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第四节　三角函数的图象与性质
【课标解读】
【课程标准】
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在(-,)上的性质.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以函数、图象为载体,考查三角函数定义域、值域以及图象与性质;三角函数的图象与性质是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 2025年高考对于三角函数图象与性质的考查仍是一个重点,主要是以选择题或填空题为主,难度不是很大,但要注意三角恒等变换与这部分的结合,因此需要掌握各种公式和图象.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0), (,1),(π,0), (,-1),(2π,0).
在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1), (,0),(π,-1), (,0),(2π,1).
微点拨 函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ+ }
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增 区间 [-+2kπ, +2kπ] [-π+2kπ,2kπ] (-+kπ, +kπ)
递减 区间 [+2kπ, +2kπ] [2kπ,π+2kπ] 无
对称 中心 (kπ,0) (+kπ,0) (,0)
对称轴 方程 x=+kπ x=kπ 无
微点拨
(1)写单调区间时,不要忘记k∈Z;
(2)y=tan x无单调递减区间;
(3)正切函数的图象是由直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.
　常用结论
1.三角数的对称性与周期性的结论
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2.三角函数的奇偶性结论
若f(x)=Asin (ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(　　)
(4)y=sin|x|是偶函数.(　　)
2.(2023·天津高考)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.sin(x) B.cos(x)
C.sin(x) D.cos(x)
3.(忽视系数的符号致误)下列区间中,函数f(x)=7sin(-x)的单调递减区间是(　　)
A. (0,) B. (,π) C. (π,) D. (,2π)
4.(必修第一册P213习题T4改编)函数y=3-
2cos(x+)的最大值为　　　,此时x=　　　　　　　　　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一三角函数的定义域
1.函数y=的定义域为(　　)
A. [-,]
B. [kπ-,kπ+](k∈Z)
C. [2kπ-,2kπ+](k∈Z)
D.R
2.函数f(x)=-2tan(2x+)的定义域是(　　)
A. {x|x≠}
B. {x|x≠kπ+,k∈Z}
C. {x|x≠-}
D. {x|x≠+,k∈Z}
3.函数y=的定义域为　　　　.
4.函数y=lg sin x+的定义域为　　　　.
解题技法
三角函数有关定义域的求法
　根据函数解析式特征列出与三角函数有关的不等式,借助三角函数性质及图象求解.
提醒:涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
考点二三角函数的值域(最值)
[例1](1)函数f(x)=sin3xcos x-sin xcos3x的最大值为(　　)
A. B. C. D.1
(2)当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为　　　　　.
(3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为　　　　.
解题技法
　求解三角函数的值域(最值)常见的类型
(1)形如y=asin ωx+bcos ωx+c:化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c:可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c:可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
对点训练
1.函数y=tan(x-),x∈(-,)的值域为(　　)
A.(-,1) B. (-1,)
C.(1,) D. (,1)
2.函数f(x)=sin x+cos(x+)的值域为(　　)
A.[-2,2] B.[-,]
C.[-1,1] D. [-,]
3.(2024·重庆模拟)函数g(x)=sin 2x-sin(x+)(x∈R)的值域为　　　　.
【加练备选】
　　　已知函数f(x)=4sin(2x-)+1的定义域是[0,m],值域为[-1,5],则m的最大值是(　　)
A. B. C. D.
考点三三角函数的周期性
1.(多选题)下列函数中,最小正周期为π的是(　　)
A.y=cos|2x| B.y=|cos x|
C.y=cos(2x+) D.y=tan(2x-)
2.已知函数f(x)=cos (π-x)-cos(+x)+1,则函数f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
3.函数f(x)=的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
4.已知函数f(x)的最小正周期为π,且在(,)上单调递减,则f(x)=　　　　.(写出符合条件的一个答案即可)
解题技法
　求三角函数周期的一般方法
(1)公式法:函数y=Asin (ωx+φ)与y=Acos (ωx+φ)的最小正周期为T=,y=Atan (ωx+φ)的最小正周期为T=.
(2)图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期.
(3)定义法:对于较特殊的函数,可用周期的定义检验函数的最小正周期.
考点四三角函数的奇偶性与对称性
考情提示
三角函数的周期性、奇偶性、对称性是高考考查的重要内容,且这三种性质的考查往往融合为一体,多以“小而活”的客观题形式出现.
角度1　奇偶性及应用
[例2](1)下列函数中,定义域为R且最小正周期为π的偶函数是(　　)
A.f(x)=sin xcos x 　　B.f(x)=tan x
C.f(x)=cos2x-sin2x 　　D.f(x)=|sin 2x|
(2)(2024·茂名模拟)已知f(x)=sin(x-α)+cos x是奇函数,则tan α=　　　　　.
解题技法
　三角函数奇偶性应用技巧
(1)可结合常用结论判断奇偶性;
(2)若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))为奇函数,则当x=0时,y=0;若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))为偶函数,则当x=0时,y取最大值或最小值.
角度2　三角函数的对称性
[例3](1)(2024·济南模拟)已知函数f(x)=2sin(2ωx-)(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的图象关于(　　)
A.直线x=对称 B.直线x=对称
C.点(,0)对称 D.点(,0)对称
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B. C. D.3
.
解题技法
　三角函数对称性应用技巧
(1)思路:函数y=Asin (ωx+φ)图象的对称轴和对称中心可结合y=sin x图象的对称轴和对称中心求解.
(2)方法:利用整体代换的方法求解,令ωx+φ=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,即对称轴方程;令ωx+φ=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ),可以利用类似的方法求解(注意y=Atan(ωx+φ)的图象无对称轴).
对点训练
1.函数f(x)=2sin 2(+x)-1是(　　)
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的奇函数
2.已知函数f(x)=2sin(x+θ+)(θ∈[-,])是偶函数,则θ的值为　　　　.
考点五三角函数的单调性
角度1　求三角函数的单调区间
[例4](1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin(x-)单调递增的区间是(　　)
A. B.
C. D.
(2)函数y=3tan(-)的单调递减区间为　　　　　　　　　　.
角度2　根据单调性求参数
[例5](1)(2023·荆州模拟)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x在[π-m,m]上单调递减,则m的最大值为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是　　　　　.
解题技法
1.形如y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的单调区间求法
将ωx+φ看作一个整体,结合y=sin x的性质求解,若ω<0时,先利用诱导公式将x的系数化为正数.
2.已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
对点训练
1.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是(　　)
A. B. C. D.π
【加练备选】
　　已知函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3条对称轴,则ω的取值范围是(　　)
A. (,] B. (,]
C. [,) D. [,)
2.若函数f(x)=tan(ωx+)在[-,]上单调递减,且在[-,]上的最大值为,则ω=　　　　. 第四节　三角函数的图象与性质
【课标解读】
【课程标准】
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在(-,)上的性质.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以函数、图象为载体,考查三角函数定义域、值域以及图象与性质;三角函数的图象与性质是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 2025年高考对于三角函数图象与性质的考查仍是一个重点,主要是以选择题或填空题为主,难度不是很大,但要注意三角恒等变换与这部分的结合,因此需要掌握各种公式和图象.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0), (,1),(π,0), (,-1),(2π,0).
在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1), (,0),(π,-1), (,0),(2π,1).
微点拨 函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ+ }
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增 区间 [-+2kπ, +2kπ] [-π+2kπ,2kπ] (-+kπ, +kπ)
递减 区间 [+2kπ, +2kπ] [2kπ,π+2kπ] 无
对称 中心 (kπ,0) (+kπ,0) (,0)
对称轴 方程 x=+kπ x=kπ 无
微点拨
(1)写单调区间时,不要忘记k∈Z;
(2)y=tan x无单调递减区间;
(3)正切函数的图象是由直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.
　常用结论
1.三角数的对称性与周期性的结论
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2.三角函数的奇偶性结论
若f(x)=Asin (ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.(　　)
提示:(1)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.(　　)
提示: (2)正切函数y=tan x在每一个区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(　　)
提示: (3)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.
(4)y=sin|x|是偶函数.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(2023·天津高考)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.sin(x) B.cos(x)
C.sin(x) D.cos(x)
【分析】由已知结合正弦函数及余弦函数的对称性及周期公式分别检验各选项即可判断.
【解析】选B.若f(x)=sin(x),则T==4,
令x=+kπ,k∈Z,则x=1+2k,k∈Z,显然x=2不是对称轴,故A不符合题意;
若f(x)=cos(x),则T==4,
令x=kπ,k∈Z,则x=2k,k∈Z,
故x=2是一条对称轴,B符合题意;
f(x)=sin(x),则T==8,故C不符合题意;
f(x)=cos(x),则T==8,故D不符合题意.
【点评】本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性,属于基础题.
3.(忽视系数的符号致误)下列区间中,函数f(x)=7sin(-x)的单调递减区间是(　　)
A. (0,) B. (,π) C. (π,) D. (,2π)
【解析】选A.f(x)=7sin(-x)=-7sin(x-),
因此函数f(x)=7sin(-x)的单调递减区间即为函数y=7sin(x-)的单调递增区间.
令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得
-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
取k=0,则-≤x≤.
因为(0,) [-,,
所以(0,)是函数f(x)的单调递减区间.
4.(必修第一册P213习题T4改编)函数y=3-
2cos(x+)的最大值为　　　,此时x=　　　　　　　　　　　　.
【解析】函数y=3-2cos(x+)的最大值为3+2=5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),
即x=+2kπ(k∈Z).
答案:5　+2kπ(k∈Z)
【核心考点·分类突破】
考点一三角函数的定义域
1.函数y=的定义域为(　　)
A. [-,]
B. [kπ-,kπ+](k∈Z)
C. [2kπ-,2kπ+](k∈Z)
D.R
【解析】选C.由cos x-≥0,得cos x≥,
所以2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
2.函数f(x)=-2tan(2x+)的定义域是(　　)
A. {x|x≠}
B. {x|x≠kπ+,k∈Z}
C. {x|x≠-}
D. {x|x≠+,k∈Z}
【解析】选D.由2x+≠kπ+(k∈Z),得x≠+(k∈Z).
3.函数y=的定义域为　　　　.
【解析】要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.
答案: [2kπ+,2kπ+](k∈Z)
4.函数y=lg sin x+的定义域为　　　　.
【解析】使函数有意义,则有
即
解得(k∈Z),
所以2kπ所以函数的定义域为{x|2kπ答案: {x|2kπ解题技法
三角函数有关定义域的求法
　根据函数解析式特征列出与三角函数有关的不等式,借助三角函数性质及图象求解.
提醒:涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
考点二三角函数的值域(最值)
[例1](1)函数f(x)=sin3xcos x-sin xcos3x的最大值为(　　)
A. B. C. D.1
【解析】选B.因为f(x)=sin3xcos x-sin xcos3x=sin xcos x(sin2x-cos2x)=-sin 2xcos 2x=
-sin 4x,
所以f(x)=sin3xcos x-sin xcos3x的最大值为.
(2)当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为　　　　　.
【解析】因为x∈[,],
所以sin x∈[-,1].
又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=2(sin x-)2+,
所以当sin x=时,ymin=,
当sin x=-或sin x=1时,ymax=2.
即函数的值域为[,2].
答案: [,2]
(3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为　　　　.
【解析】设t=sin x-cos x,
则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,
sin xcos x=,且-≤t≤.
所以y=-+t+=-(t-1)2+1.
当t=1时,ymax=1;
当t=-时,ymin=--.
所以函数的值域为[--,1].
答案: [--,1]
解题技法
　求解三角函数的值域(最值)常见的类型
(1)形如y=asin ωx+bcos ωx+c:化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c:可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c:可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
对点训练
1.函数y=tan(x-),x∈(-,)的值域为(　　)
A.(-,1) B. (-1,)
C.(1,) D. (,1)
【解析】选A.设z=x-,因为x∈(-,),
所以z∈(-,),因为正切函数y=tan z在
(-,)上单调递增,且tan(-)=-,
tan =1,所以tan z∈(-,1).
2.函数f(x)=sin x+cos(x+)的值域为(　　)
A.[-2,2] B.[-,]
C.[-1,1] D. [-,]
【解析】选C.f(x)=sin x+cos(x+)=sin x+cos x-sin x=cos x+sin x=cos(x-).
因为x∈R,所以cos(x-)∈[-1,1],
所以函数f(x)的值域为[-1,1].
3.(2024·重庆模拟)函数g(x)=sin 2x-sin(x+)(x∈R)的值域为　　　　.
【解析】g(x)=sin xcos x-(sin xcos +cos xsin )=sin xcos x-(sin x+cos x).
令t=sin x+cos x=sin(x+)∈[-,],
则g(x)=-t=(t-1)2-1∈[-1,+].
答案: [-1,+]
【加练备选】
　　　已知函数f(x)=4sin(2x-)+1的定义域是[0,m],值域为[-1,5],则m的最大值是(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.因为x∈[0,m],所以2x-∈[-,2m-].因为f(x)的值域为[-1,5],所以≤2m-≤,解得≤m≤,所以m的最大值为.
考点三三角函数的周期性
1.(多选题)下列函数中,最小正周期为π的是(　　)
A.y=cos|2x| B.y=|cos x|
C.y=cos(2x+) D.y=tan(2x-)
【解析】选ABC.A中,y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期为π;B中,由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;C中,y=cos(2x+)的最小正周期
T==π;D中,y=tan(2x-)的最小正周期
T=.
2.已知函数f(x)=cos (π-x)-cos(+x)+1,则函数f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
【解析】选D.由题意得f(x)=cos (π-x)+cos(+x)+1=-cos x-sin x+1=-sin(x+)+1,则T==2π.
3.函数f(x)=的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
【解析】选C.由已知,得f(x)====sin xcos x=sin 2x,所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
4.已知函数f(x)的最小正周期为π,且在(,)上单调递减,则f(x)=　　　　.(写出符合条件的一个答案即可)
【解析】因为函数f(x)=cos 2x的最小正周期为π,且在(,)上单调递减,所以f(x)=cos 2x.
答案:cos 2x(答案不唯一)
解题技法
　求三角函数周期的一般方法
(1)公式法:函数y=Asin (ωx+φ)与y=Acos (ωx+φ)的最小正周期为T=,y=Atan (ωx+φ)的最小正周期为T=.
(2)图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期.
(3)定义法:对于较特殊的函数,可用周期的定义检验函数的最小正周期.
考点四三角函数的奇偶性与对称性
考情提示
三角函数的周期性、奇偶性、对称性是高考考查的重要内容,且这三种性质的考查往往融合为一体,多以“小而活”的客观题形式出现.
角度1　奇偶性及应用
[例2](1)下列函数中,定义域为R且最小正周期为π的偶函数是(　　)
A.f(x)=sin xcos x 　　B.f(x)=tan x
C.f(x)=cos2x-sin2x 　　D.f(x)=|sin 2x|
【解析】选C.对于A,C,D,观察得函数定义域都为R,即定义域关于原点对称.对于B,定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z},所以排除B;对于A,因为f(x)=sin 2x,
所以f(x)的最小正周期为π,又f(-x)=sin (-x)cos (-x)=-sin xcos x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以排除A;对于C,因为f(x)=cos 2x,所以f(x)的最小正周期为π,又f(-x)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos2x-sin2x=f(x),所以f(x)是偶函数,所以C正确;对于D,f(x)的最小正周期为,所以排除D.
(2)(2024·茂名模拟)已知f(x)=sin(x-α)+cos x是奇函数,则tan α=　　　　　.
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即sin (-α)+cos 0=0,解得sin α=,所以cos α=±,此时f(x)=sin xcos α-cos xsin α+cos x=sin xcos α=±sin x,是奇函数,所以tan α=±1.
答案:±1
解题技法
　三角函数奇偶性应用技巧
(1)可结合常用结论判断奇偶性;
(2)若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))为奇函数,则当x=0时,y=0;若y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))为偶函数,则当x=0时,y取最大值或最小值.
角度2　三角函数的对称性
[例3](1)(2024·济南模拟)已知函数f(x)=2sin(2ωx-)(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的图象关于(　　)
A.直线x=对称 B.直线x=对称
C.点(,0)对称 D.点(,0)对称
【解析】选B.因为函数f(x)=2sin(2ωx-)(ω>0)的最小正周期为π,由T=,得ω=1,
即f(x)=2sin(2x-),f()=1≠2,故直线x=不是对称轴, (,0)也不是对称中心.
因为f()=2,所以直线x=是对称轴, (,0)不是对称中心.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B. C. D.3
【解析】选A.由函数的最小正周期T满足又因为函数图象关于点对称,
所以ω+=kπ,k∈Z,且b=2,
所以ω=-+k,k∈Z,
所以ω=,f(x)=sin+2,
所以f=sin+2=1.
解题技法
　三角函数对称性应用技巧
(1)思路:函数y=Asin (ωx+φ)图象的对称轴和对称中心可结合y=sin x图象的对称轴和对称中心求解.
(2)方法:利用整体代换的方法求解,令ωx+φ=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,即对称轴方程;令ωx+φ=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ),可以利用类似的方法求解(注意y=Atan(ωx+φ)的图象无对称轴).
对点训练
1.函数f(x)=2sin 2(+x)-1是(　　)
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的奇函数
【解析】选D.f(x)=2sin 2(+x)-1=-[1-2sin 2(+x) ]=-cos(+2x)=sin 2x,可得f(x)的最小正周期为=π.
因为f(-x)=sin (-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以f(x)是最小正周期为π的奇函数.
2.已知函数f(x)=2sin(x+θ+)(θ∈[-,])是偶函数,则θ的值为　　　　.
【解析】因为函数f(x)为偶函数,
所以θ+=kπ+(k∈Z).
又θ∈[-,],
所以θ+=,解得θ=,经检验符合题意.
答案:
考点五三角函数的单调性
角度1　求三角函数的单调区间
[例4](1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中,函数f(x)=7sin(x-)单调递增的区间是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.当x-∈时,函数单调递增,即x∈,k∈Z,令k=0,x∈(-,),因为(0,) (-,),故A正确.
(2)函数y=3tan(-)的单调递减区间为　　　　　　　　　　.
【解析】y=3tan(-)=-3tan(-),
由kπ-<-解得4kπ-π故函数的单调递减区间为(4kπ-π,4kπ+π)(k∈Z).
答案: (4kπ-π,4kπ+π)(k∈Z)
角度2　根据单调性求参数
[例5](1)(2023·荆州模拟)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x在[π-m,m]上单调递减,则m的最大值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),令+2kπ≤2x+≤+2kπ,
解得+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,
因为π-m,则π-m<,
故,
解得所以m的最大值为.
(2)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是　　　　　.
【解析】由0,
得+<ωx+<ωπ+,
因为y=sin x的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z,
所以k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-(2k+)≤0,k∈Z,且2k+>0,k∈Z,
解得k=0,所以ω∈[,].
答案: [,]
解题技法
1.形如y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的单调区间求法
将ωx+φ看作一个整体,结合y=sin x的性质求解,若ω<0时,先利用诱导公式将x的系数化为正数.
2.已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
对点训练
1.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是(　　)
A. B. C. D.π
【解析】选A.解法一:f(x)=cos x-sin x=
cos(x+),且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x+≤π,得-≤x≤.
因为f(x)在[-a,a]上是减函数,所以解得0解法二:因为f(x)=cos x-sin x,
所以f'(x)=-sin x-cos x,则由题意,知f'(x)=-sin x-cos x≤0在[-a,a]上恒成立,即sin x+cos x≥0,即sin(x+)≥0在[-a,a]上恒成立,结合函数
y=sin(x+)的图象有
解得0【加练备选】
　　已知函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3条对称轴,则ω的取值范围是(　　)
A. (,] B. (,]
C. [,) D. [,)
【解析】选C.f(x)=cos(ωx-)(ω>0),令ωx-=kπ,k∈Z,则x=,k∈Z,函数f(x)的图象在区间[0,π]上有且仅有3条对称轴,即0≤≤π有三个整数k符合,由0≤≤π,可得0≤≤1,可得0≤1+4k≤4ω,则k=0,1,2,即1+4×2≤4ω<1+4×3,所以≤ω<.
2.若函数f(x)=tan(ωx+)在[-,]上单调递减,且在[-,]上的最大值为,则ω=　　　　.
【解析】因为函数f(x)=tan(ωx+)在[-,]上单调递减,所以ω<0,≥,则-≤ω<0,又因为函数f(x)在[-,]上的最大值为,所以-ω+=+kπ,k∈Z,即ω=--3k,k∈Z,所以ω=-.
答案:-

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