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第三节　二次函数与幂函数
【课标解读】
【课程标准】
1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等).
【核心素养】
数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 主要考查幂函数与二次函数的图象和性质,常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题.
预测 预计2025年高考对于幂函数以幂函数的图象和性质应用为主.对于二次函数的考查一般与其他知识综合,题型一般为选择题、填空题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减;
④当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数.
微点拨 幂函数的特征:(1)自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;
(2)xα的系数为1;
(3)只有一项.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式(或两根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域 [,+∞) (-∞,]
对称轴 x=-
顶点坐标 (-,)
奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
单调性 在(-∞,-]上单调递减; 在[-,+∞)上单调递增 在(-∞,-]上单调递增; 在[-,+∞)上单调递减
微点拨 对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
常用结论
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限.
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
(3)若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=2是幂函数.(　×　)
(2)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.(　√　)
(3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1,+∞).(　×　)
(4)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　√　)
提示:
(1) 幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=2不是幂函数 ×
(3) 当a>0时,单调递增区间是[1,+∞) ×
2.(人A必修第一册P91练习T1变条件、变设问)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α=(　　)
A. B.1 C. D.2
【解析】选C.由题意得k=1,又函数f(x)的图象过点(,),所以=,解得α=,则k+α=.
3.(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)=,若f(a+1)【解析】f(x)=的定义域为(0,+∞),
且在定义域内是减函数,
所以a+1>10-2a>0,解得3答案:(3,5)
4.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.
【解析】f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
因为g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
所以g(x)min=g(1)=-m-1.由-m-1>0,得m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
【核心考点·分类突破】
考点一幂函数的图象与性质
1.已知点(,)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数
D.定义域内的增函数
【解析】选A.设f(x)=xα,由已知得()α=,解得α=-1,因此f(x)=x-1,易知该函数为奇函数.
2.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为(　　)
A.-1B.-1C.-1D.-1【解析】选D.幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,且0<α<1时,图象上凸,所以0综上,-13.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则(　　)
A.cC.b【解析】选B.因为f(x)=mxn为幂函数,故m=1.因为函数f(x)=mxn的图象过点(,2),所以=2,解得n=3.故函数f(x)=x3,且函数为增函数.因为n>m>ln 2,故c4.已知幂函数f(x)的图象过点(-8,-2),且f(a+1)≤-f(a-3),则实数a的取值范围是　　　　　　　.
【解析】设f(x)=xα,则(-8)α=-2,解得α=,所以f(x)=,则f(x)在R上单调递增,且为奇函数,所以f(a+1)≤-f(a-3)等价于f(a+1)≤f(3-a),则a+1≤3-a,解得a≤1.
答案:(-∞,1]
解题技法
(1)幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
(2)比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
考点二 二次函数的解析式
[例1](1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是直线x=1,并且图象过点P(-1,7),则a,b的值分别是(　　)
A.2,4 B.-2,4
C.2,-4 D.-2,-4
【解析】选C.因为y=ax2+bx+1的图象的对称轴是直线x=1,所以-=1①,
又图象过点P(-1,7),所以a-b+1=7,即a-b=6②,
联立①②解得a=2,b=-4.
(2)(一题多法)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.
【解析】解法一(利用一般式):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
解法二(利用顶点式):
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为直线x==.所以m=.
又根据题意函数有最大值8,所以n=8.所以f(x)=a(x-)2+8.
因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.
解法三(利用两根式):
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数f(x)有最大值8,即=8,解得a=-4或a=0(舍去).
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
答案:f(x)=-4x2+4x+7
(3)设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,则f(x)的解析式为　　　　　　　,f(2)=　　　　.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(x-2)=f(-x-2),得4a-b=0①.
设f(x)的图象与x轴交点的横坐标为x1,x2,
由|x1-x2|==2,所以b2-4ac=8a2②.由已知得c=1③.由①②③解得b=2,a=,c=1,所以f(x)=x2+2x+1,
所以f(2)=×22+2×2+1=2+4+1=7.
答案:f(x)=x2+2x+1　7
解题技法
确定二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
对点训练
1.已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.
【解析】由题意,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(0)=1,即c=1,所以f(x)=ax2+bx+1,
所以f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x,
从而有解得
所以f(x)=x2-x+1.
答案:f(x)=x2-x+1
2.(2023·长沙雅礼中学模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件的函数f(x)=　　　　.(写一个即可)
【解析】已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(x)的图象关于y轴对称,
所以对称轴x=-=0,
所以b=0,所以f(x)=ax2+c,
联立整理得ax2-x+c=0,
因为f(x)的图象与直线y=x相切,
所以Δ=1-4ac=0,所以ac=,
当a=1时,c=.
所以满足条件的二次函数可以为f(x)=x2+.
答案:x2+(答案不唯一)
考点三 二次函数的图象与性质
考情提示
二次函数是高考必考的重要考点之一.主要考查二次函数的性质及应用,尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用,多以选择题、填空题的形式出现.
角度1　二次函数图象的识别
[例2]设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(　　)
【解析】选D.因为abc>0,
二次函数f(x)=ax2+bx+c,那么可知,
在A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意;
在B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意;
在C中,a>0,b>0,c<0,不符合题意;
在D中,a>0,b<0,c<0,符合题意.
解题技法
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2　二次函数的单调性及最值
[例3](1)(2023·济南模拟)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)满足f(1)=f(3),则下列不等式成立的是(　　)
A.f(1)C.f(4)【解析】选B.因为f(1)=f(3),所以二次函数f(x)=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,
又因为a<0,所以f(4)又f(1)=f(3),所以f(4)(2)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3,若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,则实数a的值为　　　　　.
【解析】函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-.
当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=6a+3,
所以6a+3=1,即a=-,满足题意;
当->1,即a<-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,
所以-2a-1=1,即a=-1,满足题意.
综上可知,a=-或-1.
答案:-或-1
(3)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
【解析】①当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=-2.
②当a>0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向上,且对称轴为直线x=.
当<1,即a>1时,f(x)=ax2-2x图象的对称轴在[0,1]内,所以f(x)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增.所以f(x)min=f()=-=-.
当≥1,即0所以f(x)min=f(1)=a-2.
③当a<0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向下,且对称轴为直线x=<0,在[0,1]的左侧,
所以f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减.
所以f(x)min=f(1)=a-2.
综上所述,f(x)min=.
解题技法
1.对于二次函数的单调性
关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解.
2.二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型:
①对称轴、区间都是给定的;
②对称轴动、区间固定;
③对称轴定、区间变动.
(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
角度3　与二次函数有关的恒成立问题
[例4]金榜原创·易错对对碰
已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.
(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),则k的取值范围是　　　　　;
【解析】(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.
由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,
由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞).
答案:[86,+∞)
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,则k的取值范围是　　　　　;
【解析】(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.
由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞).
答案:[-10,+∞)
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),则k的取值范围是　　　　　.
【解析】(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].
由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.
故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞).
答案:[118,+∞)
解题技法
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是构造新函数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
对点训练
1.(多选题)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是(　　)
A.b=-2a B.a+b+c<0
C.a-b+c>0 D.abc<0
【解析】选AD.由题图可知a<0,f(x)图象的对称轴为直线x=-=1,则b=-2a,则b>0,又f(0)=c>0,所以abc<0,由于f(-1)<0,则a-b+c<0,由于f(1)>0,则a+b+c>0.
2.(多选题)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的单调性,则k的取值可以是(　　)
A.1 B. C.2 D.3
【解析】选CD.易知f(x)=-x3+m在R上是减函数.依题设,函数g(x)=x2-kx+m在[-1,1]上单调递减,所以函数g(x)图象的对称轴为直线x=≥1,则k≥2.故k的取值可以是2,3.
3.(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.[4,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,4]
【解析】选B.因为f(x)>0的解集为(-1,3),
所以-2x2+bx+c=0的两个根为-1,3,
所以即
令g(x)=f(x)+m,则g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m,
由x∈[-1,0]可得g(x)min=g(-1)=m,
又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立,故m≥4.
4.(2023·太原模拟)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是　　　　.
【解析】解方程f(x)=x2-4x+2=2,
解得x=0或x=4,
解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2,
由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2].
若函数f(x)在区间[a,b]上单调,
则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最小值2;若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,
且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4],
所以b-a的最大值为4.
所以b-a的取值范围是[2,4].
答案:[2,4]第三节　二次函数与幂函数
【课标解读】
【课程标准】
1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、最值、顶点等).
【核心素养】
数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 主要考查幂函数与二次函数的图象和性质,常与指数函数、对数函数、导数等知识交汇命题.
预测 预计2025年高考对于幂函数以幂函数的图象和性质应用为主.对于二次函数的考查一般与其他知识综合,题型一般为选择题、填空题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减;
④当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数.
微点拨 幂函数的特征:(1)自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;
(2)xα的系数为1;
(3)只有一项.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式(或两根式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域 [,+∞) (-∞,]
对称轴 x=-
顶点坐标 (-,)
奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0)
单调性 在(-∞,-]上单调递减; 在[-,+∞)上单调递增 在(-∞,-]上单调递增; 在[-,+∞)上单调递减
微点拨 对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
常用结论
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限.
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
(3)若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=2是幂函数.(　)
(2)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.(　　)
(3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1,+∞).(　　)
(4)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　　)
2.(人A必修第一册P91练习T1变条件、变设问)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α=(　　)
A. B.1 C. D.2
3.(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)=,若f(a+1)4.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一幂函数的图象与性质
1.已知点(,)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数
D.定义域内的增函数
2.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为(　　)
A.-1B.-1C.-1D.-13.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则(　　)
A.cC.b4.已知幂函数f(x)的图象过点(-8,-2),且f(a+1)≤-f(a-3),则实数a的取值范围是　　　　　　　.
解题技法
(1)幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
(2)比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
考点二 二次函数的解析式
[例1](1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是直线x=1,并且图象过点P(-1,7),则a,b的值分别是(　　)
A.2,4 B.-2,4
C.2,-4 D.-2,-4
(2)(一题多法)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.
(3)设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,则f(x)的解析式为　　　　　　　,f(2)=　　　　.
解题技法
确定二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
对点训练
1.已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.
2.(2023·长沙雅礼中学模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件的函数f(x)=　　　　.(写一个即可)
考点三 二次函数的图象与性质
考情提示
二次函数是高考必考的重要考点之一.主要考查二次函数的性质及应用,尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用,多以选择题、填空题的形式出现.
角度1　二次函数图象的识别
[例2]设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(　　)
解题技法
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2　二次函数的单调性及最值
[例3](1)(2023·济南模拟)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)满足f(1)=f(3),则下列不等式成立的是(　　)
A.f(1)C.f(4)(2)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3,若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,则实数a的值为　　　　　.
(3)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
解题技法
1.对于二次函数的单调性
关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解.
2.二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型:
①对称轴、区间都是给定的;
②对称轴动、区间固定;
③对称轴定、区间变动.
(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
角度3　与二次函数有关的恒成立问题
[例4]金榜原创·易错对对碰
已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.
(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),则k的取值范围是　　　　　;
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,则k的取值范围是　　　　　;
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),则k的取值范围是　　　　　.
解题技法
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是构造新函数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
对点训练
1.(多选题)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是(　　)
A.b=-2a B.a+b+c<0
C.a-b+c>0 D.abc<0
2.(多选题)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的单调性,则k的取值可以是(　　)
A.1 B. C.2 D.3
3.(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.[4,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,4]
4.(2023·太原模拟)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是　　　　.

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