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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第三课时 解一元二次方程（1）
学习目标：
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程。
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程。
二、老师告诉你
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
变形：将方程化为（mx+n）2=p（p≥0）的形式；
开方：利用平方根，将方程转化为两个一元一次方程；
求解：解一元一次方程，得出方程的根。
三、知识点拨
知识点1：形如x2=p（p≥0）的解法
①将方程化为
②直接开平方化为两个一元一次方程；
③解两个一元一次方程得到原方程的解。
【新知导学】
例1-1．方程x2=8的解是（　　）
A. x=4 B. x=
C. D.
例1-2．方程x2=0的实数根的个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定
【对应导练】
1．若x1，x2是方程x2=16的两根，则x1+x2的值是（　　）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 0
2．如果x=4是方程ax2+c=0的一个根，这个方程的另一个根为 _____．
3．方程x2-49=0的根是 _____．
知识点2：形如（mx+n）2=p（p≥0）的解法
①将方程化为的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；
③解两个一元一次方程得到原方程的解。
直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±。
达到降次转化之目的．
【新知导学】
例2-1 .解方程：6（x-1）2-54=0．
例2-2 .若关于x的一元二次方程（x-b）2=a的两根为1和3，则a,b的值分别为（　　）
A. 1，2 B. 4，1 C. 1，-2 D. 4，-1
【对应导练】
1．一元二次方程（x+6）2=9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+6=3，则另一个一元一次方程为（　　）
A. x-6=-3 B. x+6=-9 C. x+6=9 D. x+6=-3
2．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____．
3．解方程：．
知识点3：.直接开平方法解一元二次方程的应用
判定方程解的情况
对于可化为方程 x2 =p的解的情况
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
(2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0.
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
2.其他应用
【新知导学】
例3-1．若关于x的方程（x+5）2=m-1有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A. m＞0 B. m≥1 C. m＞1 D. m≠1
例3-2．若方程（x-1）2=m+1有解，则m的取值范围是（　　）
A. m≤-1 B. m≥-1
C. m为任意实数 D. m＞0
【对应导练】
1．若方程（x-2）2=a-4有实数根，则a的取值范围是 _____．
2．将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x的值．
3．在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b=a2-b2，求方程（4 3） x=24的解．
题型训练
题型1直接开平方法在解方程中的应用
1．直接开平方法解方程：60（1+x）2=72.6
2．解方程：6（x-1）2-54=0．
3．在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b=a2-b2，求方程（4 3） x=24的解．
题型2 直接开平方法在求三角形周长的应用
1．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x-3）2=4的根，则此三角形的周长为（　　）
A. 17 B. 11 C. 15 D. 11或15
2．若制作的一个长方体底面积为24，长、宽、高的比为4：2：1，则此长方体的体积为（　　）
A. 216 B.
C. D.
3．一元二次方程是我们初中阶段学习的最难的一种方程，它的解法有很多种，其中有一种方法是可以利用完全平方公式来求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步骤，试解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公园内一块长方形草地的面积为600平方米，且它的长比宽多10米，求这个长方形的周长．
．
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．方程的根是（ ）
A.
B.
C.
D.3
2．用直接降次的方法解方程，做法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．一元二次方程的根是( )
A. B. C. D.
4．若a为方程的一根，b为方程的一根，且都是正数.则的值为( )
A.5 B.6 C. D.
5．对形如的方程，下列说法正确的是( )
A.直接开平方得
B.直接开平方得
C.当时，直接开平方得
D.当时，直接开平方得
6．方程的解为( )
A. B.
C. D.
7．如果多项式的值为9,则x的值为( )
A.2 B.2或-2 C.-1 D.2或-1
8．如果是一元二次方程的一个根,那么该方程的另一个根是( )
A.3 B.-3 C.0 D.1
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．一元二次方程的解是 .
10．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是 .
11．方程的解为 .
12．若一元二次方程的两个根分别是与，则 .
13．用直接开平方法解一元二次方程:.
小明的解答如下:
解:移项，得.①
直接开平方.得.②
所以.③
小明的解答有无错误 若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程.
三、解答题（共6小题，48分）
14.（12分）用直接开平方法解下列方程:
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
15.（8分）以下是圆圆解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：
解：移项得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
开平方得：x﹣1＝±2
移项：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
16．（6分）若，求的值.
17．（6分）在实数范围内定义运算，其法则为:，求方程的解.
18.（8分）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4
（x+4）2＝20
直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40
（x+a）2﹣b2＝40
（x+a）2＝40+b2
直接开平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
19．（8分）一元二次方程是我们初中阶段学习的最难的一种方程，它的解法有很多种，其中有一种方法是可以利用完全平方公式来求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步骤，试解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公园内一块长方形草地的面积为600平方米，且它的长比宽多10米，求这个长方形的周长．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第三课时 解一元二次方程（1）
学习目标：
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程。
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程。
二、老师告诉你
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
变形：将方程化为（mx+n）2=p（p≥0）的形式；
开方：利用平方根，将方程转化为两个一元一次方程；
求解：解一元一次方程，得出方程的根。
三、知识点拨
知识点1：形如x2=p（p≥0）的解法
①将方程化为
②直接开平方化为两个一元一次方程；
③解两个一元一次方程得到原方程的解。
【新知导学】
例1-1．方程x2=8的解是（　　）
A. x=4 B. x=
C. D.
【答案】D
【解析】将已知方程两边开平方即可．
解：∵x2=8，
∴x=±2，
故选：D．
例1-2．方程x2=0的实数根的个数是（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定
【答案】C
【解析】把方程两边直接开方得到x=±=0，则x1=x2=0，即可得到答案．
解：∵x2=0，
∴x=±=0，
∴x1=x2=0．
故选：C．
【对应导练】
1．若x1，x2是方程x2=16的两根，则x1+x2的值是（　　）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 0
【答案】D
【解析】先利用直接开平方法求解得出x1，x2的值，再计算加法即可．
解：∵x2=16，
∴x1=4，x2=-4，
则x1+x2=0，
故选：D．
2．如果x=4是方程ax2+c=0的一个根，这个方程的另一个根为 _____．
【答案】x=-4
【解析】将x=4代入方程得出c=-16a,从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
解：将x=4代入方程，得：16a+c=0，
解得c=-16a,
∴方程为ax2-16a=0，
则x2=16，
∴x=4或x=-4，
即这个方程的另一个根为x=-4，
故答案为：x=-4．
3．方程x2-49=0的根是 _____．
【答案】x1=7，x2=-7
【解析】首先移项可得x2=49，再两边直接开平方即可．
解：x2-49=0，
移项得：x2=49，
两边直接开平方得：x=±7，
∴x1=7，x2=-7
故答案为：x1=7，x2=-7．
知识点2：形如（mx+n）2=p（p≥0）的解法
①将方程化为的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；
③解两个一元一次方程得到原方程的解。
直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±。
达到降次转化之目的．
【新知导学】
例2-1 .解方程：6（x-1）2-54=0．
【解析】利用直接开平方法求解即可．
解：∵6（x-1）2-54=0，
∴6（x-1）2=54，
∴（x-1）2=9，
则x-1=3或x-1=-3，
解得x1=4，x2=-2．
例2-2 .若关于x的一元二次方程（x-b）2=a的两根为1和3，则a,b的值分别为（　　）
A. 1，2 B. 4，1 C. 1，-2 D. 4，-1
【答案】A
【解析】由关于x的一元二次方程（x-b）2=a的两根为1和3，把方程的解的值分别代入方程，即可求得a与b的值．
解：方程（x-b）2=a
∵关于x的一元二次方程（x-b）2=a的两根为1和3，
（1-b）2 =a (3-b)2=a∴b=2，a=1．
故选：A．
【对应导练】
1．一元二次方程（x+6）2=9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+6=3，则另一个一元一次方程为（　　）
A. x-6=-3 B. x+6=-9 C. x+6=9 D. x+6=-3
【答案】D
【解析】利用直接开平方法求解可得答案．
解：∵（x+6）2=9，
∴x+6=3或x+6=-3，
故选：D．
2．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1=2，x2=-1，那么方程a（x+m+2）2+b=0的解_____．
【答案】x3=0，x4=-3
【解析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=-1，（a,m,b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=-1，
解得x=0或x=-3．
故答案为：x3=0，x4=-3．
3．解方程：．
【答案】
【解析】利用直接开平方法解方程．
解：
∴．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并熟练应用是解题的关键．
知识点3：.直接开平方法解一元二次方程的应用
判定方程解的情况
对于可化为方程 x2 =p的解的情况
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
(2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0.
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
2.其他应用
【新知导学】
例3-1．若关于x的方程（x+5）2=m-1有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A. m＞0 B. m≥1 C. m＞1 D. m≠1
【答案】B
【解析】由于方程（x+5）2=m-1有两个实数根，则m-1≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得m-1≥0，
所以m≥1．
故选：B．
例3-2．若方程（x-1）2=m+1有解，则m的取值范围是（　　）
A. m≤-1 B. m≥-1
C. m为任意实数 D. m＞0
【答案】B
【解析】根据非负数的性质可知（x-1）2≥0，所以当m+1≥0时，关于x的方程（x-1）2=m+1有解，由此求出m的取值范围．
解：∵关于x的方程（x-1）2=m+1有解，
∴m+1≥0，
∴m≥-1．
故选：B．
【对应导练】
1．若方程（x-2）2=a-4有实数根，则a的取值范围是 _____．
【答案】a≥4
【解析】根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解即可．
解：∵方程（x-2）2=a-4有实数根，
∴a-4≥0，
∴a≥4，
故答案为：a≥4．
2．将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x的值．
【解析】根据题意得出方程（x+1）（x+1）-（1-x）（x-1）=6，整理后用直接开平方法求出即可．
解：根据题意得：（x+1）（x+1）-（1-x）（x-1）=6，
整理得：2x2+2=6，
x2=2，
x=±，
即x1=，x2=-．
3．在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b=a2-b2，求方程（4 3） x=24的解．
【解析】此题是新定义题型，应该严格按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号．
解：∵a b=a2-b2，
∴（4 3） x=（42-32） x=7 x=72-x2
∴72-x2=24
∴x2=25．
∴x=±5．
题型训练
题型1直接开平方法在解方程中的应用
1．直接开平方法解方程：60（1+x）2=72.6
【解析】方程两边都除以60，再直接开方计算．
解：60（1+x）2=72.6，
两边除以60得（1+x）2=1.21
开方得1+x=±1.1
即1+x=1.1或1+x=-1.1．
解得x1=0.1，x2=-2.1．
2．解方程：6（x-1）2-54=0．
【解析】利用直接开平方法求解即可．
解：∵6（x-1）2-54=0，
∴6（x-1）2=54，
∴（x-1）2=9，
则x-1=3或x-1=-3，
解得x1=4，x2=-2．
3．在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b=a2-b2，求方程（4 3） x=24的解．
【解析】此题是新定义题型，应该严格按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号．
解：∵a b=a2-b2，
∴（4 3） x=（42-32） x=7 x=72-x2
∴72-x2=24
∴x2=25．
∴x=±5．
题型2 直接开平方法在求三角形周长的应用
1．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x-3）2=4的根，则此三角形的周长为（　　）
A. 17 B. 11 C. 15 D. 11或15
【答案】C
【解析】求出方程的解得到原方程的解，即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．
解：（x-3）2=4，
x-3=±2，
解得x1=5，x2=1．
若x=5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6=15；
若x=1时，6-4=2，不能构成三角形，
则此三角形的周长是15．
故选：C．
2．若制作的一个长方体底面积为24，长、宽、高的比为4：2：1，则此长方体的体积为（　　）
A. 216 B.
C. D.
【答案】C
【解析】设这个长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x,然后依据底面积为24cm2，列出关于x的方程，然后可求得x的值，最后再求得这个长方体的长、宽、高即可．
解：设这个长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x.
根据题意得：4x 2x=24，
解得：x=或x=-（舍去）．
则4x=4，2x=2．
所以这个长方体的长、宽、高分别为4、2、，
∴长方体的体积为4××=24，
故选：C．
3．一元二次方程是我们初中阶段学习的最难的一种方程，它的解法有很多种，其中有一种方法是可以利用完全平方公式来求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步骤，试解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公园内一块长方形草地的面积为600平方米，且它的长比宽多10米，求这个长方形的周长．
【解析】（1）依据题目中的方法进行解答即可；
（2）设宽为x米，则长为（x+10）米．根据题意得：x（x+10）=100，然后求得x的值，最后，再求得长方形的周长即可．
解：（1）x2-12x-64=0，
∴x2-12x+36-36-64=0，
∴（x-6）2-100=0，
∴（x-6）2=100，
∴x-6=±10，
∴x1=16，x2=-4．
（2）设宽为x米，则长为（x+10）米．
根据题意得：x（x+10）=100，整理得：x2+10x=100，
∴x2+10x+25=100+25，
∴（x+5）2=125，
∴x+5=±5．
∴x=5-5或x=-5-5（舍去）．
∴长方形的周长=（5-5+5-5+10）×2=20．
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．方程的根是（ ）
A.
B.
C.
D.3
答案：C
解析：，
故选C
2．用直接降次的方法解方程，做法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即开方得，
故选C
3．一元二次方程的根是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法。
4．若a为方程的一根，b为方程的一根，且都是正数.则的值为( )
A.5 B.6 C. D.
答案：B
解析：解方程，
得，
，
解方程，
得，
.
都是正数，
，
.
故选B.
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法。
5．对形如的方程，下列说法正确的是( )
A.直接开平方得
B.直接开平方得
C.当时，直接开平方得
D.当时，直接开平方得
答案：C
解析：当时，，.当时，方程无解.
故选C.
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是能运用直接开平方法解一元二次方程的条件。
6．方程的解为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：,
移项,得，
两边直接开方,得,
,,
解两个方程,得.
故选B.
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法。
7．如果多项式的值为9,则x的值为( )
A.2 B.2或-2 C.-1 D.2或-1
答案：D
解析：依题意,得.
开平方,得.
则,解得或.
故选D.
点评：本题考查根据题意列方程，利用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法
8．如果是一元二次方程的一个根,那么该方程的另一个根是( )
A.3 B.-3 C.0 D.1
答案：A
解析：由得,所以,即该方程两个根互为相反数.因为-3是一元二次方程的一个根,所以另一个根为3.
故选A.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．一元二次方程的解是 .
答案：
解析：，
解得.
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法。
10．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是 .
答案：
解析：，或，
另一个一元一次方程是
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤.
11．方程的解为 .
答案：
解析：直接开平方得，即或，解得.
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法
12．若一元二次方程的两个根分别是与，则 .
答案：9
解析：，
即方程的两个实数根互为相反数，
则，
解得，
方程的两根为或，
，
故答案为9.
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的方法，根据平方根定义两根互为相反数。
13．用直接开平方法解一元二次方程:.
小明的解答如下:
解:移项，得.①
直接开平方.得.②
所以.③
小明的解答有无错误 若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程.
答案：②，平方根的定义理解出错。
解析：正确的解答过程为:移项，得.
直接开平方，得.
所以.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
三、解答题（共6小题，48分）
14.（12分）用直接开平方法解下列方程:
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
答案：(1)，
，
或
.
(2)
或
.
(3)
，或，
.
(4)
，或，
.
点评：本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤.
15.（8分）以下是圆圆解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：
解：移项得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
开平方得：x﹣1＝±2
移项：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
移项得：x2﹣2x＝4，
配方：x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
开平方得：x﹣1＝±，
移项：x＝±+1，
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
16．（6分）若，求的值.
答案：解：
或.
或
，.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
17．（6分）在实数范围内定义运算，其法则为:，求方程的解.
答案：解：
18.（8分）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4
（x+4）2＝20
直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40
（x+a）2﹣b2＝40
（x+a）2＝40+b2
直接开平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
【答案】（1）5、3、2、﹣12；（2）x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
【解析】根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；利用“平均数法”解方程即可．
（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．
（x+5）2﹣32＝40，
（x+5）2＝40+32．
直接开平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，
故答案为：5、3、2、﹣12；
（2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4．
（x+2）2﹣42＝4，
（x+2）2＝4+42．
∴x＝﹣2±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
19．（8分）一元二次方程是我们初中阶段学习的最难的一种方程，它的解法有很多种，其中有一种方法是可以利用完全平方公式来求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步骤，试解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公园内一块长方形草地的面积为600平方米，且它的长比宽多10米，求这个长方形的周长．
【解析】（1）依据题目中的方法进行解答即可；
（2）设宽为x米，则长为（x+10）米．根据题意得：x（x+10）=100，然后求得x的值，最后，再求得长方形的周长即可．
解：（1）x2-12x-64=0，
∴x2-12x+36-36-64=0，
∴（x-6）2-100=0，
∴（x-6）2=100，
∴x-6=±10，
∴x1=16，x2=-4．
（2）设宽为x米，则长为（x+10）米．
根据题意得：x（x+10）=100，整理得：x2+10x=100，
∴x2+10x+25=100+25，
∴（x+5）2=125，
∴x+5=±5．
∴x=5-5或x=-5-5（舍去）．
∴长方形的周长=（5-5+5-5+10）×2=20．
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