资源简介
第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用
【课标解读】
【课程标准】
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查y=Asin(ωx+φ)的图象、图象变换以及与它有关的实际应用问题;三角函数图象、图象变换以及与其他知识交汇是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 2025年高考对函数y=Asin (ωx+φ)的图象与性质及三角函数的应用的考查,仍然是命题的热点,可能会与三角函数式的求值、化简相结合.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点
ωx+φ 0 π 2π
x
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
微点拨用“五点法”作图时,相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的.
2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
3.简谐运动的有关概念
y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f== ωx +φ φ
常用结论
1.函数y=Asin (ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
2.由y=sin ωx到y=sin (ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.( )
(2)函数y=sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-).( )
(3)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得函数解析式为y=sin x.( )
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.( )
提示:因为只有当A>0时,
y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A,所以(1)错误;
因为函数y=sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-),所以(2)错误;
因为把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得函数解析式为y=sin 2x,所以(3)错误;
因为函数y=Acos(ωx+φ)相邻两个对称中心之间的距离为半个周期,所以(4)正确.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
2.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,则f(x)等于( )
A.sin(-) B.sin(+)
C.sin(2x-) D.sin(2x+)
【解析】选B.依题意,将y=sin(x-)的图象向左平移个单位长度,得到y=sin(x+-)=sin(x+)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(x+).
3.(必修第一册P241T4改条件)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为 .
【解析】从题图可知:T=-=,
所以T=π,ω=2,又因为2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),
又因为0<|φ|<π,所以φ=-,
显然A=2,因此y=2sin(2x-).
答案:y=2sin(2x-)
4.(混淆ω值的影响)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos ωx,则ω的值为( )
A.3 B. C.9 D.
【解析】选B.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cosx,所以ω=.
【核心考点·分类突破】
考点一“五点法”作y=Asin (ωx+φ)的图象
[例1]用“五点法”画出函数y=sin+cos 的图象,并指出这个函数的周期与单调区间.
【解析】y=sin +cos =2sin(+),
令M=+,则列表如下:
M 0 π 2π
x -
y=2sin M 0 2 0 -2 0
在坐标系中描出相应的五点,用平滑的曲线连接起来,向两端伸展一下,如图所示.
从图象观察知该函数的周期为T=-(-)=4π.
[-+4kπ,+4kπ](k∈Z)为单调递增区间,
[+4kπ,+4kπ](k∈Z)为单调递减区间.
解题技法
用“五点法”作函数y=Asin (ωx+φ)的简图的关键点
(1)通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x.
(2)通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象,其中相邻两点的横向距离均为.
对点训练
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,|φ|≤.若f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为,f(0)=1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
【解析】(1)若f(x1)=2,f(x2)=0,即x1是f(x)的最大值点,x2是f(x)的零点,且|x1-x2|的最小值为,设f(x)的最小正周期为T,
则=,即T==π,解得ω=2.
由f(0)=1,得f(0)=2sin φ=1,即有sin φ=,所以φ=+2kπ(k∈Z)或φ=+2kπ(k∈Z),
又|φ|≤,所以φ=.综上所述,f(x)=2sin(2x+),令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)请完成表格并利用五点画图法绘制该函数在一个周期内的图象,并求f(x)在区间[0,]上的最值.
X=ωx+φ
x
f(x)
【解析】(2)根据“五点画图法”的要求先完成表格,令X=2x+,则
X 0 π 2π
x -
f(x) 0 2 0 -2 0
由图可知,当x=时,f(x)取到最大值2;当x=时,f(x)取到最小值-.
考点二函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例2](1)(2023·郑州模拟)将函数f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin x的图象,则f(x)在区间[0,]上的值域为( )
A. [-,1] B. [-,1]
C. [,1] D. [,1]
【解析】选C.将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变得到y=sin 2x的图象,再将y=sin 2x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f(x)=sin(2x+)的图象.
当x∈[0,]时, (2x+)∈[,],
所以sin(2x+)∈[,1].
(2)函数f(x)=sin(ωx+φ) (其中ω>0,0<φ<的图象如图所示,为了得到y=sin x的图象,则需将y=f(x)的图象( )
A.横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度
【解析】选C.由题图可知,T=-=,
所以T=π,故ω==2,故函数f(x)=sin (2x+φ),
又函数图象经过点(,0),
故有sin(2×+φ)=0,即2×+φ=kπ,
所以φ=kπ-(k∈Z),
又0<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+),
故将函数f(x)=sin(2x+)图象的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(x+)的图象,然后再向右平移个单位长度即可得到y=sin x的图象.
解题技法
三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略
(1)确定函数y=sin x经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,即按“左加右减”的原则进行;
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位长度.
对点训练
1.(2024·长春模拟)要得到y=cos 的图象,只要将y=sin 的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移π个单位长度
D.向右平移π个单位长度
【解析】选C.函数y=sin的图象向左平移π个单位长度后得到y=sin(+)=cos 的图象.
2.(2024·长沙模拟)将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度.得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ= .
【解析】函数f(x)向左平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin[2(x+φ)-],
函数g(x)是奇函数,所以g(0)=sin(2φ-)=0,则2φ-=kπ,k∈Z,
则φ=+,k∈Z,因为φ∈(0,),所以φ=.
答案:
考点三由函数图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例3](1)函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为( )
A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(x+)
C.y=2sin(-) D.y=2sin(2x-)
【解析】选A.由已知可得函数y=Asin(ωx+φ)的图象经过点(-,2)和点(,-2),
则A=2,T=π,所以ω=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+φ),
将(-,2)代入得-+φ=+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
当k=0时,φ=,此时y=2sin(2x+).
(2)(2023·潍坊模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,现将f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的表达式可以为( )
A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2cos(2x-)
C.g(x)=2sin(x-) D.g(x)=2cos(x+)
【解析】选B.由题图可知f(x)max=2,所以A=2;
又f(0)=2sin φ=-1,所以sin φ=-,
又|φ|<,所以φ=-,
所以f()=2sin(ω-)=0,由五点作图法可知ω-=π,解得ω=2,
所以f(x)=2sin(2x-);
所以g(x)=f(x+)=2sin [2(x+)-]
=2sin(2x+)=2cos [-(2x+) ]
=2cos(-2x)=2cos(2x-).
解题技法
根据三角函数图象求解析式的三个关键
(1)根据最大值或最小值求出A的值.
(2)根据周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
对点训练
1.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f()= .
【命题意图】本题考查函数f(x)=2cos(ωx+φ)的图象与其参数(ω,φ)之间的关系,考查考生分析问题解决问题的能力.
【解析】观察图象可知:f(x)的最小正周期T=×=π,所以ω=2,又因为f=
2cos=2,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=2cos,
所以f=2cos=2cos=-.
答案:-
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)+n的最大值为4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,若A>0,ω>0,0<φ<,则函数解析式为 .
【解析】依题意,得A==2,n==2,
ω==4,所以y=2sin (4x+φ)+2,
所以4×+φ=kπ+,k∈Z,
即φ=kπ-,k∈Z.因为0<φ<,
所以k=1,φ=.所以函数解析式为y=2sin(4x+)+2.
答案:y=2sin(4x+)+2
【加练备选】
函数y=Asin(ωx+φ) (ω>0,<)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为( )
A.y=-2sin(2x-) B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(x+) D.y=2sin(+)
【解析】选B.由题图知A=2,=-=,T=π,所以ω=2,
把最值点(,2)代入y=2sin(2x+φ),
得2sin(+φ)=2,
所以+φ=2kπ+(k∈Z),
所以φ=2kπ+(k∈Z),
又因为<,所以φ=,
因此函数的解析式是y=2sin(2x+).
考点四三角函数图象、性质的综合应用
角度1 三角函数图象与性质的综合应用
[例4]已知函数f(x)=sin(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=sin 2x的图象
C.f(x)在区间上的最小值为-
D.f为偶函数
【解析】选D.因为f(x)的图象过点,
所以sin φ=,因为0<φ<,所以φ=.
因为f(x)的图象过点,所以由五点作图法可知ω·+=,得ω=1,
所以f(x)=sin.
因为f(-)=sin(-+)=sin(-)=-1,
所以x=-为f(x)图象的一条对称轴,所以A错误;
f(x)的图象向右平移个单位长度后,得
y=sin=sin,所以B错误;
当x∈时,2x+∈,
所以-≤sin≤1,所以f(x)在区间上的最小值为-,所以C错误;
f=sin
=sin=cos 2x,
令g(x)=f=cos 2x,
因为g(-x)=cos(-2x)=cos 2x=g(x),
所以g(x)=f=cos 2x为偶函数,所以D正确.
解题技法
解决三角函数图象与性质综合问题的步骤
(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
(2)构造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.
角度2 函数零点(方程根)问题
[例5](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
【解析】因为0≤x≤2π,所以0≤ωx≤2ωπ.
令f(x)=cos ωx-1=0,则cos ωx=1有3个根,
令t=ωx,则cos t=1有3个根,其中t∈[0,2ωπ],
结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π,故2≤ω<3.
答案:[2,3)
【误区警示】本题在求解的过程中,易忽略端点的取值是否能取得,如本题在建立不等式4π≤2ωπ<6π时,右边也取到等号,进而得出错误的结论2≤ω≤3.
解题技法
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.
对点训练
1. (多选题)已知函数f(x)=2sin的图象关于直线x=π对称,则( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)的一个对称中心是
D.f(x)的一个单调递增区间是
【解析】选BD .由函数解析式可知函数f(x)的最小正周期是T==π,则B正确;
由f(x)的图象关于直线x=π对称,且最小正周期是π,因此f(x)的图象也关于直线x=0对称,故f(x)是偶函数(或由f(0)=2sin φ=0结合0<φ<π知不可能),因此A错误;
由函数f(x)=2sin是偶函数可知φ=,则f(x)=2cos 2x,故f(x)的对称中心为(k∈Z),C错误;
由于 ,f(x)在上单调递增,D正确.
2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ) (ω>0,0<φ<)的相邻两个对称中心的距离为,且f(1)=-,则函数y=f(x)的图象与函数y=的图象在(-5,9)上所有交点横坐标之和为( )
A.16 B.4 C.8 D.12
【解析】选D. 由已知得f(x)=tan(ωx+φ)最小正周期为3,即=3,所以ω=,
则f(x)=tan(x+φ).又f(1)=-,
即tan(+φ)=-,所以+φ=+kπ,k∈Z,
因为0<φ<,所以φ=,
所以f(x)=tan(x+).
又因为f(2)=tan(+)=0,
所以y=f(x)关于(2,0)中心对称,点(2,0)也是y=的对称中心,两个函数的图象共有6个交点,且都关于(2,0)成中心对称,则所有交点横坐标之和为12.
考点五三角函数模型及其应用
[例6]如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是( )
A.h=-8sin t+10
B.h=-cos t+10
C.h=-8sin t+8
D.h=-8cos t+10
【解析】选D.由题意设h=A cos ωt+B,
因为12 min旋转一周,
所以=12,所以ω=,
由于最大值与最小值分别为18,2.
所以
解得A=-8,B=10.所以h=-8cos t+10.
解题技法
三角函数模型的两种类型及其解题策略
(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;
(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
对点训练
1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos[(x-6) ](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为 ℃.
【解析】由题意得解得所以y=23+5cos[(x-6) ],令x=10,得y=20.5.
答案:20.5
2.如图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧,下部是一个矩形ABCD,所在圆的圆心为O.经测量AB=4米,BC=米,∠COD=,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH,其中E,F在边AB上,G,H在上.设∠OGF=θ,矩形EFGH的面积为S.
(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;
【解析】(1)如图,作OP⊥CD分别交AB,CD,GH于M,P,N,
由四边形ABCD,EFGH是矩形,O为圆心,
∠COD=,
可得OM⊥AB,ON⊥GH,P,M,N分别为CD,AB,GH的中点,∠CON=,
在Rt△COP中,CP=2,∠COP=,
所以OC=米,OP=米,
所以OM=OP-PM=OP-BC=米,
在Rt△ONG中,
∠GON=∠OGF=θ,OG=OC=米,
所以GN=sin θ米,ON=cos θ米,
所以GH=2GN=sin θ米,
GF=MN=ON-OM=(cos θ-)米,
所以S=GF·GH=(cos θ-)·sin θ
=(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,),
所以S关于θ的函数关系式为
S=(4cos θ-1)sin θ,θ∈(0,).
(2)当cos θ为何值时,矩形EFGH的面积S最大
【解析】(2)由(1)得S'=(4cos 2θ-4sin2θ-cos θ)=(8cos 2θ-cos θ-4),因为θ∈(0,),
所以cos θ∈(,1),
令S'=0,得cos θ=∈(,1),
设θ0∈(0,),且cos θ0=,
所以由S'>0,得0<θ<θ0,即S在(0,θ0)上单调递增,
由S'<0,得θ0<θ<,即S在(θ0,)上单调递减,所以当θ=θ0时,S取得最大值,
所以当cos θ=时,矩形EFGH的面积S最大.
重难突破 三角函数解析式中ω的求法
三角函数中“ω”的范围问题是近几年的考查热点,涉及三角函数的图象,单调性,对称性,极值等多个知识点,重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,解题思路通常有两种:
一是利用复合函数的性质,借助于整体思想得到“ω”满足的关系式;
二是利用图象或图象变换,借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式.
类型一 ω的取值范围与单调性相结合
[例1]已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )
A. [,] B. [,]
C. (0,] D.(0,2]
【解析】选A.由+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),
得+0).
因为函数f(x)在(,π)上单调递减,
所以(,π) (+,+),
即
解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z.
因为所以0<ω≤2,
当k=0时,≤ω≤.
解题技法
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围的方法
第一步:根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤;
第二步:以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [-+2kπ,+2kπ],解得ω的范围;
第三步:结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.
对点训练
已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx-)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )
A. [,] B. [,]
C. (0,] D. [,]
【解析】选B.令2kπ≤ωx-≤2kπ+π(k∈Z),
得≤x≤(k∈Z).
因为函数f(x)在(,π)上单调递减,
所以其中k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+(k∈Z).
又因为函数f(x)在(,π)上单调递减,
所以T≥π ω≤2.
又ω>0,所以当k=0时,有≤ω≤.
类型二 ω的取值范围与对称性相结合
[例2]已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤),x=-是函数f(x)的一个零点,x=是函数f(x)的一条对称轴,若f(x)在区间(,)上单调,则ω的最大值是( )
A.14 B.16 C.18 D.20
【解析】选A.设函数f(x)的最小正周期为T,
因为x=-是函数f(x)的一个零点,x=是函数f(x)的一条对称轴,则T=-(-)=,其中n∈N,
所以T==,所以ω=4n+2.
因为函数f(x)在区间(,)上单调,则-≤=,所以ω≤20,
所以ω的可能取值有:2,6,10,14,18.
(ⅰ)当ω=18时,f(x)=sin(18x+φ),f(-)=sin(-+φ)=0,
所以φ-=kπ(k∈Z),则φ=kπ+(k∈Z),
因为-≤φ≤,
所以φ=,所以f(x)=sin(18x+),
当所以函数f(x)在(,)上不单调,不符合题意;
(ⅱ)当ω=14时,f(x)=sin(14x+φ),f(-)=sin(-+φ)=0,
所以φ-=kπ(k∈Z),则φ=kπ+(k∈Z),
因为-≤φ≤,所以φ=-,
所以f(x)=sin(14x-),
当所以函数f(x)在(,)上单调递减,符合题意.
因此,ω的最大值为14.
解题技法
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,也就是说,我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω的取值范围.
对点训练
(多选题)(2023·衡水模拟)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(,0)对称,则ω可取的值为( )
A. B. C.1 D.4
【解析】选CD.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin[ω(x-)+]
=sin(ωx+-)=cos(ωx+),
又因为F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(,0)对称,
所以F(x)=sin(ωx+)cos(ωx+)
=sin(2ωx+)的图象关于点(,0)对称,则2ω·+=kπ,k∈Z,
所以ω=,k∈Z,
又因为ω>0,所以ω的最小值为1,
故ω可取的值为1,4.
类型三 ω的取值范围与三角函数的最值相结合
[例3](2023·成都模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在区间(-,)上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围为( )
A. [,7) B. (,4)
C. [4,) D. (,7)
【解析】选B.因为f(x)在区间(-,)上恰有一个最大值点和一个最小值点,
所以-(-)>=,所以ω>.
令t=ωx+,当x∈(-,)时,t∈(-ω+,ω+),
于是f(x)=2sin(ωx+)在区间(-,)上的最值点个数等价于g(t)=2sin t在(-ω+,ω+)上的最值点个数.
由ω>知,-ω+<0,ω+>0,
因为g(t)在(-ω+,ω+)上恰有一个最大值点和一个最小值点,
所以
解得<ω<4.
解题技法
三角函数的对称轴必经过图象的最高点或最低点,三角函数的对称中心就是其图象与x轴的交点,也就是说我们可以利用函数的最值点、零点之间的“差距”来确定其周期,进而可以确定ω的取值范围.
对点训练
已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象在y轴上的截距为,且在区间(π,2π)上没有最值,则ω的取值范围为 .
【解析】由题意可知,f(0)=,且0<φ<π,则φ=.
又f(x)在区间(π,2π)上没有最值,所以=≥π,即0<ω≤1;
f(x)=cos (ωx+),
令ωx+=kπ,k∈Z,
即x=-,k∈Z,
所以当x=-,k∈Z时,函数f(x)=cos (ωx+)取到最值,
因为f(x)在区间(π,2π)内没有最值,
所以k∈Z,
解得k-≤ω≤+,k∈Z.
当k=0时,-≤ω≤,
又0<ω≤1,所以0<ω≤,
当k=1时,≤ω≤,
可得ω∈(0,]∪[,].
答案: (0,]∪[,]
类型四 ω的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合
[例4](2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.当ω<0时,不能满足在区间(0,π)内极值点比零点多,所以ω>0;
函数f(x)=sin在区间(0,π)内恰有三个极值点、两个零点,
则有ωx+∈,
所以<ωπ+≤3π,
求得<ω≤.
解题技法
三角函数两个零点之间最小的“水平间隔”为,根据三角函数的零点个数,可以研究“ω”的取值范围.
对点训练
(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
【解析】因为f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),
所以最小正周期T=,
因为f(T)=cos(ω·+φ)=cos(2π+φ)=cosφ=,
又因为0<φ<π,
所以φ=,即f(x)=cos(ωx+),
又因为x=为f(x)的零点,
所以ω+=+kπ,k∈Z,
解得ω=3+9k,k∈Z,
因为ω>0,所以当k=0时,ωmin=3.
答案:3第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用
【课标解读】
【课程标准】
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查y=Asin(ωx+φ)的图象、图象变换以及与它有关的实际应用问题;三角函数图象、图象变换以及与其他知识交汇是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 2025年高考对函数y=Asin (ωx+φ)的图象与性质及三角函数的应用的考查,仍然是命题的热点,可能会与三角函数式的求值、化简相结合.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点
ωx+φ 0 π 2π
x
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
微点拨用“五点法”作图时,相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的.
2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
3.简谐运动的有关概念
y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f== ωx +φ φ
常用结论
1.函数y=Asin (ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
2.由y=sin ωx到y=sin (ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 4 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.( )
(2)函数y=sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)=sin(2x-).( )
(3)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得函数解析式为y=sin x.( )
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.( )
2.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,则f(x)等于( )
A.sin(-) B.sin(+)
C.sin(2x-) D.sin(2x+)
3.(必修第一册P241T4改条件)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为 .
4.(混淆ω值的影响)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cos ωx,则ω的值为( )
A.3 B. C.9 D.
【核心考点·分类突破】
考点一“五点法”作y=Asin (ωx+φ)的图象
[例1]用“五点法”画出函数y=sin+cos 的图象,并指出这个函数的周期与单调区间.
解题技法
用“五点法”作函数y=Asin (ωx+φ)的简图的关键点
(1)通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x.
(2)通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象,其中相邻两点的横向距离均为.
对点训练
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),ω>0,|φ|≤.若f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为,f(0)=1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)请完成表格并利用五点画图法绘制该函数在一个周期内的图象,并求f(x)在区间[0,]上的最值.
X=ωx+φ
x
f(x)
考点二函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例2](1)(2023·郑州模拟)将函数f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=sin x的图象,则f(x)在区间[0,]上的值域为( )
A. [-,1] B. [-,1]
C. [,1] D. [,1]
(2)函数f(x)=sin(ωx+φ) (其中ω>0,0<φ<的图象如图所示,为了得到y=sin x的图象,则需将y=f(x)的图象( )
A.横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度
解题技法
三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略
(1)确定函数y=sin x经过平移变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,即按“左加右减”的原则进行;
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和单位长度.
对点训练
1.(2024·长春模拟)要得到y=cos 的图象,只要将y=sin 的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移π个单位长度
D.向右平移π个单位长度
2.(2024·长沙模拟)将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度.得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ= .
考点三由函数图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例3](1)函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为( )
A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(x+)
C.y=2sin(-) D.y=2sin(2x-)
(2)(2023·潍坊模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,现将f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的表达式可以为( )
A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2cos(2x-)
C.g(x)=2sin(x-) D.g(x)=2cos(x+)
解题技法
根据三角函数图象求解析式的三个关键
(1)根据最大值或最小值求出A的值.
(2)根据周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
对点训练
1.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f()= .
【命题意图】本题考查函数f(x)=2cos(ωx+φ)的图象与其参数(ω,φ)之间的关系,考查考生分析问题解决问题的能力.
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)+n的最大值为4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,若A>0,ω>0,0<φ<,则函数解析式为 .
【加练备选】
函数y=Asin(ωx+φ) (ω>0,<)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为( )
A.y=-2sin(2x-) B.y=2sin(2x+)
C.y=2sin(x+) D.y=2sin(+)
考点四三角函数图象、性质的综合应用
角度1 三角函数图象与性质的综合应用
[例4]已知函数f(x)=sin(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y=sin 2x的图象
C.f(x)在区间上的最小值为-
D.f为偶函数
解题技法
解决三角函数图象与性质综合问题的步骤
(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
(2)构造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.
角度2 函数零点(方程根)问题
[例5](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
【误区警示】本题在求解的过程中,易忽略端点的取值是否能取得,如本题在建立不等式4π≤2ωπ<6π时,右边也取到等号,进而得出错误的结论2≤ω≤3.
解题技法
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
求解与三角函数有关的零点(或三角函数有关的方程)个数或零点的和的问题,常结合三角函数图象利用数形结合思想直观求解.
对点训练
1. (多选题)已知函数f(x)=2sin的图象关于直线x=π对称,则( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)的一个对称中心是
D.f(x)的一个单调递增区间是
2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ) (ω>0,0<φ<)的相邻两个对称中心的距离为,且f(1)=-,则函数y=f(x)的图象与函数y=的图象在(-5,9)上所有交点横坐标之和为( )
A.16 B.4 C.8 D.12
考点五三角函数模型及其应用
[例6]如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是( )
A.h=-8sin t+10
B.h=-cos t+10
C.h=-8sin t+8
D.h=-8cos t+10
解题技法
三角函数模型的两种类型及其解题策略
(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;
(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
对点训练
1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos[(x-6) ](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的平均气温为 ℃.
2.如图所示,某窑洞窗口形状上部是圆弧,下部是一个矩形ABCD,所在圆的圆心为O.经测量AB=4米,BC=米,∠COD=,现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH,其中E,F在边AB上,G,H在上.设∠OGF=θ,矩形EFGH的面积为S.
(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式;
(2)当cos θ为何值时,矩形EFGH的面积S最大
重难突破 三角函数解析式中ω的求法
三角函数中“ω”的范围问题是近几年的考查热点,涉及三角函数的图象,单调性,对称性,极值等多个知识点,重点考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,解题思路通常有两种:
一是利用复合函数的性质,借助于整体思想得到“ω”满足的关系式;
二是利用图象或图象变换,借助于数形结合思想得到“ω”满足的关系式.
类型一 ω的取值范围与单调性相结合
[例1]已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )
A. [,] B. [,]
C. (0,] D.(0,2]
解题技法
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),在[x1,x2]上单调递增(或单调递减),求ω的取值范围的方法
第一步:根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半,即x2-x1≤T=,求得0<ω≤;
第二步:以单调递增为例,利用[ωx1+φ,ωx2+φ] [-+2kπ,+2kπ],解得ω的范围;
第三步:结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值,从而求出ω(不含参数)的取值范围.
对点训练
已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx-)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )
A. [,] B. [,]
C. (0,] D. [,]
类型二 ω的取值范围与对称性相结合
[例2]已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤),x=-是函数f(x)的一个零点,x=是函数f(x)的一条对称轴,若f(x)在区间(,)上单调,则ω的最大值是( )
A.14 B.16 C.18 D.20
解题技法
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,也就是说,我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω的取值范围.
对点训练
(多选题)(2023·衡水模拟)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点(,0)对称,则ω可取的值为( )
A. B. C.1 D.4
类型三 ω的取值范围与三角函数的最值相结合
[例3](2023·成都模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)在区间(-,)上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围为( )
A. [,7) B. (,4)
C. [4,) D. (,7)
解题技法
三角函数的对称轴必经过图象的最高点或最低点,三角函数的对称中心就是其图象与x轴的交点,也就是说我们可以利用函数的最值点、零点之间的“差距”来确定其周期,进而可以确定ω的取值范围.
对点训练
已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象在y轴上的截距为,且在区间(π,2π)上没有最值,则ω的取值范围为 .
类型四 ω的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合
[例4](2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解题技法
三角函数两个零点之间最小的“水平间隔”为,根据三角函数的零点个数,可以研究“ω”的取值范围.
对点训练
(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为 .
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