资源简介

模型57 “12345”模型
模型故事
为什么叫“12345”模型
何为“1,2,3”
如图，
何为“4,5”
如图，当满足 时,“α+β=45°”.
对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型.
模型展现
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基础模型
在如图所示的大小相同的小正方形方格内
图示 结论
1. 如图①,若tan∠DAF=tan∠BAE=则∠DAF+∠BAE=45°;(”+”=45° 2. 如图①,若tan∠DFA=3,tan∠AEB=2,则∠DFA+∠AEB=135°;(“3”+“2”=135°)
3. 如图②,若tan∠AFG=,tan∠AEB=2则∠AEB-∠AFG=45°;(“2”-”=45°
4. 如图③,若tan∠DFA=3,tan∠AEH=则∠DFA-∠AEH=45°;(“3”-”=45°
怎么用
1.找模型
在网格、四边形、坐标系等中涉及几何问题时，隐含特殊的正切值“1”“2”“3”“ ”“ ”和特殊角“45°”,考虑用“12345”模型
2.用模型
运用特殊的正切值及“12345”模型，将45°、90°这两个特殊角度联系起来，简化此类题的运算
结论分析
结论 3:如图①,若 则 ∠AEB-∠AFG=45°
证明：根据网格线计算可得，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°,
∴∠AEB-∠AFG=∠DAE-∠DAF=∠EAF=45°.
(结论4证明同结论3)
模型拓展
拓展方向：结论中未直接给出“12345”模型
图示 结论
1. 如图①,若tan∠AEB=2,tan∠FEC=则∠AEB+∠FEC=90°;(“2”+“”=90°
2. 如图②,若 tan∠AEB=3,tan∠FEC=则∠AEB+∠FEC=90°;(“3”+“”=90°
3. 如图③,若tan∠BDA=,tan∠DBA=则 tan(∠BDA+∠DBA)=tan∠BAC=;(”+,=”）
4. 如图④,若tan∠BDA=,tan∠DBA= 则 tan ( ∠BDA + ∠DBA ) =tan∠BAC=;(”+”=)
结论1：如图①，若 则
证明：根据网格线计算可得，
∴△AEF为等腰直角三角形，
.(结论2证明方法同结论1)
结论3：如图②，若 则
证明：根据网格线计算可得.
又∵
(结论4证明方法同结论3)
模型典例
例1 如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,将△ABE
沿AE折叠得到△AFE,延长EF交DC于点G,则DG的长为
( )
A. B. C. D.
例2 在如图所示的网格中,A,M,C,N,F都在格点上,AN与CM相交于点 P,则tan∠CPN的值为 ( )
C. 1
思 路 点 拨
要求 DG 的长,构造含 DG 的直角三角形，结合题干已知条件利用正切值表示，分析发现正切值与特殊角满足“12345”模型，利用模型即可解题.
思 路 点 拨
由网格图可得 根据“12345”模型结论易得∠MCF+∠MAN=45°，根据三角形的内外角关系即 可 求 得 ∠APC, 从 而 求 得∠CPN.
针对训练
1. 如图,在矩形ABCD 中,BC=3,CD=4,将△CDE 沿 DE 翻折,使得点 C 恰好落在对角线BD上的点F处，则BE的长为 .
2. 模型构造如图，在边长为6的正方形ABCD中,点 E 为 AB 上靠近点 A 的三等分点,连接DE,点F,G分别为BC,AD上一点,连接 FG 交 DE 于点 P,且∠EPF=45°,则GF的长为 .
3. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC的垂直平分线交 BC于点 E，交AB的延长线于点 F，连接 AE,若 AB = 8,BE = 6,则 BF 的长为 .
4. 如图,在 Rt△ABC 中,AC=6,AB=8,以 BC为直径画圆，D 是 的中点，连接CD，交AB于点E,则 的值为 .
5. 模型迁移 如图，一次函数 的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，将直线AB 绕点 B 逆时针旋转45°，旋转后的直线交x轴于点 C，求直线 BC的解析式.
6.如图，抛物线 与坐标轴交于A,B(3,0),C(0,3)三点,点P在抛物线上,PD⊥BC 于点 D,垂足 D 在线段BC 上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 求点 P 的坐标.
模型 57 “12345”模型
模型典例
例 1 B 【解析】如解图,连接AG,∵ 四边形ABCD是正方形,AB=4,且 E 是 BC 的中点, 由折叠性质可得,AF=AB,∠AFE=∠B=90°,∴AD=AF,∠ADG = ∠AFG = 90°. 又 ∵ AG = AG,∴ Rt△AFG≌Rt △ADG(HL),∴ ∠FAG=∠DAG,∵∠BAE=∠FAE,∴∠BAE+∠DAG= 模型结论)，
例2 C 【解析】由解图可知， tan∠MAN= ,∴∠MCF +∠MAN = 45°(“12345”模 型结论),∵ ∠AFC = 90°,∴∠APC=∠MCF+∠MAN+∠AFC=135°,∴∠CPN=45°,即tan∠CPN=1.
针对训练
【解析】根据题意可知，△BCD为直角三角形， 由折叠的性质可得,∴△FDE≌△CDE(折叠前后的图形全等),∴∠CDE=∠FDE(全等三角形的性质),
【解析】如解图,过点D 作 DM∥GF,交BC于点 M,∵ DG∥FM,DM∥GF,∴ 四边形DGFM是平行四边形,∴DM=GF,又∵点 E是AB 上靠近点A的三等分点， (三等分点的性质)， 又∵ DM∥GF,且∠EPF=45°,∴ ∠EDM =45°,∴∠ADE+∠CDM=45°,∴tan∠CDM= 又∵正方形 ABCD 的边长为6,∴CM =3,∴ DM =
3. 12 【解析】由题意得EC=AE=10,∠GAE= ∵∠EBF=∠EGC=90°,∠BEF=∠GEC,∴ △BEF ∽ △GEC,∴ ∠BFE = ∠GCE,
【解析】∵点D为 的中点,∴∠ACD=∠DCB,又∵在Rt△ABC中, ,如解图,连接OD,DB,OD交AB于点F,∵D是 的中点,∴BF=AF= AB=4,OD⊥AB(垂径定理),∵AB=8,AC=6,∠BAC=90°(直径所对的圆周角为 又∵ 在 Rt△BFO 中, 3,∴DF=OD-OF=2,∴DB=√BF +DF =
5.解：如解图，分别过点A与点B作y轴与x轴的平行线，两平行线交于点P，根据题意可得A(3,0),B(0,~1),∴tan∠ABP= ,又∵∠ABC=45°,
∴∠ABP+∠OBC=45°,
设直线 BC 的解析式为γ=kx+b,将 B(0, 分别代入 y = kx +b 得 解得
∴直线 BC 的解析式为y=2x-1(待定系数法求直线的解析式).
6. 解:(1)将点B(3,0),C(0,3)分别代入y=
得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)如解图,过点 P 作 PN⊥x 轴于点 N,PM⊥γ轴于点 M,过点 C 作 CH⊥PN 于点H,连接PC.
∵B(3,0),C(0,3),
∴OC=OB,∠COB=∠OCH=90°,
∴∠BCH=∠OCB=45°,
∵∠PCH=∠PCD-∠BCH,
设点 则
解得 或a=0(舍去),
当 时,

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