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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第五课时 解一元二次方程（3）
学习目标：
1.经历求根公式的推导过程。
2.理解并会计算一元二次方程根的判别式。
3.会用判别式判断一元二次方程的根的情况。
敲黑板
用一元二次方程根的判别式判断根的情况的思维过程：
化成一般形式ax2+bx+c=0 确定a≠0 计算b2-4ac 判断b2-4ac的符号 说明根的情况
一、知识点拨
知识点1.一元二次方程根的判别式
用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。
【新知导学】
例1-1．一元二次方程（4x+1）（2x-3）=5x2+1化成一般式后a,b,c的值为（　　）
A. 3，-10，-4 B. 3，-12，-2 C. 8，-10，-2 D. 8，-12，4
【对应导练】
1．关于x的一元二次方程x2+2（2a-1）x+5+a=0的二次项系数是1，一次项系数为4，则常数项为 _____．
2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是_____，求根公式是_____．
知识点2 一元二次方程根的情况的判定
①若 方程有两个不相等的实数根 。
②若 方程有两个相等的实数根 。
③若 方程没有实数根 。
【新知导学】
例2-1 .关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是（　　）
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数a的取值有关
例2-2．一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为（　　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 不能判定
【对应导练】
1．关于一元二次方程x2+2x+1=0根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
2．下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　）
A. （x-3）2=4 B. x2=x C. x2+2x+1=0 D. x2-16=0
3．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 _____．
知识点3 一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式在解决实际问题中有广泛的应用。可以通过不解方程来判断方程根的情况，或者根据方程根的情况来确定待定系数的取值范围。此外，判别式还可以用于证明字母系数方程有实数根或无实数根。
【新知导学】
例3-1．若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1
C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0
例3-2．关于x的一元二次方程x2+（m-2）x-3=0的根的情况为（　　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定根的情况
例3-3．若关于x的方程kx2-x+3=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≤12 B. k≤
C. k≤12且k≠0 D. k≤且k≠0
【对应导练】
1．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是______．
2．已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
3．已知关于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求证：当n=m+3时，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m,n的值，并求此时方程的根．
二、点拨常考题型
题型1 根的判别式在判断方程根的情况中的应用
1．不解方程，判断下列方程的根的情况:
（1）；（2）；
（3）；（4）.
题型2 根的判别式在判断字母关系中的应用
2．已知关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
3．已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
4．已知关于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求证：当n=m+3时，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m,n的值，并求此时方程的根．
5．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于0，求的取值范围．
题型3 根的判别式在求字母值中的应用
6．已知关于x的一元二次方程2x2+（2-m）x+=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若这个关于x的一元二次方程的一个根为-1，求m的值．
7．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
8．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
三、牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．一元二次方程x2+x-2=0根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
2．若关于x的一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x-n的图象不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）
A. m＞1 B. m=1 C. m＜1 D. m≤1
4．不解方程，判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是（　　）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
5．已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A. a＜2 B. a≤2 C. a＜2且a≠1 D. a≤2且a≠1
6．如果关于x的方程ax2+4x-2=0有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程-=2有正数解，则符合条件的整数a的值是（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7．对于任意实数m,关于x的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0一定（　　）
A. 有两个正的实数根
B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根
D. 没有实数根
8．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x-8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2-6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m,n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（　　）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 _____．
10．关于的一元二次方程有两个实数根，的最小整数值为___________．
11．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是 _____．
12．如果关于x的一元二次方程2x（ax-4）-x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是_____．
13．如果恰好只有一个实数a是方程（k2-9）x2-2（k+1）x+1=0的根，则k的值为 _____．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（8分）不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：
（1）；
（2）.
15．（8分）关于的一元二次方程.
（1）若是方程的一个根，求的值及另一个根；
（2）当为何值时，方程有两个不同的实数根？
16．（8分）已知关于的方程
（1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长.
17．(8分）若关于的方程是一元二次方程.
（1）求常数的值.
（2）在（1）的条件下，若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求常数的取值范围.
18．（8分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求此时方程的根.
19．（8分）已知为非负实数，关于的方程和.
（1）求证：方程必有两个非负实数根.
（2）当取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第五课时 解一元二次方程（3）
学习目标：
1.经历求根公式的推导过程。
2.理解并会计算一元二次方程根的判别式。
3.会用判别式判断一元二次方程的根的情况。
敲黑板
用一元二次方程根的判别式判断根的情况的思维过程：
化成一般形式ax2+bx+c=0 确定a≠0 计算b2-4ac 判断b2-4ac的符号 说明根的情况
一、知识点拨
知识点1.一元二次方程根的判别式
用配方法解一元二次方程，可将方程化成 。由配方法解方程可知，根据与0的大小关系可以确定方程的根的情况。确定与0的大小关系只需要确定 与0的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用符号来表示。
【新知导学】
例1-1．一元二次方程（4x+1）（2x-3）=5x2+1化成一般式后a,b,c的值为（　　）
A. 3，-10，-4 B. 3，-12，-2 C. 8，-10，-2 D. 8，-12，4
【答案】A
【解析】通过去括号、移项、合并同类项将方程化为一般形式即可得．
解：（4x+1）（2x-3）=5x2+1，
去括号得：
8x2-10x-3=5x2+1，
移项合并同类项得：
3x2-10x-4=0，
a=3，b=-10，c=-4，
故选：A．
【对应导练】
1．关于x的一元二次方程x2+2（2a-1）x+5+a=0的二次项系数是1，一次项系数为4，则常数项为 _____．
【答案】
【解析】根据一次项系数的定义得到2（2a-1）=4，求出a,再计算出5+a,从而得到常数项．
解：根据题意得2（2a-1）=4，
解得a=，
所以5+a=5+=，
所以常数项为．
故答案为：．
2．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是_____，求根公式是_____．
【答案】(1)b2-4ac;(2);
【解析】答题时首先要知道根的判别式的含义，Δ=b2-4ac,知道求根公式．
解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式是b2-4ac,求根公式为．
知识点2 一元二次方程根的情况的判定
①若 方程有两个不相等的实数根 。
②若 方程有两个相等的实数根 。
③若 方程没有实数根 。
【新知导学】
例2-1 .关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是（　　）
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】C
【解析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
解：∵Δ=（2a）2-4×1×（a2-1）
=4a2-4a2+4
=4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
例2-2．一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为（　　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 不能判定
【答案】A
【解析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
解：由题意得，Δ=32-4×1×（-2）=17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【对应导练】
1．关于一元二次方程x2+2x+1=0根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
【答案】B
【解析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
解：由题意得，Δ=22-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
2．下列关于x的一元二次方程中有两个相等的实数根的是（　　）
A. （x-3）2=4 B. x2=x C. x2+2x+1=0 D. x2-16=0
【答案】C
【解析】通过解方程求得方程的解或根据根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号判断即可．
解：A、∵（x-3）2=4，
∴x-3=±2，
∴x1=1，x2=5，
故本选项不符合题意；
B、∵x2=x,
∴x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1，
故本选项不符合题意；
C、Δ=22-4×1×1=0，该方程有两个相等实数根．故本选项符合题意；
D、Δ=02-4×1×（-16）=64＞0，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
故选：C．
3．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 _____．
【答案】0（答案不唯一）．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
解：a=1，b=-2．
∵Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
知识点3 一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式在解决实际问题中有广泛的应用。可以通过不解方程来判断方程根的情况，或者根据方程根的情况来确定待定系数的取值范围。此外，判别式还可以用于证明字母系数方程有实数根或无实数根。
【新知导学】
例3-1．若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1
C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，
解得k≥-1且k≠0．
故选：A．
例3-2．关于x的一元二次方程x2+（m-2）x-3=0的根的情况为（　　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定根的情况
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根的判别式b2-4ac与0的大小，即可得出方程根的情况．
解：∵b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
例3-3．若关于x的方程kx2-x+3=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≤12 B. k≤
C. k≤12且k≠0 D. k≤且k≠0
【答案】B
【解析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
解：当k=0时，-x+3=0，解得x=3，
当k≠0时，方程kx2-x+3=0是一元二次方程，
根据题意可得：Δ=1-4k×3≥0，
解得k≤，k≠0，
综上k≤，
故选：B．
【对应导练】
1．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是______．
【答案】
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，再求出两不等式的公共部分得到且，然后找出此范围内的最大整数即可．
解：根据题意得且，
解得：且，
所以整数a最大值为．
故答案：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
2．已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【解析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ≥0，然后利用根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系得1+t=m+2，1×t=2m,然后解方程组求出m和t即可．
（1）证明：∵Δ=（m+2）2-4×2m
=（m-2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t,
根据根与系数的关系得1+t=m+2①，1×t=2m②，
②-①得-1=m-2，
解得m=1，
把m=1代入②得t=2，
所以m的值为1，方程的另一个根为2．
3．已知关于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求证：当n=m+3时，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m,n的值，并求此时方程的根．
【解析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
（1）证明：∵n=m+3，
a=1，b=m+3，c=2m,
∴Δ=（m+3）2-8m
=m2-2m+9
=（m-1）2+8，
∵（m-1）2≥0，
∴（m-1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等实数根；
（2）由题意可知，
Δ=n2-4×1×2m=n2-8m=0，
即：n2=-8m.
当n=4，m=-2时，方程为：x2-2x+1=0．
解得：x1=x2=1．
点拨常考题型
题型1 根的判别式在判断方程根的情况中的应用
1．不解方程，判断下列方程的根的情况:
（1）；（2）；
（3）；（4）.
答案：（1），
方程有两个不相等的实数根.
（2），
方程有两个相等的实数根.
（3），
方程没有实数根.
（4）将方程整理，得.
，
方程没有实数根.
题型2 根的判别式在判断字母关系中的应用
2．已知关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．
【解析】（1）根据关于x的方程x2-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出k的取值范围．
（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x的值．
解：（1）Δ=（-2）2-4（2k-3）=8（2-k）．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴8（2-k）＞0，解得k＜2．
（2）当k为符合条件的最大整数时，k=1．
此时方程化为x2-2x-1=0，方程的根为x==1±．
即此时方程的根为x1=1+，x2=1-．
3．已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【解析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ≥0，然后利用根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系得1+t=m+2，1×t=2m,然后解方程组求出m和t即可．
（1）证明：∵Δ=（m+2）2-4×2m
=（m-2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t,
根据根与系数的关系得1+t=m+2①，1×t=2m②，
②-①得-1=m-2，
解得m=1，
把m=1代入②得t=2，
所以m的值为1，方程的另一个根为2．
4．已知关于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求证：当n=m+3时，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m,n的值，并求此时方程的根．
【解析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
（1）证明：∵n=m+3，
a=1，b=m+3，c=2m,
∴Δ=（m+3）2-8m
=m2-2m+9
=（m-1）2+8，
∵（m-1）2≥0，
∴（m-1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等实数根；
（2）由题意可知，
Δ=n2-4×1×2m=n2-8m=0，
即：n2=-8m.
当n=4，m=-2时，方程为：x2-2x+1=0．
解得：x1=x2=1．
5．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于0，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】【小问1详解】
证明：关于的一元二次方程，
，
，
此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：，
，
解得或，
此方程恰有一个根小于0，
，解得．
【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、十字相乘法解一元二次方程、方程根的情况求参数范围等，熟练掌握一元二次方程的解法及判别式与方程根的情况是解决问题的关键．
题型3 根的判别式在求字母值中的应用
6．已知关于x的一元二次方程2x2+（2-m）x+=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若这个关于x的一元二次方程的一个根为-1，求m的值．
【解析】（1）由方程根的情况可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
（2）把x=-1代入方程可求得m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即，
∴m＜1；
（2）x=-1时，，
整理得m2+8m=0，
解得：m1=0，m2=-8．
7．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
【解析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论；
（2）设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,利用根与系数的关系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化简带入求k的值．
（1）证明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,
则a+b=k+3＞0，ab=3k＞0，
∴k＞0，
又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25，
∴（k+3）2-2×3k=25，
解得：k=±4，
∵k＞0，
∴k=-4应舍去，
∴k=4．
8．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c,
∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．
三、牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．一元二次方程x2+x-2=0根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
【答案】A
【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号就可以了．
解：∵a=1，b=1，c=-2，
∴Δ=b2-4ac=1+8=9＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．若关于x的一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x-n的图象不经过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】一次函数y=kx+b的图象，根据k、b的取值确定直角坐标系的位置．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在无实数根下必须满足Δ=b2-4ac＜0．
解：一元二次方程nx2-2x-1=0无实数根，说明Δ=b2-4ac＜0，即（-2）2-4×n×（-1）＜0，
解得n＜-1，所以n+1＜0，-n＞0，故一次函数y=（n+1）x-n的图象不经过第三象限．
故选：C．
3．一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）
A. m＞1 B. m=1 C. m＜1 D. m≤1
【答案】D
【解析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．
解：∵方程x2-2x+m=0总有实数根，
∴△≥0，
即4-4m≥0，
∴-4m≥-4，
∴m≤1．
故选：D．
4．不解方程，判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是（　　）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
【答案】D
【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号就可以了．
解：∵a=5，b=-7，c=5
∴Δ=b2-4ac=（-7）2-4×5×5=-51＜0
∴方程没有实数根
故选：D．
5．已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A. a＜2 B. a≤2 C. a＜2且a≠1 D. a≤2且a≠1
【答案】D
【解析】根据方程有两个实数根列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．
解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个实数根，
∴，解得a≤2且a≠1．
故选：D．
6．如果关于x的方程ax2+4x-2=0有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程-=2有正数解，则符合条件的整数a的值是（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】先利用判别式的意义得到a≠0且Δ=42-4 a （-2）＞0，再解把分式方程化为整式方程得到x=-，利用分式方程有正数解得到-＞0且-≠2，然后求出几个不等式的公共部分，在此公共部分内确定整数a即可．
解：∵方程ax2+4x-2=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ=42-4 a （-2）＞0，解得a＞-2且a≠0，
去分母得-1-（1-ax）=2（x-2），解得x=-，
∵分式方程-=2有正数解，
∴-＞0且-≠2，解得a＜2且a≠1，
∴a的范围为-2＜a＜2且a≠0，a≠1，
∴符合条件的整数a的值是-1．
故选：A．
7．对于任意实数m,关于x的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0一定（　　）
A. 有两个正的实数根
B. 有两个负的实数根
C. 有一个正实数根、一个负实数根
D. 没有实数根
【答案】D
【解析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
解：∵Δ=（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）=-4m4-16m2-16＜0，
∴此方程没有实数根．
故选：D．
8．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x-8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2-6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m,n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（　　）
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②设x2=2x1，得到x1 x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论；
③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；
④若点（m,n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；
解：①由x2+2x-8=0，得
（x+4）（x-2）=0，
解得x1=-4，x2=2，
∵x1≠2x2或x2≠2x1，
∴方程x2+2x-8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1 x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=-1时，x2=-2，
∴x1+x2=-a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵抛物线y=ax2-6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2-6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m,n）在反比例函数y=的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=-，x2=-，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 _____．
【答案】0（答案不唯一）．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
解：a=1，b=-2．
∵Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×c＞0，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
10．关于的一元二次方程有两个实数根，的最小整数值为___________．
【答案】
【解析】利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围即可得到答案．
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴，
∴的最小整数值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
11．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是 _____．
【答案】k≥-且k≠0
【解析】若一元二次方程有两个等实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，
∴Δ=4（k+1）2-4k（k-1）=12k+4≥0，且k≠0．
解得：k≥-且k≠0，
∴故本题答案为：k≥-，且k≠0．
12．如果关于x的一元二次方程2x（ax-4）-x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是_____．
【答案】2
【解析】先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到2a-1≠0且Δ=（-8）2-4×（2a-1）×6＜0，解得a＞，然后找出此范围内的最大整数即可．
解：（2a-1）x2-8x+6=0，
根据题意得2a-1≠0且Δ=（-8）2-4×（2a-1）×6＜0，
解得a＞，
所以a的最小整数值2
故答案为2．
13．如果恰好只有一个实数a是方程（k2-9）x2-2（k+1）x+1=0的根，则k的值为 _____．
【答案】±3或-5
【解析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．
解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2-9=0，
解得k=±3，
②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，
即Δ=b2-4ac=0，
即：4（k+1）2-4（k2-9）=0
解得：k=-5．
故答案为±3或-5．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（8分）不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：
（1）；
（2）.
答案：（1）由题得：
∴原方程没有实数根；
（2）由题得：
∴原方程有两个不相等的实数根.
15．（8分）关于的一元二次方程.
（1）若是方程的一个根，求的值及另一个根；
（2）当为何值时，方程有两个不同的实数根？
答案：（1）将代入原方程得，
解得.
当时，原方程为，
即，
方程的另一个根为2.
（2）方程有两个不同的实数根，
解得且，
当且时，方程有两个不同的实数根.
16．（8分）已知关于的方程
（1）求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长.
答案：（1）证明：方程化为一般形式为：，
∵，
而，
∴，
所以无论取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：，
整理得，
∴，
当为等腰的底边，则有，
因为恰是这个方程的两根，则，
解得，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当为等腰△ABC的腰，
因为恰是这个方程的两根，所以只能，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为.
所以的周长为10.
17．(8分）若关于的方程是一元二次方程.
（1）求常数的值.
（2）在（1）的条件下，若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求常数的取值范围.
答案：(1)∵原方程是一元二次方程
∴
∴
(2)当时，原方程变为：
∵该一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
∴
∴
18．（8分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求此时方程的根.
答案：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
；
（2）为正整数，
，
此时方程为
解得
19．（8分）已知为非负实数，关于的方程和.
（1）求证：方程必有两个非负实数根.
（2）当取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？
答案：（1）该方程根的判别式，
方程一定有两个实数根.
设方程的两根为，则.
为非负实数，，
方程有两个正实数根或有一个根为0，另一个根为正实数根，
方程必有两个非负实数根.
（2）解方程，得.
当两个方程相同的实数根是时，
把代人方程，得，
或，
或或.
为非负实数，或.
当两个方程相同的实数根是时，把代人方程，得，
解得，
综上，当或0或时，这两个方程有一个相同的实数根.
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