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第三节　三角恒等变换
第1课时　两角和与差的三角函数
【课标解读】
【课程标准】
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 高考可能会与三角恒等变换结合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;
(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=;
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=.
2.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=.
　常用结论
两角和与差的公式的常用变形:
(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β.
(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
tan αtan β=1-=-1.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β.(　　)
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.(　　)
(3)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.(　　)
(4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　)
提示:当α=β=0时,sin(α+β)=sin α+sin β,所以(1)正确;由两角和与差的正弦、余弦、正切公式成立的条件可知,(2)正确,(3)错误;由辅助角公式可知,asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值有关,所以(4)错误.
答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.(必修第一册P219例4改条件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】选D.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.
3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=
2cos(α+)sinβ,则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
【解析】选C.方法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β,
所以sin(α+β+)=2cos(α+)sin β,
即sin(α+β+)=2cos(α+)sin β,
所以sin(α+)cos β+sin βcos(α+)=2cos(α+)sin β,
所以sin(α+)cos β-sin βcos(α+) =0,
所以sin(α+-β) =0,所以α+-β=kπ,k∈Z,
所以α-β=kπ-,
所以tan(α-β)=-1.
方法二:由题意可得,sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2(cos α-sin α)sin β,
即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,
所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,
故tan(α-β)=-1.
4.(记错公式形式导致错误)若将sin x-cos x写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,则φ=　　　　.
【解析】因为sin x-cos x=2(sin x-cos x),
所以cos φ=,sin φ=,
因为0≤φ<π,所以φ=.
答案:
【核心考点·分类突破】
考点一两角和与差的三角函数公式的基本应用
[例1](1)若cos α=-,α是第三象限角,则sin(α+)=(　　)
A. B.- C.- D.
【解析】选B.因为α是第三象限角,所以sin α<0,
且sin α=-=-=-,
因此,sin(α+)=sin αcos+cos αsin =
(-)×+(-)×=-.
(2)(2024·湛江模拟)已知cos α+cos(α-)=1,则cos(α-)等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为cos α+cos(α-)=1,
所以cos α+cos α+sin α=cos α+sin α
=(cos α+sin α)
=cos(α-)=1,
所以cos(α-)=.
(3)已知sin α=,α∈(,π),tan (π-β)=,
则tan (α-β)的值为(　　)
A.- B. C. D.-
【解析】选A.因为α∈(,π),所以cos α=-,
tan α=-,又tan (π-β)=,所以tan β=-,
所以tan (α-β)=
==-.
解题技法
(1)两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数.
(2)在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.
对点训练
1.已知sin α=sin(α+)+,则cos(α+)的值为(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选B.由sin α=sin(α+)+,得sin α=sin αcos+cos αsin +=sin α+cos α+,则cos α-sin α=-,即cos(α+)=
-.
2.已知cos(α+)=cos α,tan β=,则tan (α+β)=　　　　.
【解析】因为cos(α+)=cos α-sin α
=cos α,所以-sin α=cos α,故tan α=-,
所以tan (α+β)==
==-.
答案:-
【加练备选】
　　　(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.因为sin θ+sin(θ+)
=sin(θ+-)+sin(θ++)
=sin(θ+)cos-cos(θ+)sin +sin(θ+)cos +cos(θ+)sin
=2sin(θ+)cos =sin(θ+)=1,
所以sin(θ+)=.
考点二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
角度1　公式的逆用
[例2](1)(2024·武汉模拟)sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°=(　　)
A. B. C. D.1
【解析】选B.sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°
=sin (180°-71°)cos (360°-64°)+cos 71°sin 64°
=sin 71°cos 64°+cos 71°sin 64°=sin (71°+64°)=sin 135°=.
(2)(2024·梧州模拟)=(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】选A.==
tan(+)=tan=tan(π-)=-tan =-.
解题技法
　逆用公式化简计算的技巧
(1)熟记和差倍角公式的结构特征及符号规律,分析所求值式子与公式的异同,必要时对其进行转化、变形、常数替换等,创造条件逆用公式.
(2)注意诱导公式在调整角的大小与函数名称中的合理应用.
角度2　公式的灵活应用
[例3](1)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.因为C=120°,所以tan C=-.
因为A+B=π-C,
所以tan (A+B)=-tan C,
所以tan (A+B)=,
tan A+tan B=(1-tan Atan B),
又因为tan A+tan B=,
所以tan Atan B=.
(2)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.
【解析】因为sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
所以sin2α+cos2β+2sin αcos β=1,①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0,②
①②两式相加可得
sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,所以sin (α+β)=-.
答案:-
(3)若α+β=-,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　.
【解析】tan(-)=tan(α+β)==1,所以1-tan αtan β=tan α+tan β,
所以1+tan α+tan β+tan αtan β=2,
即(1+tan α)(1+tan β)=2.
答案:2
[变式]若将本例(1)的条件改为tan Atan B=tan A+tan B+1,则C等于　　　　.
【解析】在△ABC中,因为tan Atan B=tan A+tan B+1,所以tan (A+B)==-1=-tan C,所以tan C=1,所以C=45°.
答案:45°
解题技法
　公式变形应用的技巧
两角和与差的正切公式及其变形将tan(α±β),tan α±tan β,tan αtan β三者联系在一起,已知其中的两个或两个之间的关系,即可求出另外一个的值.
角度3　辅助角公式的运用
[例4]化简:
(1)3cos x+3sin x;
【解析】(1)原式=3(cos x+sin x)
=3cos(x-).
(2)sin-cos ;
【解析】(2)方法一:原式=2(sin-cos)
=2(sinsin-coscos)
=-2cos(+)=-2cos =-.
方法二:原式=2(sin-cos)
=2(cossin-sincos)
=-2sin(-)
=-2sin =-.
(3)3sin x+3cos x.
【解析】(3)3sin x+3cos x
=6(sin x+cos x)
=6(sin xcos+cos xsin)
=6sin(x+).
解题技法
辅助角公式及其应用
1.辅助角公式:asin x+bcos x可化成sin (x+φ),这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号确定,角φ由tan φ=确定,其推导过程如下:
asin x+bcos x
=(sin x+cos x),
令cos φ=,sin φ=,
则原式=(sin xcos φ+cos xsin φ)=·sin (x+φ).
2.公式应用技巧:在辅助角公式asin x+bcos x=sin (x+φ)中,当|a|=|b|时,一般可引入辅助角φ=;当||=或||=时,一般可引入辅助角φ=或.
对点训练
1.cos (α-35°)cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)的值为(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】选B.由两角差的余弦公式,得cos (α-35°)·cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)=cos [(α-35°)-(25°+α)]=cos (-60°)=.
2.若α+β=,则tan αtan β-tan α-tan β的值为　　　　.
【解析】因为α+β=,所以tan (α+β)==tan(π-)=-,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan αtan β-tan α-tan β=tan αtan β-(tan α+tan β)=
tan αtan β+-tan αtan β=.
答案:
3.(2022·北京高考)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A=　　　　;f()=　　　　.
【解析】依题意得f(=A×-×=0,解得A=1,所以f(x)=sin x-cos x=2sin(x-),所以f()=2sin(-)=-.
答案:1　-
考点三角的变换问题
[例5](1)(2024·株洲模拟)已知θ∈(0,),sin(θ-)=,则tan θ=(　　)
A.2 B. C.3 D.
【解析】选C.因为θ∈(0,),所以-<θ-<,故cos(θ-)==,所以sin θ=sin[(θ-)+]=[sin(θ-)+cos(θ-) ]=,故cos θ==,
因此tan θ==3.
(2)已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,则sin (α-β)的值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意可得α+∈(,π),
β-∈(-,0),
所以cos(α+)=-,sin(β-)=-,
所以sin (α-β)=-sin[ (α+)-(β-) ]
=-×+(-)×(-)
=.
解题技法
　常用的拆角、配角技巧
①2α=(α+β)+(α-β);
②α=(α+β)-β=(α-β)+β;
③β=-=(α+2β)-(α+β);
④α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=-(-α)等.
对点训练
1.(2024·烟台模拟)已知tan (α+β)=,tan (α-β)=,则tan (π-2α)=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【解析】选B.因为2α=(α+β)+(α-β),所以tan 2α===1.
又tan (π-2α)=-tan 2α,所以tan (π-2α)=-1.
2.已知0<α<<β<π,tan α=,cos (β-α)=,则sin α=　　　　,cos β=　　　　.
【解析】因为0<α<,且tan α=,
所以sin α=,cos α=,
由0<α<<β<π,
则0<β-α<π,
又因为cos (β-α)=,
则sin (β-α)=,
所以cos β=cos [(β-α)+α]
=cos (β-α)cos α-sin (β-α)sin α
=×-×=-.
答案:　-第三节　三角恒等变换
第1课时　两角和与差的三角函数
【课标解读】
【课程标准】
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 高考可能会与三角恒等变换结合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;
(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=;
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=.
2.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=.
　常用结论
两角和与差的公式的常用变形:
(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β.
(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
tan αtan β=1-=-1.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β.(　　)
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.(　　)
(3)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.(　　)
(4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　)
2.(必修第一册P219例4改条件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　)
A.- B. C.- D.
3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=
2cos(α+)sinβ,则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
4.(记错公式形式导致错误)若将sin x-cos x写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,则φ=　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一两角和与差的三角函数公式的基本应用
[例1](1)若cos α=-,α是第三象限角,则sin(α+)=(　　)
A. B.- C.- D.
(2)(2024·湛江模拟)已知cos α+cos(α-)=1,则cos(α-)等于(　　)
A. B. C. D.
(3)已知sin α=,α∈(,π),tan (π-β)=,
则tan (α-β)的值为(　　)
A.- B. C. D.-
解题技法
(1)两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数.
(2)在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.
对点训练
1.已知sin α=sin(α+)+,则cos(α+)的值为(　　)
A. B.- C. D.-
2.已知cos(α+)=cos α,tan β=,则tan (α+β)=　　　　.
【加练备选】
　　　(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)等于(　　)
A. B. C. D.
考点二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
角度1　公式的逆用
[例2](1)(2024·武汉模拟)sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°=(　　)
A. B. C. D.1
(2)(2024·梧州模拟)=(　　)
A.- B. C.- D.
解题技法
　逆用公式化简计算的技巧
(1)熟记和差倍角公式的结构特征及符号规律,分析所求值式子与公式的异同,必要时对其进行转化、变形、常数替换等,创造条件逆用公式.
(2)注意诱导公式在调整角的大小与函数名称中的合理应用.
角度2　公式的灵活应用
[例3](1)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.
(3)若α+β=-,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　.
[变式]若将本例(1)的条件改为tan Atan B=tan A+tan B+1,则C等于　　　　.
解题技法
　公式变形应用的技巧
两角和与差的正切公式及其变形将tan(α±β),tan α±tan β,tan αtan β三者联系在一起,已知其中的两个或两个之间的关系,即可求出另外一个的值.
角度3　辅助角公式的运用
[例4]化简:
(1)3cos x+3sin x;
(2)sin-cos ;
(3)3sin x+3cos x.
辅助角公式及其应用
1.辅助角公式:asin x+bcos x可化成sin (x+φ),这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号确定,角φ由tan φ=确定,其推导过程如下:
asin x+bcos x
=(sin x+cos x),
令cos φ=,sin φ=,
则原式=(sin xcos φ+cos xsin φ)=·sin (x+φ).
2.公式应用技巧:在辅助角公式asin x+bcos x=sin (x+φ)中,当|a|=|b|时,一般可引入辅助角φ=;当||=或||=时,一般可引入辅助角φ=或.
对点训练
1.cos (α-35°)cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)的值为(　　)
A.- B. C.- D.
2.若α+β=,则tan αtan β-tan α-tan β的值为　　　　.
3.(2022·北京高考)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A=　　　　;f()=　　　　.
考点三角的变换问题
[例5](1)(2024·株洲模拟)已知θ∈(0,),sin(θ-)=,则tan θ=(　　)
A.2 B. C.3 D.
(2)已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,则sin (α-β)的值为(　　)
A. B. C. D.
解题技法
　常用的拆角、配角技巧
①2α=(α+β)+(α-β);
②α=(α+β)-β=(α-β)+β;
③β=-=(α+2β)-(α+β);
④α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=-(-α)等.
对点训练
1.(2024·烟台模拟)已知tan (α+β)=,tan (α-β)=,则tan (π-2α)=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.已知0<α<<β<π,tan α=,cos (β-α)=,则sin α=　　　　,cos β=　　　　.

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