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第二章 实数
易错点剖析
易错点一 对实数分类方法不清晰
【例1】 在 ，，0，，， （相邻两个5之间6的个数逐次加1）中，无理数有（ ）.
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.
（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：.
跟踪练习
1. 下列各数：，，0， ，，其中有理数有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 在0，，，， （相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
易错点二 不能够熟练掌握实数比较大小的方法
【例2】 比较大小： （填“ ”“”或“ ”）.
实数大小比较的常用方法：
（1）根据性质比较：正数 负数；
（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；
（3）差量法：对于任意两个实数，，①当 时，；②当 时，；③当 时，；
（4）平方法：若要比较任意两个实数，的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推，本身的大小；
（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.
跟踪练习
3. 下列实数中，最小的数是（ ）.
A. B. C. 1 D.
4. 实数，在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）.
A. B. C. D.
易错点三 二次根式的化简要彻底
【例3】 计算：.
二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.
跟踪练习
5. 计算：
（1） ；
（2） ;
（3） .
重难点突破
重难点一 实数的相关概念
熟练掌握实数的有关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方，实数涉及的概念较多，且均属于基础知识，往往稍不注意就容易出错，像相反数、倒数、绝对值的意义、概念就容易混淆出错，此部分知识主要在选择题中考查，很少在填空题或者解答题中出现.
提醒：多注意0和 的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.
1. 实数的相反数是（ ）.
A. B. 2 C. D.
2. 下列各数是无理数的是（ ）.
A. 0 B. C. D. 3.3
3. 的平方根是 .
4. 无理数的倒数是（ ）.
A. B. C. D.
5. 的算术平方根的相反数是（ ）.
A. 2 B. C. 4 D.
6. 下列说法中，正确的是（ ）.
A. 16的平方根是4
B. 任何实数都有立方根
C. 若一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数
D. 算术平方根等于本身的数只有1
7. 一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点，则点所表示的数是（ ）.
A. 4 B. C. D.
重难点二 实数的混合运算
实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等，其中减法可以转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算；同时要掌握好实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键还要把握好符号关；实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算.
提醒：注意零指数幂和负整数指数幂的运算，还有绝对值的化简及乘方运算有括号和无括号的区别，公式：；；特别地：.
8. 计算：.
9. 计算：.
10. 计算：.
11. 计算：.
12. 计算：.
重难点三 利用实数性质及二次根式化简求值
实数及其相关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方.实数是牵连概念最多的一个考点，需要我们准确掌握各种概念的定义及其考察方向.二次根式的性质：； ；取全体实数.做这类习题需先根据实数的性质得出结论，或先对二次根式进行化简，再代入求值，注意书写格式.
13. 实数，在数轴上对应点，的位置如图，则化简的结果为 .
14. 实数，，在数轴上的位置如图所示.化简：.
15. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：.
16. 先化简，再求值：，其中.
17. 已知，.
（1） 求的值；
解：,
.
（2） 求的值.
第二章 实数
易错点剖析
易错点一 对实数分类方法不清晰
跟踪练习
1．C
2．B
（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.
（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：.
【例1】 A
易错点二 不能够熟练掌握实数比较大小的方法
跟踪练习
3．B
4．D
实数大小比较的常用方法：
（1）根据性质比较：正数 负数；
（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；
（3）差量法：对于任意两个实数，，①当 时，；②当 时，；③当 时，；
（4）平方法：若要比较任意两个实数，的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推，本身的大小；
（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.
【例2】
易错点三 二次根式的化简要彻底
跟踪练习
5．（1） 解：
.
（2）
.
（3）
.
二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.
【例3】 解：原式
.
重难点突破
重难点一 实数的相关概念
1．B
2．B
3．
4．D
5．B
6．B
7．A
重难点二 实数的混合运算
8．解：
.
9．解：
.
10．解：
.
11．解：
.
12．解：
.
重难点三 利用实数性质及二次根式化简求值
13．
14．解：根据数轴可得，
，，，
.
15．解：由数轴可知，，
，,,
.
16．解：原式，
当 时，原式.
17．（1） 解：,
.
17．（1） .
（2） ，
.
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