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冀教版
数学 九年级
上
第二十四章 一元二次方程
24.1 一元二次方程
学习目标
1. 了解一元二次方程及其根的概念，掌握把一元二次方程化为一般形式的方法.
2.会设未知数，列一元二次方程.
学习重难点
一元二次方程的概念及一般形式.
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型.
难点
重点
回顾复习
1.我们都学过哪些方程？请举例说明.
2- - 4=5 + =1
一元一次方程、二元一次方程组、分式方程
2.下列哪些方程是一元一次方程？
一元一次方程：只含有一个未知数；未知数的指数是一次的；方程两边都是整式.
导入新知
如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2，求这个长方形存车处的长和宽.
分析下面小明和小亮列方程的做法，思考所列方程的特征.
小明的做法
设长方形存车处的宽（靠墙的一边）为x m，
则它的长为 m.
根据题意，可得方程
整理，得
x2-90x+1 400=0.
小亮的做法
设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为x m，
则它的宽为（90-2x）m.
根据题意，可得方程
（90-2x） x=700.
整理，得
x2-45x+350=0.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？
如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
三个方程有什么共同点？
思考
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．
解读
一元二次方程的三要素
1.是整式方程
2.只含有一个未知数
3.整理后未知数的最高次数是2
注意
要从原方程和整理后的方程两方面判断
知识点2
一元二次方程的一般形式
②
一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+c=0(a≠0).
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数
二次项
一次项
常数项
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
不要忘记每一项（系数）前面的符号.
知识点3
一元二次方程的解
③
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.
知识点4
建立一元二次方程模型
一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．
建立一元二次方程模型的一般步骤：
（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；
（2）设出合适的未知数，一般设为x；
（3）确定等量关系；
（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
随堂演练
1.下列方程：①2x2＋3y＝0；②x2＋＝2；③-x2+2x－9＝0；④6x2－3x＝2(3x2－2)，其中是一元二次方程的有(　　)
A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个
A
2. 一元二次方程4x2=6x+2的二次项系数和一次项分别是（ ）
A. 4，6 B. 4，-6
C. 4，-6x D.4x2 ，6x
C
随堂演练
3. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？
-4，－3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4.
解：-4，3
1. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 cm2，矩形的长和宽各是多少？
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？
解：设矩形的长为xcm，则宽为(x-1)cm.
根据题意，得x(x-1)=132,
整理，得 x2-x-132=0.
解：设有x人参加了这次聚会,
根据题意，得 x(x-1)=10，
整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0).
3.一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.
4.根据题意列一元二次方程
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