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冀教版
数学 八年级
上
13.3 全等三角形的判定
第4课时
第十三章 全等三角形
学习目标
1.掌握并灵活运用三角形全等的判定方法.
2.通过平移、旋转等变换，认识全等三角形的特殊位置关系.
3.经历探索过程，体会平移、旋转等变换，养成探究能力与合作精神.
学习重难点
通过平移、旋转等变换，认识全等三角形的特殊位置关系.
难点
重点
掌握并灵活运用三角形全等的判定方法.
复习巩固
基本事实一：
如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等.可简记为“边边边”或“SSS”.
基本事实二：
如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.
可简记为“边角边”或“SAS”.
基本事实三：
如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.
可简记为“角边角”或“ASA”.
全等三角形的判定定理
如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.
可简记为“角角边”或“AAS”.
新知探究
如图，每组图形中的两个三角形都是全等三角形.
（1）观察每组中的两个三角形，请你说出其中一个三角形经过怎样的变换（平移或旋转）后，能够与另一个三角形重合.
（2）请你分别再画出几组具有类似位置关系的两个全等三角形.
归纳：
实际上，在我们遇到的两个全等三角形中，有些图形具有特殊的位置关系，即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转（有时是两种变换）得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系，能够帮助我们找到命题证明的途径，较快地解决问题.
例3 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE//AB，交AC于点E，DF//AC，交AB于点F.
求证：△BDF≌△DCE.
例题解析
证明：∵D是BC的中点（已知），
∴BD=DC（线段中点定义）.
∵DE//AB，DF//AC（已知），
∴∠B=∠EDC，∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）　
在△BDF和△DCE中，
∵
∴△BDF≌△DCE（ASA）.
∠B=∠EDC，
BD=DC，
∠BDF=∠C，
例4 已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，CF//AB，交DE的延长线于点F.
求证：DE=FE.
证明：∵CF//AB（已知），
∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.　
在△EAD和△ECF中，
∵
∴△EAD≌△ECF（ASA）.
∴DE＝FE（全等三角形的对应边相等）．
∠A=∠ECF，
AE=CE，
∠AED=∠CEF（对顶角相等），
随堂练习
1.如图，C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE.
求证:∠D＝∠E.
证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB.
又∵CD∥BE,
∴∠ACD=∠CBE.
在△ACD和△CBE中,
AC=CB,
∠ACD=∠CBE,
CD=BE,
∴△ACD≌△CBE（SAS）,
∴∠D=∠E.
2.已知：如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，
AC=DF，BM⊥AC，EN⊥DF.
求证：BM=EN.
证明：在△ABC和△DEF中,
　AB=DE ,
∵ 　BC=EF,
AC=DF ,
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴AB=DE，∠A=∠D ，
又∵BM⊥AC，EN⊥DF ，
∴∠AMB=∠DNE ．
在AMB和△△DNE中,
　∠A=∠D,
　∠AMB=∠DNE,
　AB=DE,
∴△AMB≌△DNE（AAS)．
∴BM=EN．
3.如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中BC=CE，
且∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°
证明：△ABC≌△DEC.
证明：∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠4+∠5=∠2+∠D,
∴∠1=∠D，∠3=∠5.
在△ABC和△DEC中,
∠1=∠D,
∵ ∠3=∠5,
BC=CE,
∴△ABC≌△DEC（AAS）.
拓展提升
如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，
AB=AC，AD=AE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么关系？
解：BE＝CD且BE CD．
证明如下：在△ABE和△ACD中，
∵
∴△ABE≌△ACD（AAS）.
∴BE＝CD．
延长BE交CD于点F
∴△ABE≌△ACD,
AB＝AC,
AD＝AE,
∠BAC=∠DAE,
∴∠ABE=∠ACD.
∵∠BEC是△ABE和△CEF
的外角，
∴∠BEC=∠ABE+∠BAE
=∠ACD+∠CFE.
∴∠CFE=∠BAE,
∴BE CD.
归纳小结
判定三角形全等的思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
边为角的对边
边为角的一边
找任一角(AAS)
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)
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