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（沪科版）数学
八年级
上
第十二章 一次函数
12.3一次函数与二元一次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解一次函数与二元一次方程组的关系.
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
理解一次函数与二元一次方程组的关系.
能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
新课导入
(1)什么叫二元一次方程的解？
(2)一次函数的图象是什么？
(3)如图，求一次函数的解析式．
解：(1)使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫二元一次方程的解；
(3)把点(0，2)，(3，0)代入y＝kx＋b，得
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象是一条直线；
创设情境
方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个解来．
解：无数个
……
想一想
二元一次方程 3x+2y=6 可以转化成一次函数的形式.
画出 的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 …
解：1.列表
2.描点
3.连线
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
x
-3 -2 -1 1 2 3
O
新知引入
知识点1 一次函数与二元一次方程
一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数 y=kx+b （k，b为常数，且k≠0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
一次函数与二元一次方程组的联系
二元一次方程组的两个方程可以转化为两个一次函数．求解二元一次方程组实质就是求这两个一次函数图象交点坐标．
范例
方程4x－b＝5的解为x＝2，则直线y＝4x－b的图象一定经过点
(　 　)
A
仿例
下列图象中，以方程－2x＋y－2＝0的解为坐标的点组成的图象是
(　 　)
B
A．(2，5) B．(0，3) C．(0，4) D．(－3，0)
1.在平面直角坐标系中画出下列二元一次方程所对应的直线.
（1）x-y=0 （2）x+y=0
y
3
2
1
-1
-2
-3
x
-3 -2 -1 1 2 3
O
y
3
2
1
-1
-2
-3
x
-3 -2 -1 1 2 3
O
练习
2.点P为直线3x＋y＝10上的任意点，满足横、纵坐标均为正整数的P点有(　 　)
A．1个 B．3个 C．4个 D．无数个
B
3.下面的有序数对，哪些是二元一次方程3x+y=6的解？
A（2，0），B（3，-3），C（5，-9），
D（6，-10），E（-2，10），F（-3，15）.
√
√
√
√
例1 （1）在平面直角坐标系中画直线
l1： 与直线 l2：y=2x+6 的图象；
（2）如果直线 l1与 l2相交于点P，写出点P的坐标P（____，____）；
x
-6 -4 -2 2 4 6
y
6
4
2
-2
-4
-6
O

l2：y=2x+6
p
-2
2
x
-6 -4 -2 2 4 6
y
6
4
2
-2
-4
-6
O

l2：y=2x+6
p
（3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？
x+2y=2
2x-y=-6
解：方程x+2y=2可以转化成 的形式，因此，直线l1： 上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解；
同理，直线 l2上任意一点的坐标都是方程
2x-y=-6的解，所以直线 l1与 l2的交点P是方程组的解.
新知引入
知识点2 二元一次方程组的图像解法
用图象法解二元一次方程组步骤
(1)把二元一次方程化成一次函数的形式；
(2)在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点；
(3)交点坐标就是方程组的解；
(4)检验其交点是否是方程组的解．
例2
利用函数图象解方程组：
5x-2y=4 ①
10x-4y=8 ②
解：对于方程①，有
x 0 2
y -2 3
过点A （0，-2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l： .
同样的，点A （0，-2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上.
所以方程①②所对应的直线都是通过A（0， -2）和B（2， 3）两点的直线l，所以原方程组有无穷多组解.
x
-4 -2 2 4
y
4
2
-2
-4
O

A

B
利用函数图象解方程组：
3x+2y=-2
6x+4y=4
解：方程3x+2y=-2对应直线l1： .
作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解.
例3
方程6x+4y=4对应直线l2： .
x
-6 -4 -2 2 4 6
y
6
4
2
-2
-4
-6
O
用作图象的方法解方程组
解：由x＋y＝3，得y＝3－x，
所以方程组的解是
范例
由3x－y＝5，得y＝3x－5.
在同一坐标系内作出函数y＝3－x
的图象l1和y＝3x－5的图象l2，
观察图象，得l1、l2的交点为M(2，1)．
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
O



l1
l2
M（2,1）
思考
上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式：
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？
（1）当 时，方程组有一组解；
a1
a2
≠
b1
b2
c1
c2
=
发现
（2）当 时，方程组有无穷多组解；
a1
a2
b1
b2
=
（3）当 时，方程组无解.
a1
a2
b1
b2
=
≠
c1
c2
既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？
3x+5y=8
2x-3y=7
（1）
（2）
y=2x-3
4x-2y=6
（3）
3x-4y=5
6x-8y=12
（4）
2x+3y=5
y=x
一组解
无穷组解
无解
一组解
练习
知识归纳
一般地，任何一个二元一次方程都可转化为一次函数的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
只有一组解（两直线只有一个交点）
有无穷多组解（两直线直线重合）
无解（两直线平行）
随堂练习
若二元一次方程组 的解为 ,
则函数 与 的图象的交点坐标
为 .
一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), 则方程组
的解为 .
(2，2)
练习1
练习2
若方程组
①
②
中两个二元一次方程的
图象如图所示，则此方程组的解是多少？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
练习3
练习4
利用图象法解方程组
3x+2y=-2，
6x+4y=4.
方程组的两个方程的图象有怎样的位置关系？方程组的情况怎样？
解：作出两个方程的图象，
如图，两条直线平行，所以方程组无解.
1
2
3
4
5
6
7
o
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
x
-1
-2
-3
-4
-5
8
3x+2y = -2
6x+4y = 4
y
归纳小结
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
二元一次方程与一次函数
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
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