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第二节　三角函数的同角关系、诱导公式
【课标解读】
【课程标准】
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,=tan α;
2.掌握诱导公式,并会简单应用.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查同角三角函数间的关系,诱导公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,应增强转化与化归思想的应用意识,选择题、填空题、解答题均有可能出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:　sin2α+cos2α=1　.
(2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.三角函数的诱导公式(k∈Z)
公式 角 正弦 余弦 正切
一 2kπ+α sin α cos α tan α
二 π+α -sin α -cos α tan α
三 -α -sin α cos α -tan α
四 π-α sin α -cos α -tan α
五 -α cos α sin α
六 +α cos α -sin α
微点拨诱导公式的记忆口诀:
“奇变偶不变,符号看象限.”其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.
　常用结论
1.平方关系的常用变形:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=±,cos α=±.
2.商数关系的常用变形:cos αtan α=sin α,cos α=.
3.和积互化变形:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
4.弦切互化变形:sin2α==,
cos2α==,
sin αcos α==.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)使sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(2)若α∈R,则sin(-α)=sin α.(　　)
(3)若α∈R,则sin2α+cos2α=1.(　　)
(4)若α∈R,则tan α=恒成立.(　　)
提示:因为α∈R,sin(π+α)=-sin α成立,所以(1)错误;因为α∈R,sin (-α)=cos α,所以(2)错误;由同角三角函数间的关系可知,(3)正确;因为tan α=在α≠+kπ(k∈Z)时成立,所以(4)错误.
答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.(必修第一册P183例6变题型)已知α是第四象限角,且sin α=-,则cos α=　　　　　.
【解析】已知α是第四象限角,且sin α=-,
所以cos α==.
答案:
3.(必修第一册P186T15变结论)已知tan α=-2,则=(　　)
A.-4 B.-
C.-1 D.-
【解析】选C.===-1.
4.(记错公式)下列等式恒成立的是(　　)
A.cos(-α)=-cosα
B.sin(360°-α)=sin α
C.tan(2π-α)=tan(π+α)
D.cos(π+α)=cos(π-α)
【解析】选D.因为cos(-α)=cos α;sin(360°-α)=-sin α;tan(2π-α)=-tan α,tan(π+α)=tan α;cos(π+α)=-cos α,cos(π-α)=-cos α.
【核心考点·分类突破】
考点一同角三角函数间的关系
考情提示
同角三角函数的基本关系常与三角函数相关知识融合在一起进行命题,以公式变形为主解决相关运算问题,题型多为选择题、填空题.
角度1　公式的直接应用
[例1](1)(2023·惠州模拟)已知tan α=2,π<α<,则cos α-sin α=(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选A.因为tan α==2,且sin2α+cos2α=1,π<α<,所以sin α=-,cos α=-,所以cos α-sin α=-- (-)=.
(2)已知cos α=-,则13sin α+5tan α=　　　　.
【解析】因为cos α=-<0且cos α≠-1,
所以α是第二或第三象限角.
①若α是第二象限角,
则sin α===,
所以tan α===-,
此时13sin α+5tan α=13×+5×(-)=0.
②若α是第三象限角,
则sin α=-=-
=-,
所以tan α===,
此时,13sin α+5tan α=13×(-)+5×=0.
综上,13sin α+5tan α=0.
答案:0
解题技法
　利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.注意公式的逆用及变形应用.
角度2　“弦切互化”问题
[例2](1)已知=5,则cos 2α+sin 2α=(　　)
A. B.- C.-3 D.3
【解析】选A.因为=5,所以=5,解得tan α=2,故cos2α+sin 2α===.
(2)(2023·黄冈模拟)已知α∈R,sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,则tan α=　　　　.
【解析】因为sin2α+4sin αcos α+4cos2α
===,
所以3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或-.
答案:3或-
解题技法
　利用“弦切互化”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos α的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
(2)若齐次式为二次整式,可将其视为分母为1的分式,然后将分母1用sin2α+cos2α替换,再将分子与分母同除以cos2α,化为只含有tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
角度3　sin α±cos α,sin αcos α之间关系的应用
[例3](1)已知sin α+cos α=-,α∈(,π),则sin α-cos α=(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选C.因为sin α+cos α=-,
所以(sin α+cos α)2= (-)2,即sin2α+cos2α+2sin αcos α= (-)2,2sin αcos α=-,
所以sin2α+cos2α-2sin αcos α=,
即(sin α-cos α)2=,
因为α∈(,π),
所以sin α-cos α>0,sin α-cos α=.
(2)已知tan θ+=4,则sin4θ+cos4θ=(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意得tan θ+=+===4,则sin θcos θ=,
故sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×=.
解题技法
　“sin α±cos α,sin αcos α”关系的应用
sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起,即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个.
对点训练
1.(2023·安康模拟)已知tan θ=,则=(　　)
A. B.2 C. D.6
【解析】选A.因为tan θ=,所以
======.
2.(2023·梅州模拟)已知cos α=,且α为第四象限角,则tan α=　　　　.
【解析】因为α为第四象限角,所以sin α<0,所以sin α=-=-,
所以tan α==-2.
答案:-2
3.(2023·聊城模拟)已知α∈(-,),且sin α+cos α=,则tan α的值为　　　　.
【解析】因为sin α+cos α=,所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,所以sin2α+cos2α-2sin αcos α==(sin α-cos α)2.又sin αcos α<0,α∈(-,),所以α∈(-,0),所以sin α<0,cos α>0,所以cos α-sin α=,所以sin α=-,cos α=,所以tan α=-.
答案:-
【补偿训练】
　　　设sin 23°=m,则tan 67°=(　　)
A.- B.
C. D.
【解析】选D.因为sin 23°=m,
所以cos 67°=m,所以sin 67°=,
所以tan 67°=,
因为sin 23°=m>0,
所以tan 67°==.
考点二诱导公式及其应用
[例4](1)(2023·黑龙江模拟)sin 495°=(　　)
A.1 B.- C. D.
【解析】选D.sin 495°=sin(360°+135°)=sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°=.
(2)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　)
A.sin (3π-x)=-sin x
B.sin =-cos
C.cos (+3x)=sin 3x
D.cos (-2x)=-sin 2x
【解析】选D.sin (3π-x)=sin (π-x)=sin x,
sin=sin(-)=cos ,
cos(+3x)=cos (+3x)=-sin 3x,
cos(-2x)=-sin 2x.
(3)已知sin (α+)=,则cos (α+π)的值为　　　　;sin(π-α)的值为　　　　　.
【解析】cos (α+)=cos(+α+)=-sin (α+)=-.
sin(π-α)=sin[π- (α+) ]=sin (α+)=.
答案:-　
解题技法
1.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了;
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α;
(2)常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ.
提醒:计算含有2π的整数倍的三角函数式时,可直接将2π的整数倍去掉,然后再进行运算.
对点训练
1.的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选B.原式===-·=-1.
2.(2023·茂名模拟)已知sin (θ-)=,则cos (θ+)=(　　)
A.- B.- C. D.
【解析】选B.cos (θ+)=cos (θ-+)=-sin (θ-)=-.
【加练备选】
　　　1.(2023·福建三明模拟)已知cos (α+)=-,则sin(-α)-2cos(-α)=(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】选A.因为sin(-α)=sin[π+(-α) ]=-sin (-α)=-cos(+α)=,
cos(-α)=-cos[π-(-α) ]=-cos(+α)=,所以sin(-α)-2cos(-α)=-2×=-.
2.已知f(α)=,
则f (-)=　　　　.
【解析】因为f(α)
=
==cos α,
所以f (-)=cos (-)=cos=.
答案:
考点三诱导公式与同角三角函数基本关系的
综合应用
[例5](1)已知sin(π-α)+sin (α-)=,则的值为(　　)
A.- B. C.- D.
【解析】选A.由已知得sin α-cos α=,两边平方得1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,则原式====-.
(2)(2023·阳泉模拟)已知sin (α+)=,且α∈(-,),则sin(-α)=　　　　.
【解析】因为α∈(-,),所以α+∈(-,),故cos (α+)>0,
所以cos (α+)==.
sin(-α)=sin[- (α+) ]=cos (α+)=.
答案:
解题技法
同角三角函数间的关系、诱导公式应用的技巧
　(1)求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
对点训练
1.若α∈(0,π),sin(π-α)+cos α=,则sin α-cos α的值为(　　)
A. B.- C. D.-
【解析】选C.由诱导公式得,
sin(π-α)+cos α=sin α+cos α=,
所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
则2sin αcos α=-<0,
因为α∈(0,π),所以sin α>0,
所以cos α<0,所以sin α-cos α>0,
因为(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
所以sin α-cos α=.
2.(2023·成都模拟)已知sin α=2cos α,则=(　　)
A. B. C.- D.-
【解析】选B.由sin α=2cos α,显然cos α≠0,可得tan α=2.
因为=
====.
【补偿训练】
　　　(2023·衡水模拟)已知sin(-α)+cos(π-α)=sin α,则2sin2α-sin αcos α等于
A. B. C. D.2
【解析】选D.由诱导公式可得,sin α=sin(-α)+cos(π-α)=-2cos α,所以tan α=-2.
因此,2sin2α-sin αcos α=
===2.第二节　三角函数的同角关系、诱导公式
【课标解读】
【课程标准】
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,=tan α;
2.掌握诱导公式,并会简单应用.
【核心素养】
数学抽象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以角为载体,考查同角三角函数间的关系,诱导公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,应增强转化与化归思想的应用意识,选择题、填空题、解答题均有可能出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:　sin2α+cos2α=1　.
(2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.三角函数的诱导公式(k∈Z)
公式 角 正弦 余弦 正切
一 2kπ+α sin α cos α tan α
二 π+α -sin α -cos α tan α
三 -α -sin α cos α -tan α
四 π-α sin α -cos α -tan α
五 -α cos α sin α
六 +α cos α -sin α
微点拨诱导公式的记忆口诀:
“奇变偶不变,符号看象限.”其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.
　常用结论
1.平方关系的常用变形:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=±,cos α=±.
2.商数关系的常用变形:cos αtan α=sin α,cos α=.
3.和积互化变形:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
4.弦切互化变形:sin2α==,
cos2α==,
sin αcos α==.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)使sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(2)若α∈R,则sin(-α)=sin α.(　　)
(3)若α∈R,则sin2α+cos2α=1.(　　)
(4)若α∈R,则tan α=恒成立.(　　)
2.(必修第一册P183例6变题型)已知α是第四象限角,且sin α=-,则cos α=　　　　　.
3.(必修第一册P186T15变结论)已知tan α=-2,则=(　　)
A.-4 B.-
C.-1 D.-
4.(记错公式)下列等式恒成立的是(　　)
A.cos(-α)=-cosα
B.sin(360°-α)=sin α
C.tan(2π-α)=tan(π+α)
D.cos(π+α)=cos(π-α)
【核心考点·分类突破】
考点一同角三角函数间的关系
考情提示
同角三角函数的基本关系常与三角函数相关知识融合在一起进行命题,以公式变形为主解决相关运算问题,题型多为选择题、填空题.
角度1　公式的直接应用
[例1](1)(2023·惠州模拟)已知tan α=2,π<α<,则cos α-sin α=(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知cos α=-,则13sin α+5tan α=　　　　.
解题技法
　利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.注意公式的逆用及变形应用.
角度2　“弦切互化”问题
[例2](1)已知=5,则cos 2α+sin 2α=(　　)
A. B.- C.-3 D.3
(2)(2023·黄冈模拟)已知α∈R,sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,则tan α=　　　　.
解题技法
　利用“弦切互化”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos α的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
(2)若齐次式为二次整式,可将其视为分母为1的分式,然后将分母1用sin2α+cos2α替换,再将分子与分母同除以cos2α,化为只含有tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
角度3　sin α±cos α,sin αcos α之间关系的应用
[例3](1)已知sin α+cos α=-,α∈(,π),则sin α-cos α=(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知tan θ+=4,则sin4θ+cos4θ=(　　)
A. B. C. D.
解题技法
　“sin α±cos α,sin αcos α”关系的应用
sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起,即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α=.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个.
对点训练
1.(2023·安康模拟)已知tan θ=,则=(　　)
A. B.2 C. D.6
2.(2023·梅州模拟)已知cos α=,且α为第四象限角,则tan α=　　　　.
3.(2023·聊城模拟)已知α∈(-,),且sin α+cos α=,则tan α的值为　　　　.
【补偿训练】
　　　设sin 23°=m,则tan 67°=(　　)
A.- B.
C. D.
考点二诱导公式及其应用
[例4](1)(2023·黑龙江模拟)sin 495°=(　　)
A.1 B.- C. D.
(2)已知x∈R,则下列等式恒成立的是(　　)
A.sin (3π-x)=-sin x
B.sin =-cos
C.cos (+3x)=sin 3x
D.cos (-2x)=-sin 2x
(3)已知sin (α+)=,则cos (α+π)的值为　　　　;sin(π-α)的值为　　　　　.
解题技法
1.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了;
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α;
(2)常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ.
提醒:计算含有2π的整数倍的三角函数式时,可直接将2π的整数倍去掉,然后再进行运算.
对点训练
1.的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2023·茂名模拟)已知sin (θ-)=,则cos (θ+)=(　　)
A.- B.- C. D.
【加练备选】
　　　1.(2023·福建三明模拟)已知cos (α+)=-,则sin(-α)-2cos(-α)=(　　)
A.- B. C.- D.
2.已知f(α)=,
则f (-)=　　　　.
考点三诱导公式与同角三角函数基本关系的
综合应用
[例5](1)已知sin(π-α)+sin (α-)=,则的值为(　　)
A.- B. C.- D.
(2)(2023·阳泉模拟)已知sin (α+)=,且α∈(-,),则sin(-α)=　　　　.
解题技法
同角三角函数间的关系、诱导公式应用的技巧
　(1)求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
对点训练
1.若α∈(0,π),sin(π-α)+cos α=,则sin α-cos α的值为(　　)
A. B.- C. D.-
2.(2023·成都模拟)已知sin α=2cos α,则=(　　)
A. B. C.- D.-
【补偿训练】
　　　(2023·衡水模拟)已知sin(-α)+cos(π-α)=sin α,则2sin2α-sin αcos α等于
A. B. C. D.2

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