资源简介 第二节 导数与函数的单调性【课标解读】【课程标准】1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【核心素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算.【命题说明】考向 考法 高考命题常以函数的导数符号与函数的单调性的关系为主,求函数的单调区间,或已知函数的单调性(单调区间)求函数解析式中的参数范围.预测 2025年高考中仍是重点考点.函数单调性的讨论与应用是高考考查的重点,而含有参数的函数单调性的讨论与应用是高考中的难点.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.函数的单调性与导数的关系前提 条件 结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a,b)上单调递增f'(x)<0 f(x)在区间(a,b)上单调递减f'(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f'(x)的零点;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.常用结论1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.基础诊断·自测类型 辨析 改编 易错 高考题号 1 2 4 31.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.( )(2)若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上一定单调递增.( )(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.( )(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )2.(选修二P97T2·变形式)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是__________. 3.(2022·浙江高考节选)设函数f(x)=+ln x(x>0).则f(x)的单调递减区间为________,单调递增区间为__________. 4.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上单调递增,则实数k的取值范围为____________. 【核心考点·分类突破】考点一不含参数的函数单调性[例1](1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( )A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x(2)求下列函数的单调区间.①f(x)=4x2+; ②f(x)=;③f(x)=;④f(x)=(x-1)ex-x2.解题技法单调区间的求法(1)求函数的单调区间注意先求定义域.(2)使f'(x)>0的区间为f(x)的单调递增区间,使f'(x)<0的区间为f(x)的单调递减区间.(3)函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.对点训练1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是( )A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)2.已知函数f(x)=x-ln x-.判断函数f(x)的单调性.考点二含有参数的函数的单调性[例2]已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数g(x)的单调性.解题技法利用分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.(2)注意观察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点.(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.对点训练已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,讨论f(x)的单调性.考点三函数单调性的应用角度1 比较大小[例3](1)(多选题)(2024·淄博模拟)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的是( )A.ln 2> B.ln 3<C.ln π> D.<(2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-cos x,则f (),f(0),f (-)的大小关系为________(用“<”连接). 角度2 解不等式[例4](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为( )A.{x|x>-2} B.{x|x>2}C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}(2)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为__________. 角度3 根据函数的单调性求参数的范围[例5](1)金榜原创·易错对对碰已知g(x)=2x+ln x-.①若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,则实数a的取值范围为____________. ②若函数g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为__________. (2)(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是________. 解题技法1.利用导数比较大小,其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小.2.与函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调性,从而解不等式.3.根据函数单调性求参数的方法:(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).对点训练1.(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=3x+2cos x.若a=f(3),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是( )A.aC.b2.已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满足f'(x)<2x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是( )A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)C.(2,+∞) D.(-∞,2)3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )A.e2 B.e C.e-1 D.e-2第二节 导数与函数的单调性【课标解读】【课程标准】1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【核心素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算.【命题说明】考向 考法 高考命题常以函数的导数符号与函数的单调性的关系为主,求函数的单调区间,或已知函数的单调性(单调区间)求函数解析式中的参数范围.预测 2025年高考中仍是重点考点.函数单调性的讨论与应用是高考考查的重点,而含有参数的函数单调性的讨论与应用是高考中的难点.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.函数的单调性与导数的关系前提 条件 结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a,b)上单调递增f'(x)<0 f(x)在区间(a,b)上单调递减f'(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f'(x)的零点;第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.常用结论1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.基础诊断·自测类型 辨析 改编 易错 高考题号 1 2 4 31.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.( × )(2)若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上一定单调递增.( × )(3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.( × )(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( √ )提示:(1) 有可能f'(x)=0,如f(x)=x3,它在(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)=3x2≥0. ×(2) 若y=f(x)为常数函数,则f'(x)=0,满足条件,但不具备单调性. ×(3) 反例,f(x)=-,虽然f'(x)=>0,但f(x)=-在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性. ×(4) 如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则此函数f(x)在这个区间内为常数函数,则函数f(x)在这个区间内没有单调性. √2.(选修二P97T2·变形式)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是__________. 【解析】由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0,得x<-2或x>,故f(x)的单调递增区间为(-∞,-2), (,+∞).答案:(-∞,-2), (,+∞)3.(2022·浙江高考节选)设函数f(x)=+ln x(x>0).则f(x)的单调递减区间为________,单调递增区间为__________. 【解析】f'(x)=-+=,当0当x>时,f'(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).答案: (0,) (,+∞)4.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上单调递增,则实数k的取值范围为____________. 【解析】因为f'(x)=cos x+k≥0,所以k≥-cos x,x∈(0,π)恒成立.当x∈(0,π)时,-1<-cos x<1,所以k≥1.答案:[1,+∞)【核心考点·分类突破】考点一不含参数的函数单调性[例1](1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( )A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x【解析】选B.对于A,f'(x)=2cos 2x,f'()=-1<0,不符合题意;对于B,f'(x)=(x+1)ex>0,符合题意;对于C,f'(x)=3x2-1,f'()=-<0,不符合题意;对于D,f'(x)=-1+,f'(2)=-<0,不符合题意.(2)求下列函数的单调区间.①f(x)=4x2+; ②f(x)=;③f(x)=;④f(x)=(x-1)ex-x2.【解析】①定义域为{x|x≠0},f'(x)=8x-,令f'(x)>0,得8x->0,即x3>,所以x>.令f'(x)<0,得x<且x≠0.所以f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(-∞,0), (0,).②定义域为(0,1)∪(1,+∞).f'(x)==.由f'(x)>0,解得x>e.由f'(x)<0,解得0所以f(x)的单调递增区间为(e,+∞),f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e).③f'(x)==.令f'(x)>0,得cos x>-,即2kπ-令f'(x)<0,得cos x<-,即2kπ+因此f(x)的单调递增区间为(2kπ-,2kπ+)(k∈Z),f(x)的单调递减区间为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).④由f(x)=(x-1)ex-x2,得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln 2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化如表:x (-∞,0) 0 (0,ln2) ln2 (ln2,+∞)f'(x) + 0 - 0 +f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由表可知,函数f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).解题技法单调区间的求法(1)求函数的单调区间注意先求定义域.(2)使f'(x)>0的区间为f(x)的单调递增区间,使f'(x)<0的区间为f(x)的单调递减区间.(3)函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.对点训练1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是( )A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)【解析】选A.因为f'(x)=2x-=(x>0),令f'(x)=0,得x=1,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以单调递减区间为(0,1).2.已知函数f(x)=x-ln x-.判断函数f(x)的单调性.【解析】因为f(x)=x-ln x-,所以f'(x)=1--=(x>0).令g(x)=x-ex,则g'(x)=1-ex,可得g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.考点二含有参数的函数的单调性[例2]已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数g(x)的单调性.【解析】因为g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,所以g'(x)==.由题意知函数g(x)的定义域为(0,+∞),若<1,即a>,由g'(x)>0得x>1或0由g'(x)<0得所以函数g(x)在(0,),(1,+∞)上单调递增,在(,1)上单调递减;若>1,即0由g'(x)>0得x>或0由g'(x)<0得1所以函数g(x)在(0,1), (,+∞)上单调递增,在(1,)上单调递减;若=1,即a=,则在(0,+∞)上恒有g'(x)≥0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得,当0当a=时,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>时,函数g(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.解题技法利用分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间.(2)注意观察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点.(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等.(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.对点训练已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,讨论f(x)的单调性.【解析】由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=1+-=.设g(x)=x2-ax+2,则二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.①当Δ<0,即00都有f'(x)>0.此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当Δ=0,即a=2时,仅对x=有f'(x)=0,对其余的x>0都有f'(x)>0.此时f(x)也在(0,+∞)上单调递增.③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,x2=,且0x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)f'(x) + 0 - 0 +f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增此时f(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.考点三函数单调性的应用角度1 比较大小[例3](1)(多选题)(2024·淄博模拟)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的是( )A.ln 2> B.ln 3<C.ln π> D.<【解析】选ACD.令g(x)=,则g'(x)=,当00,当x>e时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.因为2所以ln 2<,故A错误.因为e<3<π,所以g(e)>g(3)>g(π),即=>>,所以ln 3<,ln π<,>,故B正确,C,D错误.(2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-cos x,则f (),f(0),f (-)的大小关系为________(用“<”连接). 【解析】因为f(x)的定义域为R,且函数f(-x)=(-x)2-cos (-x)=x2-cos x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f()=f(-),f'(x)=2x+sin x,当00,所以函数在(0,)上单调递增,所以f(0)即f(0)答案:f(0)角度2 解不等式[例4](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为( )A.{x|x>-2} B.{x|x>2}C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}【解析】选B.令g(x)=f(x)-2x3-2x,则g'(x)=f' (x)-6x2-2>0,所以g(x)在R上单调递增.因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,故原不等式等价于g(x)>g(2),所以x>2,所以不等式f(x)>2x3+2x的解集为{x|x>2}.(2)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为__________. 【解析】f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R,f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当x=0时取“=”,所以f(x)在R上单调递增,又f(0)=1,所以原不等式可化为f(2x-3)>f(0),即2x-3>0,解得x>,所以原不等式的解集为(,+∞).答案: (,+∞)角度3 根据函数的单调性求参数的范围[例5](1)金榜原创·易错对对碰已知g(x)=2x+ln x-.①若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,则实数a的取值范围为____________. ②若函数g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为__________. 【解析】①g'(x)=2++(x>0).所以g'(x)≥0在[1,2]上恒成立,即2++≥0在[1,2]上恒成立,所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2],(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3.所以实数a的取值范围是[-3,+∞).答案:[-3,+∞)②g(x)在[1,2]上存在单调递增区间,则g'(x)>0在[1,2]上有解,即a>-2x2-x在[1,2]上有解,所以a>(-2x2-x)min,又(-2x2-x)min=-10,所以a>-10,所以实数a的取值范围是(-10,+∞).答案:(-10,+∞)(2)(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是________. 【解析】由函数的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln (1+a)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则(1+a)xln (1+a)≥-axln a,即≥-在区间(0,+∞)上恒成立,故=1≥-,而a+1∈(1,2),故ln (1+a)>0,故,即,故≤a<1,结合题意可得实数a的取值范围是[,1).答案: [,1)解题技法1.利用导数比较大小,其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小.2.与函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调性,从而解不等式.3.根据函数单调性求参数的方法:(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).对点训练1.(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=3x+2cos x.若a=f(3),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是( )A.aC.b【解析】选D.由题意,得f'(x)=3-2sin x.因为-1≤sin x≤1,所以f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)是增函数.因为>1,所以3>3.又log24所以2所以f(2)2.已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满足f'(x)<2x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是( )A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)C.(2,+∞) D.(-∞,2)【解析】选D.令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x<0,即函数g(x)在R上单调递减.又不等式f(x)>x2-1可化为f(x)-x2>-1,而g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以该不等式可化为g(x)>g(2),故该不等式的解集为(-∞,2).3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )A.e2 B.e C.e-1 D.e-2【解析】选C.因为函数f(x)=aex-ln x,所以f'(x)=aex-,因为函数f(x)=aex-ln x在(1,2)上单调递增,所以f'(x)≥0在(1,2)上恒成立,即aex-≥0在(1,2)上恒成立,易知a>0,则0<≤xex在(1,2)上恒成立,设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex,当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以在(1,2)上,g(x)>g(1)=e,所以≤e,即a≥=e-1. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第四章 第二节 导数与函数的单调性 - 学生版 .docx 第四章 第二节 导数与函数的单调性.docx