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第五节　对数与对数函数
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0,a≠1)互为反函数. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算. 考向 考法 高考命题常以考查对数的运算性质为主,考查学生的运算能力;对数函数的单调性及应用是考查热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考会考查基本的对数运算、图象与性质,另外对数运算还可能与其他知识综合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记为lg N.
以e为底的对数叫做自然对数,记为ln N.
2.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
微点拨(1)换底公式的变形
①logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1).
②lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R).
③logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0).
(2)换底公式的推广
logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
3.对数函数的图象与性质
y=logax a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
常用结论
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,
作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)log2x2=2log2x.(　 　)
(2)若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.(　 　)
(3)函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(　 　)
(4)当x>1时,若logax>logbx,则a2.(必修第一册P126练习T1(2)改条件)计算:2lg-lg=(　　)
A.10 B.1 C.2 D.lg 5
3.(2022·浙江高考)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　)
A.25 B.5 C. D.
4.(忽视对数函数的单调性)函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一对数的运算
1.(多选题)(2024·宜昌模拟)下列各式化简运算结果为1的是(　　)
A.log53×log32×log25
B.lg +lg 5
C.loa2(a>0,且a≠1)
D.eln 3-0.12
2.计算:lg-lg+lg 7=　　　　.
3.计算:=　　　　.
4.若2a=3b=m,且+=2,则m=　　　　.
5.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　.
6.叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料,是有多孔隙结构特点的除甲醛材料,它微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子,因此用来除甲醛基本上立竿见影.经研究发现,叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q=2log2,当除甲醛的量为8个单位时,其质量m为　　　　个单位.
解题技法
解决对数运算问题的常用方法
(1)利用ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)进行指数式与对数式互化,构造同底数的对数或指数式.
(2)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(3)将同底对数的和、差、倍合并.
(4)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(5)利用常用对数中的lg 2+lg 5=1进行化简.
考点二对数函数的图象及应用
[例1](1)函数f(x)=2log4(1-x)的大致图象是(　　)
方法二(特值法):分别取x=及x=-1验证即可.
(2) 易错对对碰
①当x∈(0,]时,②当x∈(0,]时,方程=logax有解,则实数a的取值范围为　　　　.
解题技法
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
对点训练
1.(2023·东城区质检)函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
2.已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足0考点三对数函数的性质及应用
考情提示
对数函数的性质及应用是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重点考查比较大小、解不等式等问题,难度中档.
角度1　比较大小
[例2](1)设a=20.1,b=ln ,c=log3,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.b>c>a B.a>c>b
C.b>a>c D.a>b>c
(2)设a,b,c均为正数,且2a=loa,=b,=log2c,则(　　)
A.aC.c角度2　解对数不等式
[例3]设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
角度3　对数函数性质的综合应用
[例4](1)(2023·郑州模拟)设函数f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|,则f(x)(　　)
A.是偶函数,且在(-∞,-3)上单调递减
B.是奇函数,且在(-3,3)上单调递减
C.是奇函数,且在(3,+∞)上单调递增
D.是偶函数,且在(-3,3)上单调递增
(2)(2023·武汉模拟)函数f(x)=loga(3-2ax)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,1) B. (,1)
C. (0,) D.(1,+∞)
(3)(2023·惠州模拟)若函数f(x)=loga(x2-ax+)(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.
解题技法
1.比较对数大小的类型及相应方法
2.求解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
logax>logab 借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对单调性的影响,以及真数必须为正数的限制条件.
对点训练
1.(2021·天津高考)设a=log20.3,b=lo0.4,c=0.40.3,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.b2.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是　　　　　　.
3.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 第五节　对数与对数函数
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0,a≠1)互为反函数. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算. 考向 考法 高考命题常以考查对数的运算性质为主,考查学生的运算能力;对数函数的单调性及应用是考查热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考会考查基本的对数运算、图象与性质,另外对数运算还可能与其他知识综合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记为lg N.
以e为底的对数叫做自然对数,记为ln N.
2.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
微点拨(1)换底公式的变形
①logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1).
②lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R).
③logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0).
(2)换底公式的推广
logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
3.对数函数的图象与性质
y=logax a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
常用结论
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,
作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)log2x2=2log2x.(　×　)
(2)若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.(　×　)
(3)函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(　√　)
(4)当x>1时,若logax>logbx,则a提示:
(1) log2x2=2log2|x|. ×
(2) 当M<0,N<0时,虽然MN>0,但loga(MN)=logaM+logaN不成立. ×
(4) 若01时,logax>logbx. ×
2.(必修第一册P126练习T1(2)改条件)计算:2lg-lg=(　　)
A.10 B.1 C.2 D.lg 5
【解析】选B.原式=lg+lg=lg 5+lg 2=lg 10=1.
3.(2022·浙江高考)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　)
A.25 B.5 C. D.
【解析】选C.由2a=5两边取以2为底的对数,得a=log25.又b=log83==log23,所以a-3b=log25-log23=log2==2log4=log4,所以4a-3b==.
4.(忽视对数函数的单调性)函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为　　　　.
【解析】当a>1时,依题意得loga4-loga2=1,
解得a=2;当0答案:2或
【核心考点·分类突破】
考点一对数的运算
1.(多选题)(2024·宜昌模拟)下列各式化简运算结果为1的是(　　)
A.log53×log32×log25
B.lg +lg 5
C.loa2(a>0,且a≠1)
D.eln 3-0.12
【解析】选AD.对于A,原式=××=1;对于B,原式=lg 2+lg 5=lg(2×5)=;对于C,原式=2loa=2×2=4;对于D,原式=3-=3-2=1.
2.计算:lg-lg+lg 7=　　　　.
【解析】原式=lg 4+lg 2-lg 7-lg 8+lg 7+lg 5=2lg 2+(lg 2+lg 5)-2lg 2=.
答案:
3.计算:=　　　　.
【解析】原式=
=
==
==1.
答案:1
4.若2a=3b=m,且+=2,则m=　　　　.
【解析】因为2a=3b=m,所以a=log2m,b=log3m,m>0,又+=2,
所以+=+=logm2+logm3=logm(2×3)=2,所以m2=6,所以m=.
答案:
5.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　.
【解析】设logba=t,则t>1,因为t+=,
所以t=2,则a=b2.又ab=ba,
所以b2b=,即2b=b2,
又a>b>1,解得b=2,a=4.
答案:4　2
6.叶广泥是一种相对新兴的物理吸附材料,是有多孔隙结构特点的除甲醛材料,它微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子,因此用来除甲醛基本上立竿见影.经研究发现,叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q=2log2,当除甲醛的量为8个单位时,其质量m为　　　　个单位.
【解析】由题意得8=2log2,所以log2=4,即24=,所以m=24×10=160.
答案:160
解题技法
解决对数运算问题的常用方法
(1)利用ab=N b=logaN(a>0,且a≠1)进行指数式与对数式互化,构造同底数的对数或指数式.
(2)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(3)将同底对数的和、差、倍合并.
(4)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(5)利用常用对数中的lg 2+lg 5=1进行化简.
考点二对数函数的图象及应用
[例1](1)函数f(x)=2log4(1-x)的大致图象是(　　)
【解析】选C.方法一:函数f(x)=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;函数f(x)=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.
方法二(特值法):分别取x=及x=-1验证即可.
(2)金榜原创·易错对对碰
①当x∈(0,]时,②当x∈(0,]时,方程=logax有解,则实数a的取值范围为　　　　.
【解析】①若则所以解得即实数a的取值范围是(,1).
答案: (,1)
②构造函数f(x)=和g(x)=logax,
当a>1时,不满足条件;
当0则f()≥g(),即≥loga,得a≤,
所以a的取值范围为(0,].
答案: (0,]
解题技法
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
对点训练
1.(2023·东城区质检)函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
【解析】选A.当a>1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;
当02.已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足0【解析】因为f(x)=|log2x|,
所以f(x)的图象如图所示,
又f(a)=f(b)且0所以01且ab=1,
所以a2=-2log2a=2,
所以a=,所以b=2,所以+b=4.
答案:4
考点三对数函数的性质及应用
考情提示
对数函数的性质及应用是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重点考查比较大小、解不等式等问题,难度中档.
角度1　比较大小
[例2](1)设a=20.1,b=ln ,c=log3,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.b>c>a B.a>c>b
C.b>a>c D.a>b>c
【解析】选D.因为a=20.1>20=1,0=ln 1b>c.
(2)设a,b,c均为正数,且2a=loa,=b,=log2c,则(　　)
A.aC.c【解析】选A.因为a,b,c均为正数,将a,b,c分别看成是函数图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出y=2x,y=,y=log2x,y=lox的图象如图.
由图可知a角度2　解对数不等式
[例3]设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
【解析】选C.由题意可得
或解得a>1或-1角度3　对数函数性质的综合应用
[例4](1)(2023·郑州模拟)设函数f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|,则f(x)(　　)
A.是偶函数,且在(-∞,-3)上单调递减
B.是奇函数,且在(-3,3)上单调递减
C.是奇函数,且在(3,+∞)上单调递增
D.是偶函数,且在(-3,3)上单调递增
【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠±3},
f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|=ln |x2-9|,
令g(x)=|x2-9|,
则f(x)=ln g(x),
函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知,
当x∈(-∞,-3),x∈(0,3)时,g(x)单调递减,
当x∈(-3,0),x∈(3,+∞)时,g(x)单调递增,
由复合函数单调性同增异减得单调区间.
由f(-x)=ln |(-x)2-9|=ln |x2-9|=f(x)得f(x)为偶函数.
(2)(2023·武汉模拟)函数f(x)=loga(3-2ax)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,1) B. (,1)
C. (0,) D.(1,+∞)
【解析】选C.设u(x)=3-2ax(a>0且a≠1),
则u(x)是减函数,要使得函数f(x)=loga(3-2ax)在[1,2]上单调递增,只需y=logau为减函数,且满足u(x)=3-2ax>0在x∈[1,2]上恒成立,所以解得0(3)(2023·惠州模拟)若函数f(x)=loga(x2-ax+)(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】令u(x)=x2-ax+=(x-)2+-,则u(x)有最小值-,
欲使函数f(x)=loga(x2-ax+)有最小值,
则有
解得1答案:(1,)
解题技法
1.比较对数大小的类型及相应方法
2.求解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
logax>logab 借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对单调性的影响,以及真数必须为正数的限制条件.
对点训练
1.(2021·天津高考)设a=log20.3,b=lo0.4,c=0.40.3,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.b【解析】选D.因为log20.3因为lo0.4=-log20.4=log2>log22=1,所以b>1.
因为0<0.40.3<0.40=1,所以0所以a2.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是　　　　　　.
【解析】当x≤1时,由21-x≤2得1-x≤1,所以0≤x≤1;当x>1时,由1-log2x≤2得x≥,所以x>1.综上,x的取值范围为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
3.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,
由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,得f(x)min=loga(8-2a)>1,解得1当0由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,
得f(x)min=loga(8-a)>1,得8-2a<0,a>4,
故a不存在.
综上可知,实数a的取值范围是(1,).
答案: (1,)

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