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第三节　导数与函数的极值、最值
【课标解读】
【课程标准】
1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
【核心素养】
数学抽象、逻辑推理、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题以考查函数的极值、最值的概念,求函数的极值、最值为重点内容,对参数分类讨论,是每年的必考内容,三种题型都可能出现,题目难度较大.
预测 2025年高考中利用导数求函数的极值和最值是必考的考点,极值问题会出现在选择题或填空题中,难度属于中档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的极值与导数
条 件 f'(x0)=0
在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
微点拨①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不确定.
②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
微点拨函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.
常用结论
1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.
2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
3.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(　　)
(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.( )
(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　　)
(4)函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值.(　　)
2.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　)
A.-1 B.- C. D.1
3.(选择性必修二·P98T6·变形式)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-,1],则f(x)的最大值为________,最小值为________.
4.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a=________,b=________.
【核心考点·分类突破】
考点一利用导数求函数的极值问题
考情提示
函数极值是导数在研究函数中的一个重要应用,在高考中也是重点考查的内容,主要考查导数与函数单调性、极值或方程、不等式的综合应用,既有选择题、填空题,也有解答题.
角度1　根据导函数图象判断极值
[例1](多选题)(2023·石家庄模拟)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则(　　)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的极小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.-2是函数y=f(x)的极大值点
角度2　已知函数解析式求极值或极值点
[例2](1)(2023·西安模拟)已知f(x)=,则f(x)(　　)
A.在(-∞,+∞)上单调递增
B.在(-∞,1)上单调递减
C.有极大值,无极小值
D.有极小值,无极大值
　(2)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
①当a=时,求f(x)的极值;
②讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
角度3　已知极值(点)求参数(规范答题)
[例3](1)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则c的值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.2或6
(2)(2023·南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为____________.
(3)(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)
①证明:当0②已知函数f(x)=cos ax-ln (1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
审题导思破题点·柳暗花明
① 思路:通过构造函数并借助导数得到单调性,进而证明不等式
② 思路:通过第①问铺设好的不等式,利用导数讨论函数的单调性,进而得到极值
1.由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);
(3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧导数值的符号;(5)求出极值.
3.已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
对点训练
1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)
B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)
C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)
D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)
2.(2023·长沙模拟)若1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极大值为__________.
【加练备选】 (2023·威海模拟)若函数f(x)=ex-ax2-2ax有两个极值点,则实数a的取值范围为(　　)
A. (-,0) B. (-∞,-)
C. (0,) D. (,+∞)
[例4](2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间的最小值、最大值分别为(　　)
A.-, B.-,
C.-,+2 D.-,+2
解题技法
求函数f(x)在[a,b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上有极值,则先求出函数在[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.
对点训练
1.(2023·苏州模拟)若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)
2.已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
(1)若a=-1时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
考点三生活中的优化问题
[例5](1)(2023·温州模拟)某冷饮店的日销售额y(单位:元)与当天的最高气温x(单位:℃,20≤x≤40)的关系式为y=x2-x3,则该冷饮店的日销售额的最大值约为(　　)
A.907元 B.910元
C.915元 D.920元
(2)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为
12 000π元(π为圆周率).
①将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
②讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.
解题技法
利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤
对点训练
一个圆柱形圆木的底面半径为1 m,长为10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数解析式;
(2)求当体积V最大时θ的值;
(3)问:当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大 请说明理由.第三节　导数与函数的极值、最值
【课标解读】
【课程标准】
1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
【核心素养】
数学抽象、逻辑推理、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题以考查函数的极值、最值的概念,求函数的极值、最值为重点内容,对参数分类讨论,是每年的必考内容,三种题型都可能出现,题目难度较大.
预测 2025年高考中利用导数求函数的极值和最值是必考的考点,极值问题会出现在选择题或填空题中,难度属于中档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的极值与导数
条 件 f'(x0)=0
在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
微点拨①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不确定.
②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
微点拨函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.
常用结论
1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.
2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.
3.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(　 ×　)
(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(　 √　)
(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　 ×　)
(4)函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值.(　 √　)
提示:
(1) 反例f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点. ×
(3) 反例f(x)=x2在区间(-1,2)上的最小值为0. ×
2.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　)
A.-1 B.- C. D.1
【解析】选B.因为函数f的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f=-2,f'=0,而f'=-,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'=-+,因此函数f在上单调递增,在上单调递减,当x=1时取最大值,满足题意,即有f'=-1+=-.
3.(选择性必修二·P98T6·变形式)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-,1],则f(x)的最大值为________,最小值为________.
【解析】f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
因为x∈[-,1],所以f'(x)<0,
故f(x)在[-,1]上单调递减,
所以f(x)的最大值为f(-)=,最小值为f(1)=-10.
答案:　-10
4.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a=________,b=________.
【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,
依题意得即
解得或
经验证,当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,
所以不符合题意,舍去.
当a=4,b=-11时,符合题意.
答案:4　-11
【核心考点·分类突破】
考点一利用导数求函数的极值问题
考情提示
函数极值是导数在研究函数中的一个重要应用,在高考中也是重点考查的内容,主要考查导数与函数单调性、极值或方程、不等式的综合应用,既有选择题、填空题,也有解答题.
角度1　根据导函数图象判断极值
[例1](多选题)(2023·石家庄模拟)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则(　　)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的极小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.-2是函数y=f(x)的极大值点
【解析】选AC.根据导函数的图象可知,
当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,
所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确.
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B错误,C正确,D错误.
角度2　已知函数解析式求极值或极值点
[例2](1)(2023·西安模拟)已知f(x)=,则f(x)(　　)
A.在(-∞,+∞)上单调递增
B.在(-∞,1)上单调递减
C.有极大值,无极小值
D.有极小值,无极大值
【解析】选C.因为f(x)=,
所以f'(x)==,
当x>1时,f'(x)<0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,故A错误;当x<1时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,故B错误;当x=1时,f(x)=取得极大值,无极小值,故C正确,D错误.
　(2)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
①当a=时,求f(x)的极值;
②讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【解析】①当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞)且f'(x)=-,
令f'(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表.
x (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 ln2-1 单调递减
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln2-1,无极小值.
②由①知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-a=.
当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;
当a>0时,若x∈(0,),则f'(x)>0,
若x∈(,+∞),则f'(x)<0,
故函数在x=处有极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,
当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为.
角度3　已知极值(点)求参数(规范答题)
[例3](1)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则c的值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.2或6
【解析】选A.由题意,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)·(3x-c),则f'(2)=(2-c)(6-c)=0,所以c=2或c=6.若c=2,则f'(x)=(x-2)(3x-2),当x∈(-∞,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,函数f(x)在x=2处有极小值,满足题意;若c=6,则f'(x)=(x-6)(3x-6),当x∈(-∞,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(2,6)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(6,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,函数f(x)在x=2处有极大值,不符合题意.
综上,c=2.
(2)(2023·南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为____________.
【解析】f'(x)=ln x+1-2ax,
由题意知ln x+1-2ax=0在(0,+∞)上有两个不相等的实根,
则2a=,
设g(x)=,则g'(x)=-.
当00,g(x)单调递增;
当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)的极大值为g(1)=1,
又当x>1时,g(x)>0,
当x→+∞时,g(x)→0,
当x→0时,g(x)→-∞,
所以0<2a<1,即0答案: (0,)
(3)(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)
①证明:当0②已知函数f(x)=cos ax-ln (1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
审题导思破题点·柳暗花明
① 思路:通过构造函数并借助导数得到单调性,进而证明不等式
② 思路:通过第①问铺设好的不等式,利用导数讨论函数的单调性,进而得到极值
规范答题微敲点·水到渠成
【解析】①设h(x)=sin x-x,
则h'(x)=cos x-1, ………………………………………………………………1分
当0所以当0即sin x源于教材　sin x设g(x)=sin x-x+x2,
则g'(x)=cos x-1+2x,g″(x)=-sin x+2>0, ………………………………………3分
因而当0g'(0)=0,g(x)>g(0)=0,则有sin x>x-x2(0综上,当0②f(x)=cos ax-ln(1-x2),
由1-x2>0得函数的定义域是(-1,1).
由f(x)=f(-x),得函数f(x)为偶函数,
则f'(x)=-asin ax+为奇函数,f'(0)=0.
f″(x)=-a2cos ax+为偶函数,
f″(0)=2-a2.
若2-a2=0,此时x=0是f(x)的极小值点,不符合题意,则2-a2≠0,即a≠±.
若f(x)在x=0处取得极大值,那么该函数在x=0处是上凸的,因而f″(0)=2-a2<0,
敲黑板　实际上,这里蕴含着“高观点”函数f(x)在x0处具有二阶导数,且f'(x0)=0,f″(x0) ≠0,则f(x)在x0处取得极大值的充分条件为f″(x0) <0.
则a<-或a>. ……………………………………………………………6分
当a>时,取0从而f'(x)=-asin ax+<-a(ax-a2x2)+=x,
指点迷津　利用①的结论进行放缩,转化成不含三角函数的形式,有助于判断零点.
易知s(x)=-a2+a3x+在上单调递增,而s(0)=2-a2<0,s=>0,
因而关于x的方程f'(x)=0在上有唯一解x0,
当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
由f(x)是偶函数且连续,得当x∈(-x0,0)时f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取极大值.
…………………………………………………………………………9分
拓展思维　也可利用f'(x)为奇函数且连续,得x∈(-x0,0)时f'(x)>0,进而判断极值点.
当a<-时,取从而f'(x)=-asin ax+<-a(ax)+=x,
易知u(x)=-a2+在上单调递减,
而u(0)=-a2+2<0,由-a2+=0,得x=<0,x=->0(舍).
易错警示　注意此时的前提条件a<0,所以x=->0要舍去,这里要细心观察,避免出现错误.
因而f(x)在(,0)(若<,
则取区间)上单调递增,
由f(x)为偶函数,得f(x)在(0,-)上单调递减,结合函数f(x)连续得f(x)在x=0处取极大值. …………………………………………………………………11分
综上所述,a<-或a>满足题意.
所以a的取值范围为∪. ………………………………12分
解题技法
1.由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);
(3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧导数值的符号;(5)求出极值.
3.已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
对点训练
1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)
B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)
C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)
D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)
【解析】选D.由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0 f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0 f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0 f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0 f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).
2.(2023·长沙模拟)若1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极大值为__________.
【解析】因为f(x)=(x2+ax-1),
可得f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1],
因为1是函数f(x)的极值点,
故可得f'(1)=0,
即2a+2=0,解得a=-1.
此时f'(x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x+2)(x-1).
由f'(x)>0可得x<-2或x>1;
由f'(x)<0可得-2故f(x)的极大值点为-2.
则f(x)的极大值为f(-2)=(4+2-1)e-3=5e-3.
答案:5e-3
【加练备选】 (2023·威海模拟)若函数f(x)=ex-ax2-2ax有两个极值点,则实数a的取值范围为(　　)
A. (-,0) B. (-∞,-)
C. (0,) D. (,+∞)
【解析】选D.由f(x)=ex-ax2-2ax,
得f'(x)=ex-2ax-2a.
因为函数f(x)=ex-ax2-2ax有两个极值点,
所以f'(x)=ex-2ax-2a有两个变号零点,
令f'(x)=0,得=,
设g(x)=,y=;
则g'(x)=-,令g'(x)=0,即-=0,解得x=0,
当x>0时,g'(x)<0;
当x<0时,g'(x)>0,
所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
分别作出函数g(x)=与y=的图象,如图所示,
由图可知,0<<1,解得a>,
所以实数a的取值范围为(,+∞).
考点二利用导数求函数最值问题
[例4](2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间的最小值、最大值分别为(　　)
A.-, B.-,
C.-,+2 D.-,+2
【解析】选D.f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,
所以在区间(0,)和(,2π)上f'(x)>0,
即f(x)单调递增;
在区间(,)上f'(x)<0,即f(x)单调递减,
又f(0)=f(2π)=2,f()=+2,f()=- (+1)+1=-,
所以f(x)在区间上的最小值为-,最大值为+2.
解题技法
求函数f(x)在[a,b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上有极值,则先求出函数在[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.
(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.
对点训练
1.(2023·苏州模拟)若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)
【解析】选C.由题意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),
当x<-2或x>0时,f'(x)>0;
当-2故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,
所以函数f(x)的极小值为f(0)=-.
令x3+x2-=-得x3+3x2=0,解得x=0或x=-3,
作其图象如图,结合图象可知
解得a∈[-3,0).
2.已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
(1)若a=-1时,求f(x)的最大值;
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+=,令f'(x)=0,得x=1.当00;当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.
(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
【解析】(2)f'(x)=a+,x∈(0,e]时,∈[,+∞).
①若a≥-,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上单调递增,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.②若a<-,令f'(x)>0得a+>0,结合x∈(0,e],解得0令-1+ln(-)=-3,得ln(-)=-2,
即a=-e2.因为-e2<-,所以a=-e2即为所求.故实数a的值为-e2.
考点三生活中的优化问题
[例5](1)(2023·温州模拟)某冷饮店的日销售额y(单位:元)与当天的最高气温x(单位:℃,20≤x≤40)的关系式为y=x2-x3,则该冷饮店的日销售额的最大值约为(　　)
A.907元 B.910元
C.915元 D.920元
【解析】选C.因为y=x2-x3,20≤x≤40,
所以y'=x-x2=-x(x-38).
所以当20≤x≤38时,y'≥0,即函数在[20,38]上单调递增,当38≤x≤40时,y'≤0,即函数在[38,40]上单调递减,所以当x=38时,函数取值最大,所以ymax=×382-×383≈915.
(2)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为
12 000π元(π为圆周率).
①将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
②讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.
【解析】①因为蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,
所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
由题意得200πrh+160πr2=12 000π,
所以h=(300-4r2).
从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
由h>0,且r>0,可得0故函数V(r)的定义域为(0,5).
②由①知V(r)=(300r-4r3),
故V'(r)=(300-12r2),
令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍).
当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增;
当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上单调递减.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
解题技法
利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤
对点训练
一个圆柱形圆木的底面半径为1 m,长为10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数解析式;
【解析】(1)梯形ABCD的面积S梯形ABCD=·sin θ=sin θcos θ+sin θ,θ∈(0,).
V=10(sin θcos θ+sin θ),θ∈(0,).
(2)求当体积V最大时θ的值;
【解析】(2)V'=10(2cos 2θ+cos θ-1)
=10(2cos θ-1)(cos θ+1).
由θ∈(0,),得cos θ∈(0,1).
令V'=0,得cos θ=或cos θ=-1(舍).
所以θ=.
当θ∈(0,)时,0,
V=10(sin θcos θ+sin θ)单调递增;
当θ∈(,)时,0V=10(sin θcos θ+sin θ)单调递减.
所以当θ=时,体积V最大.
(3)问:当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大 请说明理由.
【解析】(3)木梁的侧面积:S侧=(AB+2BC+CD)·10=20(cos θ+2sin +1),θ∈(0,).
S=2S梯形ABCD+S侧=2(sin θcos θ+sin θ)+20·(cos θ+2sin +1),θ∈(0,).
设g(θ)=cos θ+2sin +1,θ∈(0,).
因为g(θ)=-2sin 2+2sin +2,所以当sin =,即θ=时,g(θ)最大.
又由(2)知当θ=时,sin θcos θ+sin θ也取得最大值,所以当θ=时,木梁的表面积S最大.
综上,当木梁的体积V最大时,其表面积S也最大.

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