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第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念
【课标解读】
【课程标准】
1.了解任意角的概念和弧度制;
2.能进行弧度与角度的互化;
3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考也不会直接考查,可能与三角恒等变换结合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)分类
按旋转方向 正角、负角、零角
按终边位置 象限角和轴线角
(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为　-α　.
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°=rad;1 rad=()°
弧长公式 弧长l=|α|r
扇形面积公式 S=lr=|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义(推广):
设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)三角函数的定义域
三角函数 sin α cos α tan α
定义域 R R {α|α≠kπ+,k∈Z}
常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.
3.象限角
4.轴线角
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.(　　)
提示:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于(　　)
A.-π B.-π C.-π D.-π
【解析】选C.-660°=-660×=-π.
3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ+135°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°+135°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
【解析】选C.与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.
4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sin α=,则x=(　　)
A.-3 B.-4
C.-6 D.-10
【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且
sin α=,所以sin α==,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.
【核心考点·分类突破】
考点一任意角与终边相同的角
1.下列与角的终边相同的角的表达式是(　　)
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
【解析】选C.与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z)或k·360°+45°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.
2.已知α与120°角的终边关于x轴对称,则是(　　)
A.第二或第四象限角
B.第一或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
【解析】选A.由α与120°角的终边关于x轴对称,可得α=k·360°-120°,k∈Z,所以=k·180°-60°,k∈Z,取k=0,1可确定的终边在第二或第四象限.
3.设集合M={x|x=·180°+45°,k∈Z},
N={x|x=·180°+45°,k∈Z},那么(　　)
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=
【解析】选B.由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇数;
而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有M N.
4.与-2 024°角终边相同的最小正角是　　　　,最大负角是　　　　.
【解析】因为-2 024°=-6×360°+136°,所以-2 024°角的终边与136°角的终边相同.
所以-2 024°角是第二象限角.与-2 024°角终边相同的最小正角是136°.又136°-360°=-224°,故与-2 024°角终边相同的最大负角是-224°.
答案:136°　-224°
5.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为　　　　　　　　　　　　　.
【解析】如图,在平面直角坐标系中画出直线y=x.
易知直线y=x与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个,即,;在[-2π,0)内满足条件的角有两个,即-,-,故满足条件的角α的集合为{-,-,,}.
答案: {-,-,,}
解题技法
1.象限角的判断方法
(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围.
(2)写出kα或的范围.
(3)根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
考点二弧度制及其应用
[例1](1)如图所示的时钟显示的时刻为4:30,此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α,则该扇形的面积为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.由题图可知,α=×2π=,所以该扇形的面积S=××12=.
(2)已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.
①若α=,R=10 cm,求扇形的弧长l.
②(一题多法)若扇形的周长是16 cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大
③若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
【解析】①因为α=,R=10 cm,
所以l=|α|R=×10=(cm).
②方法一:由题意知2R+l=16,
所以l=16-2R(0当R=4 cm时,Smax=16 cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,
所以S的最大值是16 cm2,此时扇形的半径是4 cm,圆心角α=2 rad.
方法二:S=lR=l·2R≤·()2=16,
当且仅当l=2R,即R=4 cm时,S的最大值是16 cm2.
此时扇形的圆心角α=2 rad.
③设弓形面积为S弓形,由题意知l= cm,
所以S弓形=××2-×22×sin =(-)cm2.
解题技法
　弧度制的应用
(1)在弧度制下计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.
(2)从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.
(3)熟记下列公式:①l=|α|R;②S=lR;
③S=|α|R2.其中R是扇形的半径,l是弧长,α为圆心角,S是扇形面积.
对点训练
1.(2024·浙江名校联考)如图1是杭州第19届亚运会会徽,名为“潮涌”,形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形,设的长度是l1,的长度是l2,几何图形ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2,若=2,则=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.设∠AOD=θ,OA=r1,OB=r2,则l1=θr1,l2=θr2,又=2,所以=2,即B是OA的中点,所以S1=θ(-)=θ,S2=θ,所以=3.
2.(2024·莆田模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的一只手臂长约为米,整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)(　　)
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1.612米 B.1.768米
C.1.868米 D.2.045米
【解析】选B.由题意得,“弓”所在的弧长l=++=,R=1.25=,
所以其所对的圆心角α===,
所以双手之间的距离d==×1.25≈1.768.
【加练备选】
　　　已知弧长为60 cm的扇形面积是240 cm2,求:
(1)扇形的半径;
(2)扇形圆心角的弧度数.
【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.
(1)由题意得S=lr=×60r=240,
解得r=8(cm),即扇形的半径为8 cm.
(2)α===,
所以扇形圆心角的弧度数为rad.
考点三三角函数的定义
考情提示
三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.
角度1　利用三角函数的定义求值
[例2](1)已知角α的终边经过点(3,-4),则sin α+=(　　)
A.- B.
C. D.
【解析】选D.因为角α的终边经过点(3,-4),所以sin α=-,cos α=,所以sin α+=-+=.
(2)(2023·贵阳模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-2,m),若sin α=,则m=(　　)
A.-4 B.4 C.±4 D.5
【解析】选B.由题可知,sin α==>0,
所以m>0,解得m=4.
(3)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=-2x上,则2sin θcos θ=(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选D.在角θ的终边所在的直线y=-2x上任取一点P(a,-2a)(a≠0),则|OP|=|a|.由三角函数的定义知sin θ=,cos θ=,故2sin θcos θ=2··=-.
解题技法
　利用三角函数定义解决问题的策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离,再用三角函数的定义求解;
(2)已知角α的某个三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值;
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
角度2　判断三角函数值的符号
[例3](1)若sin αtan α<0,且>0,则角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】选B.由sin αtan α<0,知α是第二象限或第三象限角,由>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.
(2)若α为第四象限角,则(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
【解析】选D.因为α是第四象限角,所以-+2kπ<α<2kπ,k∈Z,所以-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,所以角2α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上,所以sin 2α<0,cos 2α可正、可负、可为零.
(3)已知坐标平面内点P的坐标为(sin 5,cos 5),则点P位于第　　　　　象限.
【解析】因为<5<2π,所以sin 5<0,cos 5>0,则点P位于第二象限.
答案:二
解题技法
　三角函数值符号的判断方法
(1)要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.
(2)如果不能确定角所在象限,那就要进行分类讨论求解.
对点训练
1.(2023·石家庄模拟)若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.因为sin αcos α<0,所以α是第二或第四象限角,当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0;当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不符合题意,所以α是第二象限角.
2.若A(1,a)是角θ终边上的一点,且sin θ=,则实数a的值为　　　　.
【解析】根据三角函数的终边上点的定义可得,r=,
所以sin θ==>0,即a>0且a2=11,所以a=.
答案:
【加练备选】
　　　已知角θ=π,且角θ的终边经过点P(x,2),则x的值为(　　)
A.±2 B.2 C.-2 D.-4
【解析】选B.依题意,tan θ=tan π=,其中tan π=tan(674π+)=tan =,所以x=2.第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念
【课标解读】
【课程标准】
1.了解任意角的概念和弧度制;
2.能进行弧度与角度的互化;
3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考也不会直接考查,可能与三角恒等变换结合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)分类
按旋转方向 正角、负角、零角
按终边位置 象限角和轴线角
(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为　-α　.
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°=rad;1 rad=()°
弧长公式 弧长l=|α|r
扇形面积公式 S=lr=|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义(推广):
设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)三角函数的定义域
三角函数 sin α cos α tan α
定义域 R R {α|α≠kπ+,k∈Z}
常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.
3.象限角
4.轴线角
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
(4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.(　　)
2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于(　　)
A.-π B.-π C.-π D.-π
3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ+135°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°+135°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sin α=,则x=(　　)
A.-3 B.-4
C.-6 D.-10
【核心考点·分类突破】
考点一任意角与终边相同的角
1.下列与角的终边相同的角的表达式是(　　)
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
2.已知α与120°角的终边关于x轴对称,则是(　　)
A.第二或第四象限角
B.第一或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
3.设集合M={x|x=·180°+45°,k∈Z},
N={x|x=·180°+45°,k∈Z},那么(　　)
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=
4.与-2 024°角终边相同的最小正角是　　　　,最大负角是　　　　.
5.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为　　　　　　　　　　　　　.
解题技法
1.象限角的判断方法
(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围.
(2)写出kα或的范围.
(3)根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
考点二弧度制及其应用
[例1](1)如图所示的时钟显示的时刻为4:30,此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α,则该扇形的面积为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.
①若α=,R=10 cm,求扇形的弧长l.
②(一题多法)若扇形的周长是16 cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大
③若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
解题技法
　弧度制的应用
(1)在弧度制下计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.
(2)从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.
(3)熟记下列公式:①l=|α|R;②S=lR;
③S=|α|R2.其中R是扇形的半径,l是弧长,α为圆心角,S是扇形面积.
对点训练
1.(2024·浙江名校联考)如图1是杭州第19届亚运会会徽,名为“潮涌”,形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形,设的长度是l1,的长度是l2,几何图形ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2,若=2,则=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024·莆田模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的一只手臂长约为米,整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)(　　)
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1.612米 B.1.768米
C.1.868米 D.2.045米
【加练备选】
　　　已知弧长为60 cm的扇形面积是240 cm2,求:
(1)扇形的半径;
(2)扇形圆心角的弧度数.
考点三三角函数的定义
考情提示
三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.
角度1　利用三角函数的定义求值
[例2](1)已知角α的终边经过点(3,-4),则sin α+=(　　)
A.- B.
C. D.
(2)(2023·贵阳模拟)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-2,m),若sin α=,则m=(　　)
A.-4 B.4 C.±4 D.5
(3)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=-2x上,则2sin θcos θ=(　　)
A. B.- C. D.-
解题技法
　利用三角函数定义解决问题的策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离,再用三角函数的定义求解;
(2)已知角α的某个三角函数值,可求角α终边上一点P的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值;
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小,根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
角度2　判断三角函数值的符号
[例3](1)若sin αtan α<0,且>0,则角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若α为第四象限角,则(　　)
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
(3)已知坐标平面内点P的坐标为(sin 5,cos 5),则点P位于第　　　　　象限.
解题技法
　三角函数值符号的判断方法
(1)要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.
(2)如果不能确定角所在象限,那就要进行分类讨论求解.
对点训练
1.(2023·石家庄模拟)若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若A(1,a)是角θ终边上的一点,且sin θ=,则实数a的值为　　　　.
【加练备选】
　　　已知角θ=π,且角θ的终边经过点P(x,2),则x的值为(　　)
A.±2 B.2 C.-2 D.-4

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