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第一节　导数的概念及其意义、导数的运算
【课标解读】
【课程标准】
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象,理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容,考查形式以选择题、填空题为主,属于中档题.
预测 预计2025年高考将会涉及导数的运算及几何意义.以客观题的形式考查导数的定义,求曲线的切线方程.导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'.
f'(x0)==.
(2)函数y=f(x)的导函数
f'(x)=.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
微点拨求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f'(x)=α
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
4.导数的运算法则
若f'(x),g'(x)存在,则有
[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
[]'=(g(x)≠0);
[cf(x)]'=cf'(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
微点拨在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.
常用结论
1.f'(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,则(f(x0))'=0.
2. []'=-(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次函数相切只有一个公共点.
4.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(　 √　)
(2)函数f(x)=sin (-x)的导数f'(x)=cos x.(　 ×　)
(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(　 ×　)
(4)曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的.(　 ×　)
提示:
(2) f(x)=sin (-x)=-sin x,则f'(x)=-cos x. ×
(3) 求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值. ×
(4) “在某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率;而对于“过某点”的切线,则该点不一定是切点,要利用解方程组的思想求切线的方程,在曲线上某点处的切线只有一条,但过某点的切线可以不止一条. ×
2.(2023·全国甲卷)曲线y=在点(1,)处的切线方程为(　　)
A.y=x B.y=x　
C.y=x+ D.y=x+
【解析】选C.设曲线y=在点(1,)处的切线方程为y-=k(x-1),
因为y=,
所以y'==,
所以k=,
所以y-=(x-1),
所以曲线y=在点(1,)处的切线方程为y=x+.
3.(选择性必修二·P81T6·变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'()cos x-sin x,则f'()=________.
【解析】f'(x)=-f'()sin x-cos x,
令x=,得f'()=-f'()-,
解得f'()=1-.
答案:1-
4.(混淆在点P处的切线和过P点的切线)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为________;b的值为________.
【解析】y'=aex+ln x+1,
所以
解得
答案:　-1
【核心考点·分类突破】
考点一平均变化率与瞬时变化率及导数的概念
1.如图,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是(　　)
A.[x1,x2] B.[x2,x3]
C.[x1,x3] D.[x3,x4]
【解析】选D.由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为,,,,结合题图可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].
2.(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(　　)
A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28
B.该物体在t=4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t=5时的瞬时速度是70
【解析】选ABD.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是==28,A正确;
==(56+7·Δt)=56,B正确;
当t=5时,s(5)=7×52+8=183,C错误;
==(70+7·Δt)=70,D正确.
3.(2023·晋城模拟)若函数f(x)在x=1处的导数为2,则=(　　)
A.2 B.1 C. D.6
【解析】选B.由函数f(x)在x=1处的导数为2,得f'(1)=2,所以
==f'(1)=1.
4.已知函数y=f(x),若f'(x0)=-3,则=________.
【解析】依题意,得=f'(x0)=-3.
答案:-3
5.如图,函数f(x)的图象是折线段f(x),其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则=__________.
【解析】由题图可得在x∈[0,2]上,函数图象上每一点处的斜率都是=-2.
由导数的几何意义知=-2.
答案:-2
解题技法
1.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
(1)平均变化率=,当Δx趋近于0时,所趋于的一个常数就是函数在x=x0处的瞬时变化率,即函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.
(2)平均变化率和瞬时变化率都是用来刻画函数变化快慢的,绝对值越大,函数变化越快.
2.求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)得导数f'(x0)=,简记作:一差、二比、三极限.
考点二导数的运算
1.(多选题)下列导数的运算中错误的是(　　)
A.(3x)'=3xln 3
B.(x2ln x)'=2xln x+x
C. ()'=
D.(sin xcos x)'=cos 2x
【解析】选C.因为()'=,
所以C项错误,其余运算都正确.
2.已知f(x)=cos 2x+,则f'(x)=(　　)
A.-2sin 2x+2 B.sin 2x+
C.2sin 2x+2 D.-sin 2x+
【解析】选A.f'(x)=-2sin 2x+2.
3.(2023·济南模拟)已知f(x)=2xln x-f'(1)x,则f(e)=(　　)
A.e B.0 C.-e D.-1
【解析】选A.f'(x)=2ln x+2-f'(1),令x=1,得f'(1)=2ln 1+2-f'(1),解得f'(1)=1,
所以f(x)=2xln x-x,f(e)=2eln e-e=e.
4.求下列函数的导数.
(1)y=(3x3-4x)(2x+1);
【解析】(1)方法一:y=(3x3-4x)(2x+1)
=6x4+3x3-8x2-4x,
所以y'=24x3+9x2-16x-4.
方法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)·(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2
=24x3+9x2-16x-4.
(2)y=x2sin x;
【解析】(2)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
(3)y=ln ;
【解析】(3)y'=·()'=.
(4)y=.
【解析】(4)y'=()'==-.
解题技法
导数的运算技巧
(1)连乘积形式函数式求导:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式函数式求导:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式函数式求导:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式函数式求导:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式函数式求导:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
考点三导数的几何意义
角度1　求切线方程
[例1](1)金榜原创·易错对对碰
已知曲线f(x)=x3-4x2+5x-4.
①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为____________________;
②曲线过点(2,f(2))的切线方程为______________________.
【解析】①因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,
又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.
答案:x-y-4=0
②设切点坐标为(x0,-4+5x0-4),
因为f'(x0)=3-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2),
又切线过点(x0,-4+5x0-4),所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)·(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
所以经过点(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.
答案:x-y-4=0或y+2=0
(2)(2023·临沂模拟)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为________.
【解析】易得切点为(-e,-e),
f'(x)=ln(-x)+1,则f'(-e)=2,所以切线方程为y-(-e)=2(x+e),即2x-y+e=0.
答案:2x-y+e=0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程分别为______________,______________.
【解析】因为y=ln |x|,当x>0时y=ln x,设切点为(x0,ln x0),由y'=,所以y'=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0),又切线过坐标原点,所以-ln x0=(-x0),解得x0=e,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x;
当x<0时y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由y'=,所以y'=,
所以切线方程为y-ln(-x1)=(x-x1),
又切线过坐标原点,所以-ln(-x1)=(-x1),解得x1=-e,所以切线方程为y-1=(x+e),即y=-x.
答案:y=x　y=-x
解题技法
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
角度2　求切点坐标
[例2](1)已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.
【解析】选A.设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y'=x-,得切线斜率k=x0-=2,所以x0=3.
(2)(2023·贵阳模拟)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为________.
【解析】因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a.又f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x)恒成立,即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切点P(x0,f(x0))的坐标为(0,0).
答案:(0,0)
解题技法
求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程组求出切点坐标.
角度3　求参数的值(范围)
[例3](1)(2023·重庆模拟)已知a为非零实数,直线y=x+1与曲线y=aln(x+1)相切,则a=________.
【解析】设切点坐标为(t,aln(t+1)),对函数y=aln(x+1)求导得y'=,
所以解得t=e-1,a=e.
答案:e
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是____________.
【解析】因为y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,
设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a),切线斜率k=(x0+1+a),切线方程为:y-(x0+a)=(x0+1+a)(x-x0),
因为切线过原点,
所以-(x0+a)=(x0+1+a)(-x0),
整理得+ax0-a=0,
因为切线有两条,所以Δ=a2+4a>0,
解得a<-4或a>0,
故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)
解题技法
利用导数的几何意义求参数的方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
提醒:(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
对点训练
1.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=2e2ln x+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为(　　)
A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0
C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0
【解析】选B.因为f(x)=2e2ln x+x2,所以f'(x)=+2x,
所以f(e)=2e2ln e+e2=3e2,f'(e)=4e,
所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y-3e2=4e(x-e),即4ex-y-e2=0.
2.(2023·泸州模拟)已知曲线y=在点(π,-)处的切线方程为y=x+b,则a的值是(　　)
A. B.-2 C.- D.2
【解析】选D.令y=f(x)=,则f'(x)=,曲线在点(π,-)处的切线的斜率为f'(π)==,解得a=2.
3.设a∈R,函数f(x)=ex+是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为__________.
【解析】由f(x)为偶函数,易得a=1.
所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.
设切点为(x0,y0),则f'(x0)=-=,解得x0=ln 2.
答案:ln 2
重难突破 两曲线的公切线问题的求法
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解.
(2)设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=.
类型一 求两曲线的公切线
[例1](2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y=ex-1与y=ln x+1的公共切线,则l的方程为________________.
【解析】直线l与曲线y=ex-1相切,设切点为(a,ea-1),y'=ex,切线的斜率为ea,切线方程为y-ea+1=ea(x-a),即y=eax-aea+ea-1.直线l与y=ln x+1相切,
设切点为(b,ln b+1),y'=,切线的斜率为,切线方程为y-ln b-1=(x-b),即y=x+ln b.直线l是曲线y=ex-1与y=ln x+1的公共切线,可得
解得或
所以l的方程为y=ex-1或y=x.
答案:y=ex-1或y=x
类型二 切点相同的公切线问题
[例2](2023·金华模拟)已知函数f(x)=ax2与g(x)=ln x的图象在公共点处有共同的切线,则实数a的值为________.
【解析】设公共点为P(x0,y0)(x0>0),则a=ln x0.
由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax,
由g(x)=ln x,得g'(x)=.
因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0,y0)处有共同的切线,所以f'(x0)=g'(x0),
即2ax0=,得a=,
所以·=ln x0,即ln x0=,得x0=,
所以a===.
答案:
类型三 切点不同的公切线问题
[例3]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=__________.
【解析】y=ln x+2的切线为y=·x+ln x1+1(设切点横坐标为x1),
y=ln(x+1)的切线为y=x+ln(x2+1)-(设切点横坐标为x2),
所以
解得x1=,x2=-,
所以b=ln x1+1=1-ln 2.
答案:1-ln 2
对点训练
1.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.依题意得,f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin 0=2×0+b,解得b=0.
又m=f(0)=g(0),即m=a=1,所以a+b=1.
2.(一题多法)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=______.
【解析】方法一:因为y=x+ln x,
所以y'=1+,y'|x=1=2,
所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,
所以a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).
由
消去y,得ax2+ax+2=0.
由Δ=a2-8a=0,解得a=8.
方法二:同方法一得切线方程为y=2x-1.
设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,a+(a+2)x0+1).
因为y'=2ax+a+2,所以y'=2ax0+a+2.
由解得
答案:8
3.若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则a的取值范围为____________.
【解析】由y=ax2(a>0)得y'=2ax,
由y=ex得y'=ex.
设公切线与曲线C1切于点(x1,a),与曲线C2切于点(x2,),
则2ax1==,可得2x2=x1+2,
所以a=.
因为a>0,所以x1>0,记f(x)=(x>0),
则f'(x)=,
当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=2时,f(x)min=>0,
所以a的取值范围为[,+∞).
答案: [,+∞)第一节　导数的概念及其意义、导数的运算
【课标解读】
【课程标准】
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象,理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容,考查形式以选择题、填空题为主,属于中档题.
预测 预计2025年高考将会涉及导数的运算及几何意义.以客观题的形式考查导数的定义,求曲线的切线方程.导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'.
f'(x0)==.
(2)函数y=f(x)的导函数
f'(x)=.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
微点拨求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f'(x)=α
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
4.导数的运算法则
若f'(x),g'(x)存在,则有
[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
[]'=(g(x)≠0);
[cf(x)]'=cf'(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
微点拨在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.
常用结论
1.f'(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,则(f(x0))'=0.
2. []'=-(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次函数相切只有一个公共点.
4.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(　　)
(2)函数f(x)=sin (-x)的导数f'(x)=cos x.(　　)
(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(　　)
(4)曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的.(　　)
2.(2023·全国甲卷)曲线y=在点(1,)处的切线方程为(　　)
A.y=x B.y=x　
C.y=x+ D.y=x+
3.(选择性必修二·P81T6·变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'()cos x-sin x,则f'()=________.
4.(混淆在点P处的切线和过P点的切线)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为________;b的值为________.
【核心考点·分类突破】
考点一平均变化率与瞬时变化率及导数的概念
1.如图,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是(　　)
A.[x1,x2] B.[x2,x3]
C.[x1,x3] D.[x3,x4]
2.(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(　　)
A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28
B.该物体在t=4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t=5时的瞬时速度是70
3.(2023·晋城模拟)若函数f(x)在x=1处的导数为2,则=(　　)
A.2 B.1 C. D.6
4.已知函数y=f(x),若f'(x0)=-3,则=________.
5.如图,函数f(x)的图象是折线段f(x),其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则=__________.
解题技法
1.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
(1)平均变化率=,当Δx趋近于0时,所趋于的一个常数就是函数在x=x0处的瞬时变化率,即函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.
(2)平均变化率和瞬时变化率都是用来刻画函数变化快慢的,绝对值越大,函数变化越快.
2.求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)得导数f'(x0)=,简记作:一差、二比、三极限.
考点二导数的运算
1.(多选题)下列导数的运算中错误的是(　　)
A.(3x)'=3xln 3
B.(x2ln x)'=2xln x+x
C. ()'=
D.(sin xcos x)'=cos 2x
2.已知f(x)=cos 2x+,则f'(x)=(　　)
A.-2sin 2x+2 B.sin 2x+
C.2sin 2x+2 D.-sin 2x+
3.(2023·济南模拟)已知f(x)=2xln x-f'(1)x,则f(e)=(　　)
A.e B.0 C.-e D.-1
4.求下列函数的导数.
(1)y=(3x3-4x)(2x+1);
(2)y=x2sin x;
(3)y=ln ;
(4)y=.
解题技法
导数的运算技巧
(1)连乘积形式函数式求导:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式函数式求导:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式函数式求导:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式函数式求导:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式函数式求导:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
考点三导数的几何意义
角度1　求切线方程
[例1](1) 易错对对碰
已知曲线f(x)=x3-4x2+5x-4.
①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为____________________;
②曲线过点(2,f(2))的切线方程为______________________.
(2)(2023·临沂模拟)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为________.
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程分别为______________,______________.
解题技法
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
角度2　求切点坐标
[例2](1)已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.
(2)(2023·贵阳模拟)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为________.
解题技法
求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程组求出切点坐标.
角度3　求参数的值(范围)
[例3](1)(2023·重庆模拟)已知a为非零实数,直线y=x+1与曲线y=aln(x+1)相切,则a=________.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是____________.
解题技法
利用导数的几何意义求参数的方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
提醒:(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
对点训练
1.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=2e2ln x+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为(　　)
A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0
C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0
2.(2023·泸州模拟)已知曲线y=在点(π,-)处的切线方程为y=x+b,则a的值是(　　)
A. B.-2 C.- D.2
3.设a∈R,函数f(x)=ex+是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为__________.
重难突破 两曲线的公切线问题的求法
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解.
(2)设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=.
类型一 求两曲线的公切线
[例1](2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y=ex-1与y=ln x+1的公共切线,则l的方程为________________.
类型二 切点相同的公切线问题
[例2](2023·金华模拟)已知函数f(x)=ax2与g(x)=ln x的图象在公共点处有共同的切线,则实数a的值为________.
类型三 切点不同的公切线问题
[例3]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=__________.
对点训练
1.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.(一题多法)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=______.
3.若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则a的取值范围为____________.

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