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专题11 万有引力定律
课标要求 知识要点 命题推断
1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用. 2.理解环绕速度的含义并会求解. 3.了解第二和第三宇宙速度． 考点一　天体质量和密度的计算 考点二　卫星运行参量的比较与计算 考点三　卫星变轨问题分析 考点四　宇宙速度的理解与计算 考点五　双星或多星模型 题型：选择题 1开普勒行星运动定律 2万有引力定律的应用 3天体质量与密度 4卫星参量比较 5宇宙速度 6同步卫星 7近地卫星、同步卫星和赤道上物体运动的比较 8卫星变轨问题 9天体追及与相遇 10双星、多星模型
考点一　天体质量和密度的计算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
考点二　卫星运行参量的比较与计算
1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
考点三　卫星变轨问题分析
1．当卫星的速度突然增大时，G2．当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
考点四　宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度又叫环绕速度．
推导过程为：由mg＝＝得：
v1＝ ＝＝7.9 km/s.
2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
注意　(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．
(4)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
考点五　双星或多星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
（2024 浙江模拟）A点和B点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在A处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达B点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0）（　　）
A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程
B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度
C．设x为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为Fmg，其中为其质量
D．两飞行器同时到达B点
（2024 浙江模拟）假设宇宙是一团球形的密度均匀的物质，其各物理量均具有球对称性（即只与球的半径有关）。宇宙球对称地向外膨胀，半径为r的位置具有速度v（r）。不难发现，宇宙膨胀的过程中，其平均密度必然下降。若假设该宇宙球在膨胀过程中密度均匀（即球内各处密度相等），则应该有v＝Hrα，其中H是一个可变化但与r无关的系数，那么α的值应为（　　）
[提示：若p（t）是某一物理量，则pα对时间的导数为apα﹣1p′（t）]
A．1 B．2 C．3 D．4
（2024 广东三模）木星的卫星总共有92颗，其中木卫一、木卫二、木卫三、木卫四是意大利天文学家伽利略在1610年用自制的望远镜发现的，这四颗卫星后被称为伽利略卫星。四颗伽利略卫星的自身参数近似如下表所示，根据表格信息，下列判断正确的是（　　）
木卫一 木卫二 木卫三 木卫四
密度/g cm﹣3 3.5 3.0 2.0 1.8
直径/km 3600 3100 5300 4800
A．木卫三绕木星运动的轨道半径大于木卫四绕木星运动的轨道半径
B．木卫二表面的重力加速度小于木卫四表面的重力加速度
C．木卫一的第一宇宙速度大于木卫二的第一宇宙速度
D．木卫二的质量大于木卫三的质量
（2024 广州一模）某校天文小组通过望远镜观察木星周围的两颗卫星a、b，记录了不同时刻t两卫星的位置变化如图甲。现以木星中心为原点，测量图甲中两卫星到木星中心的距离x，以木星的左侧为正方向，绘出x﹣t图像如图乙。已知两卫星绕木星近似做圆周运动，忽略在观测时间内观察者和木星的相对位置变化，由此可知（　　）
A．a公转周期为t0
B．b公转周期为2t0
C．a公转的角速度比b的小
D．a公转的线速度比b的大
（2024 广东三模）地球、火星绕太阳运动的轨道均可看成圆轨道，轨道半径之比为2：3。现要从地球向火星发射一飞行器，其离开地球运动到火星的过程绕太阳运动，轨道为椭圆轨道，且在该轨道的远日点被火星俘获，如图所示。则该飞行器（　　）
A．离开地球运动到火星的过程速度逐渐增大
B．到达火星时，地球在飞行器与太阳连线下方
C．绕太阳的运行周期大于火星绕太阳的运行周期
D．在远日点与火星相遇时，需加速才能被火星俘获
（2024 衡水模拟）2024年3月20日8时31分，探月工程四期“鹊桥二号”中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，该卫星是经“地—月转移轨道”逐步送入近月距离约200km、远月距离约1600km的稳定椭圆环月轨道，周期24h，月球半径约1738km，月球表面重力加速度约为1.63m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．该卫星的发射速度应大于第二宇宙速度
B．若另发射一颗距月球表面约300km的环月圆轨道卫星，则其周期约为5小时
C．若要在远月点把“鹊桥二号”转移到圆轨道上，其速度加至约1.2km/s
D．由以上条件，可以求得“鹊桥二号”在近月点所受的万有引力大小
（2024 湖北模拟）我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。1轨道为量子卫星静止在赤道上随地球自转，2为近地轨道，3为地球的同步轨道，如图所示。已知该卫星在1轨道随地球自转的周期约为近地轨道2运动周期的17倍，关于该卫星在1、2、3轨道绕地球做匀速圆周运动的说法中正确的是（　　）
A．卫星在轨道1的加速度最大，线速度最小
B．卫星在轨道2的加速度最大，线速度最大
C．卫星在轨道3运动的周期最大，线速度最小
D．若将该卫星放在南极极点上，与轨道1处相比，其重力将变为原来的2.89倍
（2024 河南二模）北京时间2023年12月15日21时41分，我国在文昌航天发射场成功将遥感四十一号卫星发射升空，卫星顺利进入同步倾斜轨道，该星是一颗高轨道光学遥感卫星。遥感四十一号卫星与在轨高度约为343km的神舟十七号载人飞船（两者都近似看作绕地球做圆周运动）相比，下列说法正确的是（　　）
A．遥感四十一号卫星向心加速度大于神舟十七号飞船向心加速度
B．神舟十七号载人飞船的动能大于遥感四十一号卫星动能
C．神舟十七号载人飞船发射速度大于遥感四十一号卫星发射速度
D．相等时间内遥感四十一号卫星与地球的连线扫过的面积大于神舟十七号飞船与地球的连线扫过的面积
（2024 东西湖区校级模拟）中国计划在2030年前实现载人登月，开展月球科学考察及相关技术试验。根据“嫦娥”系列卫星的发射，设想登月载人飞船的运行轨迹如图所示。飞船发射后首先进入绕地球运行的圆形“停泊轨道”，在P点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面最近距离为h1，飞船到达离P点最远距离为L的Q点时，依靠飞船的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，在距月球表面h2的圆形“绕月轨道”上飞行，择机降落在月球表面。已知地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，月球表面的重力加速度为，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是（　　）
A．飞船在“停泊轨道”上的运行速度为
B．飞船在“绕月轨道”上的运行速度为
C．地球质量与月球质量之比为
D．飞船从P点运动到Q点的时间为
（2024 黑龙江三模）2023年10月24日4时3分，我国在西昌卫星发射中心成功将“遥感三十九号”卫星送入太空。已知地球半径为R。自转周期为T，“遥感三十九号”卫星轨道离地面的高度为h1，地球同步卫星轨道离地面的高度为h2，“遥感三十九号”卫星和地球同步卫星绕地球飞行的轨道如图所示。引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．“遥感三十九号”卫星的发射速度大于11.2km/s
B．“遥感三十九号”卫星绕地球运行的周期为T
C．地球的平均密度可表示为
D．“遥感三十九号”卫星与同步卫星绕地球运行的向心加速度之比为
题型1开普勒行星运动定律
（2024 盐城模拟）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象。已知地球及部分地外行星绕太阳运动的轨道半径如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
则表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是（　　）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
（2024 东湖区校级三模）“日心说”以太阳为参考系，金星和地球运动的轨迹可以视为共面的同心圆；“地心说”以地球为参考系，金星的运动轨迹（实线）和太阳的运动轨迹（虚线）如图所示。观测得每隔1.6年金星离地球最近一次，则下列判断正确的是（　　）
A．在8年内太阳、地球、金星有5次在一条直线上
B．在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上
C．地球和金星绕太阳公转的周期之比为8：5
D．地球和金星绕太阳公转的半径之比为
（2024 枣强县校级模拟）如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨道为椭圆，哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986年，预计哈雷彗星下次回归到近日点将在2061年。已和椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离是地球公转轨道半径R的0.6倍，则椭圆轨道远日点到太阳的距离为（　　）
A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R
题型2万有引力定律的应用
（2024 海淀区校级模拟）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（　　）
A．该卫星绕太阳运动周期大于地球公转周期
B．该卫星在L2点处于平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小
（2024 荣昌区校级模拟）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为F。现在在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为R的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　）
A．F B． C． D．
（2023 重庆模拟）如图所示，从一质量为M、半径为2R的均匀球体的球心O处挖出一半径为R的小球，将其移至两球面相距R处，已知引力常量为G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（　　）
A． B．
C． D．
题型3天体质量与密度
（多选）（2024 浑南区校级模拟）如图所示，人造卫星A围绕地球做圆周运动，AB和AC与地球相切，∠BAC＝θ，θ称为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为θ1和θ2，且θ1＞θ2，甲、乙公转角速度分别为ω1和ω2，万有引力常量为G。则以下说法正确的是（　　）
A．由题目所给条件，可以算出地球的质量
B．由题目所给条件，可以算出地球的密度
C．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
D．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
（2024 五华区校级模拟）距离地球大约600光年的行星开普勒22﹣b很有可能是一颗宜居行星，其表面温度约为22℃，它围绕一颗和太阳非常相似的恒星公转。该行星半径为地球半径的2.4倍，其公转周期约为290天，其准确质量还未能得知。假设其密度与地球相同，不考虑星球的自转。下列说法正确的是（　　）
A．开普勒22﹣b的质量是地球质量的5.76倍
B．地球表面重力加速度为开普勒22﹣b表面重力加速度的2.4倍
C．开普勒22﹣b的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2.4倍
D．开普勒22﹣b的公转轨道半径为地球公转轨道半径的3.6倍
（2024 朝阳区校级模拟）按黑体辐射理论，黑体单位面积的辐射功率与其热力学温度的四次方成正比，比例系数为σ（称为斯特藩﹣玻尔兹曼常数），某黑体如果它辐射的功率与接收的功率相等时，温度恒定。假设宇宙中有一恒星A和绕其圆周运动的行星B（忽略其它星体的影响），已知恒星A单位面积辐射的功率为P，B绕A圆周运动的距离为r、周期为T'，将B视为黑体，B的温度恒定为T，万有引力常数为G，将A和B视为质量均匀分布的球体，行星B的大小远小于其与A的距离，由上述物理量和常数表示出的恒星A的平均密度为（　　）
A． B．
C． D．
题型4卫星参量比较
发现未知星体是万有引力定律的重要成就之一，如“笔尖下发现的行星”﹣海王星．1843年，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国巴黎年轻天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料，发现天王星实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离、形成这种现象的原因是海王星对它的万有引力，已知天王星绕太阳运行的轨道半径为R0，周期为T0，假定两颗行星的运动可以认为是匀速圆周运动，请你利用所学知识确定海王星的轨道半径为（　　）
A．R0 B．R0
C．R0 D．R0
2019年12月7日，我国采用一箭多星的方式成功将六颗卫星发射升空。在赤道平面内有三颗在同一轨道上运行的卫星，三颗卫星在此轨道均匀分布，其轨道距地心的距离为地球半径的3.3倍，且三颗卫星均自西向东环绕地球转动。某时刻其中一颗人造卫星处于地球赤道上某一建筑物的正上方，已知地球的自转周期为T，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则该建筑物正上方出现下一颗人造卫星间隔的时间约为（　　）
A．0.18T B．0.24T C．0.32T D．0.48T
（多选）（2015 本溪校级模拟）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学家称为“行星冲日”，据报道，2014年各行星冲日时间分别为：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（　　）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
题型5宇宙速度
（2024 南通模拟）宇宙速度是从地球表面向宇宙空间发射人造地球卫星、行星际和恒星际飞行器所需的最低速度。下列关于宇宙速度的说法正确的是（　　）
A．第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度
B．若飞行器的发射速度大于第二宇宙速度，则飞行器将绕地球做椭圆运动
C．若飞行器的发射速度大于第三宇宙速度，则飞行器将绕太阳运动
D．卫星绕地球做圆周运动的速率可能大于第一宇宙速度
（多选）（2024 河南三模）金星是绕太阳运动的从内向外的第二颗行星，轨道公转周期为224.7天。金星的半径为地球半径的95%，质量为地球质量的82%。已知地球与太阳间的距离为1.5×1011m，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，地球和金星绕太阳运动的轨迹可近似为圆。下列说法正确的是（　　）
A．金星的第一宇宙速度约为8.5km/s
B．金星的第一宇宙速度约为7.3km/s
C．金星距离太阳的距离约为1.1×1011m
D．金星距离太阳的距离约为2.1×1011m
星球上的物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2v已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度gE的，不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（　　）
A． B． C． D．gEr
题型6同步卫星
（2024 山东模拟）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，质量为太阳质量四倍的恒星将坍塌成白矮星。设某恒星坍塌前后均可看成质量均匀分布的球体，质量不变，半径变为原来的，自转角速度变大。不考虑恒星与其他物体的相互作用，根据万有引力理论，该恒星坍塌前后，下列分析正确的是（　　）
A．两极处的重力加速度之比为
B．第一宇宙速度之比为
C．绕其飞行的同步卫星的线速度变大
D．绕其飞行的同步卫星的轨道半径变大
（2024 南宁一模）2024年2月23日，“长征5号”遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，被誉为龙年首发。卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是（　　）
A．地球同步卫星可以静止在北京上空
B．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的
C．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的
D．若忽略地球的自转效应，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
（2024 白云区校级模拟）2023年“神舟十七号”顺利对接“天宫”空间站，“天宫”在距地面约400km高度做匀速圆周运动，假设“神舟号”先绕地球在低于“天宫”的轨道上做匀速圆周运动，再变轨与“天宫”对接。又已知北斗同步卫星距地面约36000km。则（　　）
A．“天宫”空间站的运行周期可能大于24小时
B．“天宫”空间站的角速度比北斗同步静止卫星的小
C．北斗同步静止卫星运行过程中可能通过北京正上方
D．“神舟十七号”从近地轨道上需要加速才能对接空间站
题型7近地卫星、同步卫星和赤道上物体运动的比较
（2024 衡阳县校级模拟）2024年4月25日神舟十八号载人飞船与空间站完成交接任务，载人发射任务取得圆满成功。空间站、同步卫星绕地球的运动均可视为匀速圆周运动。已知空间站的运行轨道半径为R1，同步卫星的运行轨道半径为R2（R2＞R1），下列说法正确的是（　　）
A．空间站处于平衡状态
B．空间站的运行速度大于第一宇宙速度
C．空间站运动的周期小于地球同步卫星的周期
D．空间站与同步卫星的运行周期之比为
（2024 天津三模）国际天文学联合会于2024年2月23日宣布新发现了2颗海王星的卫星，并将它们分别命名为S/2002N5和S/2021N1，至此海王星的卫星已增至28颗。这两颗卫星在近似圆轨道上绕海王星一周的时间分别约为9年和27年，以下由此推断出的结论中不正确的是（　　）
A．S/2002N5运行的线速度比S/2021N1大
B．S/2002N5的向心加速度比S/2021N1大
C．S/2002N5受海王星的引力比S/2021N1大
D．S/2002N5与S/2021N1的轨道半径之比为
我国发射的“嫦娥一号”卫星经过多次加速、变轨后，最终成功进入环月工作轨道。如图所示，卫星既可以在离月球比较近的圆轨道a上运动，也可以在离月球比较远的圆轨道b上运动。下列说法正确的是（　　）
A．卫星在a上运行的线速度小于在b上运行的线速度
B．卫星在a上运行的周期大于在b上运行的周期
C．卫星在a上运行的角速度小于在b上运行的角速度
D．卫星在a上运行时受到的万有引力大于在b上运行时的万有引力
题型8卫星变轨问题
（2024 江苏模拟）一宇宙飞行器从地面发射，经过转移轨道后，绕太阳系另一行星运行，若再经过几次变轨后，进入如图所示的椭圆轨道Ⅰ，然后在轨道上P点变轨进入圆轨道Ⅱ，已知万有引力常量为G，则（　　）
A．飞行器从地面发射的速度小于11.2km/s
B．飞行器在P点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时机械能减小
C．若测出飞行器在轨道Ⅱ上运行的速率，可求该行星质量
D．若测出飞行器在轨道Ⅰ经过P点时的速率和到该行星中心的距离，可求该行星质量
（多选）（2024 黑龙江模拟）航天器进行宇宙探索的过程中，经常要进行变轨。若某次发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。关于该卫星，下列说法正确的是（　　）
A．该卫星的发射速度大于11.2km/s
B．该卫星在轨道Ⅰ上运动的周期小于在轨道Ⅱ上运动的周期
C．该卫星在轨道Ⅰ上运行时的速度大于在轨道Ⅲ上运行时的速度
D．该卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度
如图所示，“嫦娥奔月”的过程可以简化为：“嫦娥一号”升空后，绕地球沿椭圆轨道运动，远地点A距地面高度为h1，然后经过变轨被月球捕获，再经多次变轨，最终在距离月球表面高度为h2的轨道上绕月球做匀速圆周运动．若已知地球的半径为R1、表面重力加速度为g1；月球的质量为M2，半径为R2，引力常量为G，根据以上信息，不可以确定的是（　　）
A．“嫦娥一号”在远地点A时的速度
B．“嫦娥一号”在远地点A时的加速度
C．“嫦娥一号”绕月球运动的周期
D．月球表面的重力加速度
题型9天体追及与相遇
（2024 海珠区校级模拟）无地面网络时，华为Mate60Pro可连接天通一号进行卫星通话。天通一号目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成，分别定位于东经101.4度、东经125度、东经81.6度。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步卫星运行的周期为T，下列说法正确的是（　　）
A．若03星加速，则一定可以追上01星
B．三颗卫星的线速度一定比赤道上地面物体的线速度小
C．三颗卫星的轨道半径一定都是
D．三颗卫星的线速度大小一定都是
（2024 中山市校级模拟）2022年7月14日下午，长征五号B火箭成功将我国空间站的首个实验舱“问天”实验舱送入太空与天和核心舱进行对接，随后神舟十四号乘组顺利进入问天实验舱，开启了太空实验的新阶段。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）
A．空间站绕地球运行的周期大于24h
B．“问天”实验舱需先进入核心舱轨道，再加速追上核心舱完成对接
C．若已知空间站的运行周期则可以计算出地球的质量
D．空间站在轨运行速度大于地球第一宇宙速度
（2024 江苏模拟）三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的周期为T2，则下列说法正确的是（　　）
A．A加速可追上同一轨道上的C
B．经过时间，A、B相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度
D．A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
题型10双星、多星模型
（2024 光明区校级模拟）人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。如图所示，设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则下列说法正确的是（　　）
A．两黑洞的运动周期均为
B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度
C．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大
D．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量
（2024 蜀山区校级三模）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线。已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m、另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是（　　）
A．A的质量为m
B．该双星系统的运动周期为T
C．A、B相距的距离为
D．在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1：3
（2024 龙凤区校级模拟）如图所示，P、Q恒星构成的双星系统，一颗质量为m，另一颗质量为2m，两星均视为质点且距离保持不变，均绕它们连线上的O点做匀速圆周运动。轨道平面上的观测点F相对于O点静止，连续两次出现P、Q与O、F共线的时间间隔为t。仅考虑双星间的万有引力，引力常量为G。则下列说法不正确的是（　　）
A．恒星Q的质量为2m
B．恒星P圆周运动的角速度为
C．任意时间内两星与O点的连线扫过的面积相等
D．恒星P、Q之间的距离为中小学教育资源及组卷应用平台
专题11 万有引力定律
课标要求 知识要点 命题推断
1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用. 2.理解环绕速度的含义并会求解. 3.了解第二和第三宇宙速度． 考点一　天体质量和密度的计算 考点二　卫星运行参量的比较与计算 考点三　卫星变轨问题分析 考点四　宇宙速度的理解与计算 考点五　双星或多星模型 题型：选择题 1开普勒行星运动定律 2万有引力定律的应用 3天体质量与密度 4卫星参量比较 5宇宙速度 6同步卫星 7近地卫星、同步卫星和赤道上物体运动的比较 8卫星变轨问题 9天体追及与相遇 10双星、多星模型
考点一　天体质量和密度的计算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
考点二　卫星运行参量的比较与计算
1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
考点三　卫星变轨问题分析
1．当卫星的速度突然增大时，G2．当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
考点四　宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度又叫环绕速度．
推导过程为：由mg＝＝得：
v1＝ ＝＝7.9 km/s.
2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．
注意　(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．
(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．
(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同．
(4)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
考点五　双星或多星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
（2024 浙江模拟）A点和B点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在A处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达B点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0）（　　）
A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程
B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度
C．设x为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为Fmg，其中为其质量
D．两飞行器同时到达B点
【解答】解：A、在沿着隧道穿行的飞船中的人与飞船的加速度相同，对飞船没有压力，始终处于完全失重状态，故A错误；
BC、根据和，可得地球密度为，设飞行器沿着隧道穿行，到距离地球球心的距离为x时所受的力F，解得F，因此该飞船做简谐运动，到达地心时速度最大，根据机械能守恒定律有，解得最大速度，故BC错误；
D、利用简谐振动的周期公式T＝2
可知沿着隧道穿行的飞行器到达B点时恰好运动了半个周期，所用时间为t1，沿地球表面飞行的速度v，从A到B飞行的时间为
，因此两飞行器同时到达B点，故D正确。
故选：D。
（2024 浙江模拟）假设宇宙是一团球形的密度均匀的物质，其各物理量均具有球对称性（即只与球的半径有关）。宇宙球对称地向外膨胀，半径为r的位置具有速度v（r）。不难发现，宇宙膨胀的过程中，其平均密度必然下降。若假设该宇宙球在膨胀过程中密度均匀（即球内各处密度相等），则应该有v＝Hrα，其中H是一个可变化但与r无关的系数，那么α的值应为（　　）
[提示：若p（t）是某一物理量，则pα对时间的导数为apα﹣1p′（t）]
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设t＝0时刻，半径为r1，宇宙球内质量为M1，半径在r1～r2，之间的质量为M2，由于各处的密度相等，则
①
在经过极短时间Δt后，各处的密度仍相等，则
②
整理可得
③
将①代入③忽略去二阶小量和三阶小量
整理得
r1、r2大小无关，若等式恒成立，则α＝1
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 广东三模）木星的卫星总共有92颗，其中木卫一、木卫二、木卫三、木卫四是意大利天文学家伽利略在1610年用自制的望远镜发现的，这四颗卫星后被称为伽利略卫星。四颗伽利略卫星的自身参数近似如下表所示，根据表格信息，下列判断正确的是（　　）
木卫一 木卫二 木卫三 木卫四
密度/g cm﹣3 3.5 3.0 2.0 1.8
直径/km 3600 3100 5300 4800
A．木卫三绕木星运动的轨道半径大于木卫四绕木星运动的轨道半径
B．木卫二表面的重力加速度小于木卫四表面的重力加速度
C．木卫一的第一宇宙速度大于木卫二的第一宇宙速度
D．木卫二的质量大于木卫三的质量
【解答】解：A、根据万有引力提供圆周运动所需的向心力得：mr
解得T＝2π
卫星的周期未知，则无法比较运动半径，故A错误；
B、根据万有引力与重力的关系有mg
根据密度的公式可知M
解得g
将表格中的数据代入可知木卫二表面的重力加速度大于木卫四表面的重力加速度，故B错误；
C、第一宇宙速度为v
结合M
可知v＝R
将表格中的数据代入可知木卫一的第一宇宙速度大于木卫二的第一宇宙速度，故C正确；
D、根据密度的公式可知M
将表格中的数据代入可知木卫二的质量小于木卫三的质量，故D错误；
故选：C。
（2024 广州一模）某校天文小组通过望远镜观察木星周围的两颗卫星a、b，记录了不同时刻t两卫星的位置变化如图甲。现以木星中心为原点，测量图甲中两卫星到木星中心的距离x，以木星的左侧为正方向，绘出x﹣t图像如图乙。已知两卫星绕木星近似做圆周运动，忽略在观测时间内观察者和木星的相对位置变化，由此可知（　　）
A．a公转周期为t0
B．b公转周期为2t0
C．a公转的角速度比b的小
D．a公转的线速度比b的大
【解答】解：AB、根据甲图可知，卫星a的轨道半径小于b的轨道半径。根据图乙可知，a公转周期为Ta＝2t0；根据开普勒第三定律可得：k，所以b的公转周期大于2t0，故AB错误；
C、卫星绕木星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，所以a公转的角速度比b的大，故C错误；
D、卫星绕木星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v，所以a公转的线速度比b的大，故D正确。
故选：D。
（2024 广东三模）地球、火星绕太阳运动的轨道均可看成圆轨道，轨道半径之比为2：3。现要从地球向火星发射一飞行器，其离开地球运动到火星的过程绕太阳运动，轨道为椭圆轨道，且在该轨道的远日点被火星俘获，如图所示。则该飞行器（　　）
A．离开地球运动到火星的过程速度逐渐增大
B．到达火星时，地球在飞行器与太阳连线下方
C．绕太阳的运行周期大于火星绕太阳的运行周期
D．在远日点与火星相遇时，需加速才能被火星俘获
【解答】解：A．飞行器脱离地球运动到火星的过程，绕太阳运动，结合开普勒第二定律可知，飞行器与太阳中心的连线（逐渐变长）在相同时间内扫过的面积相同，则从离开地球运动到火星的过程飞行器速度逐渐减小，故A错误；
B．设地球绕太阳运动的轨道半径为r1，结合题图和题述可知，飞行器的轨道半长轴为
由开普勒第三定律可得，飞行器与地球绕太阳运动的周期之比为
解得
则飞行器运动周期时，地球转过的角度大于180°，小于360°，所以飞行器到达火星时，地球在飞行器与太阳连线下方，故B正确；
C．飞行器的轨道半长轴小于火星的轨道半径，根据开普勒第三定律可知，飞行器的周期小于火星的公转周期，故C错误；
D．飞行器在远日点与火星相遇时，需要减速，才有可能在火星引力作用下绕火星运动，故D错误。
故选：B。
（2024 衡水模拟）2024年3月20日8时31分，探月工程四期“鹊桥二号”中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，该卫星是经“地—月转移轨道”逐步送入近月距离约200km、远月距离约1600km的稳定椭圆环月轨道，周期24h，月球半径约1738km，月球表面重力加速度约为1.63m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．该卫星的发射速度应大于第二宇宙速度
B．若另发射一颗距月球表面约300km的环月圆轨道卫星，则其周期约为5小时
C．若要在远月点把“鹊桥二号”转移到圆轨道上，其速度加至约1.2km/s
D．由以上条件，可以求得“鹊桥二号”在近月点所受的万有引力大小
【解答】解：A．“鹊桥二号”中继卫星并没有脱离地球束缚，所以其从地球的发射速度应高于第一宇宙速度而低于第二宇宙速度，故A错误；
B．设“鹊桥二号”椭圆环月轨道的半长轴为a，环月圆轨道卫星的轨道半径为R1，其中
R1＝（1738+300）km＝2038km
根据开普勒第三定律有
解得T2≈16h
故B错误；
C．若要在远地点把“鹊桥二号”转移到圆轨道上，设其速度v，根据牛顿第二定律可得
联立可得v＝1215m/s
故C正确；
D．由于缺少“鹊桥二号”的质量，故无法求出万有引力的大小，故D错误。
故选：C。
（2024 湖北模拟）我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。1轨道为量子卫星静止在赤道上随地球自转，2为近地轨道，3为地球的同步轨道，如图所示。已知该卫星在1轨道随地球自转的周期约为近地轨道2运动周期的17倍，关于该卫星在1、2、3轨道绕地球做匀速圆周运动的说法中正确的是（　　）
A．卫星在轨道1的加速度最大，线速度最小
B．卫星在轨道2的加速度最大，线速度最大
C．卫星在轨道3运动的周期最大，线速度最小
D．若将该卫星放在南极极点上，与轨道1处相比，其重力将变为原来的2.89倍
【解答】解：ABC、卫星在1轨道和3轨道上运行时，周期相等，角速度相等，根据v＝ωr，a＝ω2r可知，卫星在轨道1的加速度和线速度都小于卫星在轨道3的加速度和线速度。
对于2轨道和3轨道，根据万有引力提供向心力得
可得：，，
可知卫星在2轨道的线速度大于卫星在3轨道的线速度，卫星在2轨道的加速度大于卫星在3轨道的加速度，卫星在2轨道的周期小于卫星在3轨道的周期.
综上所述，卫星在轨道2的加速度最大，线速度最大，卫星在轨道1和轨道3运动的周期相等，卫星在轨道2运动的周期最小，故AC错误，B正确；
D、设卫星在2轨道上运行的周期为T，地球半径为R，根据题意可知，在南极极点上，卫星的重力等于地球对卫星的万有引力，为
在赤道上，卫星的重力为
可得：，故D错误。
故选：B。
（2024 河南二模）北京时间2023年12月15日21时41分，我国在文昌航天发射场成功将遥感四十一号卫星发射升空，卫星顺利进入同步倾斜轨道，该星是一颗高轨道光学遥感卫星。遥感四十一号卫星与在轨高度约为343km的神舟十七号载人飞船（两者都近似看作绕地球做圆周运动）相比，下列说法正确的是（　　）
A．遥感四十一号卫星向心加速度大于神舟十七号飞船向心加速度
B．神舟十七号载人飞船的动能大于遥感四十一号卫星动能
C．神舟十七号载人飞船发射速度大于遥感四十一号卫星发射速度
D．相等时间内遥感四十一号卫星与地球的连线扫过的面积大于神舟十七号飞船与地球的连线扫过的面积
【解答】解：A.由万有引力提供向心力Gman，解得可知，神州十七号载人飞船的向心加速度更大，故A错误；
B.由于遥感四十一号卫星和神州十七号载人飞船的质量关系未知，无法比较谁的动能更大，故B错误；
C.由于卫星轨道越高，机械能越大，发射速度越 大，则遥感四十一号卫星的发射速度更大，故C错误；
D.由万有引力提供向心力有，解得，卫星与中心天体连线扫过的扇形面积S πr2，整理可得可知，轨道半径r越大，与中心天体连线扫过的扇形面积越大，则相等时间内遥感四十一号卫星与地球的连线扫过的面积大于神州十七号飞船与地球的连线扫过的面积，故D正确。
故选：D。
（2024 东西湖区校级模拟）中国计划在2030年前实现载人登月，开展月球科学考察及相关技术试验。根据“嫦娥”系列卫星的发射，设想登月载人飞船的运行轨迹如图所示。飞船发射后首先进入绕地球运行的圆形“停泊轨道”，在P点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面最近距离为h1，飞船到达离P点最远距离为L的Q点时，依靠飞船的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，在距月球表面h2的圆形“绕月轨道”上飞行，择机降落在月球表面。已知地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，月球表面的重力加速度为，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是（　　）
A．飞船在“停泊轨道”上的运行速度为
B．飞船在“绕月轨道”上的运行速度为
C．地球质量与月球质量之比为
D．飞船从P点运动到Q点的时间为
【解答】解：A．飞船在“停泊轨道”上的运行时，万有引力提供向心力，可得
又根据万有引力等于重力列式
联立，解得
故A错误；
B．同理，飞船在“绕月轨道”上的运行，万有引力提供向心力，可得
又根据万有引力等于重力列式
联立，解得
故B错误；
C．根据万有引力等于重力
故地球质量与月球质量之比为
故C正确；
D．飞船在“停泊轨道”上的运行时，周期为
由开普勒第三定律，可得
飞船从P点运动到Q点的时间为
联立，解得
故D错误。
故选：C。
（2024 黑龙江三模）2023年10月24日4时3分，我国在西昌卫星发射中心成功将“遥感三十九号”卫星送入太空。已知地球半径为R。自转周期为T，“遥感三十九号”卫星轨道离地面的高度为h1，地球同步卫星轨道离地面的高度为h2，“遥感三十九号”卫星和地球同步卫星绕地球飞行的轨道如图所示。引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．“遥感三十九号”卫星的发射速度大于11.2km/s
B．“遥感三十九号”卫星绕地球运行的周期为T
C．地球的平均密度可表示为
D．“遥感三十九号”卫星与同步卫星绕地球运行的向心加速度之比为
【解答】解：A．“遥感三十九号”卫星的发射速度满足
7.9km/s＜v＜11.2km/s
故A错误；
B．“遥感三十九号”卫星绕地球运行的周期为T'，根据开普勒第三定律有
解得
故B正确；
C．对同步卫星有
解得
故地球密度为
故C错误；
D．根据万有引力提供向心力，有
故
故D错误。
故选：B。
题型1开普勒行星运动定律
（2024 盐城模拟）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象。已知地球及部分地外行星绕太阳运动的轨道半径如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
则表中相邻两次冲日的时间间隔最长的地外行星是（　　）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
【解答】解：由开普勒第三定律，有 可知轨道半径较大的行星，其周期也长。
设地球绕太阳运行的周期为T，地球外另一行星的周期为 T'，两次冲日时间间隔为t，则，解得：，可知海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，木星相邻两次冲日的时间间隔最长，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 东湖区校级三模）“日心说”以太阳为参考系，金星和地球运动的轨迹可以视为共面的同心圆；“地心说”以地球为参考系，金星的运动轨迹（实线）和太阳的运动轨迹（虚线）如图所示。观测得每隔1.6年金星离地球最近一次，则下列判断正确的是（　　）
A．在8年内太阳、地球、金星有5次在一条直线上
B．在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上
C．地球和金星绕太阳公转的周期之比为8：5
D．地球和金星绕太阳公转的半径之比为
【解答】解：AB.根据题意由图可知，金星绕太阳的轨道半径较小，由于每隔1.6年金星离地球最近一次，即每隔1.6年金星比地球多转一圈，则每隔0.8年金星比地球多转半圈，即每隔0.8年太阳、地球、金星在一条直线上，则在8年内太阳、地球、金星有10次在一条直线上，故B正确，A错误；
CD.设金星的公转周期为T1，地球的公转周期为T2，则有：
t＝2π
又因为：t＝1.6年，T2＝1年
代入解得：T1：T2＝13：8
根据万有引力提供向心力有：
Gm
解得：r
则地球和金星绕太阳公转的半径之比为：
代入解得：
故CD错误。
故选：B。
（2024 枣强县校级模拟）如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨道为椭圆，哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986年，预计哈雷彗星下次回归到近日点将在2061年。已和椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离是地球公转轨道半径R的0.6倍，则椭圆轨道远日点到太阳的距离为（　　）
A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R
【解答】解：由题知，哈雷彗星运动的周期约为T哈＝2061年﹣1986年＝75年，地球运动的周期为：T地＝1年，设哈雷彗星的轨道的半长轴为a哈，由开普勒三定律：，解得：，即哈雷彗星轨道的半长轴为：，则椭圆轨道远日点到太阳的距离满足：r远+r近＝2a哈，解得：r远＝2a哈﹣r近＝2×17.8R﹣0.6R＝35R，故C正确，ABD错误。
故选：C。
题型2万有引力定律的应用
（2024 海淀区校级模拟）1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳和地球）所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步做圆周运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（　　）
A．该卫星绕太阳运动周期大于地球公转周期
B．该卫星在L2点处于平衡状态
C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小
【解答】解：AC．该卫星与地球同步绕太阳运动，可知卫星绕太阳运动周期等于地球公转周期，根据
可知，该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，故A错误，C正确；
B．该卫星绕太阳做匀速圆周运动，所受的合力为地球和太阳对它引力的合力，这两个引力方向相同，合力不为零，处于非平衡状态，故B错误；
D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力等于卫星绕太阳做圆周运动的向心力，则根据
F＝mω2r
因在L2点的转动半径大于在L1的转动半径，可知卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处大，故D错误。
故选：C。
（2024 荣昌区校级模拟）半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为F。现在在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为R的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（　　）
A．F B． C． D．
【解答】解：根据题意，两实心球的万有引力为满足GGF，由于小球密度均匀，被挖去的小球的体积是大球的，则其质量mM，设想左边仍是实心球，把右边实心球挖掉一个小球，则左边实心球对右边球的万有引力为
F1＝GGG GF
左边小球对右边大球的万有引力为
F2＝GG G F
则剩余部分两球的万有引力为ΔF＝F1﹣F2FFF
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 重庆模拟）如图所示，从一质量为M、半径为2R的均匀球体的球心O处挖出一半径为R的小球，将其移至两球面相距R处，已知引力常量为G，则大球剩余部分和小球间的万有引力大小为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：大球剩余质量m2和小球的质量m1之比为
大球和小球的质量之和为
m1+m2＝M
大球剩余部分和小球的质量分别为
则二者之间的万有引力大小为
，故A正确，BCD错误。
故选：A。
题型3天体质量与密度
（多选）（2024 浑南区校级模拟）如图所示，人造卫星A围绕地球做圆周运动，AB和AC与地球相切，∠BAC＝θ，θ称为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为θ1和θ2，且θ1＞θ2，甲、乙公转角速度分别为ω1和ω2，万有引力常量为G。则以下说法正确的是（　　）
A．由题目所给条件，可以算出地球的质量
B．由题目所给条件，可以算出地球的密度
C．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
D．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
【解答】解：AB、根据题意，由万有引力提供向心力有
根据题意，作出几何关系图如图所示
由几何关系有
解得
由于地球半径不已知，也无法求出轨道半径，故无法求出地球质量
又有
联立解得
即地球的密度为
故地球的密度可求出
故A错误，B正确；
CD、根据题述条件画出几何关系图，可知当甲进入弧AB，则甲、乙无法直接通信，当甲的公转比乙多转
两者可恢复直接通信，则有
解得
故C错误，D正确。
故选：BD。
（2024 五华区校级模拟）距离地球大约600光年的行星开普勒22﹣b很有可能是一颗宜居行星，其表面温度约为22℃，它围绕一颗和太阳非常相似的恒星公转。该行星半径为地球半径的2.4倍，其公转周期约为290天，其准确质量还未能得知。假设其密度与地球相同，不考虑星球的自转。下列说法正确的是（　　）
A．开普勒22﹣b的质量是地球质量的5.76倍
B．地球表面重力加速度为开普勒22﹣b表面重力加速度的2.4倍
C．开普勒22﹣b的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2.4倍
D．开普勒22﹣b的公转轨道半径为地球公转轨道半径的3.6倍
【解答】解：A、设地球质量为M，半径为R，则开普勒22﹣b的质量为M'，根据M＝ρV＝ρ ，解得，即则开普勒22﹣b的质量为地球质量的13.824倍，故A错误；
B、设地球表面重力加速度为g，则开普勒22﹣b表面重为加速度为g'，则mg，mg'，解得g'＝2.4g，即开普勒22﹣b表面重为加速度为地球表面重力加速度的2.4倍，故B错误；
C、设地球的第一宇宙速度为v，则开普勒22﹣b的第一宇宙速度为v'，根据，得，，代入数据解得v'＝2.4v，故C正确；
D、地球公转轨道半径为r，则开普勒22﹣b的公转轨道半径为r'，根据，解得，其中太阳的质量M太和恒星的质量M恒相等，解得r'＝0.86r，故D错误。
故选：C。
（2024 朝阳区校级模拟）按黑体辐射理论，黑体单位面积的辐射功率与其热力学温度的四次方成正比，比例系数为σ（称为斯特藩﹣玻尔兹曼常数），某黑体如果它辐射的功率与接收的功率相等时，温度恒定。假设宇宙中有一恒星A和绕其圆周运动的行星B（忽略其它星体的影响），已知恒星A单位面积辐射的功率为P，B绕A圆周运动的距离为r、周期为T'，将B视为黑体，B的温度恒定为T，万有引力常数为G，将A和B视为质量均匀分布的球体，行星B的大小远小于其与A的距离，由上述物理量和常数表示出的恒星A的平均密度为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设恒星A的半径为RA，质量为M，平均密度为ρ，恒星B的半径为RB，质量为m，恒星A、B间的距离为r，则M，行星B绕恒星A做匀速圆周运动，周期为T'由牛顿第二定律：，由于行星B的温度恒定，则星行B辐射的功率与接收到的功率相等，即
联立知，，故A正确，BCD错误。
故选：A。
题型4卫星参量比较
发现未知星体是万有引力定律的重要成就之一，如“笔尖下发现的行星”﹣海王星．1843年，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国巴黎年轻天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料，发现天王星实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离、形成这种现象的原因是海王星对它的万有引力，已知天王星绕太阳运行的轨道半径为R0，周期为T0，假定两颗行星的运动可以认为是匀速圆周运动，请你利用所学知识确定海王星的轨道半径为（　　）
A．R0 B．R0
C．R0 D．R0
【解答】解：由题意可知：海王星与天王星相距最近时，对天王星的影响最大，且每隔时间t发生一次最大的偏离。
设海王星行星的周期为T0，圆轨道半径为R0，则有：，
解得T，
根据开普勒第三定律：，
解得。
故选：A。
2019年12月7日，我国采用一箭多星的方式成功将六颗卫星发射升空。在赤道平面内有三颗在同一轨道上运行的卫星，三颗卫星在此轨道均匀分布，其轨道距地心的距离为地球半径的3.3倍，且三颗卫星均自西向东环绕地球转动。某时刻其中一颗人造卫星处于地球赤道上某一建筑物的正上方，已知地球的自转周期为T，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则该建筑物正上方出现下一颗人造卫星间隔的时间约为（　　）
A．0.18T B．0.24T C．0.32T D．0.48T
【解答】解：地球的自转周期为T，即为地球同步卫星的周期，设地球的半径为R，
根据开普勒第三定律：，解得：T′T，
该建筑物正上方出现一颗人造卫星时，该卫星比地球自转多转过的角度为，即（）t
解得：t≈0.18T 故A正确，BCD错误
故选：A。
（多选）（2015 本溪校级模拟）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学家称为“行星冲日”，据报道，2014年各行星冲日时间分别为：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（　　）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
【解答】解：根据开普勒第三定律，有：；
解得：T；
故T火1.84年；
T木11.86年；
T土29.28年；
T天82.82年；
T海164.32年；
A、如果两次行星冲日时间间隔为1年，则地球多转动一周，有：
2π＝（）t
代入数据，有：
2π＝（）×1
解得：T0为无穷大；
即行星不动，才可能在每一年内发生行星冲日，显然不可能，故A错误；
B、2014年1月6日木星冲日，木星的公转周期为11.86年，在2年内地球转动2圈，木星转动不到一圈，故在2015年内一定会出现木星冲日，故B正确；
C、如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有：
2π＝（）t
解得：t
故天王星相邻两次冲日的时间间隔为：t天1.01年；
土星相邻两次冲日的时间间隔为：t土1.04年；
故C错误；
D、如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有：
2π＝（）t
解得：
t，故地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短；故D正确；
故选：BD。
题型5宇宙速度
（2024 南通模拟）宇宙速度是从地球表面向宇宙空间发射人造地球卫星、行星际和恒星际飞行器所需的最低速度。下列关于宇宙速度的说法正确的是（　　）
A．第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度
B．若飞行器的发射速度大于第二宇宙速度，则飞行器将绕地球做椭圆运动
C．若飞行器的发射速度大于第三宇宙速度，则飞行器将绕太阳运动
D．卫星绕地球做圆周运动的速率可能大于第一宇宙速度
【解答】解：AD．第一宇宙速度是人造卫星做圆周运动的最大运行速度，是人造地球卫星绕地球飞行的最小发射速度，故A正确，D错误；
B．第二宇宙速度是在地面上发射物体，使之成为绕太阳运动或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，故B错误；
C．第三宇宙速度是在地面上发射物体，使之飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，故C错误。
故选：A。
（多选）（2024 河南三模）金星是绕太阳运动的从内向外的第二颗行星，轨道公转周期为224.7天。金星的半径为地球半径的95%，质量为地球质量的82%。已知地球与太阳间的距离为1.5×1011m，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，地球和金星绕太阳运动的轨迹可近似为圆。下列说法正确的是（　　）
A．金星的第一宇宙速度约为8.5km/s
B．金星的第一宇宙速度约为7.3km/s
C．金星距离太阳的距离约为1.1×1011m
D．金星距离太阳的距离约为2.1×1011m
【解答】解：AB.星球的第一宇宙速度即星球表面卫星绕星球做圆周运动的速度，根据万有引力提供向心力可得：
得第一宇宙速度为：
代入解得：7.9km/s＝7.3km/s
故B正确，A错误；
CD．根据开普勒第三定律有：
代入r地＝1.5×1011m，T地＝365天，T金＝224.7天
解得：，故C正确，D错误。
故选：BC。
星球上的物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2v已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度gE的，不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（　　）
A． B． C． D．gEr
【解答】解：在星球表面，重力等于其表面卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：
m（gE）＝m
解得：
v1
根据题意，有：
v2v1
故v2
故选：A。
题型6同步卫星
（2024 山东模拟）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，质量为太阳质量四倍的恒星将坍塌成白矮星。设某恒星坍塌前后均可看成质量均匀分布的球体，质量不变，半径变为原来的，自转角速度变大。不考虑恒星与其他物体的相互作用，根据万有引力理论，该恒星坍塌前后，下列分析正确的是（　　）
A．两极处的重力加速度之比为
B．第一宇宙速度之比为
C．绕其飞行的同步卫星的线速度变大
D．绕其飞行的同步卫星的轨道半径变大
【解答】解：A、根据万有引力提供重力有：，解得：，质量不变，半径变为原来的，所以重力加速度之比为1：9，故A错误；
B、根据第一宇宙速度的计算：，质量不变，半径减小为原来的，可得第一宇宙速度之比为，故B错误；
CD、同步卫星和中心天体具有相同的角速度，根据万有引力提供向心力：，可知质量不变的情况下当角速度变大轨道半径减小，轨道半径减小，则线速度变大，所以C正确，D错误；
故选：C。
（2024 南宁一模）2024年2月23日，“长征5号”遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，被誉为龙年首发。卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是（　　）
A．地球同步卫星可以静止在北京上空
B．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的
C．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的
D．若忽略地球的自转效应，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
【解答】解：A、地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，与赤道平面共面所以不可能静止在北京上空，A错误；
B、由万有引力提供向心力即 ，得v，r＝nR，第一宇宙速度v′，所以同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的，B正确；
C、同步卫星与地球赤道上的物体具有相同的角速度，根据v＝rω知，同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的 n倍，C错误；
D、根据 ma，得a，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的，D错误。
故选：B。
（2024 白云区校级模拟）2023年“神舟十七号”顺利对接“天宫”空间站，“天宫”在距地面约400km高度做匀速圆周运动，假设“神舟号”先绕地球在低于“天宫”的轨道上做匀速圆周运动，再变轨与“天宫”对接。又已知北斗同步卫星距地面约36000km。则（　　）
A．“天宫”空间站的运行周期可能大于24小时
B．“天宫”空间站的角速度比北斗同步静止卫星的小
C．北斗同步静止卫星运行过程中可能通过北京正上方
D．“神舟十七号”从近地轨道上需要加速才能对接空间站
【解答】解：A.根据万有引力提供地球同步卫星和空间站做匀速圆周运动的向心力，可得
解得
“天宫”空间站的轨道半径小于北斗同步卫星的轨道半径，北斗同步卫星的周期为24小时，所以“天宫”空间站的运行周期小于24小时。故A错误；
B.根据万有引力提供地球同步卫星和空间站做匀速圆周运动的向心力，可得
解得
“天宫”空间站的轨道半径小于北斗同步卫星的轨道半径，“天宫”空间站的角速度比北斗同步静止卫星的大，故B错误；
C.北斗同步卫星与地球自转同步，与赤道共面，所以北斗同步静止卫星运行过程中不可能通过北京正上方，故C错误；
D.“神舟十七号”从低轨道与高轨道的空间站对接，需要在低轨道加速，做离心运动到达高轨道，故D正确。
故选：D。
题型7近地卫星、同步卫星和赤道上物体运动的比较
（2024 衡阳县校级模拟）2024年4月25日神舟十八号载人飞船与空间站完成交接任务，载人发射任务取得圆满成功。空间站、同步卫星绕地球的运动均可视为匀速圆周运动。已知空间站的运行轨道半径为R1，同步卫星的运行轨道半径为R2（R2＞R1），下列说法正确的是（　　）
A．空间站处于平衡状态
B．空间站的运行速度大于第一宇宙速度
C．空间站运动的周期小于地球同步卫星的周期
D．空间站与同步卫星的运行周期之比为
【解答】解：A、空间站绕地球做匀速圆周运动，所受合外力不为零，合外力等于地球对其的万有引力，处于不平衡状态，故A错误；
B、地球的第一宇宙速度是卫星贴近地表环绕地球做圆周运动的最大速度，根据：，可得：，可知轨道半径越大，卫星运行速度越小，空间站轨道半径大于地球半径R，其速度小于第一宇宙速度，故B错误；
CD、其周期小于地球同步卫星的周期设空间站、同步卫星的运行周期分别为T1、T2，根据开普勒第三定律得：，整理可得。
因空间站轨道半径小于地球同步卫星的半径，故空间站运动的周期小于地球同步卫星的周期，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 天津三模）国际天文学联合会于2024年2月23日宣布新发现了2颗海王星的卫星，并将它们分别命名为S/2002N5和S/2021N1，至此海王星的卫星已增至28颗。这两颗卫星在近似圆轨道上绕海王星一周的时间分别约为9年和27年，以下由此推断出的结论中不正确的是（　　）
A．S/2002N5运行的线速度比S/2021N1大
B．S/2002N5的向心加速度比S/2021N1大
C．S/2002N5受海王星的引力比S/2021N1大
D．S/2002N5与S/2021N1的轨道半径之比为
【解答】解：D、根据万有引力提供向心力有mr
两颗卫星在近似圆轨道上绕海王星一周的时间分别约为9年和27年，则轨道半径之比为，故D正确；
AB、根据万有引力提供向心力有
ma＝m
解得a，v
可知S/2002N5运行的线速度和加速度比S/2021N1大，故AB正确；
C、由于卫星的质量大小未知，无法比较万有引力大小，故C错误；
本题选择错误选项；
故选：C。
我国发射的“嫦娥一号”卫星经过多次加速、变轨后，最终成功进入环月工作轨道。如图所示，卫星既可以在离月球比较近的圆轨道a上运动，也可以在离月球比较远的圆轨道b上运动。下列说法正确的是（　　）
A．卫星在a上运行的线速度小于在b上运行的线速度
B．卫星在a上运行的周期大于在b上运行的周期
C．卫星在a上运行的角速度小于在b上运行的角速度
D．卫星在a上运行时受到的万有引力大于在b上运行时的万有引力
【解答】解：对于月球的卫星，万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、月球质量为M，有F＝F向
F
F向＝mmω2r＝m
解得v
ω
T＝2π
根据题意得：卫星在a上运行的轨道半径小于在b上运行的轨道半径，
所以卫星在a上运行的线速度大，角速度大、周期小、万有引力大。故A、B、C错误，D正确。
故选：D。
题型8卫星变轨问题
（2024 江苏模拟）一宇宙飞行器从地面发射，经过转移轨道后，绕太阳系另一行星运行，若再经过几次变轨后，进入如图所示的椭圆轨道Ⅰ，然后在轨道上P点变轨进入圆轨道Ⅱ，已知万有引力常量为G，则（　　）
A．飞行器从地面发射的速度小于11.2km/s
B．飞行器在P点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时机械能减小
C．若测出飞行器在轨道Ⅱ上运行的速率，可求该行星质量
D．若测出飞行器在轨道Ⅰ经过P点时的速率和到该行星中心的距离，可求该行星质量
【解答】解：A、因为飞行器已经离开了地球的束缚，成为了另一颗行星的卫星，所以发射速度需要大于第二宇宙速度11.2km/s，故A错误；
B、飞行器在P点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火减速，对飞行器做负功，所以飞行器的机械能减小，故B正确；
C、根据牛顿第二定律有，可得行星的质量为M，因为不知道轨道半径r，所以无法计算行星的质量M，故C错误；
D、若测出飞行器在轨道Ⅰ经过P点时的速率和到该行星中心的距离，但是飞行器在P点后要做离心运动，不满足，所以无法计算行星的质量，故D错误。
故选：B。
（多选）（2024 黑龙江模拟）航天器进行宇宙探索的过程中，经常要进行变轨。若某次发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。关于该卫星，下列说法正确的是（　　）
A．该卫星的发射速度大于11.2km/s
B．该卫星在轨道Ⅰ上运动的周期小于在轨道Ⅱ上运动的周期
C．该卫星在轨道Ⅰ上运行时的速度大于在轨道Ⅲ上运行时的速度
D．该卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度
【解答】解：A、该卫星绕地球做圆周运动，发射速度大于7.9km/s，小于11.2km/s，故A错误；
B、根据开普勒第三定律可知该卫星在轨道Ⅰ上运动的周期小于在轨道Ⅱ上运动的周期，故B正确；
C、根据得：，所以该卫星在轨道Ⅰ上运行时的速度大于在轨道Ⅲ上运行时的速度，故C正确；
D、根据得：a，所以该卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度，故D错误。
故选：BC。
如图所示，“嫦娥奔月”的过程可以简化为：“嫦娥一号”升空后，绕地球沿椭圆轨道运动，远地点A距地面高度为h1，然后经过变轨被月球捕获，再经多次变轨，最终在距离月球表面高度为h2的轨道上绕月球做匀速圆周运动．若已知地球的半径为R1、表面重力加速度为g1；月球的质量为M2，半径为R2，引力常量为G，根据以上信息，不可以确定的是（　　）
A．“嫦娥一号”在远地点A时的速度
B．“嫦娥一号”在远地点A时的加速度
C．“嫦娥一号”绕月球运动的周期
D．月球表面的重力加速度
【解答】解：A、根据牛顿第二定律得
“嫦娥一号”在远地点A时万有引力等于其合力。
ma①
忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式。
m′g1 ②
由①②可求得“嫦娥一号”在远地点A时的加速度。
由于轨道是椭圆，在远地点A时的速度无法确定，故A错误，B正确。
C、“嫦娥一号”绕月球运动根据万有引力提供向心力，列出等式
m（R1+h2）③
忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式
m′g2④
由③④可求得“嫦娥一号”绕月球运动的周期和月球表面的重力加速度，故C、D正确。
本题选错误的，故选：A。
题型9天体追及与相遇
（2024 海珠区校级模拟）无地面网络时，华为Mate60Pro可连接天通一号进行卫星通话。天通一号目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成，分别定位于东经101.4度、东经125度、东经81.6度。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步卫星运行的周期为T，下列说法正确的是（　　）
A．若03星加速，则一定可以追上01星
B．三颗卫星的线速度一定比赤道上地面物体的线速度小
C．三颗卫星的轨道半径一定都是
D．三颗卫星的线速度大小一定都是
【解答】解：A.若03星加速，则轨道半径会增大，无法追上01星，故A错误；
B.地球同步卫星与地球赤道上物体的角速度相等，由v＝ωr可知，三颗卫星的线速度一定比赤道上地面物体的线速度大，故B错误；
C.由
可得三颗卫星的轨道半径一定都是，故C正确；
D.由，得三颗卫星的线速度大小，故D错误。
故选：C。
（2024 中山市校级模拟）2022年7月14日下午，长征五号B火箭成功将我国空间站的首个实验舱“问天”实验舱送入太空与天和核心舱进行对接，随后神舟十四号乘组顺利进入问天实验舱，开启了太空实验的新阶段。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）
A．空间站绕地球运行的周期大于24h
B．“问天”实验舱需先进入核心舱轨道，再加速追上核心舱完成对接
C．若已知空间站的运行周期则可以计算出地球的质量
D．空间站在轨运行速度大于地球第一宇宙速度
【解答】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据，可得，因空间站的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，所以空间站绕地球运行的周期小于地球同步卫星运行的周期24h，故A错误；
B、航天员乘坐的“问天”实验舱需先进入比天和核心舱低的轨道，再加速追上天和核心舱完成对接，故B错误；
C、由，可得，已知地球的半径，空间站的轨道高度，即可求出空间站的轨道半径r，又已知空间站的运行周期T，可以计算出地球的质量M，故C正确；
D、第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的卫星的最大运行速度，所以空间站在轨运行速度小于7.9km/s，故D错误。
故选：C。
（2024 江苏模拟）三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的周期为T2，则下列说法正确的是（　　）
A．A加速可追上同一轨道上的C
B．经过时间，A、B相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度
D．A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积相等
【解答】解：A、卫星A加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上卫星C，故A错误；
B、A、B两卫星由相距最近至相距最远时，圆周运动转过的角度相差π，即ωBt﹣ωAt＝π，其中，，解得经历的时间，故B正确；
C、根据万有引力提供向心力有，得，可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，故C错误；
D、绕地球运动的卫星与地心连线在相同时间t内扫过的面积，其中，则：，可知A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积不等，故D错误。
故选：B。
题型10双星、多星模型
（2024 光明区校级模拟）人类首次发现的引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞互相绕转最后合并的过程。如图所示，设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞中心间的距离为L，则下列说法正确的是（　　）
A．两黑洞的运动周期均为
B．黑洞A的线速度一定小于黑洞B的线速度
C．两个黑洞的总质量M一定，L越大，角速度越大
D．黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量
【解答】解：D、黑洞A、B相互作用的万有引力提供两者做匀速圆周运动所需的向心力，两者以相同的角速度绕其连线上的O点做圆周运动。设黑洞A、B的质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度均为ω。则有：
①；②
可得：，因RA＞RB，故mA＜mB，故D错误；
AC、将①②两式相加，再结合RA+RB＝L，M＝mA+mB，，联立解得：
可知当总质量M一定，L越大，则T越大，角速度越小，故A正确，C错误；
B、根据线速度v＝ωR，因RA＞RB，故vA＞vB，即黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度，故B错误。
故选：A。
（2024 蜀山区校级三模）宇宙中大多数恒星系都是双星系统，如图所示，两颗远离其他星系的恒星A和B在相互之间的引力作用下绕O点做匀速圆周运动，且A星距离O点更近。轨道平面上的观测点P相对O点静止，观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线。已知引力常量为G，其中一颗恒星的质量为m、另一颗恒星的质量为3m，恒星的半径都远小于它们之间的距离。则以下说法正确的是（　　）
A．A的质量为m
B．该双星系统的运动周期为T
C．A、B相距的距离为
D．在相同时间里，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1：3
【解答】解：A、双星系统的周期相同，相互之间引力等大，因此质量大的恒星半径较小，A的质量为3m，故A错误；
BD、观察发现每隔T时间，两颗恒星与O、P共线，该双星系统的运动周期为2T，而单位时间内恒星与O点连线扫过的面积，则相等时间内，A、B两颗恒星与O点连线扫过的面积之比为1：9，故BD错误；
C、由万有引力提供向心力有，且r1+r2＝r，解得A、B相距的距离为，故C正确。
故选：C。
（2024 龙凤区校级模拟）如图所示，P、Q恒星构成的双星系统，一颗质量为m，另一颗质量为2m，两星均视为质点且距离保持不变，均绕它们连线上的O点做匀速圆周运动。轨道平面上的观测点F相对于O点静止，连续两次出现P、Q与O、F共线的时间间隔为t。仅考虑双星间的万有引力，引力常量为G。则下列说法不正确的是（　　）
A．恒星Q的质量为2m
B．恒星P圆周运动的角速度为
C．任意时间内两星与O点的连线扫过的面积相等
D．恒星P、Q之间的距离为
【解答】解：AB.设恒星P、Q的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的轨迹半径分别为r1、r2，且两恒星之间的距离为L，根据题图可知 r1＞r2，而根据题意可得 。根据 可得两恒星转动得角速度，根据万有引力充当向心力有：，，解得：，由此可知m1＝m，m2＝2m，即恒星Q的质量为2m，故AB正确；
C.由于两恒星角速度相同，但半径不同，且P的轨迹半径大于Q的轨迹半径，因此任意时间内两星与O点的连线扫过的面积SP＞SQ，故C错误；
D.根据，，解得： ，则有：，可得 ，故D正确。
本题选择错误的，故选：C。

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