资源简介

第2课时　简单的三角恒等变换
【课标解读】
【课程标准】
　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,选择题、填空题、解答题中均有可能出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α=2sin αcos α.
(2)公式C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α:tan2α=.
2.半角公式
sin =±,
cos =±,
tan =±==.
　常用结论
1.降幂公式:cos2α=,sin2α=,tan2α=.
2.升幂公式:1+sin 2α=(sin α+cos α)2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　)
(2)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(　　)
(3)cos2=.(　　)
(4)tan ==.(　　)
提示:由半角公式、二倍角公式可知,(1)正确;
因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以(2)正确;
因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos2-1,所以cos2=,因此(3)错误;
因为tan ===,tan ===,所以(4)正确.
答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.(必修第一册P223练习5改条件)cos2-cos2 =(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为cos =sin (-)=sin,
所以cos2-cos2=cos2-sin2
=cos (2×)=cos=.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.cos α=,则cos α=1-2sin2,
故2sin2=1-cos α=,即sin2===,
因为α为锐角,所以sin >0,
所以sin =.
4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan =(　　)
A.2 B.
C.2或不存在 D.或不存在
【解析】选D.当α=kπ+π(k∈Z)时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 不存在;当α≠kπ+π(k∈Z)时,tan ==.
【核心考点·分类突破】
考点一三角函数式的化简
[例1](1)函数f(x)=sin2x+sin xcos x-可以化简为(　　)
A.f(x)=sin (2x-) B.f(x)=sin (2x-)
C.f(x)=sin (2x+) D.f(x)=sin (2x+)
【解析】选B.f(x)=sin2x+sin xcos x-
=+sin 2x-
=sin 2x-cos 2x=sin (2x-).
(2)若α∈(0,),tan 2α=,则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.解法一:因为tan 2α==,且tan 2α=,
所以=,解得sin α=.
因为α∈(0,),
所以cos α=,tan α==.
解法二:因为tan 2α====,且tan 2α=,
所以=,解得sin α=.
因为α∈(0,),
所以cos α=,tan α==.
(3)已知sin α+cos α=,则sin2 (α-)=　　　　.
【解析】因为sin α+cos α=,
两边同时平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α=,
即sin 2α=,
由降幂公式可知sin2 (α-)===-sin 2α=.
答案:
解题技法
三角函数式化简的解题策略
(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;
(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.
对点训练
1.化简:=　　　　　.
【解析】原式=
==
==cos 2x.
答案:cos 2x
2.化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β=　　　　.
【解析】原式=·+·-cos 2αcos 2β
=+
-cos 2α·cos 2β
=+cos 2αcos 2β-cos 2αcos 2β=.
答案:
【加练备选】
　　　化简:=　　　　.
【解析】
==
=4sin α.
答案:4sin α
考点二三角函数式的求值
角度1　给角求值
[例2](1)sin 18°cos 36°=　　　　.
【解析】(1)原式=
===.
(2)cos4-sin4=　　　　.
【解析】(2)原式= (cos2-sin2) (cos2+sin2)=cos2-sin2=cos=.
(3)-=　　　　.
【解析】(3)原式=
===2.
答案:(1)　(2)　(3)2
解题技法
　给角求值问题的解题思路
给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意:
(1)观察角:分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分;
(2)观察函数名:尽可能使函数名统一;
(3)观察结构:利用公式,整体化简.
角度2　给值求值
[例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A. B. C.- D.-
【解析】选B.因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,cos αsin β=,所以sin αcos β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=.
(2)(一题多法)已知sin (α-)=,π<α<,则cos (2α-)=　　　　.
【解析】因为sin (α-)=,<α-<π,
所以cos (α-)=-.
解法一:因为cos α=cos[(α-)+]
=cos (α-)cos-sin (α-)sin
=-×-×=-,
sin α=sin[(α-)+]
=sin (α-)cos +cos (α-)sin
=×-×=-,
所以cos (2α-)=cos[(α-)+α]
=cos (α-)cos α-sin (α-)sin α
=-×(-)-×(-)=.
解法二:cos (2α-)
=cos 2αcos +sin 2αsin
=(cos 2α+sin 2α),
cos 2α=-sin (2α-)=-sin 2 (α-)
=-2sin (α-)cos (α-)
=-2××(-)=,
sin 2α=cos (2α-)=1-2sin2 (α-)
=1-2×=,
所以原式=×(+)=.
答案:
解题技法
　给值求值问题的解题关键
(1)解题关键:给值求值问题的解题关键在于“变角”,把所求角用含已知角的式子表示,求解时一定要注意角的范围的讨论.
(2)注意下列变换:
sin 2x=cos (-2x)=-cos (+2x),
cos 2x=sin (-2x)=sin (+2x).
提醒:以上变换,结合二倍角公式可将2x的三角函数与±x的三角函数联系在一起.
角度3　 给值求角
[例4](1)已知α为锐角,且sin α·(-tan 10°)=1,则α=　　　　.
【解析】由已知得sin α===
====sin 40°.
由于α为锐角,所以α=40°.
答案:40°
(2)已知sin α=,cos β=,且α,β为锐角,则α+2β=　　　　.
【解析】因为sin α=,且α为锐角,
所以cos α===,
因为cos β=,且β为锐角,
所以sin β===,
那么sin 2β=2sin βcos β=2××=,
cos 2β=1-2sin2β=1-2×()2=,
所以cos (α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=×-×=,
因为α∈(0,),β∈(0,),所以2β∈(0,π).
所以α+2β∈(0,),故α+2β=.
答案:
解题技法
　给值求角的原则
(1)已知正切函数值:选正切函数求解.
(2)已知正、余弦函数值:选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-,),选正弦较好.
对点训练
1.(2023·潍坊模拟)已知α∈(0,),且3cos 2α+sin α=1,则(　　)
A.sin (π-α)=
B.cos (π-α)=-
C.sin (+α)=-
D.cos (+α)=-
【解析】选A.因为3cos 2α+sin α=1,α∈(0,),
所以3(1-2sin2α)+sin α=1,
即6sin2α-sin α-2=0,
所以sin α=或sin α=-(舍去),
所以cos α=,sin(π-α)=sin α=,
cos(π-α)=-cos α=-,
sin (+α)=cos α=,
cos (+α)=-sin α=-,
只有A项正确.
2.在三角形中,底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形,它是两底角为72°的等腰三角形.达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中,在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图,在黄金△ABC中,=,根据这些信息,可得sin 54°等于(　　)
A. B. C.　D.
【解析】选B.由题设,可得cos 72°=1-2sin236°=,又因为cos236°+sin236°=1,
所以cos236°=,又cos 36°∈(,),
所以cos 36°=cos(90°-54°)=sin 54°=.
3.已知α,β∈(0,π),且tan (α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为　　　　.
【解析】因为tan α=tan [(α-β)+β]
===>0,
所以0<α<.
又因为tan 2α===>0,
所以0<2α<.
所以tan (2α-β)===1.
因为tan β=-<0,
所以<β<π,-π<2α-β<0.
所以2α-β=-.
答案:-
考点三 三角恒等变换的应用
教考衔接 教材情境·研习·典题类
[例5](必修第一册P227·例10)
如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形.记∠POC=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大 并求出这个最大面积.
【解析】在Rt△OBC中,OB=cos α,BC=sin α.
在Rt△OAD中,=tan =.
OA=DA=BC=sin α,
AB=OB-OA=cos α-sin α.
设矩形ABCD的面积为S,则
S=AB·BC=(cos α-sin α)sin α
=sin αcos α-sin2α=sin2α-(1-cos2α)
=sin2α+cos2α-
=(sin2α+cos2α)-
=sin(2α+)-.
由0<α<,得<2α+<,
所以当2α+=,即α=时,
S最大=-=.因此,当α=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.
解题导思
看问题 三角恒等变换中的最值问题
提信息 半径OP=1,圆心角∠POQ=,矩形ABCD内接于扇形,∠POC=α
定思路 借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD的长和宽表示出来,确定矩形 ABCD 面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积
高考链接
　(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧上),则矩形ABCD面积的最大值为 　　　　　.
【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,
根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,
设∠COE=α,α∈(0,),
CE=OCsin α=2sin α,则AD=BC=2CE=4sin α,
则OF=AD=2sin α,OE=OCcos α=2cos α,则AB=2cos α-2sin α,
所以矩形ABCD的面积S=BC·AB
=4sin α(2cos α-2sin α)=4sin2α+4cos2α-4=8sin(2α+)-4,
当2α+=,即α=时,S取得最大值8-4,
所以矩形ABCD面积的最大值为8-4.
答案:8-4
[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形 ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交 AD,BC 于点 F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.第2课时　简单的三角恒等变换
【课标解读】
【课程标准】
　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,选择题、填空题、解答题中均有可能出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α=2sin αcos α.
(2)公式C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α:tan2α=.
2.半角公式
sin =±,
cos =±,
tan =±==.
　常用结论
1.降幂公式:cos2α=,sin2α=,tan2α=.
2.升幂公式:1+sin 2α=(sin α+cos α)2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　)
(2)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(　　)
(3)cos2=.(　　)
(4)tan ==.(　　)
2.(必修第一册P223练习5改条件)cos2-cos2 =(　　)
A. B. C. D.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
A. B. C. D.
4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan =(　　)
A.2 B.
C.2或不存在 D.或不存在
【核心考点·分类突破】
考点一三角函数式的化简
[例1](1)函数f(x)=sin2x+sin xcos x-可以化简为(　　)
A.f(x)=sin (2x-) B.f(x)=sin (2x-)
C.f(x)=sin (2x+) D.f(x)=sin (2x+)
(2)若α∈(0,),tan 2α=,则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
(3)已知sin α+cos α=,则sin2 (α-)=　　　　.
解题技法
三角函数式化简的解题策略
(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;
(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.
对点训练
1.化简:=　　　　　.
2.化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β=　　　　.
【加练备选】
　　　化简:=　　　　.
考点二三角函数式的求值
角度1　给角求值
[例2](1)sin 18°cos 36°=　　　　.
(2)cos4-sin4=　　　　.
(3)-=　　　　.
解题技法
　给角求值问题的解题思路
给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意:
(1)观察角:分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分;
(2)观察函数名:尽可能使函数名统一;
(3)观察结构:利用公式,整体化简.
角度2　给值求值
[例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A. B. C.- D.-
(2)(一题多法)已知sin (α-)=,π<α<,则cos (2α-)=　　　　.
解题技法
　给值求值问题的解题关键
(1)解题关键:给值求值问题的解题关键在于“变角”,把所求角用含已知角的式子表示,求解时一定要注意角的范围的讨论.
(2)注意下列变换:
sin 2x=cos (-2x)=-cos (+2x),
cos 2x=sin (-2x)=sin (+2x).
提醒:以上变换,结合二倍角公式可将2x的三角函数与±x的三角函数联系在一起.
角度3　 给值求角
[例4](1)已知α为锐角,且sin α·(-tan 10°)=1,则α=　　　　.
(2)已知sin α=,cos β=,且α,β为锐角,则α+2β=　　　　.
解题技法
　给值求角的原则
(1)已知正切函数值:选正切函数求解.
(2)已知正、余弦函数值:选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-,),选正弦较好.
对点训练
1.(2023·潍坊模拟)已知α∈(0,),且3cos 2α+sin α=1,则(　　)
A.sin (π-α)=
B.cos (π-α)=-
C.sin (+α)=-
D.cos (+α)=-
2.在三角形中,底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形,它是两底角为72°的等腰三角形.达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中,在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图,在黄金△ABC中,=,根据这些信息,可得sin 54°等于(　　)
A. B. C.　D.
3.已知α,β∈(0,π),且tan (α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为　　　　.
考点三 三角恒等变换的应用
教考衔接 教材情境·研习·典题类
[例5](必修第一册P227·例10)
如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形.记∠POC=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大 并求出这个最大面积.
解题导思
看问题 三角恒等变换中的最值问题
提信息 半径OP=1,圆心角∠POQ=,矩形ABCD内接于扇形,∠POC=α
定思路 借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD的长和宽表示出来,确定矩形 ABCD 面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积
高考链接
　(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧上),则矩形ABCD面积的最大值为 　　　　　.
[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形 ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交 AD,BC 于点 F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.

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