案: (,1)

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