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专题9 平抛运动
课标要求 知识要点 命题推断
1.掌握平抛运动的特点和性质. 2.掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题． 考点一　平抛运动的基本规律 考点二　斜面上的平抛运动问题 考点三　平抛运动的临界问题 考点四　类平抛运动模型 题型：选择题 计算题 1平抛运动基本规律的应用 2平抛运动的两个重要推论的应用 3平抛运动与斜面相结合 4平抛运动与圆面相结合 5平抛运动在球类问题中的临界问题 6类平抛运动 7斜抛运动
考点一　平抛运动的基本规律
1．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
3．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
(5)两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示．
②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
考点二　斜面上的平抛运动问题
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：
方法 内容 斜面 总结
分 解 速 度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形
分 解 位 移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形
考点三　平抛运动的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．
考点四　类平抛运动模型
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝.
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
（2024 广东一模）如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经过A点时的速度大小为13m/s，从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球做平抛运动的初速度大小为10m/s
B．O、A两点间的距离为5m
C．A、B两点间的距离为10m
D．O、B两点间的距离为13m
【解答】解：A。由题意知下落到A点竖直方向的速度为vyA＝gt＝10×0.5m/s＝5m/s
小球做平抛运动的初速度大小为m/s＝12m/s，故A错误；
B、O、A两点间的竖直高度为m＝1.25m
水平位移为xA＝v0t＝12×0.5m/s＝6m
所以O、A两点间的距离为m＝6.13m，故B错误；
C、O、B两点间的竖直高度为m＝5m
水平位移为xB＝v0 2t＝12×2×0.5m＝12m
A、B两点间的竖直高度为h1＝yB﹣yA＝5m﹣1.25m＝3.75m
A、B两点间的水平位移为x1＝xB﹣xA＝12m﹣6m＝6m
A、B两点间的距离为m＝6.32m，故C错误；
D、O、B两点间的距离为M＝13m，故D正确。
故选：D。
（2024 西安三模）学校运动会上，参加铅球项目的运动员，把m＝5kg的铅球以6m/s的初速度从某一高度投掷出去，抛射角α＝37°铅球落地速度v与水平地面夹角53°，不计空气阻力，g＝10m/s2，求铅球从抛出到落地的时间（　　）
A．t＝0.5s B．t＝1.5s C．t＝1s D．t＝0.8s
【解答】解：小球抛出时，水平方向的速度为v1＝v0cosα＝6×0.8m/s＝4.8m/s，落地时，水平方向速度仍为v1＝4.8m/s，根据落地的速度夹角为53°，所以落地时竖直方向的速度
v2＝v1tan53°＝4.8m/s＝6.4m/s
在竖直方向上，取竖直向下为正方向，有﹣v0sinα+gt＝v2，解得t＝1s，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024 五华区校级模拟）国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、乙两名可视为质点的运动员从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，初速度大小之比为2：3，不计空气阻力，则甲、乙从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙飞行时间之比为3：2
B．甲、乙飞行的水平位移之比为4：9
C．甲、乙在空中竖直方向下落的距离之比为2：3
D．甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为2：3
【解答】解：A、坡面倾角即为位移与水平方向的夹角，设为θ，则有
tanθ，故飞行时间与初速度成正比，
整理解得
甲、乙两人飞行时间之比为2：3，故A错误；
B、根据x＝v0t，
代入数据解得
可得甲、乙两人飞行的水平位移之比为4：9，故B正确；
C、把运动员的运动分解为沿斜面方向的运动和垂直于斜面方向的运动，由几何关系可知，运动员在垂直于斜面方向上做初速度为v0sinθ，加速度大小为gcosθ的匀减速运动，当垂直于斜面方向的速度减小到零时，运动员离斜面距离最大，为
，
代入数据解得则他们在空中离雪坡面的最大距离之比为，故C错误；
D、当落在斜坡上时，瞬时速度与水平方向夹角正切值的两倍，只要是落在斜面上，位移与水平方向的夹角就相同，所以两人落到斜坡上的瞬时速度方向一定相同，故D错误。
故选：B。
（2024 武汉模拟）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上M点的正上方0.2m处由静止下落，在M点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变，方向相反，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，忽略空气阻力，则小球从M点运动至N点所用的时间为（　　）
A．0.2s B．0.3s C．0.4s D．0.5s
【解答】解：小球自由下落过程，由运动学公式可得小球与斜面碰撞前的速度大小为
vm/s＝2m/s
根据题意可知，小球与斜面碰撞后速度大小v0＝v＝2m/s，方向与竖直方向成74°斜向上。碰撞后小球做斜抛运动，将其运动沿垂直于斜面方向和平行于斜面方向分解，建立如图所示坐标系，由几何关系可知v0与y轴正方向的夹角为37°。
在y轴方向，有ts＝0.4s，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024 盐城三模）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法错误的是（　　）
A．射中O点的飞镖射出时的速度最小
B．射中P点的飞镖射出时的速度最大
C．射中Q点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等
【解答】解：飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点知：h，且x＝vt，解得飞镖的飞行时间t，
故飞镖的初速度v＝x，对O、P、Q三点，根据：
hO＝hP＜hQ
则tO＝tP＜tQ
射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相同，射中Q点的飞镖空中飞行时间最长，由xQ＝xO＜xP，且hO＝hP＜hQ
可得vQ＜vO＜vP
即射中Q点的飞镖射出时的速度最小，射中P点的飞镖射出时速度最大。
故A错误，BCD正确。
本题选择不正确的，故选：A。
（2024 大连二模）2028年奥运会新增壁球运动项目。如图所示，运动员从A点将球斜向上击出，水平击中墙上B点反弹后又水平飞出，落到C点，BB'竖直，AB'C三点在同一水平面上，B'C垂直于AC。不计空气阻力，球碰撞B点前后的速度大小分别为v1、v2，球在AB、BC两段运动时间分别为t1、t2，则正确的是（　　）
A．v1＝v2 B．v1＜v2 C．t1＞t2 D．t1＝t2
【解答】解：球水平击中墙上B点，其逆过程是平抛运动。墙上B点反弹后水平飞出，球做平抛运动，在竖直方向上，根据h得t，h相同，则t1＝t2。
水平方向有：AB′＝v1t1，CB′＝v2t2，由几何关系可知AB′＞CB′，可得v1＞v2，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 魏都区校级三模）“刀削面”是我国传统面食制作手法之一。操作手法是一手托面，一手拿刀，将面削到开水锅里，如图甲所示。某次削面的过程可简化为图乙，面片（可视为质点）以初速度v0＝2m/s水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中，锅的截面可视为圆心在O点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为45°，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．面片在空中运动的水平位移为0.2m
B．面片运动到锅边缘时的速度大小为4m/s
C．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则面片处于超重状态
D．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则所受摩擦力大小保持不变
【解答】解：B、面片运到锅边的速度大小为：
，故B错误；
A、面片在竖直方向上的速度为：
vy＝v0＝gt
水平方向上，x＝v0t
联立解得：x＝0.4m，故A错误；
C、若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，面片有指向圆心的加速度，指向圆心的加速度有竖直向上的分量，则面片处于超重状态，故C正确；
D、若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，其向心加速度的大小不变，方向在时刻变化，则支持力的大小也跟着变化，因此摩擦力的大小发生变化，故D错误；
故选：C。
（2024 西湖区校级模拟）如图所示，某环保人员在一次检查时发现一根圆形排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，管口离水面的高度为h，环保人员测量出管口中空直径为D，污水从管口落到水面的水平位移为x，该管道的排污流量为Q（流量为单位时间内流体通过某横截面的体积，流量Q＝Sv，S为横截面的面积，v为液体的流动速度）。若不计一切阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．污水流速越快，水从出管口到抛入水面的时间越长
B．污水流速越快，留在空中水的体积越小
C．管道的排污流量为
D．污水抛入水面时速度方向可能与水面垂直
【解答】解：A、根据平抛运动规律可知，污水到达水面的时间，由高度决定，与流速无关，故A错误；
B、污水流速越快，一定时间内流出水的体积越大，故B错误；
C、流速v，因为Q＝Sv，所以Q，故C正确；
D、由于污水有初速度，最终速度必不与水面垂直，故D错误。
故选：C。
（2024 市中区校级模拟）某日，命题老师看到两名小朋友扔沙包，两沙包同时发出，并同时碰到对方。突然想到以下情境来考察大家：设在水平地面上有A、B两点，小朋友分别从A、B两点以同样大小的初速度v0＝20m/s同时抛出两沙包，A沙包沿较高曲线飞行，B沙包沿较低曲线飞行，两沙包都恰好落在对方的抛出点（如图甲所示）。已知A沙包的抛射角为60°，sin15°。
（1）求AB抛出点间距离和B沙包的抛射角。
（2）抛出后经过多长时间两石块之间的距离最近？
【解答】解：（1）根据题意，A沙包做斜抛运动，则由斜抛运动的规律可得：
x＝v0cos60° tA
联立代入数据解得AB抛出点间的距离为：
B沙包抛出后做斜抛运动，则有：
x＝v0cosβ tB
联立代入数据解得：β＝30°；
（2）以A为参考系，则B沙包B对A做匀速直线运动，如图乙所示：
由此可知，当沙包A不动时，沙包B以图乙中的速度vBA运动，两沙包最近距离为图乙中的AC，由于vA⊥vB，且vA＝vB＝v0，所以有：，
δ＝45°﹣β＝15°
则有：
抛出后两沙包运动到它们之间距离最近处时所用的时间为：。
答：（1）AB抛出点间距离为，B沙包的抛射角为30°；
（2）抛出后经过1.2s两石块之间的距离最近。
（2024 江西模拟）篮球比赛中进攻球队的主力投手运球在三分线外，突然急停跳投，以与水平面夹角θ（cosθ＝0.8）的仰角、初速度大小v0＝9m/s将球投出，并通过篮框中心入网，已知篮框距离水平地面的高度H＝3.05m，篮球被投出时，距离地面的高度h（未知）、与篮框中心点的水平距离d＝7.20m，若将篮球视为质点，且忽略篮球的旋转与空气阻力。（重力加速度g＝10m/s2），求：（答案可以用根号表示）
（1）篮球从被投出到入网经过了多长时间。
（2）篮球入网时的速度大小。
（3）篮球被投出时距离地面的高度。
【解答】解：（1）将v0正交分解
t，解得t＝1s
（2）由运动学公式vy0＝v0sinθ，解得vy0m/s
vy＝vy0﹣gt
得
故v，解得vm/s
（3）由运动的独立性原理：
解得h＝2.65m
答：（1）篮球从被投出到入网经过了1s。
（2）篮球入网时的速度大小为m/s。
（3）篮球被投出时距离地面的高度为2.65m。
题型1平抛运动基本规律的应用
（2024 金东区校级模拟）如图所示，甲同学在地面上将排球以速度v1击出，排球沿轨迹①运动；经过最高点后，乙同学跳起将排球以水平速度v2击回，排球沿轨迹②运动，恰好落回出发点。忽略空气阻力，则排球（　　）
A．沿轨迹②运动的最大速度可能为v1
B．沿轨迹①运动的最小速度为v2
C．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
【解答】解：AB.根据图像可知，轨迹①最高点大于轨迹②最高点，分析在最高点往左运动，根据平抛规律可知
轨迹①运动时间长，但水平位移小，所以轨迹①水平分速度小；
竖直分速度 v2＝2gh 轨迹①的大，所以沿轨迹②运动的最大速度可能为v1，沿轨迹①运动的最小速度即水平速度，小于v2，故A正确，B错误；
C.沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量Δv＝gΔt不同，因为运动时间不同，故C错误；
D.沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小不同，因为位移大小相同，但时间不同，故D错误。
故选：A。
（多选）（2024 龙凤区校级模拟）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空气阻力。则（　　）
A．相邻两个球之间的时间间隔为0.2s
B．影像中相邻小球间水平距离越来越大
C．线段s1实际距离为0.2m
D．小球抛出的初速度
【解答】解：A、频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔：t＝4T＝0.05×4s＝0.2s，故A正确；
B、小球水平方向做匀速运动，影像中相邻小球间水平距离不变，故B错误；
CD、设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间的水平方向上的位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，
根据平抛运动规律，水平方向位移：x＝v0t，
因为第一个小球影像的位置为抛出点，所以第一段运动对应的竖直方向的位移大小：，
第二段运动对应的竖直方向的位移大小：，
根据位移的合成有： ，并且 s1：s2＝3：7，解得：，
所以抛出瞬间小球的速度：，
，故C错误，D正确。
故选：AD。
（2024 盐城模拟）如图所示，某物体做平抛运动的一部分轨迹。每小格的边长表示物体的速度大小为10m/s，各点所标的带箭头的线段长短表示速度的大小。重力加速度的大小取10m/s2。则该物体从A点运动到B点的时间是（　　）
A．1s B．3s C．4s D．5s
【解答】解：根据图示可知物体在A点时的竖直方向速度大小为vyA＝10m/s，在B点时竖直方向的分速度大小为vyB＝40m/s，则物体从A到B的时间为t，故B正确，ACD错误。
故选：B。
题型2平抛运动的两个重要推论的应用
（2013 许昌二模）如图所示，一个物体从空中的O点以速度v0水平向右抛出，经过时间t，物体运动到P点．空气阻力不计．已知物体在P点的速度方向和水平方向的夹角为α（速度偏转角），物体的位移OP和水平方向的夹角为β（位移偏转角）．则关于α和β的大小关系，下列正确的是（　　）
A．α＝2β B．sinα＝sin2β
C．tanα＝2tanβ D．tanα＝tan2β
【解答】解：速度方向与水平方向夹角的正切值tanα，
位移方向与水平方向夹角的正切值，
则tanα＝2tanβ。
故选：C。
（多选）如图所示，圆心为O的半圆形轨道竖直固定在水平桌面上，PQ为水平直径，物块甲从P点以竖直向下的初速度下滑到最低点S过程中速率不变；物块乙从Q点以不同速度向左平抛。两物块可视为质点，不计空气阻力，则（　　）
A．从P到S物块甲与轨道间的动摩擦因数变小
B．从P到S物块甲所受合外力和加速度均不变
C．物块乙落到轨道的不同点运动时间可能相同
D．物块乙落到半圆形轨道的瞬间速度方向的反向延长线可能过O点
【解答】解：A、甲物块做匀速圆周运动，切线方向的合力为零，即重力沿切线方向的分力等于滑动摩擦力，由于重力沿切线方向的分力在减小，正压力在增大，则动摩擦因数变小，故A正确。
B、甲物块做匀速圆周运动，加速度大小和合外力大小不变，方向时刻改变，故B错误。
C、物块乙以不同的初速度做平抛运动，可能下落的高度相同，则运动时间可能相同，故C正确。
D、根据推论可知，小球落到半圆形轨道的瞬间，速度方向的反向延长线交水平位移的中点，水平位移比直径要小则知速度的反向延长线应交圆环圆心的右侧，不在圆心，所以速度不可能沿半径方向，故D错误。
故选：AC。
如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R，将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法错误的是（　　）
A．小球的初速度v0越大，碰到圆环时的水平分位移越大
B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大
C．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
D．v0取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
【解答】解：A、小球的初速度v0越大，落点越靠近b点，即碰到圆环时的水平分位移越大，故A正确；
B、平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由hgt2可知，当小球落在c点运动的时间最长，竖直方向的分速度：vy＝gt，可知运动时间越长，竖直方向的分速度越大，所以当小球落在c点时竖直方向的分速度最大，此时水平位移：x＝R＝v0t，运动时间：t，解得：v0＝R，即当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大，故B正确；
C、假设小球可以垂直撞击圆环，根据平抛运动的规律可知，速度反向延长线交于水平位移的中点，根据几何关系可知，O点一定不是水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，故C正确；
D、v0取值不同时，小球落在圆环上的位置不同，一种情况是竖直分速度不同，另一种情况是竖直分速度相同，但水平速度不同，则速度方向和水平方向之间的夹角不相同，故D错误。
本题选错误的，故选：D。
题型3平抛运动与斜面相结合
（2024 辽宁二模）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则v1：v2等于（　　）
A．4：3 B．5：4 C．8：7 D．9：8
【解答】解：A、B竖直方向做自由落体运动，位移为
落点相同即hA＝hB，tA＝tB＝t，vA1＝vB1
，xA＝v1t
联立上式代入数据解得
垂直打在该点则
所以v1：v2＝9：8，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2024 宝鸡一模）如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度同时水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB：BC：CD＝5：3：1，由此可判断（　　）
A．三个小球做平抛运动的时间之比为1：2：3
B．三个小球落在斜面上时速度方向相同
C．三个小球的初速度大小之比为1：2：3
D．三个小球的运动轨迹可能在空中相交
【解答】解：A．小球做平抛运动，竖直方向有
根据几何关系有
AD：BD：CD＝9：4：1
三个小球做平抛运动的时间之比为
tA：tB：tC＝3：2：1
故A错误；
B．小球在水平方向做匀速直线运动，则
x＝v0t
三个小球均落在斜面上的D点，根据位移间的关系有
设三个小球速度偏转角为α，则
可知三个小球速度偏转角相同，三个小球落在斜面上时速度方向相同，故B正确；
C．三个小球均落在斜面上的D点，根据竖直位移与水平位移的关系有
三个小球的初速度大小之比为
vA：vB：vC＝3：2：1
故C错误；
D．三个小球做平抛运动，三个小球的运动轨迹为抛物线，且交于D点，故三个小球的运动轨迹不可能在空中相交，故D错误。
故选：B。
（2024 德州模拟）如图所示，把一小球从斜面上先后以相同大小的速度抛出，一次水平抛出，另一次抛出的速度方向与斜面垂直，两小球最终都落到斜面上，水平抛出与垂直斜面抛出落点到抛出点的距离之比为（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：1 D．1：3
【解答】解：设斜面倾角为θ，当小球做平抛运动落在斜面上时；
根据平抛运动规律，水平位移为x＝v0t
竖直位移
根据数学知识
抛出点与落点之间的距离
代入数据解得；
当小球垂直于斜面抛出时，小球做斜抛运动，根据运动的合成与分解，竖直分速度vy＝v0cosθ，水平分速度vx＝v0sinθ
以抛出点为参考点，根据斜抛运动规律，水平位移x1＝vxt1
竖直位移
根据数学知识
抛出点与落点之间的距离
代入数据解得；
因此有，故C正确，ABD错误。
故选：C。
题型4平抛运动与圆面相结合
如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为（　　）
A．R B． C． D．
【解答】解：由题意知得：小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有
vy＝v0tan60°
小球从C到D，水平方向有 Rsin60°＝v0t
竖直方向上有 y，
联立解得 y，
故C点到B点的距离为 S＝y﹣R（1﹣cos60°）。
故选：D。
如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为四分之一圆弧ab，半径为R，O点为圆心，c点为圆弧的中点。若在O点以某一初速度v沿Oa方向抛出一个小球，小球落在坑中。若忽略空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．当小球的初速度为时，恰好能打到c点
B．小球的初速度v越大，在空中运动的时间就越长
C．小球的初速度v越大，落到坑上时速度的偏转角越小
D．小球的初速度v越大，落到坑上时的动能就越大
【解答】解：A、设合位移方向与水平方向夹角为α，平抛运动时间为t，则有：
①
Rcosα＝v0t…②
恰好能打到c点时，α＝45°，①②联立解得：，故A错误；
B、小球的初速度越大，落点越靠上，即下落高度就越小，运动时间就越短，故B错误；
C、小球的初速度v越大，落点越靠上，即下落高度就越小，位移偏转角越小，则落到坑上时速度的偏转角越小，故C正确；
D、小球的初速度越大，落点越靠上，即下落高度就越小，重力做的功就越小，则落地时的动能可能变小，也可能变大，还可能不变，故D错误；
故选：C。
在竖直直角坐标系xOy平面内有一四分之一光滑圆柱体的截面OAB，半径为R．在x轴上的P点斜向左上方抛出一个小球（可视为质点）．小球的运动轨迹与圆柱体相切于D点，且到达y轴上的C点时速度与y轴垂直，OD与OB的夹角为60°，不计空气阻力，重力加速度大小为g．则小球在P点的速度大小为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：从P到C的运动可以看成从C到P做平抛运动，小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有：
vy＝v0tan60°
小球从C到D，水平方向有：Rsin60°＝v0t
竖直方向上有：yt
联立解得：yR
故C点到P点竖直方向的距离为：S＝y+R（1﹣cos60°）R
从C到D的时间为：t
初速度为：v0
从C到P，根据动能定理得：mgS
解得：vP
故选：C。
题型5平抛运动与竖直面相结合
（2024 江苏模拟）如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为v0，小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　）
A．小球在B点的速度大小为v0sinα
B．小球从A点运动到B点的时间为
C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为
D．小球从B点运动到C点的时间为
【解答】解：A.把v0进行分解有，得vx＝v0cosα，根据斜上抛运动水平方向的匀速直线运动特点，最高点B只有水平方向速度故vx＝v0cosα，故A错误；
B.小球在A点的竖直分速度vy＝v0sinα，从A到B的过程中竖直方向做竖直上抛运动，结合逆向思维方法，从A到B的时间为，故B错误；
C.把C处速度vC进行分解，如图所示
有，得，故C正确；
D.由C中可知，而B到C竖直方向为自由落体运动，故有vCy＝gt′，得，故D错误。
故选：C。
（2024 黄州区校级二模）如图所示，小球A从地面向上斜抛，抛出时的速度大小为10m/s，方向与水平方向夹角为53°，在A抛出的同时有小球B从某高处自由下落，当A上升到最高点时恰能击中下落的B，不计空气阻力，sin53°＝0.8，重力加速度g取10m/s2。则A、B两球初始距离是（　　）
A．4.8m B．6.4m C．8.0m D．11.2m
【解答】解：小球A的运动可以看成平抛运动的逆过程，水平速度为v0＝vcos53°＝10×0.6m/s＝6m/s，竖直速度为vy＝vsin53°＝10×0.8m/s＝8m/s
相遇时A球竖直方向位移为yAm＝3.2m，运动时间为ts＝0.8s，水平方向位移为x＝v0t＝6×0.8m＝4.8m
B球竖直方向位移yBgt210×0.82m＝3.2m，即初始时A、B两球竖直距离y＝yA+yB＝3.2m+3.2m＝6.4m；
根据勾股定理，A、B两球初始距离为sm＝8m，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024 包河区校级模拟）如图所示“封盖”是篮球比赛中的常用防守方式。投篮运动员出手点离地面的高度h1＝2.75m，封盖的运动员击球点离地面的高度h2＝3.20m，两运动员竖直起跳点的水平距离x1＝0.60m。封盖运动员击球时手臂竖直伸直，这时篮球及封盖运动员均恰好运动至最高点，击球后篮球以击球前速度的3倍水平飞出。已知封盖运动员站立单臂摸高h3＝2.40m，取g＝10m/s2，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．球脱离投篮运动员手时的速度大小为2m/s
B．封盖运动员竖直起跳离地时的速度大小为5m/s
C．封盖运动员在篮球投出前0.4s开始起跳
D．篮球从被封盖到落地过程的水平位移大小为4.8m
【解答】解：A.根据题意可知，篮球出手到被封盖，可以看作平抛运动的逆运动，竖直方向有：h2﹣h1，水平方向上有：x1＝v2t，解得t＝0.3s，v2＝2m/s，则v1，代值解得v1m/s，故A错误；
B.封盖运动员的起跳看作竖直上抛运动，有v2＝2gh＝2g（h2﹣h1），解得：v＝4m/s，故B错误；
C.篮球从出手到最高点时间t＝0.3s，封盖运动员从起跳到最高点时间t′，则封盖运动员在篮球投出前Δt＝t′﹣t＝0.4s﹣0.3s＝0.1开始起跳，故C错误；
D.篮球从被封盖到落地，在竖直方向上h2，在水平方向上有x＝3x2t2，联立解得x＝4.8m，故D正确。
故选：D。
题型6类平抛运动
如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则（　　）
A．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝2
B．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝2
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
【解答】解：AB、根据牛顿第二定律得物体的加速度为：agsinθ。
根据lat2得：t，故AB错误；
CD、入射的初速度为：v0b，故C错误，D正确。
故选：D。
如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块可看成质点沿斜面左上方顶点P以初速度水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则（　　）
A．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝2
B．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝2
C．初速度v
D．初速度v
【解答】解：AB、根据牛顿第二定律得物体的加速度为：
agsinθ。
根据lat2得：t，故AB错误；
CD、入射的初速度为：v0b，故C错误，D正确。
故选：D。
（2024 辽宁三模）如图所示，倾角为θ＝30°的光滑斜面体固定在水平地面上，斜面abcd为正方形。一小球从斜面的顶点a处以大小v0＝3.0m/s的初速度平行ab方向抛出，小球恰好从bc边的中点飞出。已知重力加速度g取10m/s2，求斜面abcd的边长以及小球运动到水平地面时的速度大小。
【解答】解：依题意，小球在斜面上做类平抛运动，沿ab方向做匀速直线运动，有
L＝v0t
沿ad方向做匀加速直线运动，其加速度大小为
a＝gsin30°
则沿ad方向有
解得L＝1.8m
小球从a运动到底面cdef所在的水平面，由动能定理可知
解得
m/s
答：斜面abcd的边长为1.8m；小球运动到水平地面时的速度大小为m/s
题型7斜抛运动
（2024 盐都区校级三模）如图所示，一个小球放在水平地面上的O点，先后以初速度v1、v2从O点斜向上抛出，v1与水平方向的夹角比v2与水平方向的夹角大，不计空气阻力，则下列判断一定正确的是（　　）
A．若两次落到地面上的同一点，则v1＞v2
B．若两次落到地面上的同一点，则v1＜v2
C．若两次上升的最大高度相同，则v1＞v2
D．若两次上升的最大高度相同，则v1＜v2
【解答】解：AB．设初速度v1与水平方向的夹角为α，v2与水平方向夹角为β，两次均做斜向上抛运动，则有以v1抛出，
根据运动的合成分解规律，在水平方向的初速度为vx1＝v1cosα，在竖直方向的初速度vy1＝v1sinα
竖直方向是竖直上抛运动，做匀减速直线运动，设整个运动的时间为t1，根据t，则有
水平方向是匀速直线运动，则有水平方向的位移有
同理以v2抛出时，水平方向则有vx2＝v2cosβ
竖直方向vy2＝v2sinβ
水平位移
因为x1＝x2
则有
虽然α＞β，由于α与β的确切关系不确定，因此v1与v2的确切关系不能确定，故AB错误；
CD．若两次上升的最大高度相同，根据h，则有
可得v1sinα＝v2sinβ
由于α＞β，则一定有
v1＜v2
故C错误，D正确。
故选：D。
（2024 东莞市校级模拟）过水门仪式是国际民航中最高级别的礼仪。如图所示，“过水门”仪式中的“水门”是由两辆消防车喷出的水柱形成的。两条水柱形成的抛物线对称分布，且刚好在最高点相遇。已知两水柱均沿与水平方向成45°角喷出，且从喷出到在最高点相遇所用时间为3s。重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力和水流之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．“水门”的高度一定为90m
B．“水门”的跨度一定为180m
C．在最高点相遇时，水柱的速度为零
D．水喷出的瞬间，速度水平方向分量为15m/s
【解答】解：A．在竖直方向上，水做竖直上抛运动，根据位移—时间关系式计算
故A错误；
BD．由于两水柱均沿与水平方向成45°角喷出，所以水在水平方向的初速度与竖直方向的初速度相等，即
vx＝vy＝gt＝10×3m/s＝30m/s
所以“水门”的跨度为
x＝vx 2t＝30×2×3m＝180m
故B正确，D错误；
C．在最高点相遇时，水柱竖直方向速度为零，水柱的速度即为水平速度30m/s，故C错误。
故选：B。
（2024 荣昌区校级模拟）如图所示为跳台滑雪项目的场地简化图，助滑道的倾角为30°，助滑道和起跳点间由一段圆弧轨道连接，着陆坡的倾角为40°，运动员从助滑道加速下滑，在起跳点跃出，完成空中动作后落在着陆坡上，之后恰好沿着陆坡下滑。不计一切阻力，取g＝10m/s2，下列关于运动员滑雪过程中的加速度大小a与时间t的关系图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：运动员在助滑道上做匀加速直线运动，加速度
代入数据解得
方向沿斜面向下；
在圆弧轨道上做圆周运动，加速度方向时刻改变，加速度大小不为零；
在着陆坡上时，加速度为
代入数据解得，方向沿斜面向下，故C正确，ABD错误。
故选：C。中小学教育资源及组卷应用平台
专题9 平抛运动
课标要求 知识要点 命题推断
1.掌握平抛运动的特点和性质. 2.掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题． 考点一　平抛运动的基本规律 考点二　斜面上的平抛运动问题 考点三　平抛运动的临界问题 考点四　类平抛运动模型 题型：选择题 计算题 1平抛运动基本规律的应用 2平抛运动的两个重要推论的应用 3平抛运动与斜面相结合 4平抛运动与圆面相结合 5平抛运动在球类问题中的临界问题 6类平抛运动 7斜抛运动
考点一　平抛运动的基本规律
1．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
3．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
(5)两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示．
②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
考点二　斜面上的平抛运动问题
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：
方法 内容 斜面 总结
分 解 速 度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形
分 解 位 移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形
考点三　平抛运动的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．
考点四　类平抛运动模型
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝.
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
（2024 广东一模）如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经过A点时的速度大小为13m/s，从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球做平抛运动的初速度大小为10m/s
B．O、A两点间的距离为5m
C．A、B两点间的距离为10m
D．O、B两点间的距离为13m
（2024 西安三模）学校运动会上，参加铅球项目的运动员，把m＝5kg的铅球以6m/s的初速度从某一高度投掷出去，抛射角α＝37°铅球落地速度v与水平地面夹角53°，不计空气阻力，g＝10m/s2，求铅球从抛出到落地的时间（　　）
A．t＝0.5s B．t＝1.5s C．t＝1s D．t＝0.8s
（2024 五华区校级模拟）国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、乙两名可视为质点的运动员从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，初速度大小之比为2：3，不计空气阻力，则甲、乙从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙飞行时间之比为3：2
B．甲、乙飞行的水平位移之比为4：9
C．甲、乙在空中竖直方向下落的距离之比为2：3
D．甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为2：3
（2024 武汉模拟）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上M点的正上方0.2m处由静止下落，在M点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变，方向相反，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，忽略空气阻力，则小球从M点运动至N点所用的时间为（　　）
A．0.2s B．0.3s C．0.4s D．0.5s
（2024 盐城三模）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法错误的是（　　）
A．射中O点的飞镖射出时的速度最小
B．射中P点的飞镖射出时的速度最大
C．射中Q点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等
（2024 大连二模）2028年奥运会新增壁球运动项目。如图所示，运动员从A点将球斜向上击出，水平击中墙上B点反弹后又水平飞出，落到C点，BB'竖直，AB'C三点在同一水平面上，B'C垂直于AC。不计空气阻力，球碰撞B点前后的速度大小分别为v1、v2，球在AB、BC两段运动时间分别为t1、t2，则正确的是（　　）
A．v1＝v2 B．v1＜v2 C．t1＞t2 D．t1＝t2
（2024 魏都区校级三模）“刀削面”是我国传统面食制作手法之一。操作手法是一手托面，一手拿刀，将面削到开水锅里，如图甲所示。某次削面的过程可简化为图乙，面片（可视为质点）以初速度v0＝2m/s水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中，锅的截面可视为圆心在O点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为45°，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．面片在空中运动的水平位移为0.2m
B．面片运动到锅边缘时的速度大小为4m/s
C．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则面片处于超重状态
D．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则所受摩擦力大小保持不变
（2024 西湖区校级模拟）如图所示，某环保人员在一次检查时发现一根圆形排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，管口离水面的高度为h，环保人员测量出管口中空直径为D，污水从管口落到水面的水平位移为x，该管道的排污流量为Q（流量为单位时间内流体通过某横截面的体积，流量Q＝Sv，S为横截面的面积，v为液体的流动速度）。若不计一切阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．污水流速越快，水从出管口到抛入水面的时间越长
B．污水流速越快，留在空中水的体积越小
C．管道的排污流量为
D．污水抛入水面时速度方向可能与水面垂直
（2024 市中区校级模拟）某日，命题老师看到两名小朋友扔沙包，两沙包同时发出，并同时碰到对方。突然想到以下情境来考察大家：设在水平地面上有A、B两点，小朋友分别从A、B两点以同样大小的初速度v0＝20m/s同时抛出两沙包，A沙包沿较高曲线飞行，B沙包沿较低曲线飞行，两沙包都恰好落在对方的抛出点（如图甲所示）。已知A沙包的抛射角为60°，sin15°。
（1）求AB抛出点间距离和B沙包的抛射角。
（2）抛出后经过多长时间两石块之间的距离最近？
（2024 江西模拟）篮球比赛中进攻球队的主力投手运球在三分线外，突然急停跳投，以与水平面夹角θ（cosθ＝0.8）的仰角、初速度大小v0＝9m/s将球投出，并通过篮框中心入网，已知篮框距离水平地面的高度H＝3.05m，篮球被投出时，距离地面的高度h（未知）、与篮框中心点的水平距离d＝7.20m，若将篮球视为质点，且忽略篮球的旋转与空气阻力。（重力加速度g＝10m/s2），求：（答案可以用根号表示）
（1）篮球从被投出到入网经过了多长时间。
（2）篮球入网时的速度大小。
（3）篮球被投出时距离地面的高度。
题型1平抛运动基本规律的应用
（2024 金东区校级模拟）如图所示，甲同学在地面上将排球以速度v1击出，排球沿轨迹①运动；经过最高点后，乙同学跳起将排球以水平速度v2击回，排球沿轨迹②运动，恰好落回出发点。忽略空气阻力，则排球（　　）
A．沿轨迹②运动的最大速度可能为v1
B．沿轨迹①运动的最小速度为v2
C．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
（多选）（2024 龙凤区校级模拟）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空气阻力。则（　　）
A．相邻两个球之间的时间间隔为0.2s
B．影像中相邻小球间水平距离越来越大
C．线段s1实际距离为0.2m
D．小球抛出的初速度
（2024 盐城模拟）如图所示，某物体做平抛运动的一部分轨迹。每小格的边长表示物体的速度大小为10m/s，各点所标的带箭头的线段长短表示速度的大小。重力加速度的大小取10m/s2。则该物体从A点运动到B点的时间是（　　）
A．1s B．3s C．4s D．5s
题型2平抛运动的两个重要推论的应用
（2013 许昌二模）如图所示，一个物体从空中的O点以速度v0水平向右抛出，经过时间t，物体运动到P点．空气阻力不计．已知物体在P点的速度方向和水平方向的夹角为α（速度偏转角），物体的位移OP和水平方向的夹角为β（位移偏转角）．则关于α和β的大小关系，下列正确的是（　　）
A．α＝2β B．sinα＝sin2β
C．tanα＝2tanβ D．tanα＝tan2β
（多选）如图所示，圆心为O的半圆形轨道竖直固定在水平桌面上，PQ为水平直径，物块甲从P点以竖直向下的初速度下滑到最低点S过程中速率不变；物块乙从Q点以不同速度向左平抛。两物块可视为质点，不计空气阻力，则（　　）
A．从P到S物块甲与轨道间的动摩擦因数变小
B．从P到S物块甲所受合外力和加速度均不变
C．物块乙落到轨道的不同点运动时间可能相同
D．物块乙落到半圆形轨道的瞬间速度方向的反向延长线可能过O点
如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R，将一个小球从a点以初速度v0沿ab方向抛出，设重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法错误的是（　　）
A．小球的初速度v0越大，碰到圆环时的水平分位移越大
B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大
C．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击圆环
D．v0取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
题型3平抛运动与斜面相结合
（2024 辽宁二模）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则v1：v2等于（　　）
A．4：3 B．5：4 C．8：7 D．9：8
（2024 宝鸡一模）如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度同时水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB：BC：CD＝5：3：1，由此可判断（　　）
A．三个小球做平抛运动的时间之比为1：2：3
B．三个小球落在斜面上时速度方向相同
C．三个小球的初速度大小之比为1：2：3
D．三个小球的运动轨迹可能在空中相交
（2024 德州模拟）如图所示，把一小球从斜面上先后以相同大小的速度抛出，一次水平抛出，另一次抛出的速度方向与斜面垂直，两小球最终都落到斜面上，水平抛出与垂直斜面抛出落点到抛出点的距离之比为（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：1 D．1：3
题型4平抛运动与圆面相结合
如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为（　　）
A．R B． C． D．
如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为四分之一圆弧ab，半径为R，O点为圆心，c点为圆弧的中点。若在O点以某一初速度v沿Oa方向抛出一个小球，小球落在坑中。若忽略空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．当小球的初速度为时，恰好能打到c点
B．小球的初速度v越大，在空中运动的时间就越长
C．小球的初速度v越大，落到坑上时速度的偏转角越小
D．小球的初速度v越大，落到坑上时的动能就越大
在竖直直角坐标系xOy平面内有一四分之一光滑圆柱体的截面OAB，半径为R．在x轴上的P点斜向左上方抛出一个小球（可视为质点）．小球的运动轨迹与圆柱体相切于D点，且到达y轴上的C点时速度与y轴垂直，OD与OB的夹角为60°，不计空气阻力，重力加速度大小为g．则小球在P点的速度大小为（　　）
A． B．2 C． D．
题型5平抛运动与竖直面相结合
（2024 江苏模拟）如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为v0，小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　）
A．小球在B点的速度大小为v0sinα
B．小球从A点运动到B点的时间为
C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为
D．小球从B点运动到C点的时间为
（2024 黄州区校级二模）如图所示，小球A从地面向上斜抛，抛出时的速度大小为10m/s，方向与水平方向夹角为53°，在A抛出的同时有小球B从某高处自由下落，当A上升到最高点时恰能击中下落的B，不计空气阻力，sin53°＝0.8，重力加速度g取10m/s2。则A、B两球初始距离是（　　）
A．4.8m B．6.4m C．8.0m D．11.2m
（2024 包河区校级模拟）如图所示“封盖”是篮球比赛中的常用防守方式。投篮运动员出手点离地面的高度h1＝2.75m，封盖的运动员击球点离地面的高度h2＝3.20m，两运动员竖直起跳点的水平距离x1＝0.60m。封盖运动员击球时手臂竖直伸直，这时篮球及封盖运动员均恰好运动至最高点，击球后篮球以击球前速度的3倍水平飞出。已知封盖运动员站立单臂摸高h3＝2.40m，取g＝10m/s2，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．球脱离投篮运动员手时的速度大小为2m/s
B．封盖运动员竖直起跳离地时的速度大小为5m/s
C．封盖运动员在篮球投出前0.4s开始起跳
D．篮球从被封盖到落地过程的水平位移大小为4.8m
题型6类平抛运动
如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则（　　）
A．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝2
B．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝2
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块可看成质点沿斜面左上方顶点P以初速度水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，则（　　）
A．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝2
B．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝2
C．初速度v
D．初速度v
（2024 辽宁三模）如图所示，倾角为θ＝30°的光滑斜面体固定在水平地面上，斜面abcd为正方形。一小球从斜面的顶点a处以大小v0＝3.0m/s的初速度平行ab方向抛出，小球恰好从bc边的中点飞出。已知重力加速度g取10m/s2，求斜面abcd的边长以及小球运动到水平地面时的速度大小。
题型7斜抛运动
（2024 盐都区校级三模）如图所示，一个小球放在水平地面上的O点，先后以初速度v1、v2从O点斜向上抛出，v1与水平方向的夹角比v2与水平方向的夹角大，不计空气阻力，则下列判断一定正确的是（　　）
A．若两次落到地面上的同一点，则v1＞v2
B．若两次落到地面上的同一点，则v1＜v2
C．若两次上升的最大高度相同，则v1＞v2
D．若两次上升的最大高度相同，则v1＜v2
（2024 东莞市校级模拟）过水门仪式是国际民航中最高级别的礼仪。如图所示，“过水门”仪式中的“水门”是由两辆消防车喷出的水柱形成的。两条水柱形成的抛物线对称分布，且刚好在最高点相遇。已知两水柱均沿与水平方向成45°角喷出，且从喷出到在最高点相遇所用时间为3s。重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力和水流之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．“水门”的高度一定为90m
B．“水门”的跨度一定为180m
C．在最高点相遇时，水柱的速度为零
D．水喷出的瞬间，速度水平方向分量为15m/s
（2024 荣昌区校级模拟）如图所示为跳台滑雪项目的场地简化图，助滑道的倾角为30°，助滑道和起跳点间由一段圆弧轨道连接，着陆坡的倾角为40°，运动员从助滑道加速下滑，在起跳点跃出，完成空中动作后落在着陆坡上，之后恰好沿着陆坡下滑。不计一切阻力，取g＝10m/s2，下列关于运动员滑雪过程中的加速度大小a与时间t的关系图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．

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