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第四节　指数与指数函数
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算. 考向 考法 高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指数幂的大小比较为主,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考中利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点,题型为选择题或填空题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.指数与指数运算
(1)根式的性质
①()n=a(a使有意义);
②当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=|a|=
(2)分数指数幂的意义
①=(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②==(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的运算性质:ar·as=ar+s,(ar)s=ars(其中a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r∈Q).
微点拨化简时,一定要注意区分n是奇数还是偶数.
2.指数函数的图象与性质
项目 01
图象
性质 定义域:R
值域:(0,+∞)
过定点(0,1)
当x>0时,01 当x>0时,y>1; 当x<0时,0在R上是减函数 在R上是增函数
微点拨(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a), (-1,).
(2)讨论指数函数的性质时,要注意分底数a>1和0常用结论
1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), (-1,).
2.如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　 　)
(2)函数y=是指数函数.(　 　)
(3)若am0,且a≠1),则m(4)函数y=(a>1)的值域是[a,+∞).(　 　)
2.(人A必修第一册P119T6·变形式)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
3.(忽视函数的定义域)函数f(x)=的值域为　　　　　.
4.(忽视底数的取值)若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一指数幂的运算
1.已知x<0,y<0,化简:=(　　)
A.-x2y B.x2y
C.-3x2y D.3x2y
2.已知3a+2b=1,则=　　　　.
3.计算: (2)0.5-0.752+6-2×()=　　　　.
4.已知x,y>0,化简=　　　　.
5.若+=3,则x2+x-2=　　　　.
解题技法
　指数幂的运算
(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加减,底数是负数的先确定符号.
(2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数,化带分数为假分数.
考点二指数函数的图象及应用
[例1](1)函数f(x)= ()|x+1|的图象大致为(　　)
(2)(多选题)(2023·福州调研)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成立的是(　　)
A.a=b=0 B.aC.0(3)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则实数k的取值范围为　　　　.
解题技法
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除;
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论;
(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解;
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
对点训练
1.(多选题)已知非零实数a,b满足3a=2b,则下列不等关系中正确的是(　　)
A.aC.|a|<|b| D.若02.(2023·哈尔滨模拟)若存在正数x使ex(x+a)<1成立,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)
C. (-∞,-1) D.(-∞,-1)
3.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　　.
考点三指数函数的性质的应用
考情提示
指数函数的性质及应用是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重点考查比较大小、解方程或不等式、求值域等问题,难度中档或以下.
角度1　比较指数幂大小
[例2]已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
角度2　解简单的指数方程或不等式
[例3](1)若x满足不等式≤()x-2,则函数y=2x的值域是(　　)
A. [,2) B. [,2]
C. (-∞,] D.[2,+∞)
(2)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为　　　　.
角度3　指数函数性质的综合应用
[例4](1)(多选题)(2023·广州模拟)已知函数y=(),则下列说法正确的是(　　)
A.定义域为R
B.值域为(0,2]
C.在[-2,+∞)上单调递增
D.在[-2,+∞)上单调递减
(2)(多选题)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)=,下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1≠x2,<0
解题技法
有关指数型函数性质的常考题型及求解策略
题型 求解策略
比较幂值的大小 (1)能化成同底数幂的先化成同底数幂再利用单调性比较大小 (2)不能化成同底数幂的,一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型函数的性质 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
对点训练
1.(2023·河南名校联考)若a=21.9,b=21.5,c=31.9,则(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
2.(2023·青岛模拟)已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围可以是(　　)
A.[2,4] B.(-∞,0)
C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]
3.(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在定义域上是减函数
D.f(x)无最小值,无最大值
4.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是　　　　. 第四节　指数与指数函数
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算. 考向 考法 高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指数幂的大小比较为主,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考中利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点,题型为选择题或填空题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.指数与指数运算
(1)根式的性质
①()n=a(a使有意义);
②当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=|a|=
(2)分数指数幂的意义
①=(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②==(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)有理数指数幂的运算性质:ar·as=ar+s,(ar)s=ars(其中a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r∈Q).
微点拨化简时,一定要注意区分n是奇数还是偶数.
2.指数函数的图象与性质
项目 01
图象
性质 定义域:R
值域:(0,+∞)
过定点(0,1)
当x>0时,01 当x>0时,y>1; 当x<0时,0在R上是减函数 在R上是增函数
微点拨(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a), (-1,).
(2)讨论指数函数的性质时,要注意分底数a>1和0常用结论
1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), (-1,).
2.如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　×　)
(2)函数y=是指数函数.(　×　)
(3)若am0,且a≠1),则m(4)函数y=(a>1)的值域是[a,+∞).(　√　)
提示:
(1) 当<1时,不可以. ×
(2) 由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数. ×
(3) m与n的大小关系与a的取值有关. ×
(4) 由于x2+1≥1,又a>1,所以≥a.故y=(a>1)的值域是[a,+∞). √
2.(人A必修第一册P119T6·变形式)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
【解析】选C.因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,
故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.
3.(忽视函数的定义域)函数f(x)=的值域为　　　　　.
【解析】因为f(x)的定义域为{x|x≠1},所以≠0,故f(x)>0且f(x)≠1,即函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
答案:(0,1)∪(1,+∞)
4.(忽视底数的取值)若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　.
【解析】若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;
若0答案:2或
【核心考点·分类突破】
考点一指数幂的运算
1.已知x<0,y<0,化简:=(　　)
A.-x2y B.x2y
C.-3x2y D.3x2y
【解析】选A.由题意得==x2·|y|=-x2y.
2.已知3a+2b=1,则=　　　　.
【解析】因为3a+2b=1,所以a+b=,所以原式=====.
答案:
3.计算: (2)0.5-0.752+6-2×()=　　　　.
【解析】原式=[()2]-()2+×[()3]
=-()2+×()-2=-+×=1.
答案:1
4.已知x,y>0,化简=　　　　.
【解析】原式==-10y.
答案:-10y
5.若+=3,则x2+x-2=　　　　.
【解析】由+=3,得x+x-1=7,再平方得x2+=47.
答案:47
解题技法
　指数幂的运算
(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加减,底数是负数的先确定符号.
(2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数,化带分数为假分数.
考点二指数函数的图象及应用
[例1](1)函数f(x)= ()|x+1|的图象大致为(　　)
【解析】选B.作出函数y=()|x|的图象,如图所示,将y=()|x|的图象向左平移1个单位得到f(x)= ()|x+1|的图象.
(2)(多选题)(2023·福州调研)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成立的是(　　)
A.a=b=0 B.aC.0【解析】选ABD.如图,观察易知,a(3)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则实数k的取值范围为　　　　.
【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.
由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0].
答案:(-∞,0]
解题技法
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除;
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论;
(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解;
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
对点训练
1.(多选题)已知非零实数a,b满足3a=2b,则下列不等关系中正确的是(　　)
A.aC.|a|<|b| D.若0【解析】选BCD.如图,
由指数函数的图象可知,0所以A错误,B,C正确;
D选项中,0则有ab2.(2023·哈尔滨模拟)若存在正数x使ex(x+a)<1成立,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)
C. (-∞,-1) D.(-∞,-1)
【解析】选B.由题设知, x>0,使x+a令y=x+a,y1=e-x,所以当x>0时有y1=e-x∈(0,1),
而y=x+a∈(a,+∞),所以当a<1时, x>0,
使得ex(x+a)<1成立.
3.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　　.
【解析】在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.
所以当0所以b的取值范围是(0,2).
答案:(0,2)
考点三指数函数的性质的应用
考情提示
指数函数的性质及应用是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重点考查比较大小、解方程或不等式、求值域等问题,难度中档或以下.
角度1　比较指数幂大小
[例2]已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
【解析】选D.方法一:由指数函数y=0.3x在定义域内单调递减,得a由幂函数y=x0.5在定义域内单调递增,得c>b.
方法二:因为=0.<1,
且=()0.5<1,
又a,b,c都为正数,所以c>b>a.
角度2　解简单的指数方程或不等式
[例3](1)若x满足不等式≤()x-2,则函数y=2x的值域是(　　)
A. [,2) B. [,2]
C. (-∞,] D.[2,+∞)
【解析】选B.将≤()x-2化为x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函数y=2x的值域是[,2].
(2)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为　　　　.
【解析】①当a<1时,由f(1-a)=f(a-1)得41-a=,即22-2a=2,所以2-2a=1,解得a=;
②当a>1时,由f(1-a)=f(a-1)得=4a-1,
即22a-1=22a-2,所以2a-1=2a-2,无解.
综上可知,a=.
答案:
角度3　指数函数性质的综合应用
[例4](1)(多选题)(2023·广州模拟)已知函数y=(),则下列说法正确的是(　　)
A.定义域为R
B.值域为(0,2]
C.在[-2,+∞)上单调递增
D.在[-2,+∞)上单调递减
【解析】选ABD.函数y=()的定义域为R,A正确;
因为x2+4x+3=(x+2)2-1≥-1,
所以0<()≤2,
故函数y=()的值域为(0,2],B正确;
因为y=()u在R上是减函数,u=x2+4x+3在(-∞,-2]上是减函数,在[-2,+∞)上是增函数,
所以函数y=()在[-2,+∞)上单调递减,C错误,D正确.
(2)(多选题)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)=,下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D. x1,x2∈R,且x1≠x2,<0
【解析】选AC.对于A,由f(-x)==-=-f(x),可得函数f(x)为奇函数,函数f(x)的图象关于原点对称,故选项A正确,选项B错误;
对于C,设y=,可得3x=,所以>0,即<0,解得-1对于D,对 x1,x2∈R,且x1≠x2,<0,可得函数f(x)为减函数,而f(x)==1-为增函数,所以D错误.
解题技法
有关指数型函数性质的常考题型及求解策略
题型 求解策略
比较幂值的大小 (1)能化成同底数幂的先化成同底数幂再利用单调性比较大小 (2)不能化成同底数幂的,一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型函数的性质 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
对点训练
1.(2023·河南名校联考)若a=21.9,b=21.5,c=31.9,则(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
【解析】选A.因为指数函数y=2x在R上单调递增,
且1.9>1.5,
所以21.9>21.5,即a>b.
因为幂函数y=x1.9在(0,+∞)上单调递增,且3>2,
所以31.9>21.9,即c>a,所以c>a>b.
2.(2023·青岛模拟)已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围可以是(　　)
A.[2,4] B.(-∞,0)
C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]
【解析】选D.因为y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],所以1≤4x-3·2x+3≤7.
所以0<2x≤1或2≤2x≤4.
所以x≤0或1≤x≤2.
3.(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在定义域上是减函数
D.f(x)无最小值,无最大值
【解析】选BD.对于A,由ex-e-x≠0,解得x≠0,
故f(x)的定义域为{x|x≠0},故A错误;
对于B,函数f(x)的定义域关于原点对称,
且f(-x)==-f(x),
故f(x)是奇函数,故B正确;
对于C,f(x)===1+,
故函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,
当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,
当x∈(0,+∞)时,f(x)>0,
所以f(x)在定义域上不是减函数,故C错误;
对于D,由选项C的分析可知,函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),无最小值,无最大值,故D正确.
4.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是　　　　.
【解析】令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间(,+∞)上单调递增,在区间(-∞,]上单调递减.
而y=2t为R上的增函数,
所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,
所以m的取值范围是(-∞,4].
答案:(-∞,4]

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