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第七节　函数的应用
第1课时　函数的零点与方程的解、二分法
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、直观想象. 考向 考法 高考命题常以基本初等函数及其图象为载体,考查函数零点是否存在、存在的区间及个数,利用零点的存在情况求参数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考函数与方程仍会出题,可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化,也可能与导数结合考查,题目的难度较大.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
微点拨函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
常用结论
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,
所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=2x的零点为0.(　 　)
(2)函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点.(　 　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　 　)
(4)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b) D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(　 　)
2.(必修一P144T2·变形式)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.(2022·北京高考)函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一函数零点所在区间的判定
1.函数f(x)=ex+2x-6的零点所在的区间是(　　)
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
2.方程ln x=4-2x的根所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
4.(2023·太原模拟)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
5.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0) ≈0.200 f(1.587 5) ≈0.133 f(1.575 0) ≈0.067
f(1.562 5) ≈0.003 f(1.556 2) ≈-0.029 f(1.550 0) ≈-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为　　　　(精确度为0.01).
解题技法
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考点二函数零点个数的判定
[例1](1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 024x+log2 024x,则函数f(x)的零点个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解题技法
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.
(2)函数零点存在定理:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.
(3)利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
对点训练
1.函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
2.函数y=x3-()x的零点个数为　　　　.
3.函数f(x)= ()|x|-|log2x|的零点有　　　个.
考点三函数零点的应用
考情提示
函数的零点问题充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想,因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐多样化,各种题型均可考查.
角度1　根据零点个数求参数
[例2](1)已知函数f(x)=若关于x的方程m-f(x)=0有两个不同的解,则实数m的取值范围为(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(-∞,0] D.(0,1]
(2)若函数f(x)=恰有3个零点,则实数a的取值范围
为　　　　.
解题技法
　已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的常用的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.一是转化为两个函数y=g(x),y=h(x)的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为y=a,y=g(x)的图象的交点个数问题.
角度2　根据零点范围求参数
[例3](1)若关于x的方程x2-tx+1=0有两个不相等的实根x1,x2,且满足0A.(2,5)
B. (2,)
C.(-∞,2)∪(5,+∞)
D.(-∞,2)∪(,+∞)
(2)(2024·沧州模拟)若函数f(x)=ln x-+a在区间(1,e)上存在零点,则实数a的取值范围为(　　)
A. (-2,2) B. (,2)
C.(0,1) D. (2-,2)
解题技法
　利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法
(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题,从而构建不等式(组)求解.
对点训练
1.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,0) D.[-1,0)
2.已知函数f(x)=-a.若f(x)没有零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,e) B.(0,1)
C.(0,e) D.[0,1)
重难突破 复合函数的零点、方程的根的综合
【本质】复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和化归转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点.
【常见方法】先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.
类型一 判断复合函数零点的个数
[例1]已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解题技法
　求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略
(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.
(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t被几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的根的个数,即“从外到内”.
对点训练
已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是　　　　.
类型二 由复合函数零点情况求参数
[例2]已知函数f(x)=若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是(　　)
A.[0,+∞) B.[1,3]
C. (-1,-] D. [-1,-]
解题技法
已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法
(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.
(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而决定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).
对点训练
　已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　　　　. 第七节　函数的应用
第1课时　函数的零点与方程的解、二分法
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、直观想象. 考向 考法 高考命题常以基本初等函数及其图象为载体,考查函数零点是否存在、存在的区间及个数,利用零点的存在情况求参数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考函数与方程仍会出题,可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化,也可能与导数结合考查,题目的难度较大.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
微点拨函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
常用结论
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,
所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=2x的零点为0.(　√　)
(2)函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点.(　×　)
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　√　)
(4)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b) D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(　×　)
提示:
(2) 函数y=f(x)的零点,即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标. ×
(4) f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件. ×
2.(必修一P144T2·变形式)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
则f(x)=0在(0,+∞)上只有一个根,
且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0,
故f(x)的零点所在的区间为(1,2).
3.(2022·北京高考)函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
【解析】选B.由或
解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点.
4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是　　　　.
【解析】依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,所以k≠0,函数f(x)在定义域上是单调函数,
所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,
解得-1≤k≤-.
答案: [-1,-]
【核心考点·分类突破】
考点一函数零点所在区间的判定
1.函数f(x)=ex+2x-6的零点所在的区间是(　　)
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
【解析】选C.函数f(x)=ex+2x-6是R上的连续增函数,因为f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,可得f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).
2.方程ln x=4-2x的根所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选B.令f(x)=ln x+2x-4,显然f(x)=ln x+2x-4在(0,+∞)上单调递增,又因为f(1)=2-4=-2<0,f(2)=ln 2+4-4=ln 2>0,由零点存在定理可知f(x)=ln x+2x-4的零点所在的区间为(1,2),所以ln x=4-2x的根所在的区间为(1,2).
3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
【解析】选C.因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,
所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以04.(2023·太原模拟)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选C.设f(x)=log3x-3+x,易知f(x)是(0,+∞)上的连续增函数,当x→0+时,f(x)→-∞,f(1)=-2,又f(2)=log32-1<0,f(3)=log33-3+3=1>0,故f(2)f(3)<0,故方程log3x=3-x在区间(2,3)上有解,
即利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(2,3).
5.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0) ≈0.200 f(1.587 5) ≈0.133 f(1.575 0) ≈0.067
f(1.562 5) ≈0.003 f(1.556 2) ≈-0.029 f(1.550 0) ≈-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为　　　　(精确度为0.01).
【解析】注意到f(1.556 2)≈-0.029和f(1.562 5)≈0.003,显然f(1.556 2)f(1.562 5)<0,
又|1.556 2-1.562 5|=0.006 3<0.01,所以近似解可取1.56.
答案:1.56
解题技法
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考点二函数零点个数的判定
[例1](1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.方法一:因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,
所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
方法二:设y1=2x,y2=2-x3,
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示,
在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.
故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.
(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.令f(x)+3x=0,
则或
解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.
(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 024x+log2 024x,则函数f(x)的零点个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.作出函数y=2 024x和y=-log2 024x的图象如图所示,
可知函数f(x)=2 024x+log2 024x在x∈(0,+∞)上只有一个零点,
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一个零点,
又f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3.
解题技法
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.
(2)函数零点存在定理:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.
(3)利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
对点训练
1.函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.3 B.2 C.7 D.0
【解析】选B.方法一(直接法)
由f(x)=0得或
解得x=-2或x=e.
因此函数f(x)共有2个零点.
方法二(图象法)
函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.
2.函数y=x3-()x的零点个数为　　　　.
【解析】根据题意,令x3-()x=0,则x3=()x,作出函数y1=x3与y2=()x的图象,由图可知y1=x3与y2=()x的图象只有一个交点,即方程x3=()x只有一个解,故函数y=x3-()x的零点个数为1.
答案:1
3.函数f(x)= ()|x|-|log2x|的零点有　　　个.
【解析】f(x)=()|x|-|log2x|的零点的个数即()|x|=|log2x|的根的个数,即为y=()|x|与y=|log2x|图象交点的个数,画出大致图象如图所示,则由图象可知交点有2个,即函数f(x)的零点有2个.
答案:2
考点三函数零点的应用
考情提示
函数的零点问题充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想,因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐多样化,各种题型均可考查.
角度1　根据零点个数求参数
[例2](1)已知函数f(x)=若关于x的方程m-f(x)=0有两个不同的解,则实数m的取值范围为(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(-∞,0] D.(0,1]
【解析】选D.m-f(x)=0有两个不同的解等价于f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,作出f(x)的图象及直线y=m如图所示,由图象可知,当m∈(0,1]时,f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,所以实数m的取值范围为(0,1].
(2)若函数f(x)=恰有3个零点,则实数a的取值范围
为　　　　.
【解析】设g(x)=
由题意得f(x)有3个零点,等价于g(x)的图象与直线y=a有3个交点.
g'(x)=
所以g(x)的极大值g(-2)=4,极小值g(1)=-1,
又g(0)=0,03-3×0+1=1,
故可作出此函数的图象,如图所示,
所以a∈(-1,0)∪[1,4).
答案:(-1,0)∪[1,4)
解题技法
　已知函数零点(方程根)的个数,求参数取值范围的常用的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.一是转化为两个函数y=g(x),y=h(x)的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,二是转化为y=a,y=g(x)的图象的交点个数问题.
角度2　根据零点范围求参数
[例3](1)若关于x的方程x2-tx+1=0有两个不相等的实根x1,x2,且满足0A.(2,5)
B. (2,)
C.(-∞,2)∪(5,+∞)
D.(-∞,2)∪(,+∞)
【解析】选B.令f(x)=x2-tx+1,则f(0)=1,所以只需满足f(1)<0且f(2)>0即可,即1-t+1<0且4-2t+1>0,解得2(2)(2024·沧州模拟)若函数f(x)=ln x-+a在区间(1,e)上存在零点,则实数a的取值范围为(　　)
A. (-2,2) B. (,2)
C.(0,1) D. (2-,2)
【解析】选A.由题意可知,函数f(x)=ln x-+a在区间(1,e)上为增函数,故f(1)=ln 1-1+a<0,f(e)=ln e-+a>0,解得-2解题技法
　利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法
(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题,从而构建不等式(组)求解.
对点训练
1.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,0) D.[-1,0)
【解析】选D.当x>0时,f(x)=3x-1有一个零点x=.因此当x≤0时,f(x)=ex+a=0只有一个实根,
所以a=-ex(x≤0),则-1≤a<0.
2.已知函数f(x)=-a.若f(x)没有零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,e) B.(0,1)
C.(0,e) D.[0,1)
【解析】选A.方法一　设g(x)=,
则g'(x)=(x≠0).
所以g(x)的单调递增区间为(1,+∞),
单调递减区间为(-∞,0),(0,1),
所以g(x)的图象如图所示,故a的取值范围为[0,e).
方法二　由f(x)=-a=0,得ex=ax.
当a<0时,显然y=ex与y=ax有交点,
因此若f(x)无零点,必然有a≥0.当y=ax与y=ex相切时,设切点P(x0,),则a=且=ax0,
所以a=ax0,所以x0=1,
则切线斜率k==e.
因此,要使曲线y=ex与y=ax不相交,
则0≤a重难突破 复合函数的零点、方程的根的综合
【本质】复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和化归转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点.
【常见方法】先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.
类型一 判断复合函数零点的个数
[例1]已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.令t=f(x)+1=
当t>0时,f(t)=ln t-,
则函数f(t)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2->0,
所以由函数零点存在定理可知,存在t1∈(1,2),使得f(t1)=0;
当t≤0时,f(t)=t2+2t,
由f(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0.
作出函数t=f(x)+1的图象,直线t=t1,t=-2,t=0如图所示,
由图象可知,直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;
直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点;
直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.
综上,函数y=f[f(x)+1]的零点个数为5.
解题技法
　求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略
(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.
(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t被几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的根的个数,即“从外到内”.
对点训练
已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是　　　　.
【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.
由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.
因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.
答案:5
类型二 由复合函数零点情况求参数
[例2]已知函数f(x)=若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是(　　)
A.[0,+∞) B.[1,3]
C. (-1,-] D. [-1,-]
【解析】选C.因为f(f(x))-2=0,所以f(f(x))=2,所以f(x)=-1或f(x)=-(k≠0).
(ⅰ)当k=0时,作出函数f(x)的图象如图①所示,由图象可知f(x)=-1无解,所以k=0不符合题意;
(ⅱ)当k>0时,作出函数f(x)的图象如图②所示,由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;
(ⅲ)当k<0时,作出函数f(x)的图象如图③所示,由图象可知f(x)=-1有1个实根,
因为f(f(x))-2=0有3个实根,
所以f(x)=-有2个实根,
所以1<-≤3,
解得-1综上,k的取值范围是(-1,-].
解题技法
已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法
(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.
(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而决定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).
对点训练
　已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.
【解析】令f(x)=t(t<1),则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,则原方程有4个不同的实数根等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图,由图象可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,).
答案: [1,)

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