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专题三十一 二次函数与面积处理
常用方法:铅垂法(宽高公式)、平移转化法、割补法
01.阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的“铅距离叫△ABC的“水平宽”（h），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫垂底（a）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABCah，即三角形面积等于水平宽（高）与铅垂底乘积的一半．
解决问题：
如图2，抛物线yx2＋x－4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线第三象限内的一动点，其横坐标为m，△AMC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
02.已知直线AB：yx＋3与抛物线yx2交于A，B两点，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5．
03.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋1和y轴交于点A，与它的对称轴直线x＝1交于点B，过定点的直线y＝kx－k＋4（k＜0）与该抛物线交于点M，N．若△BMN的面积等于1，求k的值．
04.(2024新洲期末)如图,抛物线与轴正半轴交于(点在点的左边)两点,与轴正半轴交于点是直线下方的抛物线上一点,交抛物线于另一点,直线
交于点.若的面积为6,求点的坐标.
05.抛物线yx2＋c经过点C（－12，0），与y轴交于点D，且P为抛物线上C，D之间的一动点（含C，D两点），E（－6，0），F（0，10）．若P点的横坐标为x，△PEF的面积为s．
（1）求s关于x的函数关系式；
（2）若s为正整数，求P点的个数（直接写出结果）．
专题三十一 二次函数与面积处理
常用方法:铅垂法(宽高公式)、平移转化法、割补法
01.阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的“铅距离叫△ABC的“水平宽”（h），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫垂底（a）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABCah，即三角形面积等于水平宽（高）与铅垂底乘积的一半．
解决问题：
如图2，抛物线yx2＋x－4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点M为抛物线第三象限内的一动点，其横坐标为m，△AMC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
解：yx2＋x－4，当x＝0时，y＝－4，
令yx2＋x－4＝0，则x＝－4或2，
即点A、B、C的坐标分别为：（－4，0）、（2，0）、（0，－4），
过点M作MH∥y轴交AC于点H，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝－x－4，
设点H（m，－m－4），则点M（m，m2＋m－4），
由题意得：SMH×OA4×（－m－4m2－m＋4）＝－m2－4m＝－（m＋2）2＋4≤4，
即S的最大值为4．
02.已知直线AB：yx＋3与抛物线yx2交于A，B两点，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5．
解：联立直线AB和抛物线解析式可得，
解得或，
则A（－3，），B（2，2），
设P点坐标为（x，x2），
分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，
∴AC，PEx2，BD＝2，DE＝2－x，CE＝x＋3，CD＝5，
∴S梯形ABDC（BD＋AC）CD（2）×5，
S梯形BDEP（BD＋PE）DE（2x2）（2－x），
S梯形ACEP（PE＋AC）CE（x2）（x＋3），
∵S△ABP＝S梯形ABDC－S梯形BDEP－S梯形ACEP，
∴（2x2）（2－x）（x2）（x＋3）＝5，
整理可得x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1，
∴P点坐标为（－2，2）或（1，）．
03. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋1和y轴交于点A，与它的对称轴直线x＝1交于点B，过定点的直线y＝kx－k＋4（k＜0）与该抛物线交于点M，N．若△BMN的面积等于1，求k的值．
解：令x＝0，解得：y＝1，
∴A的坐标为（0，1）；
∵一次函数可化为：y＝kx－k＋4＝k（x－1）＋4，
∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点E坐标为（1，4）．
由（1）知抛物线L的解析式为 y＝－x2＋2x＋1，
∴y＝－x2＋2x＋1＝－（x－1）2＋2，
∴点B（1，2），
∴BE＝4－2＝2．
S△BMN＝1，即S△BNE－S△BMEBE xNBE xM＝1，
∴xN－xM＝1，
由 得：x2＋（k－2）x－k＋3＝0，
解得：x，
则xN，xM，
由xN－xM＝1得：1，
∴k＝±3．
∵直线经过一二四象限，
∴k＜0，
∴k＝－3．
04.(2024新洲期末)如图,抛物线与轴正半轴交于(点在点的左边)两点,与轴正半轴交于点是直线下方的抛物线上一点,交抛物线于另一点,直线
交于点.若的面积为6,求点的坐标.
解:过点作轴交于点.
,当时,①,
设直线,当时,,
直线②,同理可得直线的解析式为③,
由①②③可得,代入直线的解析式得,轴,.
,解得.
05.抛物线yx2＋c经过点C（－12，0），与y轴交于点D，且P为抛物线上C，D之间的一动点（含C，D两点），E（－6，0），F（0，10）．若P点的横坐标为x，△PEF的面积为s．
（1）求s关于x的函数关系式；
（2）若s为正整数，求P点的个数（直接写出结果）．
解：（1）抛物线yx2＋c经过点C（－12，0），
∴0＝－12＋c，解得c＝12，
∴抛物线解析式为yx2＋12，
∴P（x，x2＋12），
∵E（－6，0）、F（0，10），
∴直线EF解析式为yx＋10，
令x2＋12＝10，解得x＝±2，
当P在E、F之间时，即－12≤x≤－2时，过点P作PQ∥x轴交EF于Q，如图1，
此时Q点纵坐标为x2＋12，
∴Q（x2，x2＋12），
∴PQx2x，
∴sPQ OF10PQ＝5PQ＝5（x2x）x2－5x＋6；
当P在F点上方时，即－2x≤0时，过点P作PQ∥y轴交EF于Q，如图2，
此时Q（x，x＋10），
∴PQx2＋12－（x＋10）x2x＋2，
∴sPQ OE6PQ＝3PQx2－5x＋6；
综上可知sx2－5x＋6（－12≤x≤0）；
②∵yx2－5x＋6（x＋10）2＋31，
∴当x＝－10时，y有最大值31，
∵开口向下，在x＝－10右侧y有31至6共26个整数值，在x＝－10左侧y有一个整数值（－12，30），
综上所述共有整数值的个数为27个．

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