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第七节　正态分布
【课标解读】
【课程标准】
1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用.
2.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从正态分布的随机变量的概率.
3.记住正态总体在常用区间上的取值的概率,并能在一些简单的实际问题中应用.
【核心素养】
数据分析、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 正态分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.
预测 预计2025年高考正态分布可能还会出题,命题较灵活多变.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.正态分布的定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=·,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,
则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).
2.正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(2)曲线在x=μ处达到峰值;
(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
3.3σ原则
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
4.正态分布的均值与方差
若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
微点拨
(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正态曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方.(　　)
(2)正态曲线关于直线x=σ对称,只有当x∈(-3σ,3σ)时曲线才在x轴上方.(　　)
(3)正态曲线和x轴围成的面积随μ的变化而变化.(　　)
(4)正态曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.(　　)
2.(选择性必修第三册P87T3·变形式)随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=(　　)
附:
概率 P(μ-σ≤ X≤μ+σ) P(μ-2σ≤ X≤μ+2σ) P(μ-3σ≤ X≤μ+3σ)
近似值 0.682 7 0.954 5 0.997 3
A.0.818 6 B.0.477 2 C.0.84 D.0.975 9
3.(对正态曲线的性质不清致误)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,则P(-2≤ξ≤0)=(　　)
A.+p B.1-p C.-p D.1-2p
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=__________.
【核心考点·分类突破】
考点一正态分布的性质
[例1](1)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　　)
A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
(2)(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.甲类水果的平均质量为0.4kg
B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右
C.平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大
D.σ2=1.99
(3)(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),则下列结论正确的是(　　)
A.该正态曲线关于直线x=1对称
B.若P(ξ≤1.52)=0.935 7,则P(ξ>1.52)=0.064 3
C.若P(ξ≤1.49)=0.931 9,则P(ξ≤-1.49)=0.931 9
D.当x>0时,若P(ξ≥x)=φ(x),则P(|ξ|≥x)=2φ(x)
解题技法
利用正态分布性质解题的关键点
对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手,导致随便给出一个结果.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.
对点训练
1.(多选题)某次市教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的是(　　)
A.甲、乙、丙的总体的平均数相同
B.乙科总体的标准差及平均数都居中
C.丙科总体的平均数最小
D.甲科总体的标准差最大
2.(2024·宁德模拟)某地生产红茶已有多年,选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验,在正常环境下,甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位:克)分别为X,Y,且X~N,Y~N,其密度曲线如图所示,则以下结论错误的是(　　)
A.Y的数据较X更集中
B.PC.甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率大于
D.P(X>c)+P=1
考点二服从正态分布的概率计算
[例2](1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
(2)(2023·运城质检)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2
(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是(　　)
A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
解题技法
正态分布的概率计算的关键点
正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图象,特别地,当μ=0时,图象关于y轴对称.
对点训练
1.已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(XA.6 B.7 C.8 D.9
2.陕西洛川苹果享誉国内外,据统计,陕西洛川苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位:mm)服从正态分布N(70,52),则直径在(80,85]内的概率为(　　)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.0.021 4 B.0.043 0
C.0.818 5 D.0.682 6
3.(2024·长春模拟)若随机变量X~N,
P=0.3,则P(0考点三正态分布的综合应用
[例3](1)(2024·广州模拟)某班有48名学生,一次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N,且成绩在的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为__________.
(2)某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100,σ2).质量指标介于99至101之间的产品为良品,为使这种产品的良品率达到95.45%,则需调整生产工艺,使得σ至多为________.(若X~N(μ,σ2),则P{|X-μ|<2σ}≈0.954 5)
(3)从某企业生产的某种产品中抽取1 000件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[2.5,7.5) 2 0.002
[7.5,12.5) m 0.054
[12.5,17.5) 106 0.106
[17.5,22.5) 149 0.149
[22.5,27.5) 352 n
[27.5,32.5) 190 0.190
[32.5,37.5) 100 0.100
[37.5,42.5) 47 0.047
合计 1 000 1.000
①求m,n,a的值;
②求出这1 000件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
③由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,其中已计算得σ2=52.6.如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50),企业每件产品可以获利10元,如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外,企业每件产品要损失100元,从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品,记X为抽取的20件产品所获得的总利润,求E(X).
附:≈7.25.
解题技法
解决正态分布问题有三个关键点
(1)对称轴x=μ;
(2)标准差σ;
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
对点训练
1.(2024·重庆模拟)若某种水果的果实横径X(单位:mm)服从正态分布N,则该种果实横径在的概率为______________.(附:若X~N,则P≈0.682 7, P≈0.954 5)
2.对一个物理量做n次测量并以测量结果的均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差
εn~N(0,),为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要测量________次.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
3.在某质量检测考试中,高二年级学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市高二年级学生约100 000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第________名.
(参考数值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
重难突破 概率与统计中的决策问题
【考查形式】
试题多以相互独立事件的概率、随机变量的期望、二项分布等作为载体,考查数据处理能力、运算求解能力及数学的应用与创新意识.重点考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养.
【解题关键】
(1)会“评价”:在数据分析的基础上能够基于数字特征给出统计意义上的评价结论.
(2)会“决策”:在基于数字特征给出有意义评价的基础上,分析利弊、观察风险,进而做出切实可行的合理决策方案或建议.
类型一 与回归分析相关的预测性问题
[例1]2021年6月,公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”,这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件,用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生。某省自“国家反诈中心APP”推出后,持续采取多措并举的推广方式,积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作.经统计,省反诈中心发现全省每月网络诈骗举报件数y(单位:件)与推广时间有关,并记录了经推广x个月后每月举报件数的数据:
推广月数x/个 1 2 3 4 5 6 7
y/件 891 888 351 220 200 138 112
(1)现用y=a+作为回归方程模型,利用表中数据,求出该经验回归方程;
(2)分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗
参考数据(其中ti=):
tiyi -7×
1 586 0.37 0.55
解题技法
预测问题的解题策略
(1)求经验回归方程;
(2)利用经验回归方程进行预测,把回归直线方程看作一次函数,求函数值.
对点训练
为了巩固拓展脱贫攻坚的成果,某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场.该特色水果的热卖黄金时段为2023年7月10日至9月10日,为了解直播的效果和关注度,该电商平台统计了已直播的2023年7月10日至7月14日时段中的相关数据,这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位:万人)的数据如下表:
日期 7月 10日 7月 11日 7月 12日 7月 13日 7月 14日
第x天 1 2 3 4 5
人数y (单位:万人) 75 84 93 98 100
(1)依据表中的统计数据,请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y(单位:万人)是否具有较高的线性相关程度;(参考:若0.3<|r|<0.75,则线性相关程度一般,若|r|>0.75,则线性相关程度较高,计算r时精确度为0.01)
(2)求购买人数y与直播的天数x的线性回归方程,用样本估计总体,请预测从2023年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位:万人).
参考数据:(yi-)2=434,(xi-)·(yi-)=64,≈65.879.
类型二 与期望和方差相关的决策性问题
[例2]如图,某市有南、北两条城市主干道,在出行高峰期,北干道有N1,N2,N3,N4四个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率都是,南干道有S1,S2两个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率分别为,.某人在高峰期驾车从城西开往城东,假设以上各路段是否被堵塞互不影响.
(1)求北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率;
(2)若南干道被堵塞路段的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准,则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条 请说明理由.
解题技法
决策问题的解题策略
(1)在实际问题中,已知两个随机变量ξ1,ξ2,当E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时,就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.
(2)一般地,将期望最大(或最小)的方案作为最优方案,若各方案的期望相同,则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.
对点训练
某财经杂志发起一项调查,旨在预测某地经济前景,随机访问了100位业内人士,根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下:
经济前景等级 悲观 尚可 乐观
问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4
假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响),根据经验,这100位人士的意见即可代表业内人士意见,且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.
(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士,试估计至少有一人预测经济前景为“乐观”的概率;
(2)某人有一笔资金,现有两个备选的投资意向:物联网项目或人工智能项目,两种投资项目的年回报率都与经济前景等级有关,根据经验,大致关系如下(正数表示赢利,负数表示亏损):
经济前景等级 乐观 尚可 悲观
物联网项目年回报率(%) 12 4 -4
人工智能项目年回报率(%) 7 5 -2
根据以上信息,请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差,并用统计学知识给出投资建议.第七节　正态分布
【课标解读】
【课程标准】
1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用.
2.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从正态分布的随机变量的概率.
3.记住正态总体在常用区间上的取值的概率,并能在一些简单的实际问题中应用.
【核心素养】
数据分析、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 正态分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.
预测 预计2025年高考正态分布可能还会出题,命题较灵活多变.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.正态分布的定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=·,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,
则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).
2.正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(2)曲线在x=μ处达到峰值;
(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
3.3σ原则
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
4.正态分布的均值与方差
若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
微点拨
(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正态曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方.(　 √　)
(2)正态曲线关于直线x=σ对称,只有当x∈(-3σ,3σ)时曲线才在x轴上方.(　 ×　)
(3)正态曲线和x轴围成的面积随μ的变化而变化.(　 ×　)
(4)正态曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.(　 √　)
2.(选择性必修第三册P87T3·变形式)随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=(　　)
附:
概率 P(μ-σ≤ X≤μ+σ) P(μ-2σ≤ X≤μ+2σ) P(μ-3σ≤ X≤μ+3σ)
近似值 0.682 7 0.954 5 0.997 3
A.0.818 6 B.0.477 2 C.0.84 D.0.975 9
【解析】选A.由题意可得,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
所以P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.818 6.
3.(对正态曲线的性质不清致误)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,则P(-2≤ξ≤0)=(　　)
A.+p B.1-p C.-p D.1-2p
【解析】选C.由对称性知P(ξ<-2)=p,
所以P(-2≤ξ≤0)==-p.
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)=__________.
【解析】因为X~N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,
所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2答案:0.14
【核心考点·分类突破】
考点一正态分布的性质
[例1](1)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　　)
A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10
【解析】选B.因为f(x)=,
所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.
(2)(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.甲类水果的平均质量为0.4kg
B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右
C.平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大
D.σ2=1.99
【解析】选ABC.由题图可知,甲类水果的平均质量为μ1=0.4kg,故A正确;由题图可知,甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右,故B正确;由题图可看出平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大,故C正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足=1.99,则σ2≠1.99,故D错误.
(3)(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),则下列结论正确的是(　　)
A.该正态曲线关于直线x=1对称
B.若P(ξ≤1.52)=0.935 7,则P(ξ>1.52)=0.064 3
C.若P(ξ≤1.49)=0.931 9,则P(ξ≤-1.49)=0.931 9
D.当x>0时,若P(ξ≥x)=φ(x),则P(|ξ|≥x)=2φ(x)
【解析】选BD.由题设知,该正态曲线关于直线x=0对称,故A错误;由P(ξ>1.52)=1-P(ξ≤1.52)=0.0643,故B正确;由P(ξ≤-1.49)=P(ξ>1.49)=
1-P(ξ≤1.49)=0.068 1,故C错误;P(|ξ|≥x)=P(ξ≥x)+P(ξ≤-x),由对称性知P(ξ≥x)=P(ξ≤-x),所以P(|ξ|≥x)=2φ(x),故D正确.
解题技法
利用正态分布性质解题的关键点
对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手,导致随便给出一个结果.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.
对点训练
1.(多选题)某次市教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的是(　　)
A.甲、乙、丙的总体的平均数相同
B.乙科总体的标准差及平均数都居中
C.丙科总体的平均数最小
D.甲科总体的标准差最大
【解析】选AD.由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相同,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故三科总体的标准差从大到小依次为甲、乙、丙.
2.(2024·宁德模拟)某地生产红茶已有多年,选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验,在正常环境下,甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位:克)分别为X,Y,且X~N,Y~N,其密度曲线如图所示,则以下结论错误的是(　　)
A.Y的数据较X更集中
B.PC.甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率大于
D.P(X>c)+P=1
【解析】选D.对于A,Y的密度曲线更尖锐,即数据更集中,正确;
对于B,因为c,μ2与密度曲线围成的面积S1>c,μ1与密度曲线围成的面积S2,
P=+S1,P=+S2,
所以P对于C,因为μ2<μ1,所以甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率P=P>,正确;
对于D,由B知:P=-S2,
P=+S1,
所以P+P=1+S1-S2>1,错误.
考点二服从正态分布的概率计算
[例2](1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
【解析】选C.由题意可知μ=1,正态分布曲线关于直线x=1对称,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1.根据对称性可知P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,
所以P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.
(2)(2023·运城质检)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2
【解析】选D.因为ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲线的对称轴是直线x=1,又ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,根据正态曲线的性质,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为P(ξ≥2)==0.2.
(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是(　　)
A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)的概率越大,故A正确;对于B,由正态密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等,故C正确;对于D,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.
解题技法
正态分布的概率计算的关键点
正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图象,特别地,当μ=0时,图象关于y轴对称.
对点训练
1.已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(XA.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选B.因为随机变量X服从正态分布N(5,4),所以其图象关于x=5对称,又因为P(X>k)=P(X2.陕西洛川苹果享誉国内外,据统计,陕西洛川苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位:mm)服从正态分布N(70,52),则直径在(80,85]内的概率为(　　)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.0.021 4 B.0.043 0
C.0.818 5 D.0.682 6
【解析】选A.由题可设直径在(80,85]内的概率为P,则P=
≈=0.021 4.
3.(2024·长春模拟)若随机变量X~N,
P=0.3,则P(0【解析】由题意知:正态分布曲线关于X=1对称,所以P(0答案:0.4
考点三正态分布的综合应用
[例3](1)(2024·广州模拟)某班有48名学生,一次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N,且成绩在的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为__________.
【解析】由X(单位:分)服从正态分布N,知正态密度曲线的对称轴为x=80,成绩在上的学生人数为16,
由对称性知成绩在80分以上的学生人数为24人,所以90分以上的学生人数为24-16=8.
答案:8
(2)某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100,σ2).质量指标介于99至101之间的产品为良品,为使这种产品的良品率达到95.45%,则需调整生产工艺,使得σ至多为________.(若X~N(μ,σ2),则P{|X-μ|<2σ}≈0.954 5)
【解析】因为P{|X-μ|<2σ}≈0.954 5,且X~N(100,σ2),
所以P{100-2σ又质量指标介于99至101之间的产品为良品,且该产品的良品率达到95.45%,
所以(100-2σ,100+2σ) (99,101),即,解得σ≤,
所以σ至多为.
答案:
(3)从某企业生产的某种产品中抽取1 000件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
[2.5,7.5) 2 0.002
[7.5,12.5) m 0.054
[12.5,17.5) 106 0.106
[17.5,22.5) 149 0.149
[22.5,27.5) 352 n
[27.5,32.5) 190 0.190
[32.5,37.5) 100 0.100
[37.5,42.5) 47 0.047
合计 1 000 1.000
①求m,n,a的值;
②求出这1 000件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
③由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,其中已计算得σ2=52.6.如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50),企业每件产品可以获利10元,如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外,企业每件产品要损失100元,从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品,记X为抽取的20件产品所获得的总利润,求E(X).
附:≈7.25.
【解析】①结合题中频率分布表可以得到m=54,
n=0.352,a==0.038.
②抽取的1 000件产品质量指标值的样本平均数
=5×0.002+10×0.054+15×0.106+20×0.149+25×0.352+30×0.19+35×0.1+40×0.047=25.
③因为≈7.25,由②知Z~N(25,52.6),从而P(10.50P(25-2×7.25设Y为随机抽取20件产品质量指标值位于(10.50,39.50)之外的件数,依题意知Y~B(20,0.045 5),则E(Y)=20×0.045 5=0.91,所以E(X)=-100×E(Y)+10×20×0.954 5=99.9.
解题技法
解决正态分布问题有三个关键点
(1)对称轴x=μ;
(2)标准差σ;
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
对点训练
1.(2024·重庆模拟)若某种水果的果实横径X(单位:mm)服从正态分布N,则该种果实横径在的概率为______________.(附:若X~N,则P≈0.682 7, P≈0.954 5)
【解析】由题意可得μ=70,σ=5,则65=μ-σ,80=μ+2σ,
所以,P=P
=≈=0.818 6.
答案:0.818 6
2.对一个物理量做n次测量并以测量结果的均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差
εn~N(0,),为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要测量________次.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
【解析】根据正态曲线的对称性知要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,
则(μ-2σ,μ+2σ) (-0.5,0.5),
又μ=0,σ=,
所以0.5≥2 n≥32.
答案:32
3.在某质量检测考试中,高二年级学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市高二年级学生约100 000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第________名.
(参考数值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
【解析】因为考试的成绩X服从正态分布N(98,100),所以μ=98,σ=10,
所以108=μ+σ,则P(X>108)=P(X>μ+σ)=≈0.158 65,数学成绩为108分的学生大约排在全市第100 000×0.158 65=15 865(名).
答案:15 865
重难突破 概率与统计中的决策问题
【考查形式】
试题多以相互独立事件的概率、随机变量的期望、二项分布等作为载体,考查数据处理能力、运算求解能力及数学的应用与创新意识.重点考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养.
【解题关键】
(1)会“评价”:在数据分析的基础上能够基于数字特征给出统计意义上的评价结论.
(2)会“决策”:在基于数字特征给出有意义评价的基础上,分析利弊、观察风险,进而做出切实可行的合理决策方案或建议.
类型一 与回归分析相关的预测性问题
[例1]2021年6月,公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”,这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件,用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生。某省自“国家反诈中心APP”推出后,持续采取多措并举的推广方式,积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作.经统计,省反诈中心发现全省每月网络诈骗举报件数y(单位:件)与推广时间有关,并记录了经推广x个月后每月举报件数的数据:
推广月数x/个 1 2 3 4 5 6 7
y/件 891 888 351 220 200 138 112
(1)现用y=a+作为回归方程模型,利用表中数据,求出该经验回归方程;
(2)分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗
参考数据(其中ti=):
tiyi -7×
1 586 0.37 0.55
【解析】(1)由题意知=(891+888+351+220+200+138+112)=400,
令t=,设y关于t的经验回归方程为y=t+,
则===1 000,
则=400-1 000×0.37=30,所以y=1 000t+30,
又t=,所以y关于x的经验回归方程为y=+30.
(2)仅从现有统计数据所得回归方程y=+30,可发现当推广时间越来越长时,即x越来越大时,y的值会逐渐降至接近于30,可知该省一直加大力度推广下去,网络诈骗举报件数大概会逐渐降至30件,但在使用经验回归方程进行预测时,方程只适用于所研究的样本总体,一般具有时效性,不能期望回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值,所以若加大力度一直推广下去,并随着国家对网络诈骗的严厉打击和科技发展,再加上相关部门对个人信息防护手段的加强,人们对网络诈骗犯罪的防范意识逐步提高,网络诈骗举报件数是有可能降至接近于零的.
解题技法
预测问题的解题策略
(1)求经验回归方程;
(2)利用经验回归方程进行预测,把回归直线方程看作一次函数,求函数值.
对点训练
为了巩固拓展脱贫攻坚的成果,某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场.该特色水果的热卖黄金时段为2023年7月10日至9月10日,为了解直播的效果和关注度,该电商平台统计了已直播的2023年7月10日至7月14日时段中的相关数据,这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位:万人)的数据如下表:
日期 7月 10日 7月 11日 7月 12日 7月 13日 7月 14日
第x天 1 2 3 4 5
人数y (单位:万人) 75 84 93 98 100
(1)依据表中的统计数据,请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y(单位:万人)是否具有较高的线性相关程度;(参考:若0.3<|r|<0.75,则线性相关程度一般,若|r|>0.75,则线性相关程度较高,计算r时精确度为0.01)
【解析】(1)由题表中数据可得=3,=90,
所以(xi-)2=10,
又(yi-)2=434,(xi-)(yi-)=64,
所以r==≈0.97>0.75,
所以该电商平台直播黄金时段的天数x与购买人数y具有较高的线性相关程度.所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系.
(2)求购买人数y与直播的天数x的线性回归方程,用样本估计总体,请预测从2023年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位:万人).
参考数据:(yi-)2=434,(xi-)·(yi-)=64,≈65.879.
【解析】(2)求购买人数y与直播的第x天的经验回归方程.用样本估计总体,预测从2023年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位:万人).
由表中数据可得===6.4,
则=-=90-6.4×3=70.8,所以=6.4x+70.8.
令x=38,可得=6.4×38+70.8=314(万人).
类型二 与期望和方差相关的决策性问题
[例2]如图,某市有南、北两条城市主干道,在出行高峰期,北干道有N1,N2,N3,N4四个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率都是,南干道有S1,S2两个交通易堵塞路段,它们被堵塞的概率分别为,.某人在高峰期驾车从城西开往城东,假设以上各路段是否被堵塞互不影响.
(1)求北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率;
【解析】(1)记北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A,
则P(A)=1-=1-=.
(2)若南干道被堵塞路段的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
【解析】(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)= (1-)×(1-)=,
P(X=1)=×(1-)+(1-)×=,
P(X=2)=×=,
随机变量X的分布列为:
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准,则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条 请说明理由.
【解析】(3)设北干道被堵塞路段的个数为Y,
则Y~B(4,),所以E(Y)=4×=,
因为E(X)所以高峰期选择南干道路线较好.
解题技法
决策问题的解题策略
(1)在实际问题中,已知两个随机变量ξ1,ξ2,当E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时,就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.
(2)一般地,将期望最大(或最小)的方案作为最优方案,若各方案的期望相同,则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.
对点训练
某财经杂志发起一项调查,旨在预测某地经济前景,随机访问了100位业内人士,根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下:
经济前景等级 悲观 尚可 乐观
问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 5 10 19 24 17 9 7 4
假设被访问的每个人独立完成问卷(互不影响),根据经验,这100位人士的意见即可代表业内人士意见,且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.
(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士,试估计至少有一人预测经济前景为“乐观”的概率;
【解析】(1)由题意可知100名被采访者中,预测经济前景为“乐观”的人数为9+7+4=20(人),概率为0.2,若又随机访问两名业内人士,至少有一个预测经济前景为“乐观”的概率为P=0.22+·0.2·(1-0.2)=0.36.
(2)某人有一笔资金,现有两个备选的投资意向:物联网项目或人工智能项目,两种投资项目的年回报率都与经济前景等级有关,根据经验,大致关系如下(正数表示赢利,负数表示亏损):
经济前景等级 乐观 尚可 悲观
物联网项目年回报率(%) 12 4 -4
人工智能项目年回报率(%) 7 5 -2
根据以上信息,请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差,并用统计学知识给出投资建议.
【解析】(2)由题意可知,预测经济前景为“乐观”的概率为=0.2,预测经济前景为“尚可”的概率为=0.7,预测经济前景为“悲观”的概率为=0.1.
设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为E(X1),E(X2),方差分别为D(X1),D(X2),
则E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,
E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,
D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001 856,
D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000 561,
则E(X1)>E(X2),所以投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高,但二者相差不大.
D(X1)>D(X2),所以投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高,风险要小,所以建议投资人工智能项目.

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