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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第六课时 解一元二次方程（4）公式法
学习目标：
1.经历求根公式的推导过程。
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3.综合运用求根公式与根的判别式解决有关问题。
老师告诉你
用公式法解一元二次方程的“三步骤”
把一元二次方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
计算b2-4ac的值；
当b2-4ac≥0时，把a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个实数根，当b2-4ac<0时，方程无实数根。
一、知识点拨
知识点1、利用公式法解一元二次方程——求根公式
求根公式：
由可知， 。
。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。
①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。
②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③时，一元二次方程没有实数根。
【新知导学】
例1-1．一元二次方程根的判别式的值是( )
A.33 B.23 C.17 D.
例1-2．一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根
【对应导练】
1．关于方程的根的说法正确的是( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.两实数根的和为-2 D.两实数根的积为3
2．下列方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
3．请填写一个常数，使得关于x的方程______有两个不相等的实数根.
知识点2 .公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。
【新知导学】
例2-1．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0．
例2-2．已知x2-x-1=0，求：（1）求x的值． （2）求的值．
【对应导练】
1．解方程：x2-6x+11=0（公式法）
2．请阅读下列材料：
我们规定一种运算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果；
（2）当x取何值时，=0；
（3）若==-7，直接写出x和y的值．
二、题型训练
1.求根公式与根的判别式的综合应用
1．已知关于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求证：当n=m+3时，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m,n的值，并求此时方程的根．
2．已知关于x的一元二次方程x2+2x=m（m为常数）．
（Ⅰ）当m=5时，求这个方程的解；
（Ⅱ）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？
3．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
4．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．
2.求根公式在几何中的应用
1．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
2．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
4．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．
5．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根．
（2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
6．已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．
7．已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
三、牛刀小试
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是（　　）
A. B.
C. D.
2．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=，x2=，下列判断一定正确的是（　　）
A. a=-1 B. c=1
C. ac=1 D. =-1
3．x=是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0
4．方程x2+3x=14的解是（　　）
A. x= B. x=
C. x= D. x=
5．方程x（x-1）=2的两根为（　　）
A. x1=0，x2=1 B. x1=0，x2=-1 C. x1=1，x2=2 D. x1=-1，x2=2
6．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是（　　）
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数a的取值有关
7．若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1
C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0
8．对于实数a,b定义运算“※”为a※b=b2-ab,例如3※2=22-3×2=-2．若关于x的方程3※x=-m没有实数根，则m的值可以是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
10．关于x2-3x+1=0的方程_____实数根．（注：填“有”或“没有”）．
11．已知一元二次方程ax2-4x+5=0，且b2-4ac=0，则a=_____，x1=x2=_____．
12．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是 _____．
13．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_____．
三、解答题(共6题，)
14．（8分）解方程：
（1）；
（2）
15．（8分）关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）请选择（1）中k的一个负整数值，并求出方程的根．
16．（8分）已知关于x的方程2x2-kx+2=0的一个解与方程=4的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2-kx+2=0的另一个解．
17．（7分）解方程（x+1）2-3（x+1）+2=0时，我们可以将x+1看成一个整体，设x+1=y,则原方程可化为y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2．当y1=1时，x+1=1，解得x=0，当y2=2时，x+1=2，解得x=1，所以原方程的解为x1=0，x2=1．
请利用这种方法解方程：（2x+3）2-6（2x+3）-7=0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第六课时 解一元二次方程（4）公式法
学习目标：
1.经历求根公式的推导过程。
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3.综合运用求根公式与根的判别式解决有关问题。
老师告诉你
用公式法解一元二次方程的“三步骤”
把一元二次方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
计算b2-4ac的值；
当b2-4ac≥0时，把a、b、c的值代入求根公式，求出方程的两个实数根，当b2-4ac<0时，方程无实数根。
一、知识点拨
知识点1、利用公式法解一元二次方程——求根公式
求根公式：
由可知， 。
。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。
①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。
②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。
③时，一元二次方程没有实数根。
【新知导学】
例1-1．一元二次方程根的判别式的值是( )
A.33 B.23 C.17 D.
答案：C
解析：.
故选C
例1-2．一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根
答案：A
解析：由题意，可知，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【对应导练】
1．关于方程的根的说法正确的是( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.两实数根的和为-2 D.两实数根的积为3
答案：B
解析：，
方程没有实数根.
故选项A，C，D不正确，
故选：B.
2．下列方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A、，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C、，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
D、，方程没有实数根，此选项符合题意.
故选：D.
3．请填写一个常数，使得关于x的方程______有两个不相等的实数根.
答案：0（答案不唯一）
解析：设这个常数为a，
要使原方程有两个不同的实数根，
，
，
满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）.
知识点2 .公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。
【新知导学】
例2-1．用公式法解一元二次方程：2x2-3x+1=0．
【解析】直接利用求根公式计算可得．
解：∵a=2，b=-3，c=1，
∴Δ=（-3）2-4×2×1=1＞0，
则x==，
即x1=1，x2=．
例2-2．已知x2-x-1=0，求：（1）求x的值． （2）求的值．
【解析】（1）求出b2-4ac的值，代入公式 x=求出即可；
（2）求出x2=x+1，求出x4=3x+2，x5=5x+3，2x2=2x+2，分别代入即可．
解：（1）x2-x-1=0，
b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，
∴x=，
∴x1=，x2=．
（2）x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
x4=（x2）2=（x+1）2=x2+2x+1=x+1+2x+1=3x+2，
x5=x（3x+2）=3x2+2x=3（x+1）+2x=5x+3，
2x2=2（x+1）=2x+2，
∴===1．
【对应导练】
1．解方程：x2-6x+11=0（公式法）
【解析】根据原方程知，求根公式中的a、b、c的值分别是方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，然后将其代入求根公式求解即可．
解：由原方程，知
a=，b=-6，c=11
将其代入求根公式x=，得
x=，
∴原方程的根是：x1=4，x2=．
2．请阅读下列材料：
我们规定一种运算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果；
（2）当x取何值时，=0；
（3）若==-7，直接写出x和y的值．
【解析】（1）根据运算的规定，可知=-1×0.5-（-2）×2，然后根据有理数的混合运算法则，得出结果；
（2）根据运算的规定，可知=2x2-1×（0.5-x），从而可列出关于x的方程2x2-1×（0.5-x）=0，解这个方程，即可求出结果；
（3）根据运算的规定，可知=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y,从而可列出方程组，解这个方程组，即可求出x和y的值．
解：（1）∵=ad-bc,
∴=-1×0.5-（-2）×2=-0.5+4=3.5；（2分）
（2）由题意，得2x2-1×（0.5-x）=0，（4分）
整理，得4x2+2x-1=0，
解之，得．（5分）
∴当或时，=0；
（3）∵=ad-bc,
∴=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y,
由题意，得组，
解得．
故x=8，y=2．（8分）
二、题型训练
1.求根公式与根的判别式的综合应用
1．已知关于x的方程x2+nx+2m=0．
（1）求证：当n=m+3时，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m,n的值，并求此时方程的根．
【解析】（1）根据根的判别式符号进行判断；
（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
（1）证明：∵n=m+3，
a=1，b=m+3，c=2m,
∴Δ=（m+3）2-8m
=m2-2m+9
=（m-1）2+8，
∵（m-1）2≥0，
∴（m-1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等实数根；
（2）由题意可知，
Δ=n2-4×1×2m=n2-8m=0，
即：n2=-8m.
当n=4，m=-2时，方程为：x2-2x+1=0．
解得：x1=x2=1．
2．已知关于x的一元二次方程x2+2x=m（m为常数）．
（Ⅰ）当m=5时，求这个方程的解；
（Ⅱ）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？
【解析】（Ⅰ）把m的值代入方程，利用配方法求解即可．
（Ⅱ）若一元二次方程有两等根，则根的判别式Δ=b2-4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值；若方程无实数根知4m+4＜0，解之可得答案．
解：（Ⅰ）当m=5时，方程为x2+2x=5，
x2+2x+1-1=5，
（x+1）2=6，
解得，x1=，x2=-；
（Ⅱ）∵b2-4ac=4+4m,
∴4+4m=0时，方程有两个相等的实数根，
解得：m=-1，
即m=-1时，方程有两个相等的实数根．
∴4m+4＜0
解得：m＜-1，
即m＜-1时，方程没有实数根．
3．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【解析】（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出k的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
解：（1）Δ=4-4（k-2）=12-4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k=2，
∴此时方程为：x2+2x=0，
∴x（x+2）=0，
∴x=0或x=-2．
4．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．
【解析】（1）根据根的判别式可得4+4k＞0，解不等式可求k的取值；
（2）根据k＞-1，且k是最小整数，那么可知k=0，再把k=0代入原方程，解关于x的一元二次方程即可．
解：（1）∵方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴Δ=4-4×1×（-k）=4+4k＞0，
解得k＞-1；
（2）∵k＞-1，且k是最小整数，
∴k=0，
把k=0代入原方程，可得x2+2x=0，
解得x1=0，x2=-2．
2.求根公式在几何中的应用
1．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
【解析】（1）计算判别式的值得到Δ=（2k-3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到AB+BC=2k+1，AB BC=4k-3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2=AC2=（）2，则（2k+1）2-2（4k-3）=31，解得k1=3，k2=-2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．
（1）证明：Δ=（2k+1）2-4（4k-3）
=4k2+4k+1-16k+12
=4k2-12k+13
=（2k-3）2+4，
∵（2k-3）2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得AB+BC=2k+1，AB BC=4k-3，
而AB2+BC2=AC2=（）2，
∴（2k+1）2-2（4k-3）=31，
整理得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2，
而AB+BC=2k+1＞0，AB BC=4k-3＞0，
∴k的值为3，
∴AB+BC=7，
∴矩形ABCD的周长为14．
2．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
【解析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论；
（2）设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,利用根与系数的关系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化简带入求k的值．
（1）证明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,
则a+b=k+3＞0，ab=3k＞0，
∴k＞0，
又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25，
∴（k+3）2-2×3k=25，
解得：k=±4，
∵k＞0，
∴k=-4应舍去，
∴k=4．
3．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c,
∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．
4．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=（2k-3）2≥0，由此即可得出该方程有两个实数根；
（2）分3为底边长及腰长两种情况考虑：①当3为底边长是，由Δ=0可求出k值，将其代入原方程可求出三角形的腰长，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积；②当3为腰长时，将x=3代入原方程可求出k值，代入k值可求出等腰三角形的底边长度，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积．综上即可得出结论．
解：（1）∵Δ=[-（2k+1）]2-4×4（k-）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0，
∴该方程有两个实数根；
（2）①当3为底边长时，Δ=（2k-3）2=0，
∴k=，
此时原方程为x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2．
∵2、2、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+2+3=7，三角形的面积为×3×=；
②当3为腰长时，将x=3代入原方程，得：9-3×（2k+1）+4（k-）=0，
解得：k=2，
此时原方程为x2-5x+6=0，
解得：x1=2，x2=3．
∵2、3、3能组成三角形，
∴三角形的周长为2+3+3=8，三角形的面积为×2×=2．
综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或2．
5．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根．
（2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
【解析】（1）只要证明△≥0即可解决问题．
（2）当x=-1时，有a-c+b=0，即a+b=c,由2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6，推出c=2，推出a2+b2=c2=4，a+b=2，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可得ab=2，由此即可解决问题．
（1）证明：由题意，得
Δ=（c）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2，
∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根
（2）解：当x=-1时，有a-c+b=0，即a+b=c,
∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6，
∴3c=6，
∴c=2，
∴a2+b2=c2=4，a+b=2，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴ab=2，
∴S△ABC=ab=1．
6．已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．
【解析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；
（2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答．
（1）证明：Δ=（k+3）2-4×3k=（k-3）2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，
则（k-3）2=0，
解得k=3，
方程为x2-6x+9=0，
解得x1=x2=3，
故△ABC的周长为：2+3+3=8；
当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，
方程为x2-5x+6=0，
解得，x1=2，x2=3，
故△ABC的周长为：2+2+3=7．
7．已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【解析】（1）先计算判别式的值得到Δ=4k2-12k+9，配方得到Δ=（2k-3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当b=c时，则Δ=（2k-3）2=0，解得k=，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k=，则方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．
（1）证明：Δ=（2k+1）2-4×4（k-）
=4k2+4k+1-16k+8，
=4k2-12k+9
=（2k-3）2，
∵（2k-3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b=c时，Δ=（2k-3）2=0，解得k=，方程化为x2-4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；
当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16-4（2k+1）+4（k-）=0，解得k=，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，
所以△ABC的周长=4+4+2=10．
三、牛刀小试
一、选择题(共8题，每小题4分，共32分)
1．用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用公式法求解即可．
解：∵a=1，b=-6，c=1，
∴△=（-6）2-4×1×1=32＞0，
则x===3±2，
故选：D．
2．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=，x2=，下列判断一定正确的是（　　）
A. a=-1 B. c=1
C. ac=1 D. =-1
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．
解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=，x2=，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=，x2=，
∴x1+x2=-b=-，x1 x2==-1，
∴当b≠0时，a=1，c=-1，则ac=-1，
故选：D．
3．x=是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2-4x+1=0 C. 2x2-4x-1=0 D. 2x2+4x-1=0
【答案】A
【解析】根据题意知；，a=2, b=4, c=1 所以一元二次方程为2x2+4x+1=0
故选A
4．方程x2+3x=14的解是（　　）
A. x= B. x=
C. x= D. x=
【答案】B
【解析】把方程化为一元二次方程的一般形式，用一元二次方程的求根公式求出方程的根．
解：方程整理得：
x2+3x-14=0
a=1，b=3，c=-14，
△=9+56=65
x=．
故选：B．
5．方程x（x-1）=2的两根为（　　）
A. x1=0，x2=1 B. x1=0，x2=-1 C. x1=1，x2=2 D. x1=-1，x2=2
【答案】D
【解析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
解：方程移项并化简得x2-x-2=0，
a=1，b=-1，c=-2
△=1+8=9＞0
∴x=
解得x1=-1，x2=2．故选：D．
6．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是（　　）
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】C
【解析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
解：∵Δ=（2a）2-4×1×（a2-1）
=4a2-4a2+4
=4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
7．若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≥-1且k≠0 B. k≥-1
C. k＞-1 D. k＞-1且k≠0
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ=22-4k×（-1）≥0，
解得k≥-1且k≠0．
故选：A．
8．对于实数a,b定义运算“※”为a※b=b2-ab,例如3※2=22-3×2=-2．若关于x的方程3※x=-m没有实数根，则m的值可以是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】直接利用已知运算公式得出一元二次方程，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而得出答案．
解：3※x=-m,
则x2-3x=-m,
故x2-3x+m=0，
∵关于x的方程3※x=-m没有实数根，
∴Δ=b2-4ac=9-4m＜0，
解得：m＞，
∴m的值可以是3．
故选：A．
二、填空题(共5题，每小题4分，共20分)
9．若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k≤1且k≠0
【解析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
∴Δ=b2-4ac≥0，
即：4-4k≥0，
解得：k≤1，
∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，
故答案为：k≤1且k≠0．
10．关于x2-3x+1=0的方程_____实数根．（注：填“有”或“没有”）．
【答案】有
【解析】由根的判别式，先求出△，再根据Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没有实数根，进行判断即可．
解：∵Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根，
故答案为有．
11．已知一元二次方程ax2-4x+5=0，且b2-4ac=0，则a=_____，x1=x2=_____．
【答案】(1);(2);
【解析】根据题意，先求得a,又方程有两个相等的实数根，再由根与系数的关系计算即可．
解：∵b2-4ac=0，
∴16-20a=0，
解得a=，
∴x1=x2=（x1+x2）=（-）=（-）=；
故答案为；．
12．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是 _____．
【答案】k≥-且k≠0
【解析】若一元二次方程有两个等实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k-1=0有两个实数根，
∴Δ=4（k+1）2-4k（k-1）=12k+4≥0，且k≠0．
解得：k≥-且k≠0，
∴故本题答案为：k≥-，且k≠0．
13．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_____．
【答案】3
【解析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
解：∵x2-2x-a=0，
∴Δ=4+4a,
∴①当a＞-1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，
③方程的根为x==1±，
∵a＞-1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，
④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
故答案为3．
三、解答题(共6题，)
14．（8分）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】（1）利用解一元二次方程—因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程—公式法，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
或，
，；
【小问2详解】
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．（8分）关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）请选择（1）中k的一个负整数值，并求出方程的根．
【解析】（1）根据一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根可得Δ=（-3）2-4k＞0，求出k的取值范围即可；
（2）根据k的取值范围，结合k为负整数，得到k的值，进而求出方程的根．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即Δ=9-4k＞0，
∴k＜；
（2）∵由（1）可知k＜，
∴选择k等于-4代入原方程得：x2-3x=0，
解方程得：x1=4，x2=-1．
16．（8分）已知关于x的方程2x2-kx+2=0的一个解与方程=4的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2-kx+2=0的另一个解．
【解析】（1）先解分式方程=4可得出x=，再将x=代入方程2x2-kx+2=0，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k值；
（2）根据两根之和=-即可求得方程的另一解．
解：（1）解方程=4，
得x=．
经检验x=是原方程的解．
把x=代入方程2x2-kx+2=0，
得-k+2=0，
解得k=5；
（2）当k=5时，方程为2x2-5x+2=0．
由根与系数关系得方程另一个解为：x=-=2．
17．（7分）解方程（x+1）2-3（x+1）+2=0时，我们可以将x+1看成一个整体，设x+1=y,则原方程可化为y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2．当y1=1时，x+1=1，解得x=0，当y2=2时，x+1=2，解得x=1，所以原方程的解为x1=0，x2=1．
请利用这种方法解方程：（2x+3）2-6（2x+3）-7=0．
【解析】设2x+3=y,则原方程可化为y2-6y-7=0，求出y的值，再代入求出x即可．
解：设2x+3=y,
则原方程可化为：y2-6y-7=0，
解得：y1=-1，y2=7，
当y=-1时，2x+3=-1，解得：x=-2，
当y=7时，2x+3=7，解得：x=2，
所以原方程的解为x1=-2，x2=2．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【解析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ=4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1=m,x2=3m.由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
（1）证明：∵a=1，b=-4m,c=3m2，
∴Δ=b2-4ac=（-4m）2-4×1×3m2=4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2-4mx+3m2=0，即（x-m）（x-3m）=0，
∴x1=m,x2=3m.
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m-m=2，
∴m=1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=4m,x1 x2=3m2，
∵x1-x2=2，
∴（x1-x2）2=4，
∴（x1+x2）2-4x1x2=4，
∴（4m）2-4×3m2=4，
∴m=±1，
又m＞0，
∴m=1．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c,
∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．
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