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第四节　事件的独立性、条件概率与全概率公式
【课标解读】
【课程标准】
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.
3.会利用全概率公式计算概率.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.
预测 预计2025年高考中条件概率、全概率仍会出题.可能与其他知识交汇命题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.相互独立事件
(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=　P(A)P(B)　成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)两个公式:
①利用古典概型:P(B|A)=;
②概率的乘法公式:P(AB)=　P(A)P(B|A)　.
微点拨
P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组　两两互斥　的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)= P(Ai)·P(B|Ai)　.我们称此公式为全概率公式.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　　)
(2)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).(　　)
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立.(　　)
(4)若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(　　)
2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为,,则此谜题没被破解出的概率为(　　)
A. B. C. D.1
3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是(　　)
A. B. C. D.
4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A的概率为　　　　　　;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为　　　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一事件的相互独立性
角度1 事件独立性的判断
[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　)
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
解题技法
两个事件相互独立的判断方法
(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).
对点训练
(多选题)(2024·吉林模拟)口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个,从中不放回地依次取出2个球,事件A=“取出的两球同色”,事件B=“第一次取出的是白球”,事件C=“第二次取出的是白球”,事件D=“取出的两球不同色”,则(　　)
A.P=
B.B与C互斥
C.A与B相互独立
D.A与D互为对立
角度2 独立性事件的概率
[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为　　　;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为　　　　.
解题技法
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.
(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
对点训练
(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
【加练备选】
某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为(　　)
A. B. C. D.
考点二条件概率
[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2024·郴州模拟)第二届湖南旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行,为让广大学生知晓郴州,热爱郴州,亲身感受“走遍五大洲,最美有郴州”绿色生态研学,现有甲、乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地、王仙岭旅游风景区、雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学,记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”,事件B为“甲和乙选择研学线路不同”,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
解题技法
求条件概率的常用方法
(1)定义法:P(B|A)=.
(2)样本点法:P(B|A)=.
对点训练
1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
2.(2024·雅安模拟)甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④⑤5个项目中分别随机选择其中一项,记事件A:甲和乙选择的活动各不同,事件B:甲和乙恰好一人选择①,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
考点三 全概率公式的应用
[例4](1)一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2024·门头沟模拟)同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知,三家产品的正品率分别为0.95,0.90,0.80,甲、乙、丙三家产品数占比例为2∶3∶5,将三家产品混合在一起.从中任取一件,则此产品为正品的概率为　　　　.
解题技法
利用全概率公式解题的思路
(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n).
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai).
(3)代入全概率公式计算.
对点训练
(2024·莆田模拟)某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为(　　)
A.0.23 B.0.47 C.0.53 D.0.77第四节　事件的独立性、条件概率与全概率公式
【课标解读】
【课程标准】
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.
3.会利用全概率公式计算概率.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.
预测 预计2025年高考中条件概率、全概率仍会出题.可能与其他知识交汇命题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.相互独立事件
(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=　P(A)P(B)　成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)两个公式:
①利用古典概型:P(B|A)=;
②概率的乘法公式:P(AB)=　P(A)P(B|A)　.
微点拨
P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组　两两互斥　的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)= P(Ai)·P(B|Ai)　.我们称此公式为全概率公式.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　×　)
提示:因为当两个事件A,B相互独立时公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以(1)错误;
(2)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).(　√　)
提示:因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)==P(B),所以(2)正确;
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立.(　√　)
提示:因为抛掷2枚质地均匀的硬币,第一枚正面朝上,与第二枚正面的朝向无关,所以(3)正确;
(4)若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(　√　)
提示:因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,
所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以(4)正确.
2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为,,则此谜题没被破解出的概率为(　　)
A. B. C. D.1
【解析】选A.设“甲独立地破解出此谜题”为事件A,“乙独立地破解出此谜题”为事件B,则P(A)=,P(B)=,故P()=,P()=,所以P( )=×=,即此谜题没被破解出的概率为.
3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.设事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=,P(AB)=×=,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)===.
4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A的概率为　　　　　　;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为　　　　　　.
【解析】由题意,设第一次抽到A为事件B,第二次抽到A为事件C,
则P(BC)=×=,P(B)==,所以P(C|B)===.
答案:　
【核心考点·分类突破】
考点一事件的相互独立性
角度1 事件独立性的判断
[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　)
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).
则P(A)=P(B)=, P(C)==,P(D)==,
对于A选项,P(AC)=0;
对于B选项, P(AD)= =;
对于C选项, P(BC)= =;
对于D选项,P(CD)=0.
若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.
解题技法
两个事件相互独立的判断方法
(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).
对点训练
(多选题)(2024·吉林模拟)口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个,从中不放回地依次取出2个球,事件A=“取出的两球同色”,事件B=“第一次取出的是白球”,事件C=“第二次取出的是白球”,事件D=“取出的两球不同色”,则(　　)
A.P=
B.B与C互斥
C.A与B相互独立
D.A与D互为对立
【解析】选ACD.设2个白球分别为a1,a2,2个黑球分别为b1,b2,则样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b2),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1)},共12个基本事件.
事件A={(a1,a2),(a2,a1),(b1,b2),(b2,b1)},共4个基本事件;
事件B={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2)},共6个基本事件;
事件C={(a1,a2),(a2,a1),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共6个基本事件;
事件D={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2)},共8个基本事件,
对于A,由P(B)==,故A正确;
对于B,因为B∩C≠ ,所以事件B与C不互斥,故B错误;
对于C,因为P(A)==,P(B)==,P(AB)==,
则P(AB)=P(A)·P(B),故事件A与B相互独立,故C正确;
对于D,因为A∩D= ,A∪D=Ω,所以事件A与D互为对立,故D正确.
角度2 独立性事件的概率
[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为　　　;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为　　　　.
【解析】记两人又打了X个球后该局比赛结束,
设双方10∶10平后的第k个球甲得分为事件Ak(k=1,2,3…),
则P(X=2)=P(A1A2)+P()=P(A1)P(A2)+P()P()=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.
由乙先发球,且甲获胜的概率P=P(A1A3A4)+P(A2A3A4)
=P(A1)P()P(A3)P(A4)+P()P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5=0.1.
答案:0.5　0.1
解题技法
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.
(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
对点训练
(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
【解析】(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:
甲连胜四场的概率为;
乙连胜四场的概率为;
丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1---=.
(3)丙最终获胜有两种情况:
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为.
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,.
因此丙最终获胜的概率为+++=.
【加练备选】
某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.讨论元件3正常与不正常:第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为×1=;第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为×(×)=,故该部件正常工作的概率为+=.
考点二条件概率
[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.设事件A为“从七巧板中取出两块,取出的是三角形”,事件B为“两块板恰好是全等三角形”,则P(AB)==,P(A)==,所以P(B|A)===.
(2)(2024·郴州模拟)第二届湖南旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行,为让广大学生知晓郴州,热爱郴州,亲身感受“走遍五大洲,最美有郴州”绿色生态研学,现有甲、乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地、王仙岭旅游风景区、雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学,记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”,事件B为“甲和乙选择研学线路不同”,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.依题意,甲、乙随机选择一条线路去研学的试验有32个基本事件,
事件A含有的基本事件数是2×2+1=5,则P(A)=,
事件AB含有的基本事件数为2×2=4,
则P(AB)=,所以P(B|A)==.
解题技法
求条件概率的常用方法
(1)定义法:P(B|A)=.
(2)样本点法:P(B|A)=.
对点训练
1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
【解析】选A.根据题意,在该地的中学生中随机调查一位同学,设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出的同学爱好滑雪为事件B,
由于该地中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,则P(B)=0.5,
同时爱好两个项目的占该地中学生总人数的50%+60%-70%=40%,
则P(AB)=0.4,则P(A|B)===0.8.
2.(2024·雅安模拟)甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④⑤5个项目中分别随机选择其中一项,记事件A:甲和乙选择的活动各不同,事件B:甲和乙恰好一人选择①,则P(B|A)=(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意知,n==20,n==8,所以P===.
考点三 全概率公式的应用
[例4](1)一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率
P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×0.9+×0.25=.
(2)(2024·门头沟模拟)同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知,三家产品的正品率分别为0.95,0.90,0.80,甲、乙、丙三家产品数占比例为2∶3∶5,将三家产品混合在一起.从中任取一件,则此产品为正品的概率为　　　　.
【解析】由全概率公式,得所求概率P(A)=0.95×0.2+0.90×0.3+0.80×0.5=0.86.
答案:0.86
解题技法
利用全概率公式解题的思路
(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n).
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai).
(3)代入全概率公式计算.
对点训练
(2024·莆田模拟)某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品,三种产品的生产比例如图所示,且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为(　　)
A.0.23 B.0.47 C.0.53 D.0.77
【解析】选D.由题图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%,20%,10%,
记事件A1,A2,A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩,
则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,所以P=0.7,P=0.2,P=0.1,
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%,
记事件B为“选到绑带式口罩”,则P=0.9,P=0.5,P=0.4,
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为
P=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.

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