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21.2 二次函数的图象和性质 导学案
（一）学习目标：
1.掌握用描点法画出二次函数的图象。
2.掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.经历探索二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数的性质。
（二）学习重难点：
重点：掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
难点：理解二次函数的性质。
阅读课本，识记知识：
1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 的性质：上加下减。
3. 的性质：左加右减。
4. 的性质：
5.二次函数图象的画法：
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
6.二次函数的性质
（1） 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
（2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
7.二次函数解析式的表示方法
（1）一般式：（，，为常数，）；
（2）顶点式：（，，为常数，）；
（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【例1】抛物线与的共同特点是（ ）
A．开口都向上 B．对称轴都是y轴
C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．
【详解】解：抛物线开口向下，经过原点，有最高点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小，
抛物线开口向上，经过原点，有最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
∴抛物线和的共同性质是：对称轴都是y轴，
故选：B．
【例2】 已知二次函数的图象经过，两点．若，，则a的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．9
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵图象经过，两点，，
∴对称轴在5到10之间，
∴a的值可能是9．
故选D．
【例3】
二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论：
①； ②；
③； ④（为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数图像与系数的关系、平方差公式等知识，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由与的关系及时可判断②；利用，根据时，时可判断③；由时取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
∴，
∴，故①正确；
∵时，，故②不正确；
∵，
且，，
∴，故③不正确；
∵时，为最小值，
∴，故④正确．
综上所述，结论正确的有①④．
故选：A．
选择题
1.二次函数的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
2.设边长为的正方形的面积为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3.关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．对称轴是直线 D．拋物线顶点
4.由二次函数解析式可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为
C．其最大值为2 D．对称轴为
5.抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6.对于的图象下列叙述正确的是（）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．当时y随x增大而增大 D．当时y随x增大而减小
7.在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8.若二次函数的图象经过三点，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9.二次函数的图象上有两点， ，则a，b的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
10.一位同学在画二次函数的图象时，把看成了，结果所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（ ）
A．24 B． C． D．12
填空题
11．已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ．
12.已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是 ．
13．已知二次函数，当自变量分别取时，对应的函数值分别为，则关于的大小关系是 ．
14．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ．
15．已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知二次函数．
x … 0 1 2 …
y … …
(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
(2)
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
(3)利用图象写出当时，y的取值范围是______．
17.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点．
(1)求这个函数的关系式；
(2)试判断点是否在此函数图象上．
18.已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值.
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把，，分别代入计算即可判断．
【详解】解：当时，，
∴二次函数的图象不经过点，，
当时，，
∴二次函数的图象不经过点，
当时，，
∴二次函数的图象经过点．
故选：C．
2.【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象的知识，解题的关键是掌握二次函数图象的实际运用，根据题意，则且，即可．
【详解】根据题意，，
∴对称轴为轴；
∵为正方形的边长，
∴，
故选：C．
3.【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质可进行求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：、因为，所以抛物线开口向上，故正确，不符合题意；
、因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以，故正确，不符合题意；
、抛物线的对称轴为直线，故错误，符合题意；
、因为抛物线的对称轴为直线，当时，，所以，故正确，不符合题意；
故选：．
4.【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，∴其图象开口向上，故A不正确，不符合题意；
B、C、∵，∴其图象的对称轴为，其最小值为2，故B、C不正确，不符合题意；
D、∵该函数图象开口向上，对称轴为，∴对称轴为，故D正确，符合题意；
故选：D．
5．【答案】D
【分析】本题考查了求二次函数的性质，根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
6．【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】由二次函数可知，开口向上．对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
7．【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
B、一次函数中，，二次函数中，，故选项符合题意；
C、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
D、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
故选：B．
8．【答案】B
【分析】由可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小．
【详解】解：二次函数的解析式为，
函数图象开口向下，对称轴为，
，，到对称轴的距离分别为：，，．
函数图象开口向下，
图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，
．
故选B．
9．【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析判断出二次函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：对于二次函数，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，
故选:B．
10．【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则结合对称轴的性质进行解答即可．
【详解】解：二次函数的图象的对称轴为，
把看成了，
所画图象的对称轴为，
两条对称轴关于y轴对称，
所画图像是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，
，即．
故选D．
11.【答案】
【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴，
∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大，
又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，
∴，
故答案为：．
12. 【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确利用对称轴判断函数增减性是解题关键；
直接利用二次函数的性质得出抛物线，开口向上，在对称轴右边的函数值随值的增大而增大，即可得出答案．
【详解】二次函数中
此函数开口向上，对称轴为直线，
在对称轴右边的函数值随值的增大而增大，
即当时函数值随值的增大而增大．
故答案为：．
13．【答案】/
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，得到对称轴为直线，且开口向上，据此即可比较大小．
【详解】解：由二次函数可得：对称轴为直线，且开口向上，离对称轴越近函数值越小，
∵，
∴
故答案为：．
14．【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移规律为：上加下减，左加右减是解题的关键．
根据上加下减，左加右减进行求解作答即可．
【详解】解：由题意知，平移后抛物线的解析式是，
故答案为：．
15．【答案】①③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意画出对应的函数图象，再利用函数图象进行求解即可．
【详解】解：如图所示，在x轴上方（包含x轴上）的函数图象即为，
∴的图象具有对称性，对称轴为直线，故①正确；
由函数图象可知，没有最大值，故②错误；
由函数图象可知，当，y随x增大而增大，
∴当时，，故③正确；
由函数图象可知，函数图象与直线有4个交点，故④正确；
故答案为：①③④．
16．【答案】(1)见解析
(2)向下；y轴；；减小；
(3)
【分析】本题考查二次函数的基础知识点，
（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可；
（2）观察函数图象求解即可；
（3）观察函数图象求解即可；
解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解．
【详解】（1）解：如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 0 …
函数图象如图所示：
（2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小；
故答案为：向下；y轴；；减小；
（3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是，
故答案为：．
17.【答案】(1)
(2)在此函数图象上，见解析
【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键.
（1）根据题意设出，将抛物线的顶点坐标代入可得：.再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式；
（2）代入即可判断.
【详解】（1）解：设二次函数的关系式为：，
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线表达式为：，
将点代入函得，
解得，
∴二次函数的关系式为；
（2）解：当时，，
∴在此函数图象上.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可．
（1）将点和代入即可求解；
（2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解．
【详解】（1）解：将点和代入得：
解得
∴抛物线的表达式是：.
（2）解：由（1）配方得：
根据题意可设平移后的抛物线表达式为
∵经过点；
∴
解得：，
∵
∴.
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