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第六节　二项分布与超几何分布
【课标解读】
【课程标准】
1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.
2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用.
【核心素养】
数据分析、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 二项分布、超几何分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.
预测 预计2025年高考二项分布、超几何分布仍会出题,且与现实生活联系密切,注意数学建模的训练.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
一、二项分布
1.伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
微思考二项分布列公式与二项式定理通项公式是完全一样的
提示:二者是不同的,二项分布列公式有它的实际意义,且两者形式也是有区别的.
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,
D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
二、超几何分布
　一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
微点拨
超几何分布与二项分布的关系
若将超几何分布的概率模型改成:若有N件产品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　)
(2)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.(　　)
(3)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布.(　　)
(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p.(　　)
2.(选择性必修第三册P77练习T2变条件、变设问)鸡接种一种疫苗后,有90%不会感染某种病毒,如果有5只鸡接种了疫苗,则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　)
A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45
3.(“至少”问题理解错误)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(　　)
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
4.(二项分布应用不准致误)在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题,乙能正确完成每道题的概率为,且每道题完成与否互不影响,记乙能答对题数为Y,则Y的数学期望为________.
【核心考点·分类突破】
考点一n重伯努利试验及其概率
[例1](1)(2023·太原质检)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表:
使用时 间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
个数 10 40 80 50 20
若以频率估计概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)若某射手每次射击击中目标的概率均为,每次射击的结果相互独立,则在他连续4次射击中,恰好有两次击中目标的概率为(　　)
A. B. C. D.
(3)一袋中装有5个白球,3个红球,则从袋中往外取球,每次取出一个,记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次停止,用X表示取球的次数,则P(X=12)=____________(填表达式).
解题技法
n重伯努利试验概率求解的策略
(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
对点训练
1.(2024·北海模拟)端午佳节,小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子.现在两人每次随机交换一只粽子给对方,则两次交换后,小明拥有两只蜜枣粽子的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.(2023·保定模拟)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为,他们每次射击是否击中目标互不影响,则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为______.
【加练备选】
　　 (2023·衡水模拟)一个口袋内有n个大小相同的球,其中3个红球和个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N,若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于,则n=____________.
考点二二项分布
[例2](1)(2024·上海模拟)设X服从二项分布B(10,),则E(X)=________.
(2)(2023·武汉重点中学联考)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是,那么在本次运动会上:
①求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率;
②若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值.
解题技法
　判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.
对点训练
1.(2024·北京模拟)随机变量ξ服从二项分布ξ~B(n,p),且E(ξ)=300,D(ξ)=200,则n等于________.
2.(2023·海南模拟)青花釉里红,是我国珍贵的品种之一.釉里红的烧制工艺难度较大,因此烧制成功率较低.假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类,从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中,有放回地抽取两次,每次随机抽取1件,取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为.记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p.
(1)求p的值;
(2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p,且每件瓷器的烧制相互独立,这种瓷器成品每件利润为10万元,废品的利润为0元.现他烧制3件这种瓷器,设这3件瓷器的总利润为X万元,求X的分布列及数学期望.
【加练备选】
　　 (2023·福州联考)福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一,纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求,已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为,,,只有当每个环节制作都合格才认为是一次优秀制作.
(1)求该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率;
(2)若该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,求X的概率分布列及期望.
考点三超几何分布
[例3](2023·天津模拟)某大学生志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望.
解题技法
1.超几何分布的两个特点
(1)超几何分布是不放回抽样问题.
(2)随机变量为抽到的某类个体的个数.
2.超几何分布的概率计算公式
从古典概型的角度加以理解更容易记忆:P(X=k)=(k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,
M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}),即恰取了k件次品的概率P=.
3.超几何分布的应用
超几何分布是一个重要分布,其理论基础是古典概型,主要应用于正品与次品,白球与黑球,男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题.
对点训练
(多选题)某单位推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试,乙能答对其中的6道题,规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道,答对一题加10分,答错一题或不答减5分,最终得分最低为0分,则下列说法正确的是(　　)
A.乙得40分的概率是
B.乙得25分的概率是
C.乙得10分的概率是
D.乙得0分的概率是
【加练备选】
　　 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列,并求E(X).第六节　二项分布与超几何分布
【课标解读】
【课程标准】
1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.
2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用.
【核心素养】
数据分析、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 二项分布、超几何分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.
预测 预计2025年高考二项分布、超几何分布仍会出题,且与现实生活联系密切,注意数学建模的训练.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
一、二项分布
1.伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
微思考二项分布列公式与二项式定理通项公式是完全一样的
提示:二者是不同的,二项分布列公式有它的实际意义,且两者形式也是有区别的.
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,
D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
二、超几何分布
　一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
微点拨
超几何分布与二项分布的关系
若将超几何分布的概率模型改成:若有N件产品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2 3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.(　 √　)
(2)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.(　 √　)
(3)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布.(　 √　)
(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p.(　 ×　)
2.(选择性必修第三册P77练习T2变条件、变设问)鸡接种一种疫苗后,有90%不会感染某种病毒,如果有5只鸡接种了疫苗,则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　)
A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45
【解析】选A.设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X,则X~B,
所以P=×0.94×0.1≈0.33.
3.(“至少”问题理解错误)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(　　)
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
【解析】选A.3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.
4.(二项分布应用不准致误)在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题,乙能正确完成每道题的概率为,且每道题完成与否互不影响,记乙能答对题数为Y,则Y的数学期望为________.
【解析】由题意Y~B(3,),所以E(Y)=3×=2.
答案:2
【核心考点·分类突破】
考点一n重伯努利试验及其概率
[例1](1)(2023·太原质检)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表:
使用时 间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
个数 10 40 80 50 20
若以频率估计概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意可知,该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为,因此,从该批次机械元件中随机抽取3个,至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为P=×()2×+×()3=.
(2)若某射手每次射击击中目标的概率均为,每次射击的结果相互独立,则在他连续4次射击中,恰好有两次击中目标的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.在某射手连续4次射击中,恰好有两次击中目标的概率为=.
(3)一袋中装有5个白球,3个红球,则从袋中往外取球,每次取出一个,记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次停止,用X表示取球的次数,则P(X=12)=____________(填表达式).
【解析】一次取球取到红球的概率为,取到白球的概率为,前11次取球是11次独立重复试验,“取到红球”的事件发生9次,其概率是×()9×()2.第12次取到红球的概率是,由相互独立事件同时发生的概率乘法公式,得P(X=12)=×()9×()2×=×()2×()10.
答案:×()2×()10
解题技法
n重伯努利试验概率求解的策略
(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
对点训练
1.(2024·北海模拟)端午佳节,小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子.现在两人每次随机交换一只粽子给对方,则两次交换后,小明拥有两只蜜枣粽子的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意,只能第一次两人交换相同的粽子,第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子,所以P=··=.
2.(2023·保定模拟)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为,他们每次射击是否击中目标互不影响,则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为______.
【解析】事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形,其概率P=×
×()2××()3+×()2××××()2+×()3××()2×=.
答案:
【加练备选】
　　 (2023·衡水模拟)一个口袋内有n个大小相同的球,其中3个红球和个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N,若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于,则n=____________.
【解析】因为4次取球中恰好2次取到红球的概率大于,所以p2>,
所以p2>,
因为p>0,所以p>,
所以又因为6p∈N,所以6p=3,所以p=.
又因为从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p=,所以=,
解得n=6.
答案:6
考点二二项分布
[例2](1)(2024·上海模拟)设X服从二项分布B(10,),则E(X)=________.
【解析】因为X服从二项分布B(10,),
所以E(X)=10×=.
答案:
(2)(2023·武汉重点中学联考)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是,那么在本次运动会上:
①求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率;
②若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值.
【解析】①依题意知,该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A,则有
P(A)=()2(1-)+()3=.
②由①可知X~B(3,),则P(X=0)=(1-)3=,
P(X=1)=··(1-)2=,
P(X=2)=·()2·(1-)=,
P(X=3)=·()3=,所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以均值E(X)=0×+1×+2×+3×=2.
解题技法
　判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.
对点训练
1.(2024·北京模拟)随机变量ξ服从二项分布ξ~B(n,p),且E(ξ)=300,D(ξ)=200,则n等于________.
【解析】由题意可得,解得.
答案:900
2.(2023·海南模拟)青花釉里红,是我国珍贵的品种之一.釉里红的烧制工艺难度较大,因此烧制成功率较低.假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类,从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中,有放回地抽取两次,每次随机抽取1件,取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为.记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p.
(1)求p的值;
【解析】(1)设A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”,A1表示事件“取出的2件瓷器中无成品”,A2表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”,则P(A)=P(A1)+P(A2)=(1-p)2+p(1-p)=1-p2=,解得p=.
(2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p,且每件瓷器的烧制相互独立,这种瓷器成品每件利润为10万元,废品的利润为0元.现他烧制3件这种瓷器,设这3件瓷器的总利润为X万元,求X的分布列及数学期望.
【解析】(2)设这3件瓷器中成品的件数为Y.由题可知Y~B(3,).因为X=10Y,
所以P(X=0)=P(Y=0)=()0()3=,
P(X=10)=P(Y=1)=()1()2=,
P(X=20)=P(Y=2)=()2()1=,P(X=30)=P(Y=3)=()3()0=,
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P
所以E(X)=0×+10×+20×+30×=3.
【加练备选】
　　 (2023·福州联考)福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一,纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求,已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为,,,只有当每个环节制作都合格才认为是一次优秀制作.
(1)求该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率;
【解析】(1)由题意可知,制作一件优秀作品的概率为××=,
所以该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率P=()()2=.
(2)若该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,求X的概率分布列及期望.
【解析】(2)该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
由题意可知,X~B(4,),
P(X=0)=()4=,
P(X=1)=()()3=,
P(X=2)=()2()2=,
P(X=3)=()3()=,
P(X=4)=()4=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=4×=.
考点三超几何分布
[例3](2023·天津模拟)某大学生志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率;
【解析】(1)从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教,基本事件总数n=,
设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,事件A包含的基本事件个数m=+,
则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为P(A)==.
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望.
【解析】(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
解题技法
1.超几何分布的两个特点
(1)超几何分布是不放回抽样问题.
(2)随机变量为抽到的某类个体的个数.
2.超几何分布的概率计算公式
从古典概型的角度加以理解更容易记忆:P(X=k)=(k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,
M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}),即恰取了k件次品的概率P=.
3.超几何分布的应用
超几何分布是一个重要分布,其理论基础是古典概型,主要应用于正品与次品,白球与黑球,男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题.
对点训练
(多选题)某单位推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试,乙能答对其中的6道题,规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道,答对一题加10分,答错一题或不答减5分,最终得分最低为0分,则下列说法正确的是(　　)
A.乙得40分的概率是
B.乙得25分的概率是
C.乙得10分的概率是
D.乙得0分的概率是
【解析】选ABC.设乙的得分为X,
则由题意X的所有可能取值为0,10,25,40,
所以P==,
P==,
P==,
P==.
【加练备选】
　　 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
【解析】(1)由已知,有P(A)==.
所以事件A发生的概率为.
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列,并求E(X).
【解析】(2)随机变量X服从超几何分布,X的所有可能取值为1,2,3,4,
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
故P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==,
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)=1×+2×+3×+4×=.

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