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专题 09 受力分析与共点力平衡
目录
考点一 受力分析........................................................................................................................................................1
考向 整体法与隔离法 ........................................................................................................................................2
考点二 共点力静态平衡 ............................................................................................................................................3
考向 1 合成法处理物体静态平衡问题 .............................................................................................................3
考向 2 正交分解法处理物体静态平衡问题 .....................................................................................................4
考向 3 力的三角形法处理物体静态平衡问题 .................................................................................................5
考点三 动态平衡........................................................................................................................................................6
考向 1 解析法.....................................................................................................................................................7
考向 2 图解法.....................................................................................................................................................8
考向 3 相似三角形法 .........................................................................................................................................8
考向 4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法） .............................................................................................9
考点四 平衡中的临界与极值问题 ..........................................................................................................................10
考向 1 图解法...................................................................................................................................................11
考向 2 数学解析法...........................................................................................................................................11
考点一 受力分析
知识点　受力分析的顺序、方法及注意事项
1.受力分析的一般顺序：先分析场力(重力、电场力、磁场力)，再分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析
其他力．
2.研究对象选取方法：
(1)整体法和隔离法．
①当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法．
②在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法．
③整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和
隔离法．
(2)动力学分析法：
对加速运动的物体进行受力分析时,应用牛顿运动定律进行分析求解的方法.
3.受力分析的六个注意点
(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆。
(2)每一个力都应找出其施力物体,不能无中生有。
(3)合力和分力不能重复考虑。
(4)涉及弹簧弹力时,要注意拉伸或压缩可能性分析。
(5)分析摩擦力时要特别注意摩擦力的方向。
(6)对整体进行受力分析时,组成整体的几个物体间的作用力为内力,不能在受力分析图中出现;当把某
一物体隔离分析时,原来的内力变成外力,要在受力分析图中画出。
考向 整体法与隔离法
1．如图所示，截面为三角形的两物块 A、B 叠放后放置于竖直的弹簧及竖直墙面之间，系统处于平衡状态，
以下受力分析正确的是（ ）
A．弹簧的弹力大于 A、B 两物块的总重力
B．A 物块受墙面竖直向上的摩擦力
C．A 物块共受 5 个力作用
D．B 物块受到 A 物块的摩擦力一定沿两物块的接触面向下
2．如图所示，某建筑工人正用铁夹夹起五块砖从车上卸下来。已知每块砖的质量为 m，重力加速度为 g，
不计铁夹重力，则（ ）
A．工人对铁夹的作用力一定始终等于 5mg
B．若 5 块砖保持静止，则砖块 A 受到的合力大小为 4mg
C．若 5 块砖保持静止，则砖块 C 受到 5 个力的作用
D．若 5 块砖保持静止，则砖块 C 不受摩擦力
考点二 共点力静态平衡
知识点 1 共点力平衡的条件、状态和推论
1.平衡状态：(1)静止；(2)匀速直线运动。
2.平衡条件：
(1)物体所受合外力为零,即 F 合=0。
(2)若采用正交分解法,平衡条件表达式为 Fx=0,Fy=0。
3.常用推论
(1)若物体受 n 个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相
反。
(2)若三个不共线的共点力合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。
知识点 2 分析物体静态平衡的常用方法
方法 适用条件 注意事项 优点
(1)表示三个力大小的线段长度
物体受三个力 不可随意画 对于物体所受的三个力,有两个力相互垂直
合成法
作用而平衡 (2)两力的合力与第三个力等大 或两个力大小相等的平衡问题求解较简单
反向
物体受三个或
正交分 选坐标轴时应使尽量多的力与坐 对于物体受三个以上的力处于平衡状态的
三个以上的力
解法 标轴重合 问题求解较方便
作用而平衡
力的三 物体受三个力 将三个力的矢量图平移,构成一 常用于求解一般矢量三角形中未知力的大
角形法 作用而平衡 个依次首尾相连接的矢量三角形 小和方向
考向 1 合成法处理物体静态平衡问题
3．如图甲所示为烤肠机，香肠可视为质量为 m 的均匀圆柱体，静止在两根水平的平行金属杆中间，其截面
图如图乙所示。金属杆 1 圆心与烤肠圆心的连线与竖直方向的夹角为 θ，不计一切摩擦，重力加速度为 g。
则金属杆 1 对烤肠的作用力大小为（　　）
1 mg mg mg
A． mg B． C． D．
2 cosq 2cosq 2 tanq
4．图甲是学校篮球存放架，支撑篮球的两个水平光滑横杆一高一低，两杆的距离正好等于篮球半径的 2
倍，其右视图简化为图乙所示。较低的 a 杆对篮球的支持力大小为 F ，较高的 b 杆对篮球的支持力大小为 Fb。
已知篮球重力大小为 G，忽略杆的粗细。则 F 、Fb 、G 的关系为（　　）
A．Fa > G B F
2 2 2
． a Fb G C．Fb > G D．Fb G
考向 2 正交分解法处理物体静态平衡问题
5．如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20kg 的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面
倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0N, g 取10m/s2 ,挡板对球体支持
力的大小为（ ）
A 3． N B．1.0N C 2 3． N D． 2.0N
3 3
6．如图所示，两根相同的圆柱形木杆AB和CD相互平行，与水平方向的夹角为a 。将一摞总质量为m 的
瓦片放置在两木杆之间，两杆对瓦片弹力的夹角为q ，瓦片处于静止状态，已知重力加速度为 g，则瓦片受
到AB杆的摩擦力、支持力大小分别为（ ）
1 mgcosa mgcosa
A． mgcosa
1
， 2sin q B． mgcosa ，2 2 2cos
q
2 2
1 mgcosa 1 mgcosa
C． mgsina ， q D． mgsina ，
2 2sin 2 2cos
q
2 2
考向 3 力的三角形法处理物体静态平衡问题
7．如图所示，厢式汽车停放在水平地面上。一条长 2L的不可伸长的轻绳两端分别拴在相距为 L 的 a、b 两
点，让轻绳穿过质量为 m 的光滑环，将光滑圆环悬挂起来，此时轻绳拉力为F1。此后将汽车停放在倾角为30°
的斜面上，此时轻绳的拉力为F2 。则F1 : F2的值为（　　）
A．1:1 B． 2 : 3 C． 3 : 2 D． 13 : 2 3
8．擦玻璃机器人可以帮助人们解决高层和户外擦玻璃难的问题。如图甲所示，一栋大厦表面均为玻璃材料，
机器人牵引擦子（未画出）清洁玻璃时，将大厦某一表面简化为如图乙所示的正三角形 ABC，与水平面夹
3
角为30°。已知机器人对擦子的牵引力平行于玻璃表面，擦子质量为 m，与玻璃间的动摩擦因数为 ，重
3
力加速度为 g。则机器人在该表面由 B 点匀速运动到 AC 中点 D 的过程中，擦子所受的牵引力为（ ）
1
A． mg
1
B 3 7． mg C D4 ． mg ．2 mg2 4
考点三 动态平衡
知识点 1 动态平衡及基本思路
1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终
处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。
2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
知识点 2 处理动态平衡问题的四种方法
1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量
的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2.图解法：
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。
(2)方法：
受力 化“动”为“静”画不同状态“静”中求“动”确定力
分析 ― ― → 下的平衡图 ― ― → 的变化
　　
3.三角形相似法：
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。
(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找
出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
4.拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）：
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
F
(2)拉密定理： 1
F2 F 3
sin 1 sinq2 sina3
（3）辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不便力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始
终不变，改变一力的方向，另一大小方向变化情况可得。
考向 1 解析法
9．如图所示，质量为 m 的小球置于内壁光滑的半球形凹槽内，凹槽放置在跷跷板上，凹槽的质量为 M。开
始时跷跷板与水平面的夹角为37°，凹槽与小球均保持静止。已知重力加速度为 g， sin 37° 0.6 ，
cos37° 0.8，则在缓慢压低跷跷板的 Q 端至跟 P 端等高的过程中。下列说法正确的是（　　）
A．跷跷板对凹槽的作用力逐渐增大
B．小球对凹槽的压力大小始终为 mg
C．开始时跷跷板对凹槽的支持力大小为 0.8Mg
D．开始时跷跷板对凹槽的摩擦力大小为 0.6Mg
10．如图甲所示，自动炒菜机的电动铲子既可推动炒菜也可翻动炒菜。自动炒菜机的炒菜原理可简化为如
图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球放在容器的底部，竖直光滑
挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心 O 重合，有两种方式使小球到达容器口附近的 P 点；方式一是将挡
板缓慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直，使小球到达 P 点；方式二是让挡板绕 O 点缓慢转动，
使小球到达 P 点。下列说法正确的是（ ）
A．方式一中，挡板对小球的弹力减小 B．方式一中，内壁对小球的弹力减小
C．方式二中，挡板对小球的弹力增大 D．方式二中，内壁对小球的弹力增大
考向 2 图解法
11．如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物
块 N，另一端与斜面上的物块 M 相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动 N，直至悬挂 N
的细绳与竖直方向成 45°．已知 M 始终保持静止，则在此过程中（　　）
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M 所受细绳的拉力大小可能先减小后增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
D．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
1
12．如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为 圆的柱状物体 A，A 与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体
4
B，A、B 均保持静止。若将 A 向左移动少许，下列说法正确的是（　　）
A．地面对 A 的支持力不变 B．地面对 A 的摩擦力不变
C．墙对 B 的作用力不变 D．B 对 A 的支持力不变
考向 3 相似三角形法
13．如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的 O 点，轻杆的另一端 C 用弹性轻绳连接，轻绳的另一端
固定在竖直墙上的 A 点。某人用竖直向下、大小为 F 的拉力作用于 C 点，静止时 AOC 构成等边三角形。下
列说法正确的是（　　）
A．此时弹性轻绳的拉力大小可以小于 F
B．此时弹性轻绳的拉力大小为 2F
C．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 OC 到达水平位置之前，轻绳 AC 的拉力增大
D．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 OC 到达水平位置之前，轻杆 OC 对 C 点的作用力减小
14．如图所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为 m 的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆
柱体截面的半径 R，绳 AB 长度为 L，长度为 H 的杆 BC 竖直且与半圆柱体边缘相切，OA 与水平面夹角为
θ，不计一切摩擦，重力加速度为 g，下列表达式表示绳对小球的拉力 F 是（　　）
mgL mgR 1 cosq
A． BH ． H R tanq cosq
mgL mgL tanq
C． D．
H R tanq H tanq R
考向 4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
15．如图，柔软轻绳 ON 的一端 O 固定，其中间某点 M 拴一重物，用手拉住绳的另一端 N。初始时，OM
p
竖直且 MN 被拉直，OM 与 MN 之间的夹角为 α（α＞ ）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 α 不
2
变。在 OM 由竖直被拉到水平的过程中（　　）
A．MN 上的张力逐渐减小
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
16．如图所示，斜面静止于水平地面。将一个质量为 m 的小球用轻质细线悬挂于斜面顶端 O 点，在外力 F、
细线拉力FT 和重力 mg 的共同作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为 θ，与 F 的夹角为 α。开始时，F
方向水平。现缓慢增大 θ 角同时保持 α 角 a > 90° 不变，直至细线水平。此过程中，斜面始终保持静止，则
下列说法正确的是（ ）
A．外力 F 逐渐增大 B．外力 F 与细线拉力FT 的比值保持不变
C．地面对斜面的摩擦力逐渐增大 D．地面对斜面的作用力保持不变
考点四 平衡中的临界与极值问题
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”
或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进
行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图
像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。
考向 1 图解法
17．如图所示，用细线将重力为 100N 的物块悬挂在 O 点，在物块上施加力 F，在力 F 由水平方向逆时针缓
慢转至竖直方向的过程中，物块始终处于静止状态，且细线与竖直方向成30°角，则（ ）
A．细线拉力先增大后减小 B．力 F 先增大后减小
200
C．细线拉力的最大值为 N D3 ．力 F 的最小值为 50N
18．一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为 m 的物体用轻绳系于圆环边缘上的 A、B 两点，结点
恰位于圆环的圆心 О 点。已知物体静止时，AO 绳水平，BO 绳与 AO 绳的夹角为 150°。现使圆环沿顺时针
方向缓慢滚动，在 AO 绳由水平转动至竖直的过程中（　　）
A．AO 绳中的拉力一直增大 B．AO 绳中最大拉力为 2mg
C．BO 绳中的拉力先减小后增大 D．BO 绳中最小拉力为 mg
考向 2 数学解析法
19．小李发现小区的消防通道被一质量为 m 的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳
的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为q ，小李对绳施
加的最大拉力为0.6mg 3，石墩与水平地面间的动摩擦因数为 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列
3
说法正确的是（ ）
A．无论q 取何值，小李都不可能拖动石墩
q pB．小李能拖动石墩，且当 时最省力
3
p
C．小李能拖动石墩，且当q 时最省力
6
p
D．小李能拖动石墩，且当q 时最省力
4
20．质量为 M 的木楔倾角 θ 为 37°，在水平面上保持静止。当将一质量为 m 的木块放在木楔斜面上时，它
正好匀速下滑。如图所示，当用与木楔斜面成 α 角的力 F 拉木块，木块匀速上升（已知木楔在整个过程中
始终静止）。可取 sin37°=0.6。下列说法正确的有（ ）
A．物块与斜面间的动摩擦因数为 0.75
B．当 α=37°时 F 有最小值
C．当 α=30°时 F 有最小值
D．F 的最小值为 0.96mg专题 09 受力分析与共点力平衡
目录
考点一 受力分析........................................................................................................................................................1
考向 整体法与隔离法 ........................................................................................................................................2
考点二 共点力静态平衡 ............................................................................................................................................3
考向 1 合成法处理物体静态平衡问题 .............................................................................................................4
考向 2 正交分解法处理物体静态平衡问题 .....................................................................................................6
考向 3 力的三角形法处理物体静态平衡问题 .................................................................................................7
考点三 动态平衡........................................................................................................................................................9
考向 1 解析法...................................................................................................................................................10
考向 2 图解法...................................................................................................................................................12
考向 3 相似三角形法 .......................................................................................................................................13
考向 4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法） ...........................................................................................15
考点四 平衡中的临界与极值问题 ..........................................................................................................................17
考向 1 图解法...................................................................................................................................................17
考向 2 数学解析法...........................................................................................................................................19
考点一 受力分析
知识点　受力分析的顺序、方法及注意事项
1.受力分析的一般顺序：先分析场力(重力、电场力、磁场力)，再分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析
其他力．
2.研究对象选取方法：
(1)整体法和隔离法．
①当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法．
②在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法．
③整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和
隔离法．
(2)动力学分析法：
对加速运动的物体进行受力分析时,应用牛顿运动定律进行分析求解的方法.
3.受力分析的六个注意点
(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆。
(2)每一个力都应找出其施力物体,不能无中生有。
(3)合力和分力不能重复考虑。
(4)涉及弹簧弹力时,要注意拉伸或压缩可能性分析。
(5)分析摩擦力时要特别注意摩擦力的方向。
(6)对整体进行受力分析时,组成整体的几个物体间的作用力为内力,不能在受力分析图中出现;当把某
一物体隔离分析时,原来的内力变成外力,要在受力分析图中画出。
考向 整体法与隔离法
1．如图所示，截面为三角形的两物块 A、B 叠放后放置于竖直的弹簧及竖直墙面之间，系统处于平衡状态，
以下受力分析正确的是（ ）
A．弹簧的弹力大于 A、B 两物块的总重力
B．A 物块受墙面竖直向上的摩擦力
C．A 物块共受 5 个力作用
D．B 物块受到 A 物块的摩擦力一定沿两物块的接触面向下
【答案】D
【详解】AB．以 A、B 两物块组成的整体为研究对象，根据平衡条件得知，整体只受重力和弹簧弹力作用，
故墙对 A 没有弹力，因而也没有摩擦力，弹簧的弹力大小等于 A、B 两物块的总重力，故 AB 错误；
C．A 受到重力、B 的支持力和 B 对 A 的摩擦力三个力作用，故 C 错误；
D．B 受到重力、弹簧弹力、A 的压力和 A 对 B 的摩擦力共四个力作用，由于 A 物块受的摩擦力沿两物块的
接触面向上，则 B 物块受的摩擦力沿两物块的接触面向下，故 D 正确。
故选 D。
2．如图所示，某建筑工人正用铁夹夹起五块砖从车上卸下来。已知每块砖的质量为 m，重力加速度为 g，
不计铁夹重力，则（ ）
A．工人对铁夹的作用力一定始终等于 5mg
B．若 5 块砖保持静止，则砖块 A 受到的合力大小为 4mg
C．若 5 块砖保持静止，则砖块 C 受到 5 个力的作用
D．若 5 块砖保持静止，则砖块 C 不受摩擦力
【答案】C
【详解】A.工人卸砖过程中，铁夹及砖块有加速、减速过程，所以工人对铁夹及砖块整体的作用力可能大于、
等于或小于 5mg，故 A 错误；
B.工人用铁夹夹住 5 块砖保持静止时，砖块 A 受到的合力大小为零，故 B 错误；
CD.砖块 C 受到重力、砖块 B 对它的弹力、摩擦力及砖块 D 对它的弹力、摩擦力，一共 5 个力的作用，故 C
正确，D 错误。
故选 C。
考点二 共点力静态平衡
知识点 1 共点力平衡的条件、状态和推论
1.平衡状态：(1)静止；(2)匀速直线运动。
2.平衡条件：
(1)物体所受合外力为零,即 F 合=0。
(2)若采用正交分解法,平衡条件表达式为 Fx=0,Fy=0。
3.常用推论
(1)若物体受 n 个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相
反。
(2)若三个不共线的共点力合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。
知识点 2 分析物体静态平衡的常用方法
方法 适用条件 注意事项 优点
(1)表示三个力大小的线段长度
物体受三个力 不可随意画 对于物体所受的三个力,有两个力相互垂直
合成法
作用而平衡 (2)两力的合力与第三个力等大 或两个力大小相等的平衡问题求解较简单
反向
物体受三个或
正交分 选坐标轴时应使尽量多的力与坐 对于物体受三个以上的力处于平衡状态的
三个以上的力
解法 标轴重合 问题求解较方便
作用而平衡
力的三 物体受三个力 将三个力的矢量图平移,构成一 常用于求解一般矢量三角形中未知力的大
角形法 作用而平衡 个依次首尾相连接的矢量三角形 小和方向
考向 1 合成法处理物体静态平衡问题
3．如图甲所示为烤肠机，香肠可视为质量为 m 的均匀圆柱体，静止在两根水平的平行金属杆中间，其截面
图如图乙所示。金属杆 1 圆心与烤肠圆心的连线与竖直方向的夹角为 θ，不计一切摩擦，重力加速度为 g。
则金属杆 1 对烤肠的作用力大小为（　　）
1
A． mg
mg mg mg
B． C． D．
2 cosq 2cosq 2 tanq
【答案】C
【详解】对香肠受力分析如图所示
根据平衡条件有 N1 N2 2N1 cosq mg
mg
解得香肠烤熟前，金属杆 1 对烤肠的支持力大小为 N1 N2 2cosq
故选 C。
4．图甲是学校篮球存放架，支撑篮球的两个水平光滑横杆一高一低，两杆的距离正好等于篮球半径的 2
倍，其右视图简化为图乙所示。较低的 a 杆对篮球的支持力大小为 F ，较高的 b 杆对篮球的支持力大小为 Fb。
已知篮球重力大小为 G，忽略杆的粗细。则 F 、Fb 、G 的关系为（　　）
A．F > G B F 2 F 2a ． a b G
2 C．Fb > G D．Fb G
【答案】B
【详解】B．由于 a、b 两杆的距离正好等于篮球半径的 2 倍，可知 aOb 90°，对篮球受力分析如图所示
可知Fa 与F
2 2 2 2 2 2 2
b 之间的夹角为90°，根据受力平衡可得Fa Fb F G F合 G得Fa F G合 b 故 B 正确；
ACD．设Fa 与竖直方向的夹角为a ，Fb 与竖直方向的夹角为b ， 0 < cosa <1，0 < cos b <1根据受力平衡
可得Fa G cosa < G ，Fb G cos b < G 故 ACD 错误。故选 B。
考向 2 正交分解法处理物体静态平衡问题
5．如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20kg 的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面
倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0N, g 取10m/s2 ,挡板对球体支持
力的大小为（ ）
A 3 N B 1.0N C 2 3． ． ． N D． 2.0N
3 3
【答案】A
【详解】对小球受力分析如图所示
由几何关系易得力F 与力FN 与竖直方向的夹角均为30°，因此由正交分解方程可得FN sin 30° F sin 30°，
FN cos30° F cos30° T mg 解得F
3
FN 故选 A。3
6．如图所示，两根相同的圆柱形木杆AB和CD相互平行，与水平方向的夹角为a 。将一摞总质量为m 的
瓦片放置在两木杆之间，两杆对瓦片弹力的夹角为q ，瓦片处于静止状态，已知重力加速度为 g，则瓦片受
到AB杆的摩擦力、支持力大小分别为（ ）
1 mgcosa mgcosa
A． mgcosa
1
， 2sin q B． mgcosa ， 2cosq2 2 2 2
1 mgcosa mgcosa
C． mgsina
1
， 2sin q D． mgsina ，2 2 2cos
q
2 2
【答案】D
【详解】根据题意，对瓦片进行受力分析，受力如图 1 所示，由平衡条件可得 f 2 f1 mgsina ， N mgcosa
1
即 f1 mgsina 瓦片垂直杆方向，受力如图 2 所示，由平衡条件可得 2N1cos
q
N mgcosa 解得
2 2
N mgcosa1
2cosq 故选 D。
2
考向 3 力的三角形法处理物体静态平衡问题
7．如图所示，厢式汽车停放在水平地面上。一条长 2L的不可伸长的轻绳两端分别拴在相距为 L 的 a、b 两
点，让轻绳穿过质量为 m 的光滑环，将光滑圆环悬挂起来，此时轻绳拉力为F1。此后将汽车停放在倾角为30°
的斜面上，此时轻绳的拉力为F2 。则F1 : F2的值为（　　）
A．1:1 B． 2 : 3 C． 3 : 2 D． 13 : 2 3
【答案】D
【详解】汽车在水平面时，对小球进行受力分析如图
1 mg
可得F 2 3mg 在斜面上受力分析如图1 cos30o 3
设 a 到球的距离为 x ，则 b 到球的距离为 2L - x ，设边长为 x 的边与竖直方向夹角为a ，根据几何关系及正
L x 2L - x 13 mg
弦定理，有 sin 2a 2mgsin 60o -a sin 120o -a 解得 sina 根据受力分析，可得F 2 所以4 2 cosa 13
F1 13有 故选 D。
F2 2 3
8．擦玻璃机器人可以帮助人们解决高层和户外擦玻璃难的问题。如图甲所示，一栋大厦表面均为玻璃材料，
机器人牵引擦子（未画出）清洁玻璃时，将大厦某一表面简化为如图乙所示的正三角形 ABC，与水平面夹
角为30° 3。已知机器人对擦子的牵引力平行于玻璃表面，擦子质量为 m，与玻璃间的动摩擦因数为 ，重
3
力加速度为 g。则机器人在该表面由 B 点匀速运动到 AC 中点 D 的过程中，擦子所受的牵引力为（ ）
1 1
A 3 7． mg B． mg C． D．
2 4 mg mg2 4
【答案】C
【详解】机器人在垂直玻璃表面的方向，重力垂直于玻璃表面的分力大小等于机器人对玻璃表面的压力大
小，则有FN mg cos30°
1
而滑动摩擦力Ff mFN 代入数据解得Ff mg 滑动摩擦力与物体相对玻璃表面的2
速度方向相反，机器人匀速运动，合力为零，在玻璃表面机器人受力分析如图所示
滑动摩擦力与重力沿斜面向下的分力的合力与牵引力大小相等方向相反，由几何关系可知滑动摩擦力与重
力沿斜面向下的分力的夹角为60°，则 OPN 120°，在VOPN 中，由余弦定理可得
mg sin 30° 2 F 2 - F 2
cos120 ° f 3代入数据可得F mg 故选 C。
2 mg sin 30° Ff 2
考点三 动态平衡
知识点 1 动态平衡及基本思路
1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终
处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。
2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
知识点 2 处理动态平衡问题的四种方法
1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量
的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2.图解法：
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。
(2)方法：
受力 化“动”为“静”画不同状态“静”中求“动”确定力
分析 ― ― → 下的平衡图
― ― →
的变化
　　
3.三角形相似法：
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。
(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找
出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
4.拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）：
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
F F F
(2)拉密定理： 1 2 3
sin b1 sinq2 sina3
（3）辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不便力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始
终不变，改变一力的方向，另一大小方向变化情况可得。
考向 1 解析法
9．如图所示，质量为 m 的小球置于内壁光滑的半球形凹槽内，凹槽放置在跷跷板上，凹槽的质量为 M。开
始时跷跷板与水平面的夹角为37°，凹槽与小球均保持静止。已知重力加速度为 g， sin 37° 0.6 ，
cos37° 0.8，则在缓慢压低跷跷板的 Q 端至跟 P 端等高的过程中。下列说法正确的是（　　）
A．跷跷板对凹槽的作用力逐渐增大
B．小球对凹槽的压力大小始终为 mg
C．开始时跷跷板对凹槽的支持力大小为 0.8Mg
D．开始时跷跷板对凹槽的摩擦力大小为 0.6Mg
【答案】B
【详解】A．由于小球、凹槽整体的重力不变化，与跷跷板的作用力等大反向，那么跷跷板对凹槽的作用力
不变，故 A 错误；
B．小球所在处的凹槽切线总是水平的，那么小球对凹槽的压力大小始终等于小球的重力mg ，故 B 正确；
CD．将小球跟凹槽视为整体，开始时恰好静止，那么根据受力平衡知，跷跷板对凹槽的支持力大小为
FN m M g cos37° 0.8 m M g 跷跷板对凹槽的摩擦力大小为 f m M g sin 37° 0.6 m M g 故
CD 错误。故选 B。
10．如图甲所示，自动炒菜机的电动铲子既可推动炒菜也可翻动炒菜。自动炒菜机的炒菜原理可简化为如
图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球放在容器的底部，竖直光滑
挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心 O 重合，有两种方式使小球到达容器口附近的 P 点；方式一是将挡
板缓慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直，使小球到达 P 点；方式二是让挡板绕 O 点缓慢转动，
使小球到达 P 点。下列说法正确的是（ ）
A．方式一中，挡板对小球的弹力减小 B．方式一中，内壁对小球的弹力减小
C．方式二中，挡板对小球的弹力增大 D．方式二中，内壁对小球的弹力增大
【答案】C
【详解】AB．方式一，对小球受力分析，如图所示
若将挡板缓慢水平向右推的过程中，角q 由 0 度增大到 90°，由平衡可得F1 mgtanq N
mg
、 1 cosq
则（挡板对小球的弹力）F1不断增大，（内壁对小球的弹力）N1不断增大，故 AB 错误；
CD．方式二，对小球受力分析，如图所示
由题意可知，N2与 F2始终垂直，且转动过程中a 增大，由平衡可得F2 mgsinα 、 N2 mgcosa 则（挡板对
小球的弹力）F2不断增大，（内壁对小球的弹力）N2不断减小，故 C 正确，D 错误。故选 C。
考向 2 图解法
11．如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物
块 N，另一端与斜面上的物块 M 相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动 N，直至悬挂 N
的细绳与竖直方向成 45°．已知 M 始终保持静止，则在此过程中（　　）
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M 所受细绳的拉力大小可能先减小后增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
D．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
【答案】C
【详解】AB．因为物体 N 重力是不变量，根据共点力平衡关系知，水平方向的拉力和细绳的拉力合力不变，
再根据矢量平行四边形法则作图，
由图可得，当悬挂 N 的细绳与竖直方向的角度增大时，水平拉力在不断增大，悬挂细绳的拉力也不断增大。
故 AB 错误；
CD．对物体 M 做受力分析，因为细绳的拉力在不断增大，物体在斜面方向受到重力的沿斜面的分力保持不
变，因为物体平衡，故当拉力小于重力分力时，摩擦力沿斜面向上，当细绳的拉力在不断增大时，摩擦力
经历先减小后增大的过程。当拉力大于重力分力时，摩擦力沿斜面向下。当细绳的拉力在不断增大时，摩
擦力大小随之增大。故 C 正确；D 错误。
故选 C。
1
12．如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为 圆的柱状物体 A，A 与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体
4
B，A、B 均保持静止。若将 A 向左移动少许，下列说法正确的是（　　）
A．地面对 A 的支持力不变 B．地面对 A 的摩擦力不变
C．墙对 B 的作用力不变 D．B 对 A 的支持力不变
【答案】A
【详解】CD．对物体 B 受力分析，受到重力 mg、A 对 B 的支持力 N 和墙壁对 B 的支持力 N，如图所示
当 A 向左移动后，A 对 B 的支持力的方向不断变化，根据平衡条件结合合成法可知，A 对 B 的支持力 N 和
墙壁对 B 的支持力 N 都在不断减小，根据牛顿第三定律可得，B 对 A 的支持力减小，故 CD 错误；
AB．对 A 和 B 整体受力分析，受到总重力 G、地面支持力 FN，地面的摩擦力 f 和墙壁的弹力 N，如图所示
根据平衡条件，有 f N ，FN G 故地面的支持力不变，地面的摩擦力 f 随着墙壁对 B 的支持力 N 的不断
减小而不断减小，故 A 正确，B 错误。故选 A。
考向 3 相似三角形法
13．如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的 O 点，轻杆的另一端 C 用弹性轻绳连接，轻绳的另一端
固定在竖直墙上的 A 点。某人用竖直向下、大小为 F 的拉力作用于 C 点，静止时 AOC 构成等边三角形。下
列说法正确的是（　　）
A．此时弹性轻绳的拉力大小可以小于 F
B．此时弹性轻绳的拉力大小为 2F
C．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 OC 到达水平位置之前，轻绳 AC 的拉力增大
D．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 OC 到达水平位置之前，轻杆 OC 对 C 点的作用力减小
【答案】C
【详解】AB．轻杆通过铰链固定在竖直墙上的 O 点，可知轻杆对 C 端的支持力方向沿杆的方向，由于轻绳
拉力、轻杆的弹力与竖直向下拉力 F 互成 120°角，根据共点力平衡条件可知，此时弹性轻绳的拉力大小为
T F 故 AB 错误；
CD．对 C 端受力分析如图所示
F T N
由相似三角形可知 若缓慢增大竖直向下的拉力 F，则在 OC 到达水平位置之前，由于 AO、
AO AC OC
OC 长度不变，可知轻杆 OC 对 C 点的作用力 N 变大；由于 AC 长度变大，则弹性轻绳的伸长量变大，轻绳
AC 的拉力 T 增大，故 C 正确，D 错误。故选 C。
14．如图所示，用一轻绳通过定滑轮将质量为 m 的小球静置在光滑的半圆柱体上，小球的半径远小于半圆
柱体截面的半径 R，绳 AB 长度为 L，长度为 H 的杆 BC 竖直且与半圆柱体边缘相切，OA 与水平面夹角为
θ，不计一切摩擦，重力加速度为 g，下列表达式表示绳对小球的拉力 F 是（　　）
mgL mgR 1 cosq
A． BH ． H R tanq cosq
mgL mgL tanq
C． D．
H R tanq H tanq R
【答案】C
【详解】根据题意，对小球受力分析，受拉力、支持力和重力，把拉力和支持力平移，组成矢量三角形，
延长 AO 和BC 交于D点，如图所示
F mg
由几何关系和相似三角形有 解得F
mgL
故选 C。
L H R tanq H R tanq
考向 4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
15．如图，柔软轻绳 ON 的一端 O 固定，其中间某点 M 拴一重物，用手拉住绳的另一端 N。初始时，OM
p
竖直且 MN 被拉直，OM 与 MN 之间的夹角为 α（α＞ ）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 α 不
2
变。在 OM 由竖直被拉到水平的过程中（　　）
A．MN 上的张力逐渐减小
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
【答案】D
【详解】方法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力 mg、OM 绳上拉力 F2、MN 上拉力 F1，由题意
知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示
F1、F2的夹角不变，在 F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，
MN 上的张力 F1逐渐增大，OM 上的张力 F2先增大后减小，故 ABC 错误，D 正确。
方法二：正弦定理
把三力 F1、F2、G 放在一个矢量三角形中，如图所示
G F F
根据正弦定理有 1 2 易证明∠3＋∠α＝180°，∠2＋∠γ＝180°，∠1＋∠β＝180°故有
sin 3 sin 1 sin 2
G F F
1 2
sina sin b sin g 在 OM 由竖直被拉到水平的过程中，α 角保持不变，β 由钝角减小至 90°，γ 由锐角增大
至钝角，故可判断 F1逐渐增大，F2先增大后减小，故 D 正确。故选 D。
16．如图所示，斜面静止于水平地面。将一个质量为 m 的小球用轻质细线悬挂于斜面顶端 O 点，在外力 F、
细线拉力FT 和重力 mg 的共同作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为 θ，与 F 的夹角为 α。开始时，F
方向水平。现缓慢增大 θ 角同时保持 α 角 a > 90° 不变，直至细线水平。此过程中，斜面始终保持静止，则
下列说法正确的是（ ）
A．外力 F 逐渐增大 B．外力 F 与细线拉力FT 的比值保持不变
C．地面对斜面的摩擦力逐渐增大 D．地面对斜面的作用力保持不变
【答案】A
【详解】AB．如图所示，作出外力 F、细线拉力 FT 的合力如图所示：
二力的合力和重力大小相等，方向相反，保持 α 角不变，逐渐缓慢增大 θ 角，直至悬线水平，因此外力 F
逐渐增大，细线拉力 FT 逐渐减小，外力 F 与细线拉力 FT 的比值增加，故 A 正确，B 错误；
C．在此过程中，拉力 F 变为 F 时，水平分力最大，即水平分力先增大后减小，应用整体法可分析出地面对
斜面的摩擦力先增大后减小，故 C 错误；
D．在此过程中，拉力 F 的竖直分力逐渐增大，根据整体法可分析出地面对斜面的支持力一直在减小，由 C
项知地面对斜面的摩擦力先增大后减小，地面对斜面的作用力为支持力与摩擦力的合力，由勾股定理知，
地面对斜面的作用力发生变化，故 D 错误。故选 A。
考点四 平衡中的临界与极值问题
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”
或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进
行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图
像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。
考向 1 图解法
17．如图所示，用细线将重力为 100N 的物块悬挂在 O 点，在物块上施加力 F，在力 F 由水平方向逆时针缓
慢转至竖直方向的过程中，物块始终处于静止状态，且细线与竖直方向成30°角，则（ ）
A．细线拉力先增大后减小 B．力 F 先增大后减小
200
C．细线拉力的最大值为 N D．力 F 的最小值为 50N3
【答案】D
【详解】对物块受力分析，作出如图所示的矢量三角形
可知在 F 由水平方向逆时针缓慢转至竖直方向的过程中，细线拉力 T 一直减小，根据共点力平衡可知 T 的
T G 2 3 G 200 3最大值为 max N 力 F 先减小后增大，F 的最小值为Fmin G sin 30° 50N故选 D。cos30° 3 3
18．一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为 m 的物体用轻绳系于圆环边缘上的 A、B 两点，结点
恰位于圆环的圆心 О 点。已知物体静止时，AO 绳水平，BO 绳与 AO 绳的夹角为 150°。现使圆环沿顺时针
方向缓慢滚动，在 AO 绳由水平转动至竖直的过程中（　　）
A．AO 绳中的拉力一直增大 B．AO 绳中最大拉力为 2mg
C．BO 绳中的拉力先减小后增大 D．BO 绳中最小拉力为 mg
【答案】B
【详解】AC．物体始终保持静止，合力为零，由于重力不变，以及F1和F o2 夹角a 150 不变，则 b 30o
则 mg、F1、F2 构成封闭的矢量三角形如图所示
可知在 AO 绳由水平转动至竖直的过程中，AO 绳中的拉力先增大后减小，BO 绳中的拉力一直减小，故 AC
错误；
mg
B．当F1为直径时，F1最大，AO 绳中最大拉力为F1 o 2mg 故 B 正确；D．在 AO 绳竖直时，BO 绳sin 30
中拉力最小，为零，故 D 错误。故选 B。
考向 2 数学解析法
19．小李发现小区的消防通道被一质量为 m 的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳
的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为q ，小李对绳施
加的最大拉力为0.6mg 3，石墩与水平地面间的动摩擦因数为 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列
3
说法正确的是（ ）
A．无论q 取何值，小李都不可能拖动石墩
p
B．小李能拖动石墩，且当q 时最省力
3
p
C．小李能拖动石墩，且当q 时最省力
6
p
D．小李能拖动石墩，且当q 时最省力
4
【答案】C
【详解】对石墩进行受力分析如图所示
F cosq mFN 3 1 F
mg
p q p
F F sin mg 解得 2F ( cosq sinq ) mg 即 2sin( q ) 可解得，当
时，F 最小为 0.5mg，
N q 2 2 3 6
p
故小李能拖动石墩，且当q 时最省力。故选 C。
6
20．质量为 M 的木楔倾角 θ 为 37°，在水平面上保持静止。当将一质量为 m 的木块放在木楔斜面上时，它
正好匀速下滑。如图所示，当用与木楔斜面成 α 角的力 F 拉木块，木块匀速上升（已知木楔在整个过程中
始终静止）。可取 sin37°=0.6。下列说法正确的有（ ）
A．物块与斜面间的动摩擦因数为 0.75
B．当 α=37°时 F 有最小值
C．当 α=30°时 F 有最小值
D．F 的最小值为 0.96mg
【答案】ABD
【详解】A．物块匀速下滑时，有mg sin 37° mmg cos37° 解得m 0.75，A 正确；
F mg sin 2qBCD．物块匀速上升时，有F cosa mg sinq m mg cosq - F sina 整理得 cos q -a 可知，当a q 37°
时 F 有最小值，最小值为F 0.96mg ，BD 正确，C 错误。故选 ABD。

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