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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第四课时 解一元二次方程（2）
学习目标：
1.理解配方法的基本过程，会用配方法解一元二次方程.
2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想。
二、老师告诉你
二次三项式的配方过程与一元二次方程的配方过程有“两大区别”
一元二次方程是二次项系数化为1两边除以二次项系数，二次三项式是提出二次项系数。
配方：一元二次方程是两边同时加上一次项系数一半的平方，二次三项式是加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方。
三、知识点拨
知识点1 一元二次方程配方的方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：把方程中含有未知数的项移在方程左边，常数项移在方程右边。
二除：方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数。
开方：如果右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的解，如果右边是负数，则方程无解。
名师点拨
（1）配方法解一元二次方程的口诀一移二除三配四开方；
（2）配方法的关键一步是“配方”，即方程两边加上一次项系数一半的平方。
（3）配方法的理论依据是完全平方式。
【新知导学】
例1-1．若是一个完全平方式，则m的值是( )
A.3 B. C. D.以上都不对
例1-2．用配方法解方程时，下列配方错误的是( )
A.化为
B.化为
C.化为
D.化为
【对应导练】
1．若方程的左边是一个完全平方式,则m等于( )
A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6
2．小惠同学用配方法解方程的步骤如下:
解:二次项系数化为1，得，①
移项，得.②
配方，得.③
即.④
两边开平方，得，⑤
所以.⑥
第 步开始出现错误，正确的结果是 ， .
3．将一元二次方程化成的形式,则b的值为 .
知识点2 配方法解一元二次方程
把方程左边配成完全平方式来接一元二次方程的方法叫配方法，配方的目的是方程能用直接开平方法求解
【新知导学】
例2-1．用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0时，将它化为（x+m）2=n的形式，则m-n的值为（　　）
A. -6 B. -3 C. 0 D. 2
例2-2．用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（　　）
A. （x-2）2=1 B. （x+2）2=1 C. （x-2）2=7 D. （x+2）2=7
【对应导练】
1．将方程2x2-12x+1=0配方成（x-m）2=n的形式，下列配方结果正确的是（　　）
A. （x+3）2=17 B.
C. （x-3）2=17 D.
2．把方程用配方法化为的形式，则的值是__________．
【答案】-12
3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12．
4．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）=6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）-2][（x+2）+2]=6．
（x+2）2-22=6，
（x+2）2=6+22，
（x+2）2=10．
直接开平方并整理，得．x1=-2+，x2=-2-．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）-b][（x+a）+b]=5．
（x+a）2-b2=5，
（x+a）2=5+b2．
直接开平方并整理，得．x1=c,x2=d.
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为_____，_____，_____，_____．
（2）请用“平均数法”解方程：（x-5）（x+3）=6．
四、题型训练
1.配方法在解方程中的应用
1．观察下列方程及其解的特征：
（1）的解为；
（2）的解为，；
（3）的解为，；
……
解答下列问题：
（1）请猜想：方程的解为____________；
（2）请猜想：关于x的方程__________的解为，；
（3）以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性..
2．有n个方程:…；
小静同学解第1个方程的步骤为:“①②;③;④;⑤;⑥.”
(1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的;
(2)用配方法解第n个方程.(用含n的式子表示方程的根)
3．一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48+b的形式,其中a、b为整数,求a+b之值为何( )
A.20 B.12 C.-12 D.-20
2.配方法在字母求值中的应用
1．已知M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，则M、N的大小关系是（　　）
A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N
2．已知a,b,c为实数，且b+c=5-4a+3a2，c-b=1-2a+a2，则a,b,c之间的大小关系是（　　）
A. a＜b≤c B. b＜a≤c C. b≤c＜a D. c＜a≤b
3．x2+4x+y2-6y+13=0，则x=_____，y=_____．
4．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2-4a-6b+11=0，则△ABC的周长是 _____．
5．若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m,n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（ _____）=0，
即（ _____）+（ _____）=0．
根据非负数的性质，得m=n=_____．
（1）阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；
（2）设等腰三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2+b2-4a-6b+13=0，求△ABC的周长．
3.配方法在求多项式最值中的应用
1．已知实数m,n满足m2+n2=2+3mn,则（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
2．阅读下列材料：
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，所以，我们常需要将代数式配成完全平方式．
例如“试说明多项式x2+4x+5的最小值为1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多项式-x2+4x+5的最大值．
3．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，
∵（x+2）2≥0，
∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2．
因此，代数式x2+4x+2有最小值-2；
②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，
∵-（x-1）2≤0，
∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4．
因此，代数式-x2+2x+3有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式x2-4x+1的最小值为 _____；
（2）求代数式-a2-b2-6a+4b-10的最大值；
（3）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
4．阅读材料：我们知道x2≥0，（a±b）2≥0这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式3x2+6x-2的最小值时，我们可以这样处理：
3x2+6x-2
=3（x2+2x）-2
=3（x2+2x+12-12）-2
=3[（x+1）2-12]-2
=3（x+1）2-5．
因为（x+1）2≥0，所以3（x+1）2-5≥0-5，当x=-1时，3（x+1）2-5取得最小值-5．
（1）求多项式2x2-8x+3的最小值，并写出对应的x的取值．
（2）求多项式x2-2x+y2-4y+7的最小值．
5．阅读材料1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（-）2≥0，所以a-2+b≥0，从而a+b≥2，当a=b时取等号）．
阅读材料2：若y=x+（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知x+≥2，所以当x=，x=，y=x+的最小值为2．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x=_____时，x++1取得最小值，且最小值为 _____；
（2）已知y1=x+1（x＞-1），y2=x2+2x+10（x＞-1），求的最小值；
（3）某大学学生会在5月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入640元；二是参加活动的同学午餐费每人15元；三是其他费用，其中，其他费用等于参加活动的同学人数的平方的0.1倍，求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用/参加活动的同学人数）
五、牛刀小试
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应变形为（　　）
A. （x-2）2=5 B. （x-2）2=1 C. （x-4）2=5 D. （x-2）2=9
2．将方程2x2-12x+1=0配方成（x-m）2=n的形式，下列配方结果正确的是（　　）
A. （x+3）2=17 B.
C. （x-3）2=17 D.
3．等腰三角形的腰长为2，底边长是方程的根，则三角形的周长为（ ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 7或9
4．把方程x2+6x-5=0化成（x+m）2=n的形式，则m+n=（　　）
A. 17 B. 14 C. 11 D. 7
5．用配方法解一元二次方程x2-2x=35时，步骤如下：①x2-2x+1=36；②（x-1）2=36；③x-1=±6；④x=±7，即x1=7，x2=-7．其中开始出现错误的步骤是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6．已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（　　）
①若A=x2+6x+n2是完全平方式，则n=±3；
②B-A的最小值是2；
③若n是A+B=0的一个根，则；
④若（2022-A）（A-2019）=0，则（2022-A）2+（A-2019）2=4．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7．已知M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，则M、N的大小关系是（　　）
A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N
8．无论a,b为何值代数式a2+b2+6b+11-2a的值总是（　　）
A. 非负数 B. 0 C. 正数 D. 负数
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．一元二次方程配方为，则k的值是______．
10．用配方法解方程x2-6x+1=0，则方程可配方为_____．
11．若m2+n2－6n＋4m＋13＝0，m2－n2=_______.
12．4x2+9y2+12x-6y+10=0，则8x-9y=_____．
13．已知a,b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b,则这个等腰三角形的周长为_____．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（9分）用配方法解一元二次方程：
（1）x2-2x-2=0；
（2）2x2+1=3x；
（3）6x2-x-12=0．
（7分）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：
解：移项得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
开平方得：x﹣1＝±2
移项：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
16．（6分）已知a，b，c是的三条边长，且满足，试确定的形状.
17．（7分）观察下列方程及其解的特征：
（1）的解为；
（2）的解为，；
（3）的解为，；
……
解答下列问题：
（1）请猜想：方程的解为____________；
（2）请猜想：关于x的方程__________的解为，；
（3）以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性.
18．（9分）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
∴（m-n）2+（n-4）2=0，
∴m-n=0，n-4=0，
∴m=4，n=4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2-6y+9=0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-12a-16b+100=0，求斜边长c的值．
19．（10分）阅读与应用：同学们，你们已经知道（a-b）2≥0，即a2-2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）．
阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0，∵（）2≥0，∴a-2+b≥0，∴a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+（m＞0，x＞0，m为常数）．由阅读1结论可知：x+即x+∴当x=即x2=m,∴x=（m＞0）时，函数y=x+的最小值为2
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数y=a+（a＞1），则a=_____时，函数y=a+（a＞1）的最小值为_____．
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x,则另一边长为，周长为2（x+），求当x=_____时，矩形周长的最小值为_____．
问题3：求代数式（m＞-1）的最小值．
问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第四课时 解一元二次方程（2）
学习目标：
1.理解配方法的基本过程，会用配方法解一元二次方程.
2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想。
二、老师告诉你
二次三项式的配方过程与一元二次方程的配方过程有“两大区别”
一元二次方程是二次项系数化为1两边除以二次项系数，二次三项式是提出二次项系数。
配方：一元二次方程是两边同时加上一次项系数一半的平方，二次三项式是加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方。
三、知识点拨
知识点1 一元二次方程配方的方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：把方程中含有未知数的项移在方程左边，常数项移在方程右边。
二除：方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数。
开方：如果右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的解，如果右边是负数，则方程无解。
名师点拨
（1）配方法解一元二次方程的口诀一移二除三配四开方；
（2）配方法的关键一步是“配方”，即方程两边加上一次项系数一半的平方。
（3）配方法的理论依据是完全平方式。
【新知导学】
例1-1．若是一个完全平方式，则m的值是( )
A.3 B. C. D.以上都不对
答案：C
解析：
例1-2．用配方法解方程时，下列配方错误的是( )
A.化为
B.化为
C.化为
D.化为
答案：C
解析：
，
.故选C.
【对应导练】
1．若方程的左边是一个完全平方式,则m等于( )
A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6
答案：B
解析：根据完全平方式对称结构,且,则有,,即或,得或.
故选B.
2．小惠同学用配方法解方程的步骤如下:
解:二次项系数化为1，得，①
移项，得.②
配方，得.③
即.④
两边开平方，得，⑤
所以.⑥
第 步开始出现错误，正确的结果是 ， .
答案：第③步开始出现错误.正确的步骤如下:
二次项系数化为1，得，
移项，得，
配方，得
即
两边开平方，得
故答案为: ③；；-1
3．将一元二次方程化成的形式,则b的值为 .
答案：8
解析：,,,所以b的值为8.
知识点2 配方法解一元二次方程
把方程左边配成完全平方式来接一元二次方程的方法叫配方法，配方的目的是方程能用直接开平方法求解
【新知导学】
例2-1．用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0时，将它化为（x+m）2=n的形式，则m-n的值为（　　）
A. -6 B. -3 C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值，然后计算m-n的值．
解：x2+6x+3=0，
x2+6x=-3，
x2+6x+9=6，
（x+3）2=6，
所以m=3，n=6，
所以m-n=3-6=-3．
故选：B．
例2-2．用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（　　）
A. （x-2）2=1 B. （x+2）2=1 C. （x-2）2=7 D. （x+2）2=7
【答案】C
【解析】先把-3移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
解：∵x2-4x-3=0，
∴x2-4x=3，
∴x2-4x+4=3+4，
∴（x-2）2=7．
故选：C．
【对应导练】
1．将方程2x2-12x+1=0配方成（x-m）2=n的形式，下列配方结果正确的是（　　）
A. （x+3）2=17 B.
C. （x-3）2=17 D.
【答案】D
【解析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：2x2-12x+1=0，
x2-6x=-，
x2-6x+9=-+9，
（x-3）2=．
故选：D．
2．把方程用配方法化为的形式，则的值是__________．
【答案】-12
【解析】根据配方法即可求出答案．
∵x2-2=4x，
∴x2-4x=2，
∴x2-4x+4=2+4，
∴（x-2）2=6，
∴m=-2，n=6，
∴mn=-12，
故答案为-12
【点睛】此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法.
3．用配方法解方程：x（x+4）=8x+12．
【解析】利用配方法进行求解即可．
解：x（x+4）=8x+12，
x2+4x=8x+12，
x2-4x=12，
x2-4x+4=12+4，
（x-2）2=16，
x-2=±4，
x=2±4，
∴x1=6，x2=-2．
4．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）=6．
解：原方程可变形，得：[（x+2）-2][（x+2）+2]=6．
（x+2）2-22=6，
（x+2）2=6+22，
（x+2）2=10．
直接开平方并整理，得．x1=-2+，x2=-2-．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）-b][（x+a）+b]=5．
（x+a）2-b2=5，
（x+a）2=5+b2．
直接开平方并整理，得．x1=c,x2=d.
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为_____，_____，_____，_____．
（2）请用“平均数法”解方程：（x-5）（x+3）=6．
【答案】(1)5;(2)±2;(3)-2;(4)-8;
【解析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；
（2）利用“平均数法”解方程即可．
解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）-2][（x+5）+2]=5．
（x+5）2-22=5，
（x+5）2=5+22．
直接开平方并整理，得．x1=-2，x2=-8．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、±2、-2、-8，
故答案为：5、±2、-2、-8；
（2）原方程可变形，得：[（x-1）-4][（x-1）+4]=6．
（x-1）2-42=6，
（x-1）2=6+42．
x-1=±，
∴x=1±，
直接开平方并整理，得．x1=1+，x2=1-．
四、题型训练
1.配方法在解方程中的应用
1．观察下列方程及其解的特征：
（1）的解为；
（2）的解为，；
（3）的解为，；
……
解答下列问题：
（1）请猜想：方程的解为____________；
（2）请猜想：关于x的方程__________的解为，；
（3）以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性.
解：原方程可化为.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
答案：（1），
（2）（或）
（3）方程二次项系数化为1，得.
配方，得，
即，
开方，得.
解得，.
经检验，，都是原方程的解.
2．有n个方程:…；
小静同学解第1个方程的步骤为:“①②;③;④;⑤;⑥.”
(1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的;
(2)用配方法解第n个方程.(用含n的式子表示方程的根)
答案：解：(1)⑤
(2),，，
3．一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48+b的形式,其中a、b为整数,求a+b之值为何( )
A.20 B.12 C.-12 D.-20
答案：A：
2.配方法在字母求值中的应用
1．已知M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，则M、N的大小关系是（　　）
A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N
【答案】A
【解析】用M与N作差，然后进行判断即可．
解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，
∵M-N=（3x2-x+3）-（2x2+3x-1）=3x2-x+3-2x2-3x+1=x2-4x+4=（x-2）2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
2．已知a,b,c为实数，且b+c=5-4a+3a2，c-b=1-2a+a2，则a,b,c之间的大小关系是（　　）
A. a＜b≤c B. b＜a≤c C. b≤c＜a D. c＜a≤b
【答案】A
【解析】由题意b+c=5-4a+3a2①，c-b=1-2a+a2②可知，①+②得2c=4a2-6a+6，即c=2a2-3a+3，①-②得2b=2a2-2a+4，即b=a2-a+2．再用作差法进行比较a、b、c的大小．b-a=a2-a+2-a=（a-1）2+1＞0，c-b=2a2-3a+3-（a2-a+2）=a2-2a+1=（a-1）2≥0，因此a＜b≤c.
解：∵b+c=5-4a+3a2①，c-b=1-2a+a2②，
∴①+②得2c=4a2-6a+6，即c=2a2-3a+3，
∴①-②得2b=2a2-2a+4，即b=a2-a+2．
∵b-a=a2-a+2-a=（a-1）2+1＞0，
∴b＞a.
又∵c-b=2a2-3a+3-（a2-a+2）=a2-2a+1=（a-1）2≥0，
∴c≥b,
∴a＜b≤c.
故选：A．
3．x2+4x+y2-6y+13=0，则x=_____，y=_____．
【答案】(1)-2;(2)3;
【解析】先利用完全平方公式将已知等式变形为（x+2）2+（y-3）2=0，再根据偶次方的非负性即可得．
解：∵x2+4x+y2-6y+13=0，
∴x2+4x+4+y2-6y+9=0，即（x+2）2+（y-3）2=0，
∴x+2=0，y-3=0，
解得x=-2，y=3．
故答案为：-2，3．
4．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2-4a-6b+11=0，则△ABC的周长是 _____．
【答案】7
【解析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b,根据三角形的三边关系求出c,根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵2a2+b2-4a-6b+11=0，
∴2a2-4a+2+b2-6b+9=0，
∴2（a-1）2+（b-3）2=0，
∴a-1=0，b-3=0，
解得：a=1，b=3，
则3-1＜c＜3+1，即2＜c＜4，
∵c的正整数，
∴c=3，
∴△ABC的周长=1+3+3=7，
故答案为：7．
5．若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m,n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（ _____）=0，
即（ _____）+（ _____）=0．
根据非负数的性质，得m=n=_____．
（1）阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；
（2）设等腰三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2+b2-4a-6b+13=0，求△ABC的周长．
【答案】(1)n2-8n+16;(2)（m-n）2;(3)（n-4）2;(4)4;
【解析】（1）利用完全平方公式的结构特征及加法运算律将已知等式左边变形，再利用非负数的性质求出m与n的值；
（2）已知等式配方后求出a与b的值，即可确定出三角形周长．
解：（1）∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
即（m-n）2+（n-4）2=0．
根据非负数的性质，
∴m=n=4，
故答案为：n2-8n+16；（m-n）2；（n-4）2；4；
（2）已知等式变形得：（a-2）2+（b-3）2=0，
所以a=2，b=3，
当a为腰时，三边为2，2，3，周长=7；
当b为腰时，三边为3，3，2，周长=8．
故△ABC的周长为7或8．
3.配方法在求多项式最值中的应用
1．已知实数m,n满足m2+n2=2+3mn,则（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】先化简（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）=10+3mn,再判断出mn≥-，即可求出答案．
解：∵m2+n2=2+3mn,
∴（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）
=4m2+9n2-12mn+m2-4n2
=5m2+5n2-12mn
=5（2+3mn）-12mn
=10+3mn,
∵m2+n2=2+3mn,
∴（m+n）2=2+5mn≥0（当m+n=0时，取等号），
∴mn≥-，
∴（m-n）2=2+mn≥0（当m-n=0时，取等号），
∴mn≥-2，
∴mn≥-，
∴3mn≥-，
∴10+3mn≥，
即（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最小值为．
故选：A．
2．阅读下列材料：
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，所以，我们常需要将代数式配成完全平方式．
例如“试说明多项式x2+4x+5的最小值为1”．
x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）因式分解：x2+4x-5；
（2）求多项式-x2+4x+5的最大值．
【解析】（1）原式配方后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
解：（1）x2+4x-5
=x2+4x+4-9
=（x+2）2-9
=[（x+2）+3][（x+2）-3]
=（x+5）（x-1）；
（2）-x2+4x+5
=5-（x2-4x）
=5-（x2-4x+4-4）
=5-（x-2）2+4
=9-（x-2）2，
∵（x-2）2≥0，
∴当（x-2）2=0时，9-（x-2）2取得最大值9．
3．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，
∵（x+2）2≥0，
∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2．
因此，代数式x2+4x+2有最小值-2；
②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，
∵-（x-1）2≤0，
∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4．
因此，代数式-x2+2x+3有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式x2-4x+1的最小值为 _____；
（2）求代数式-a2-b2-6a+4b-10的最大值；
（3）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
【答案】-3
【解析】（1）将代数式x2-4x+1配方可得最值；
（2）将代数式-a2-b2-6a+4b-10配方可得最值；
（3）利用长方形的面积=长×宽，表示出花圃的面积再利用配方法即可解决问题．
解：（1）x2-4x+1=（x2-4x+4）-3=（x-2）2-3，
∵（x-2）2≥0，
∴（x-2）2-3≥-3，原式有最小值是-3；
故答案为：-3；
（2）-a2-b2-6a+4b-10=-（a2+6a+9）-（b2-4b+4）+3=-（a+3）2-（b-2）2+3，
∵（a+3）2≥0，（b-2）2≥0，
∴-（a+3）2≤0，-（b-2）2≤0，
∴-（a+3）2-（b-2）2+3的最大值为3；
（3）花圃的面积：x（100-2x）=（-2x2+100x）平方米；
-2x2+100x=-2（x-25）2+1250，
∵当x=25时，100-2x=50＜100，
∴当x=25时，花圃的最大面积为1250平方米．
4．阅读材料：我们知道x2≥0，（a±b）2≥0这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式3x2+6x-2的最小值时，我们可以这样处理：
3x2+6x-2
=3（x2+2x）-2
=3（x2+2x+12-12）-2
=3[（x+1）2-12]-2
=3（x+1）2-5．
因为（x+1）2≥0，所以3（x+1）2-5≥0-5，当x=-1时，3（x+1）2-5取得最小值-5．
（1）求多项式2x2-8x+3的最小值，并写出对应的x的取值．
（2）求多项式x2-2x+y2-4y+7的最小值．
【解析】（1）模仿例题计算即可；
（2）根据完全平方公式对多项式进行变形，根据平方的非负性解答．
解：（1）2x2-8x+3
=2（x2-4x）+3
=2（x2-4x+4-4）+3
=2[（x-2）2-4]+3
=2（x-2）2-5，
∵（x-2）2≥0，
∴2（x-2）2-5≥0-5，
∴当x=2时，2（x-2）2-5取得最小值-5；
（2）x2-2x+y2-4y+7
=（x2-2x+1）+（y2-4y+4）+2
=（x-1）2+（y-2）2+2，
∵（x-1）2≥0，（y-2）2≥0，
∴（x-1）2+（y-2）2+2≥2，
∴当x=1，y=2时，x2-2x+y2-4y+7有最小值2．
5．阅读材料1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（-）2≥0，所以a-2+b≥0，从而a+b≥2，当a=b时取等号）．
阅读材料2：若y=x+（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知x+≥2，所以当x=，x=，y=x+的最小值为2．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x=_____时，x++1取得最小值，且最小值为 _____；
（2）已知y1=x+1（x＞-1），y2=x2+2x+10（x＞-1），求的最小值；
（3）某大学学生会在5月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入640元；二是参加活动的同学午餐费每人15元；三是其他费用，其中，其他费用等于参加活动的同学人数的平方的0.1倍，求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用/参加活动的同学人数）
【答案】(1)2;(2)5;
【解析】（1）由题意求出最小值，即可求出+1的最小值；
（2）把y1、y2代入化成（x+1）+的形式，即可求出最小值；
（3）设参加活动的同学人数为x,人均投入为，化成15+0.1（x+）的形式，即可求出答案．
（1）解：由题意得，当x=即x=2时，有最小值为2=4，
∴+1的最小值为5，
故答案为2，5；
（2）解：∵y1=x+1（x＞-1），y2=x2+2x+10（x＞-1），
∴==，
∴当x+1=即x=2时，有最小值为2=6，
∴有最小值为6；
（3）解：设参加活动的同学人数为x,
∴人均投入为：=15+0.1（x+），
∴当x=即x=80时，有最小值为2=160，
∴最低费用是15+0.1×160=31（元），
∴当参加活动的同学人数为80时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是31元．
五、牛刀小试
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应变形为（　　）
A. （x-2）2=5 B. （x-2）2=1 C. （x-4）2=5 D. （x-2）2=9
【答案】D
【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
则x2-4x+4=5+4，即（x-2）2=9，
故选：D．
2．将方程2x2-12x+1=0配方成（x-m）2=n的形式，下列配方结果正确的是（　　）
A. （x+3）2=17 B.
C. （x-3）2=17 D.
【答案】D
【解析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：2x2-12x+1=0，
x2-6x=-，
x2-6x+9=-+9，
（x-3）2=．
故选：D．
3．等腰三角形的腰长为2，底边长是方程的根，则三角形的周长为（ ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 7或9
【答案】A
【解析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形三边关系可得答案．
解：∵，
∴，
则或，
解得，，
当底边长为3，此时三边长度为2、2、3，能够成三角形，周长为7；
若底边长为5，此时三边长度为2、2、5，不能构成三角形；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．把方程x2+6x-5=0化成（x+m）2=n的形式，则m+n=（　　）
A. 17 B. 14 C. 11 D. 7
【答案】A
【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
解：x2+6x-5=0，
x2+6x=5，
x2+6x+9=5+9，
（x+3）2=14，
∴m=3，n=14，
∴m+n=3+14=17，
故选：A．
5．用配方法解一元二次方程x2-2x=35时，步骤如下：①x2-2x+1=36；②（x-1）2=36；③x-1=±6；④x=±7，即x1=7，x2=-7．其中开始出现错误的步骤是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】D
【解析】将方程左边配成一个完全平方式，将求解过程与相关步骤对比即可解答．
解：x2-2x=35，
x2-2x+1=36，
（x-1）2=36，
x-1=±6，
x=±6+1，
x1=7，x2=-5．
故选：D．
6．已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+2n2+3，下列结论正确的个数为（　　）
①若A=x2+6x+n2是完全平方式，则n=±3；
②B-A的最小值是2；
③若n是A+B=0的一个根，则；
④若（2022-A）（A-2019）=0，则（2022-A）2+（A-2019）2=4．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】①利用完全平方公式即可求出n的值；
②先利用整式的加减求出B-A，再利用配方法即可求出B-A的最小值；
③先利用整式的加减求出A+B，根据n是A+B=0的一个根，求出n的值，再利用4n2+=（2n+）2-4即可求出答案；
④先设M=2022-A，N=A-2019，，求出M+N=3，再利用完全平方式求出M2+N2=9即可判断．
解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，
∴n2=9，即n=±3，故①正确；
②∵B-A=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）
=x2-2x+n2+3
=（x-1）2+n2+2，
∵（x-1）2+n2≥0，
∴B-A≥2，
∴B-A的最小值是2，故②正确；
③根据题意知，A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，
∵n是A+B=0的一个根
∴把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0可得：3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，
解得：n=，
当n=时，则2n+==，
∴4n2+=（2n+）2-4=，
当n=时，2n+==，
∴4n2+=（2n+）2-4=，故③错误，
④令M=2022-A，N=A-2019，
则M N=0，M+N=3，
∴（M+N）2=9，即M2+2MN+N2=9，
∴M2+N2=9，即（2022-A）（A-2019）=9，故④错误；
综上所述，正确的个数有2个；
故答案选：B．
7．已知M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，则M、N的大小关系是（　　）
A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N
【答案】A
【解析】用M与N作差，然后进行判断即可．
解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，
∵M-N=（3x2-x+3）-（2x2+3x-1）=3x2-x+3-2x2-3x+1=x2-4x+4=（x-2）2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
8．无论a,b为何值代数式a2+b2+6b+11-2a的值总是（　　）
A. 非负数 B. 0 C. 正数 D. 负数
【答案】C
【解析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
解：原式=（a2-2a+1）+（b2+6b+9）+1
=（a-1）2+（b+3）2+1，
∵（a-1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a-1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．一元二次方程配方为，则k的值是______．
【答案】１
【解析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．
解：
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
10．用配方法解方程x2-6x+1=0，则方程可配方为_____．
【答案】（x-3）2=8
【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2-6x+1=0，
∴x2-6x=-1，
则x2-6x+9=-1+9，即（x-3）2=8，
故答案为：（x-3）2=8．
11．若m2+n2－6n＋4m＋13＝0，m2－n2=_______.
【答案】-5
【解析】根据配方法和拆数法，可知可化为，配方为（m+2）2+（n-3）2=0，根据非负数的意义可求得m=-2，n=3，代入4-9=-5.
故答案为-5.
12．4x2+9y2+12x-6y+10=0，则8x-9y=_____．
【答案】-15
【解析】已知等式左边配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出代数式的值．
解：∵4x2+9y2+12x-6y+10=（4x2+12x+9）+（9y2-6y+1）=（2x+3）2+（3y-1）2=0，
可得2x+3=0，3y-1=0，
解得：x=-，y=，
则8x-9y=8×（-）-9×=-15，
故答案为：-15．
13．已知a,b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b,则这个等腰三角形的周长为_____．
【答案】12
【解析】利用配方法分别求出a、b,根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算．
解：a2+b2+29=10a+4b,
a2-10a+25+b2-4b+4=0，
（a-5）2+（b-2）2=0，
a-5=0，b-2=0，
解得，a=5，b=2，
∵2、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2=12，
故答案为：12．
三、解答题(共6题，共48分)
14．（9分）用配方法解一元二次方程：
（1）x2-2x-2=0；
（2）2x2+1=3x；
（3）6x2-x-12=0．
【解析】（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
（2）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；
（3）根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边，把二次项的系数化为1，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后开方即可得出答案．
解：（1）x2-2x-2=0，
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，
（x-1）2=3，
x-1=，
x1=1，x2=1-；
（2）2x2+1=3x,
2x2-3x=-1，
x2-x=-，
x2-x+=-+，
（x-）2=，
x-=，
x1=1，x2=；
（3）6x2-x-12=0，
（2x-3）（3x+4）=0
x1=，x2=-．
（7分）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：
解：移项得：x2﹣2x＝4
配方：x2﹣2x+1＝4
（x﹣1）2＝4
开平方得：x﹣1＝±2
移项：x＝±2+1
所以：x1＝3，x2＝3
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
移项得：x2﹣2x＝4，
配方：x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
开平方得：x﹣1＝±，
移项：x＝±+1，
所以：x1＝+1，x2＝﹣+1．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键．
16．（6分）已知a，b，c是的三条边长，且满足，试确定的形状.
答案：，
，
即，，
，是等边三角形
：
17．（7分）观察下列方程及其解的特征：
（1）的解为；
（2）的解为，；
（3）的解为，；
……
解答下列问题：
（1）请猜想：方程的解为____________；
（2）请猜想：关于x的方程__________的解为，；
（3）以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性.
解：原方程可化为.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
答案：（1），
（2）（或）
（3）方程二次项系数化为1，得.
配方，得，
即，
开方，得.
解得，.
经检验，，都是原方程的解.
18．（9分）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，
∴（m-n）2+（n-4）2=0，
∴m-n=0，n-4=0，
∴m=4，n=4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2-6y+9=0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-12a-16b+100=0，求斜边长c的值．
【解析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出x、y；
（2）根据完全平方公式、非负数的性质分别求出a、b,根据勾股定理计算，得到答案．
解：（1）∵x2+2xy+2y2-6y+9=0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2-6y+9）=0，
∴（x+y）2+（y-3）2=0，
∴x+y=0，y-3=0，
∴x=-3，y=3；
（2）∵a2+b2-12a-16b+100=0，
∴a2-12a+36+b2-16b+64=0，
∴（a-6）2+（b-8）2=0，
∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴c===10，
19．（10分）阅读与应用：同学们，你们已经知道（a-b）2≥0，即a2-2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）．
阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0，∵（）2≥0，∴a-2+b≥0，∴a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+（m＞0，x＞0，m为常数）．由阅读1结论可知：x+即x+∴当x=即x2=m,∴x=（m＞0）时，函数y=x+的最小值为2
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数y=a+（a＞1），则a=_____时，函数y=a+（a＞1）的最小值为_____．
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x,则另一边长为，周长为2（x+），求当x=_____时，矩形周长的最小值为_____．
问题3：求代数式（m＞-1）的最小值．
问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？
【答案】(1)4;(2)7;(3)2;(4)8;
【解析】（1）、根据阅读材料内容解决问题即可；
（2）、根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；
（3）、先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；
（4）、根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．
解：（1）、由阅读1结论可知：把a-1看成一个整体，
当a=4时，函数y=a-1++1（a＞1）的最小值为7．
故答案为4、7．
（2）、设矩形周长为y,由题意，得y=2（x+），
∵x+≥2∴x≥4，当x=即x==2时，函数y=2（x）的最小值为2×2=8．
故答案为2、8．
（3）、设y=（m＞-1），=（m+1）+，
当m+1=即m=1时，y=4．
答：代数式（m＞-1）的最小值为4．
（4）、根据题意，得
长方体的宽为米，∴y=x ×120+×2×2×80+80×2×2x=480+320（x+）
当x=即x=2时，函数y=480+320（x+）的最小值为1760，
答：当x为2时，水池总造价y最低，最低是1760元．
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