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冀教版
数学 八年级
上
16.2 线段的垂直平分线
第1课时
第十六章 轴对称和中心对称
学习目标
1.探究线段垂直平分线的性质.
2.掌握线段的垂直平分线的性质定理.
3.掌握线段的垂直平分线的性质定理的应用.
学习重难点
理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理.
难点
重点
掌握线段的垂直平分线的性质定理的应用.
复习回顾
线段是最简单的轴对称图形，线段的中垂线就是它的对称轴．本节我们将探究线段垂直平分线的重要性质和应用.
新知引入
知识点 线段垂直平分线的性质定理
一起探究
如图（1），已知线段AB和它的中垂线l，O为垂足.
如图（2），在直线l上任取一点P，连接PA，PB.线段PA和线段PB有怎样的数量关系？提出你的猜想并说明理由.
事实上，因为线段AB是轴对称图形，中垂线l是它的对称轴，所以线段AB沿对称轴l对折后，点A和点B重合，线段PA和线段PB重合，从而PA=PB.
对这个猜想的证明如下：
已知：如图，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O，点P为直线l上任意一点，连接PA，PB.
求证：PA=PB.
证明：在△PAO和△PBO中,
∵ AO=BO（中垂线的意义），
∠POA=∠POB=90°（同上）,
PO=PO（公共边），
∴△PAO≌△PBO(SAS)
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
例题解析
例1 已知：如图，点A，B是直线l外的任意两点.在直线l上，试确定一点P，使AP+BP最短．
解：如图16-2-4，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，则AP+BP最短．
理由如下：
∵点A，A'关于直线l对称（作法），
∴AP=A'P（线段垂直平分线的性质定理）.
∴AP+BP=A'P+BP=A'B（等量代换）．
如图１６－２－５，在直线l上任取一点P'，连接AP'，BP'，A'P'，则A'P'＋BP'≥A'B（两点之间线段最短）．
即AP'＋BP'＝A'P'＋BP'≥A'B＝AP＋BP．
∴AP＋BP最短．
随堂练习
１.如图，直线DE是△ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝１２ｃｍ，AB＝１６ｃｍ，则△BCD的周长为（ ）.
A.28 cm B.22 cm
C.20 cm D.18 cm
A
２.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB与E，D为垂足，连结EC.
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC的长.
解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE,
∴∠ECD=∠A=36°.
（2）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=ACB=72°,
又∵∠ECD=36°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°，
∴∠BEC=72°=∠B,
∴BC=EC=5.
１.如图， △ ABC 中，DE，FG 分别为AB，AC 的垂直平分线，E，G 分别为垂足，∠ DAF=20°．
(1)若△ DAF 的周长为 6，求BC 的长；
(2)求∠ BAC 的度数．
20°
B
E
D
F
C
G
A
拓展提升
解：(1)∵△ DAF 的周长为6，∴ DA+FA+DF=6.
∵ DE，FG 分别为AB，AC 的垂直平分线，
∴ DA=DB，FA=FC，
∴ BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=6.
(2)∵ DA=DB，EA=EB，DE=DE，
∴△ DAE ≌△ DBE， ∴∠ DAB ＝∠ B，
同理：∠ FAC= ∠ C， ∴∠ DAB+ ∠ FAC= ∠ B+ ∠ C.
∵∠ DAF=20°，
∴∠ DAB+ ∠ FAC+ ∠ B+ ∠ C
=180° －20° =160°，
∴∠ DAB+ ∠ FAC=80°，
∴∠ BAC=80° +20° =100°．
归纳小结
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
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