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第2课时　函数模型及其应用
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 【核心素养】 直观想象、数学运算、数学建模. 考向 考法 高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体,考查利用函数模型解决实际问题,与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点,常以选择题形式出现.
预测 预计2025年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在生活实际中的应用,以选择题的形式出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.三种函数模型的性质
　　　函数 性质　　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0)
在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
与反比例函数相关的模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
微点拨函数模型应用问题的步骤(四步八字方针):审题,建模,解模,还原.
常用结论
1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小.
2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(　×　)
(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　×　)
(3)不存在x0,使<(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(　√　)
提示:
(1) 打折出售的售价为100×(1+10%)×=99(元).所以每件赔1元. ×
(2) 当x=2时,2x=x2=4. ×
(3) 如a=x0=,n=,不等式成立. ×
2.(必修第一册P152例6变条件)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　)
A.y=ax+b
B.y=a·+b(a>0)
C.y=xa+b(a>0)
D.y=ax+(a>0,b>0)
【解析】选B.由题图可知,函数在(0,+∞)上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,
函数y=a·+b的图象为一条曲线,且当a>0时,该函数单调递减,符合题意.
3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
【解析】选C.由题意知,lgV=4.9-5=-0.1,故V=10-0.1=≈0.8.
4.(建错函数模型)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).1万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为(　　)
A.36万件 B.18万件
C.22万件 D.9万件
【解析】选B.利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.
【核心考点·分类突破】
考点一用函数图象刻画变化过程
[例1](多选题)该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是(　　)
A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
【解析】选ABC.从题中图象可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.
解题技法
判断实际问题变化过程的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
对点训练
　(2024·厦门质检)(多选题)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:时)之间的关系近似满足一段曲线,如图所示.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,对治疗该病有效,则(　　)
A.a=3
B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时
【解析】选AD.当t=1时,y=4,即=4,解得a=3,且k=4,
所以y=故A正确;
当4t=0.125,即t=时,药物刚好起效,
当=0.125,即t=6时,药物刚好失效,
故药物有效时长为6-=5小时,
药物的有效时间不到6个小时,故B错误,D正确;
注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×=0.5(微克),故C错误.
考点二应用所给函数模型解决实际问题
[例2](多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数不妨设p0(p0>0)是听觉下线阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
【解析】选ACD.燃油汽车=20×lg∈[60,90],所以=1,∈[60,90],①
同理=1,∈[50,60],②
=1=102=100.③
对于A,由题表知≥,所以A正确;
对于B,②÷③得,=1∈[1,101],所以≤10,所以B错误;
对于C,=1=102=100,所以C正确;
对于D,①÷②得,=1∈[100,102],所以∈[1,100],p1≤100p2,所以D正确.
解题技法
求解已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
对点训练
　我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=(a,b为常数),若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时,在24℃的保鲜时间为8小时,那么在12℃时,该类果蔬的保鲜时间为(　　)
A.72小时 B.36小时
C.24小时 D.16小时
【解析】选A.当x=6时,e6a+b=216;
当x=24时,e24a+b=8,则==27,整理可得e6a=.于是eb=216×3=648,当x=12时,y=e12a+b=(e6a)2·eb=×648=72.
考点三构造函数模型的实际问题
角度1　构造二次函数模型
[例3]如图所示,一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0【解析】选C.设AD=x m,则CD=(16-x)m,
要将树围在矩形内,则所以a≤x≤12.
S=x(16-x)=-(x-8)2+64,x∈[a,12],
若0若8综上有f(a)=
角度2　构造指数函数、对数函数模型
[例4]基本再生数R0与世代间隔T是某流行性传染病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在该传染病初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在该传染病初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
【解析】选B.因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以r==0.38,所以I(t)=ert=e0.38t.
设在该传染病初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,
则=2e0.38t,所以=2,所以0.38t1=ln 2,
所以t1=≈≈1.8天.
角度3　构造函数f(x)=ax+(ab>0)模型
[例5]智能辅助驾驶已开始得到初步应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离,并结合车速转化为所需时间,当此距离等于报警距离时就开始报警,等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0与人的反应时间t1,系统反应时间t2,制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,如图所示.当车速为v(米/秒),且0阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1=0.8秒 t2=0.2秒 t3
距离 d0=10米 d1 d2 d3=米
(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式,并求当k=2时,当汽车达到报警距离时,若人和系统均未采取任何制动措施,仍以此速度行驶的情况下,汽车撞上固定障碍物的最短时间;
【解析】(1)由题意知,d(v)=d0+d1+d2+d3=10+0.8v+0.2v+,即d(v)=10+v+,
当k=2时,d(v)=10+v+,t(v)==++1≥2×+1=2,当且仅当v=20时等号成立,0(2)若要求汽车在k=1的路面上行驶时报警距离均小于50米,则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位:米/秒)
【解析】(2)当k=1时,d(v)<50,即10+v+<50,
即v2+20v-800<0,-40又0所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下.
解题技法
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模:抽象出实际问题的数学模型;
(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解;
(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
对点训练
1.某乡村要修建一条100米长的水渠,水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图),水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元,为了提高水渠的过水率,要使过水横断面的面积尽可能大,现有资金3万元,当过水横断面面积最大时,水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据:≈1.732)(　　)
A.0.58米 B.0.87米
C.1.17米 D.1.73米
【解析】选B.如图设横断面为等腰梯形ABCD,BE⊥CD于E,∠BAD=∠ABC=120°,
要使水横断面面积最大,则此时资金3万元都用完,
则100×(AB+BC+AD)×100=30 000,
解得AB+BC+AD=3米,
设BC=x,则AB=3-2x,BE=x,CE=x,
故CD=3-x,且0梯形ABCD的面积S==(-x2+2x),当x=1时,Smax=,
此时BE=≈0.87,
即当过水横断面面积最大时,水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.
2.(2023·朔州模拟)2022年6月5日上午10时44分,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F遥十四运载火箭,将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空.火箭在发射时会产生巨大的噪音,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足d(x)=10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109,则火箭发射时的声强级约为(　　)
A.130 dB B.140 dB
C.150 dB D.160 dB
【解析】选B.设与人交谈时的声强为x1,则火箭发射时的声强为109x1,
则50=10lg ,解得:x1=10-7,
则火箭发射时的声强为109×10-7=102,将其代入d(x)=10lg 中,
得d(102)=10lg =140 dB,故火箭发射时的声强级约为140 dB.第2课时　函数模型及其应用
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 【核心素养】 直观想象、数学运算、数学建模. 考向 考法 高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体,考查利用函数模型解决实际问题,与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点,常以选择题形式出现.
预测 预计2025年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在生活实际中的应用,以选择题的形式出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.三种函数模型的性质
　　　函数 性质　　　 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0)
在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
与反比例函数相关的模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
微点拨函数模型应用问题的步骤(四步八字方针):审题,建模,解模,还原.
常用结论
1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小.
2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(　 　)
(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　 　)
(3)不存在x0,使<(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(　 　)
2.(必修第一册P152例6变条件)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　)
A.y=ax+b
B.y=a·+b(a>0)
C.y=xa+b(a>0)
D.y=ax+(a>0,b>0)
3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
4.(建错函数模型)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).1万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为(　　)
A.36万件 B.18万件
C.22万件 D.9万件
【核心考点·分类突破】
考点一用函数图象刻画变化过程
[例1](多选题)该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是(　　)
A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
解题技法
判断实际问题变化过程的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
对点训练
　(2024·厦门质检)(多选题)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:时)之间的关系近似满足一段曲线,如图所示.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,对治疗该病有效,则(　　)
A.a=3
B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时
考点二应用所给函数模型解决实际问题
[例2](多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数不妨设p0(p0>0)是听觉下线阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
解题技法
求解已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
对点训练
　我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=(a,b为常数),若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时,在24℃的保鲜时间为8小时,那么在12℃时,该类果蔬的保鲜时间为(　　)
A.72小时 B.36小时
C.24小时 D.16小时
考点三构造函数模型的实际问题
角度1　构造二次函数模型
[例3]如图所示,一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0角度2　构造指数函数、对数函数模型
[例4]基本再生数R0与世代间隔T是某流行性传染病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在该传染病初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在该传染病初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
角度3　构造函数f(x)=ax+(ab>0)模型
[例5]智能辅助驾驶已开始得到初步应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离,并结合车速转化为所需时间,当此距离等于报警距离时就开始报警,等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0与人的反应时间t1,系统反应时间t2,制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,如图所示.当车速为v(米/秒),且0阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1=0.8秒 t2=0.2秒 t3
距离 d0=10米 d1 d2 d3=米
(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式,并求当k=2时,当汽车达到报警距离时,若人和系统均未采取任何制动措施,仍以此速度行驶的情况下,汽车撞上固定障碍物的最短时间;
(2)若要求汽车在k=1的路面上行驶时报警距离均小于50米,则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位:米/秒)
解题技法
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模:抽象出实际问题的数学模型;
(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解;
(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
对点训练
1.某乡村要修建一条100米长的水渠,水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图),水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元,为了提高水渠的过水率,要使过水横断面的面积尽可能大,现有资金3万元,当过水横断面面积最大时,水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据:≈1.732)(　　)
A.0.58米 B.0.87米
C.1.17米 D.1.73米
2.(2023·朔州模拟)2022年6月5日上午10时44分,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F遥十四运载火箭,将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空.火箭在发射时会产生巨大的噪音,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足d(x)=10lg .若人交谈时的声强级约为50 dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109,则火箭发射时的声强级约为(　　)
A.130 dB B.140 dB
C.150 dB D.160 dB

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