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上海市上海中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
高一______班 学号______ 姓名______ 成绩______
一、填空题（每小题3分）
1. 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________
2. 已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限．
3. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则______．
4. 已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分．
5. 若复数满足：，则______．
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为____
7. 如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为：______．
8. 已知向量，满足：，，，则在上的数量投影为______．
9. 已知复数和复数满足：，则______．
10. 已知非零向量，，满足：，则的最大值为______．
11. 已知复数模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为______．
12. 已知平面向量，满足：．若对区间内三个任意实数，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为______．
二、选择题（每小题4分）
13. 已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
14. 已知，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则
②若为虚数，则中至少有一个为虚数．
③在复平面上所对应的点一定在虚轴上．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
15. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A. 直线与直线垂直，直线平面
B. 直线与直线平行，直线平面
C 直线与直线相交，直线平面
D. 直线与直线异面，直线平面
16. 正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（ ）
A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上
三、解答题
17. 如图，正方体中，分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
18. 如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．
（1）若，求实数的值．
（2）计算的值．
19. 设复数满足：
（1）若，求与．
（2）若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值．
20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
21. 已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和．
（1）若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示）
（2）证明对于任意集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且.
上海市上海中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题 答案
一、填空题（每小题3分）
【1题答案】
【答案】相交或异面
【2题答案】
【答案】二
【3题答案】
【答案】##
【4题答案】
【答案】或
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】##
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】##
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】##
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（每小题4分）
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】B
【15题答案】
【答案】A
【16题答案】
【答案】B
三、解答题
【17题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）或
（2）或
【20题答案】
【答案】（1）证明略；
（2）.
【21题答案】
【答案】（1）
（2）证明略

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