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第五节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
【课标解读】
【课程标准】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
【核心素养】
数据分析、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 离散型随机变量的分布列是高考考查重点,常以实际问题为背景,与排列组合结合在一起交汇命题,各种题型均有考查.
预测 预计2025年高考仍会在离散型随机变量、分布列出题,其中期望与方差的应用命题更加灵活、多变.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
微点拨
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.
4.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
微点拨
(1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均状态.
(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).
(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
(4)D(X)=E(X2)-(E(X))2.
(5)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出,
X 2 5
P 0.3 0.7
则它服从两点分布.(　)
提示: X的取值不是0,1,故不是两点分布.
(4)方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小.(　　)
2.(选择性必修三P63例1改编)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为(　　)
A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1
3.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
4.(均值性质应用错误)已知随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P
若Y=2X+3,则E(Y)的值为　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一 离散型随机变量分布列的性质
[例1](1)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P(A. B. C. D.
(2)设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X -1 0 1
P 2-3q q2
则q的值为(　　)
A.1 B.±
C.- D.+
解题技法
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
对点训练
1.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
2.设随机变量X满足P(X=i)=(i=1,2,3),则k=　　　　;P(X≥2)=　　　　.
3.随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=　　　,公差d的取值范围是　　　　.
【加练备选】
设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求2X+1的分布列;
(2)求随机变量η=|X-1|的分布列.
考点二 均值与方差的简单计算
[例2](1)(多选题)已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P m 3m
下列结论正确的有(　　)
A.m= B.E(X)=
C.E(2X-1)= D.D(X)=
(2)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为:
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有(　　)
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
(3)已知随机变量X的分布列如表:
X a 2 3 4
P b
若E(X)=2,则a=　　　　,D(X)=　　　　.
解题技法
均值与方差的简单计算方法
(1)对于一般的离散型随机变量的均值与方差的计算,要分清各数据,选择公式,代入计算.
(2)由已知期望或方差求参数值.可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值.
对点训练
1.设0ξ 0 m 1
P
则当m在(0,1)上增大时(　　)
A.D(ξ)单调递增,最大值为
B.D(ξ)先增后减,最大值为
C.D(ξ)单调递减,最小值为
D.D(ξ)先减后增,最小值为
2.已知m,n为正常数,离散型随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P m n
若随机变量X的均值E(X)=,则mn=　　　　,P(X≤0)=　　　　.
考点三 离散型随机变量的分布列
[例3]袋中有5个同样的球,其中有3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地取球,每次取1个,当两种颜色的球都被取到时,即停止取球,记随机变量X为此时已取球的次数,求:
(1)P(X=2)的值;
(2)随机变量X的分布列.
解题技法
离散型随机变量分布列的求解步骤
对点训练
甲同学参加化学竞赛初赛,考试分为笔试、口试、实验三个项目,各单项通过考试的概率依次为,,.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X,求随机变量X的分布列.
【加练备选】
有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.
(1)求n的值;
(2)求随机变量X的分布列.
考点四 离散型随机变量的数字特征(规范答题)
[例4](1)从1,2,3,4,5这组数据中,随机取出三个不同的数,用X表示取出的数字的最小数,则随机变量X的均值E(X)等于(　　)
A. B. C. D.
(2)(12分)(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
①求第2次投篮的人是乙的概率.
②求第i次投篮的人是甲的概率.
③已知:若随机变量Xi服从两点分布,且
P=1-P=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
审题导思破题点·柳暗花明
① 思路:第2次投篮的人是乙包含两个子事件:“第1次投篮的人是甲且甲未命中”和 事件“第1次投篮的人是乙且乙命中”,两子事件互斥求出概率.
② 思路:记第i次投篮的人是甲的概率为pi,可以用与①类似的思路去寻找pi+1与pi之间的关系,建立数列{pi}的递推式来计算pi.
③ 思路:题设中给出了n个随机变量之和的数学期望的计算公式,启发我们构造两点分布的随机变量Xi,以利用公式结合②进行作答.
规范答题 微敲点·水到渠成
解题技法
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义,写出ξ可能的全部取值;
(2)求ξ取每个值的概率;
(3)写出ξ的分布列;
(4)由均值的定义求E(ξ);
(5)由方差的定义求D(ξ).
对点训练
1.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则(　　)
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的期望为2
D.取球次数ξ的方差为
2.(2024·泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核,需要进行两轮测试,每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过,只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试,两轮测试的过程相互独立,并规定:
①两轮测试均通过的定为一级工程师;
②仅通过第一轮测试,而第二轮测试没通过的定为二级工程师;
③第一轮测试没通过的不予定级.
现有某公司的甲、乙、丙三位工程师参加等级考核,已知他们通过第一轮测试的概率分别为,,,通过第二轮测试的概率均为.
(1)求经过本次考核,甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率;
(2)公司为鼓励工程师参加等级考核设置两套奖励方案:
方案一:定为一级工程师奖励2 000元,定为二级工程师奖励1 500元,未定级给予鼓励奖500元;
方案二:获得一级或二级工程师均奖励2 000元,未获得任何等级的不予奖励.
采用哪套方案,公司的奖励支出会更少 第五节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
【课标解读】
【课程标准】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
【核心素养】
数据分析、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 离散型随机变量的分布列是高考考查重点,常以实际问题为背景,与排列组合结合在一起交汇命题,各种题型均有考查.
预测 预计2025年高考仍会在离散型随机变量、分布列出题,其中期望与方差的应用命题更加灵活、多变.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
微点拨
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.
4.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
微点拨
(1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均状态.
(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).
(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
(4)D(X)=E(X2)-(E(X))2.
(5)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 ×　)
提示:离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件,故各概率之和等于1.
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　 √　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出,
X 2 5
P 0.3 0.7
则它服从两点分布.(　 ×　)
提示: X的取值不是0,1,故不是两点分布.
(4)方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小.(　 √　)
2.(选择性必修三P63例1改编)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为(　　)
A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1
【解析】选C.某篮球运动员罚球1次的得分为X,X的取值可能为0,1,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.
3.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
【解析】选B.对于A,该组数据的平均数为(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,
方差为(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;
对于B,该组数据的平均数为(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,
方差为(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;
对于C,该组数据的平均数为(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,
方差为(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.05;
对于D,该组数据的平均数为(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.5,
方差为(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45.
所以B这一组的标准差最大.
4.(均值性质应用错误)已知随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P
若Y=2X+3,则E(Y)的值为　　　　.
【解析】E(X)=-+=-,
则E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.
答案:
【核心考点·分类突破】
考点一 离散型随机变量分布列的性质
[例1](1)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P(A. B. C. D.
【解析】选D.因为P(X=n)=(n=1,2,3,4),所以+++=1,所以a=.
所以P((2)设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X -1 0 1
P 2-3q q2
则q的值为(　　)
A.1 B.±
C.- D.+
【解析】选C.由分布列的性质知解得q=-.
解题技法
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
对点训练
1.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
【解析】选C.由随机变量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X2.设随机变量X满足P(X=i)=(i=1,2,3),则k=　　　　;P(X≥2)=　　　　.
【解析】由已知得随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
所以++=1,所以k=.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
答案:　
3.随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=　　　,公差d的取值范围是　　　　.
【解析】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.
又a+b+c=1,所以b=,所以P(|X|=1)=a+c=.
又a=-d,c=+d,
根据分布列的性质,得0≤-d≤,0≤+d≤,所以-≤d≤.
答案:　[-,]
【加练备选】
设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求2X+1的分布列;
(2)求随机变量η=|X-1|的分布列.
【解析】(1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.
列表为
X 0 1 2 3 4
2X+1 1 3 5 7 9
从而2X+1的分布列为
2X+1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
【解析】(2)由(1)知m=0.3,列表为
X 0 1 2 3 4
η 1 0 1 2 3
所以P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,
P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3,故η=|X-1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
考点二 均值与方差的简单计算
[例2](1)(多选题)已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P m 3m
下列结论正确的有(　　)
A.m= B.E(X)=
C.E(2X-1)= D.D(X)=
【解析】选ABD.由分布列的性质得,+4m=1,解得m=,故A正确;
E(X)=-1×+0×+1×=,故B正确;
E(2X-1)=2E(X)-1=-,故C不正确;
D(X)=×(-1-)2+×(0-)2+×(1-)2=,故D正确.
(2)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为:
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有(　　)
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
【解析】选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确,B错误;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.
(3)已知随机变量X的分布列如表:
X a 2 3 4
P b
若E(X)=2,则a=　　　　,D(X)=　　　　.
【解析】由题意知,+b++=1,所以b=.
又E(X)=a×+2×+3×+4×=2,解得a=0,
所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=.
答案:0　
解题技法
均值与方差的简单计算方法
(1)对于一般的离散型随机变量的均值与方差的计算,要分清各数据,选择公式,代入计算.
(2)由已知期望或方差求参数值.可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值.
对点训练
1.设0ξ 0 m 1
P
则当m在(0,1)上增大时(　　)
A.D(ξ)单调递增,最大值为
B.D(ξ)先增后减,最大值为
C.D(ξ)单调递减,最小值为
D.D(ξ)先减后增,最小值为
【解析】选D.由题知++=1,解得a=1,所以E(ξ)=0++=,
所以D(ξ)= ()2×+(m-)2×+(1-)2×=(m2-m+1)=[ (m-)2+].
由二次函数性质可知,D(ξ)在(0,)上单调递减,在(,1)上单调递增,
所以当m=时,D(ξ)有最小值.
2.已知m,n为正常数,离散型随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P m n
若随机变量X的均值E(X)=,则mn=　　　　,P(X≤0)=　　　　.
【解析】由题意知解得所以mn=,P(X≤0)=m+=.
答案:　
考点三 离散型随机变量的分布列
[例3]袋中有5个同样的球,其中有3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地取球,每次取1个,当两种颜色的球都被取到时,即停止取球,记随机变量X为此时已取球的次数,求:
(1)P(X=2)的值;
(2)随机变量X的分布列.
【解析】(1)由已知可得从袋中不放回地取球两次的所有取法有种,事件X=2表示第一次取到红球第二次取到黄球或第一次取到黄球第二次取到红球,故事件X=2包含+种取法,所以P(X=2)==.
(2)随机变量X的可能取值为2,3,4.
P(X=2)=,P(X=3)==,
P(X=4)==.
所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4
P
解题技法
离散型随机变量分布列的求解步骤
对点训练
甲同学参加化学竞赛初赛,考试分为笔试、口试、实验三个项目,各单项通过考试的概率依次为,,.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X,求随机变量X的分布列.
【解析】随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)= (1-)×(1-)×(1-)=,
P(X=1)=××+××+××=,P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【加练备选】
有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.
(1)求n的值;
(2)求随机变量X的分布列.
【解析】(1)因为当X=2时,有种坐法,
因为=6,即=6,也即n2-n-12=0,
解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意可知X的可能取值是0,2,3,4,
所以P(X=0)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)=1---=,
所以X的分布列为
X 0 2 3 4
P
考点四 离散型随机变量的数字特征(规范答题)
[例4](1)从1,2,3,4,5这组数据中,随机取出三个不同的数,用X表示取出的数字的最小数,则随机变量X的均值E(X)等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意知,X的可能取值为1,2,3,而随机取3个数的取法有种,
当X=1时,取法有种,即P(X=1)==;
当X=2时,取法有种,即P(X=2)==;
当X=3时,取法有种,即P(X=3)==;
所以E(X)=1×+2×+3×=.
(2)(12分)(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
①求第2次投篮的人是乙的概率.
②求第i次投篮的人是甲的概率.
③已知:若随机变量Xi服从两点分布,且
P=1-P=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
审题导思破题点·柳暗花明
① 思路:第2次投篮的人是乙包含两个子事件:“第1次投篮的人是甲且甲未命中”和 事件“第1次投篮的人是乙且乙命中”,两子事件互斥求出概率.
② 思路:记第i次投篮的人是甲的概率为pi,可以用与①类似的思路去寻找pi+1与pi之间的关系,建立数列{pi}的递推式来计算pi.
③ 思路:题设中给出了n个随机变量之和的数学期望的计算公式,启发我们构造两点分布的随机变量Xi,以利用公式结合②进行作答.
规范答题 微敲点·水到渠成
【解析】①记“第2次投篮的人是乙”为事件A,“第1次投篮的人是甲”为事件B.
则A=BA+A, ……………………1分
所以P(A)=P(BA+A)=P(BA)+P(A)
=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.……………………4分
指点迷津　根据全概率公式求解.根据题设中的投篮规则,若命中则继续投,若未命中则换为对方投;只要轮到甲投,甲的命中率总是0.6,只要轮到乙投,乙的命中率总是0.8;第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
②设第i次投篮的人是甲的概率为pi,
由题意可知,p1=,
pi+1=pi×0.6+×(1-0.8),
即pi+1=0.4pi+0.2=pi+, ……………………7分
情境探源　本题源自选择性必修第三册P91拓广探索T10,根据全概率公式确定pi+1与pi的递推关系,构造等比数列{pi+λ}.
设pi+1+λ=,解得λ=-,
所以pi+1-=, ……………………8分
关键点　由递推公式构造等比数列.
又p1=,p1-=-=,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以pi-=×,
所以pi=+×. ……………………9分
③设随机变量Xi=
(i=1,2,…,n),则Xi服从两点分布.
指点迷津　P=pi,P=1-pi,所以E=pi.表示出第i次投篮时甲的数学期望.又Y=X1+X2+X3+…+Xn,
则E(Y)=E
=p1+p2+p3+…+pn.
由②知,P(Xi=1)=+×, ……………………10分
所以E(Y)=E(Xi)=p1+p2+p3+…+pn
=+×[1+++…+] ……………………11分
=+×=+×[1-]. ……………………12分
关键点　根据分组求和法,求出数列的前n项和,得出结果.
解题技法
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义,写出ξ可能的全部取值;
(2)求ξ取每个值的概率;
(3)写出ξ的分布列;
(4)由均值的定义求E(ξ);
(5)由方差的定义求D(ξ).
对点训练
1.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则(　　)
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的期望为2
D.取球次数ξ的方差为
【解析】选BD.由题可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,
则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=.
对于A,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,错误;
对于B,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=+=,正确;
对于C,取球次数ξ的期望为
E(ξ)=1×+2×+3×=,错误;
对于D,取球次数ξ的方差为D(ξ)= (1-)2×+(2-)2×+(3-)2×=,正确.
2.(2024·泉州模拟)某技术部门对工程师进行达标等级考核,需要进行两轮测试,每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过,只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试,两轮测试的过程相互独立,并规定:
①两轮测试均通过的定为一级工程师;
②仅通过第一轮测试,而第二轮测试没通过的定为二级工程师;
③第一轮测试没通过的不予定级.
现有某公司的甲、乙、丙三位工程师参加等级考核,已知他们通过第一轮测试的概率分别为,,,通过第二轮测试的概率均为.
(1)求经过本次考核,甲、乙、丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率;
(2)公司为鼓励工程师参加等级考核设置两套奖励方案:
方案一:定为一级工程师奖励2 000元,定为二级工程师奖励1 500元,未定级给予鼓励奖500元;
方案二:获得一级或二级工程师均奖励2 000元,未获得任何等级的不予奖励.
采用哪套方案,公司的奖励支出会更少
【解析】(1)设甲、乙、丙被定为一级工程师的事件分别为A1,A2,A3,
事件C表示三位工程师中恰有两位被定为一级工程师.
P=×=,P=P=×=,
所以P(C)=P+P+P(A1A2)=××+××+××=.
(2)方案一:设甲、乙、丙获得的奖金分别为X,Y,Z,则X,Y,Z的取值均为
2 000,1 500,500;
则P(X=2 000)=P=,
P(X=1 500)=×(1-)=,
P(X=500)=1-=;
故E(X)=2 000×+1 500×+500×=,
P(Y=2 000)=P(Z=2 000)=P=,
P(Y=1 500)=P(Z=1 500)=×(1-)=,
P(Y=500)=P(Z=500)=1-=;
E(Y)=E(Z)=2 000×+1 500×+500×=;
E(X)+E(Y)+E(Z)=+2×=.
方案二:设甲、乙、丙获得的奖金分别为X',Y',Z',则X',Y',Z'的取值均为2 000,0;
P=+×(1-)=,E=2 000×=;
P=P=+×(1-)=,E=E=2 000×=,　　
E+E+E=+2×=,
显然>,采用方案二,公司的奖励支出会更少.

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