资源简介

第七章 平行线的证明
易错点剖析
易错点一 混淆命题的条件与结论
有些不是以“如果……那么……”的形式出现的命题，部分学生在确定其条件和结论时常不知如何表达.
【例1】 把命题“两个正数的和仍是正数”写成“如果……那么……”的形式为 .
解此题时，部分学生不知如何正确拆解命题中的信息，而随意地写成“如果两个正数的和，那么仍是正数”.
跟踪练习
1. 把命题“同位角相等”改写为“如果……那么……”的形式，结果是（ ）.
A. 如果两直线平行，那么同位角相等
B. 如果同位角相等，那么两直线平行
C. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角
D. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等
2. 把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论.
（1） 三角形的内角和为 ；
（2） 全等三角形的对应角相等；
（3） 同角的余角相等；
（4） 对顶角相等；
（5） 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
易错点二 对于平行线的性质和判定混淆不清，不知如何运用
平行线的性质是先有直线平行，后有角的关系；平行线的判定是先有角的关系，后得到直线平行，这两者不要搞混弄错.
【例2】 如图，在四边形中，若，则，判定的理由是（ ）.
A. 两直线平行，内错角相等 B. 两直线平行，同位角相等
C. 内错角相等，两直线平行 D. 同位角相等，两直线平行
解此题时，学生如果未分清什么是性质，什么是判定，就可能错选A.
跟踪练习
3. 如图，在四边形中，连接，下列判断正确的是（ ）.
A. 若，则
B. 若，则
C. 若 ，则
D. 若，，则
4. [2024·南山区期中]如图，填写证明过程和理由.
（已知），
// （ ）.
（已知）， // （ ），
（ ）.
易错点三 对三角形内角和定理的推论理解不透彻而导致出错
在认识三角形内角和定理的推论一，即三角形外角的性质时，要特别注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，“不相邻”三个字为关键，如果漏掉这三个字将会导致出错.
【例3】 下列叙述正确的是（ ）.
A. 三角形的外角等于两个内角的和
B. 三角形每一个内角都只有一个外角
C. 三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D. 三角形的外角和等于
解此题时，学生若忽略了三角形内角和定理的推论一中的关键字眼“不相邻”，则可能错选A.
跟踪练习
5. 如图，已知 ， ， ，则等于（ ）.
第5题图
A. B. C. D.
6. [2023·福田区期中]如图，将纸片沿折叠使点落在点处，若 ， ，则的度数为 .
第6题图
重难点突破
重难点一 定义、命题
定义：一般地，对某一名称或术语的含义加以描述，作出明确规定的句子，就叫做该名称或术语的定义.
常用句式：……叫做……
命题：一般地，对某一件事情作出判断的语句叫做命题.命题包含条件和结论.
常用句式：如果……那么……
逆命题：条件与结论互换的命题互为逆命题.
公理：公认的真命题称为公理.
证明：演绎推理的过程称为证明.
定理：经过证明的真命题称为定理.
1. 下列命题是真命题的是（ ）.
A. 如果，，那么 B. 相等的角是对顶角
C. 一个角的补角大于这个角 D. 如果,,那么
2. 将命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果 ，
那么 .
3. 如图，与相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，给出以下四个等量关系：，，，.请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明.
（1） 条件： ，结论： ；（填序号）
（2） 写出你的证明过程.
重难点二 平行线判定
判定方法 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成： 同位角相等，两直线平行.
几何语言：
如图，，
（同位角相等，两直线平行）.
判定方法 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
几何语言：
如图，，
（内错角相等，两直线平行）.
判定方法 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行.
几何语言：
，
（同旁内角互补，两直线平行）.
4. 如图，直线，被第三条直线所截.由“”，得到“”的依据是（ ）.
第4题图
A. 两直线平行，同位角相等 B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，内错角相等 D. 内错角相等，两直线平行
5. 如图，已知直线垂足为点，且 ，则当 时，.
第5题图
6. 如图，点，分别在，上，于点，， ，求证：.
请填空.证明：（已知）， （ ）.
又（ ）， （ ），
（ ）.
又 （平角的定义），
.
又 （已知），（ ），
（ ）.
重难点三 平行线性质
性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
几何语言：如图，,（两直线平行，同位角相等）.
性质 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
几何语言：如图，，（两直线平行，内错角相等）.
性质 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
几何语言：如图，， （两直线平行，同旁内角互补）.
7. 如图，，则下列各式中一定正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
8. 如图1，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿折叠成图2，若 ，则 .
重难点四 三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 .
推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
细节剖析：
（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.
（2）推论可以当做定理使用.
说明：三角形的内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据.另外，在证角的不等关系时也常用到外角的性质.
9. [2023·福田区期末]三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由一副三角板拼成的，则的角度为（ ）.
A. B. C. D.
10. [2023·南山区期中]如图，点是的内角和外角的平分线的交点，点是的内角和外角的平分线的交点，同样点是的内角和外角的平分线的交点，若 ，求.（用含 的代数式表示）
第七章 平行线的证明
易错点剖析
易错点一 混淆命题的条件与结论
跟踪练习
1．D
2．（1） 解：如果三个角为一个三角形的内角，那么它们的和为 .
条件是三个角为一个三角形的内角，结论为这三个角的和为 .
（2） 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等.
条件为两个三角形全等，结论为对应角相等.
（3） 如果两个角为同一角的余角，那么这两个角相等.
条件为两个角为同一角的余角，结论为这两个角相等.
（4） 如果两个角为对顶角，那么这两个角相等.
条件为两个角为对顶角，结论为这两个角相等.
（5） 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行.
条件为两条直线平行于同一条直线，结论为这两条直线互相平行.
【例1】 如果两个数都是正数，那么这两个数的和仍是正数
解此题时，部分学生不知如何正确拆解命题中的信息，而随意地写成“如果两个正数的和，那么仍是正数”.
易错点二 对于平行线的性质和判定混淆不清，不知如何运用
跟踪练习
3．D
4．； ； 同旁内角互补，两直线平行； ； ； 内错角相等，两直线平行； 平行于同一条直线的两条直线平行
【例2】 C
解此题时，学生如果未分清什么是性质，什么是判定，就可能错选A.
易错点三 对三角形内角和定理的推论理解不透彻而导致出错
跟踪练习
5．C
6．
【例3】 C
【解析】由三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，可知“三角形的一个内角小于和它不相邻的外角”是正确的.
解此题时，学生若忽略了三角形内角和定理的推论一中的关键字眼“不相邻”，则可能错选A.
重难点突破
重难点一 定义、命题
1．D
2．两个角是同一个角的补角； 那么这两个角相等
3．（1） ②④； ①
【解析】（答案不唯一）
（2） 证明：，点，分别为，的中点，
.
在 和 中，
，.（答案不唯一）
重难点二 平行线判定
4．D
5．
6．垂直的定义； 已知； ； 同位角相等，两直线平行； 两直线平行，同位角相等； ； 同角的余角相等； 内错角相等，两直线平行
重难点三 平行线性质
7．D
8．
重难点四 三角形的内角和定理及其推论
9．C
10．解：和 的平分线交于点，
，.
，，
.
同理可得， ， ，
，.
第 页

展开更多......

收起↑